ऊष्मा स्थानांतरण भौतिकी

For broader coverage of this topic, see Heat transfer.

हीट ट्रांसफर भौतिकी प्रमुख ऊर्जा वाहकों द्वारा ऊर्जा भंडारण, परिवहन और ऊर्जा परिवर्तन की गतिशीलता का वर्णन करती है: फ़ोनन (जाली कंपन तरंगें), इलेक्ट्रॉन, मैक्सवेल-बोल्ट्ज़मैन वितरण और फोटॉन। ऊष्मा इलेक्ट्रॉनों, परमाणु नाभिकों, व्यक्तिगत परमाणुओं और अणुओं सहित कणों की तापमान-निर्भर गति (भौतिकी) में संग्रहीत ऊर्जा है। मुख्य ऊर्जा वाहकों द्वारा पदार्थ से ऊष्मा स्थानांतरित की जाती है। पदार्थ के भीतर संग्रहीत या वाहकों द्वारा परिवहन की गई ऊर्जा की स्थिति को शास्त्रीय और क्वांटम सांख्यिकीय यांत्रिकी के संयोजन द्वारा वर्णित किया गया है। विभिन्न वाहकों के बीच ऊर्जा अलग-अलग बनती (रूपांतरित) होती है। गर्मी हस्तांतरण प्रक्रियाएं (या कैनेटीक्स) उन दरों से नियंत्रित होती हैं जिन पर विभिन्न संबंधित भौतिक घटनाएं घटित होती हैं, जैसे (उदाहरण के लिए) शास्त्रीय यांत्रिकी में कण टकराव की दर। ये विभिन्न अवस्थाएँ और गतिकी ऊष्मा स्थानांतरण, यानी ऊर्जा भंडारण या परिवहन की शुद्ध दर निर्धारित करती हैं। इन प्रक्रियाओं को परमाणु स्तर (परमाणु या अणु लंबाई पैमाने) से मैक्रोस्केल तक नियंत्रित करना ऊर्जा संरक्षण सहित थर्मोडायनामिक्स के नियम हैं।

परिचय

File:Equilibrium Particle distribution function.jpg

विभिन्न ऊर्जा वाहकों के लिए ऊर्जा के संबंध में संतुलन कण वितरण फ़ंक्शन में भिन्नता।

File:Kinetics of atomic-level energy transport and transition interaction, Interaction times spectrum1.jpg

परमाणु-स्तर के ऊर्जा परिवहन और संक्रमण अंतःक्रिया की गतिकी

File:Time-length scale regimes.jpg

एब इनिटियो, एमडी, बोल्ट्ज़मैन परिवहन और गर्मी हस्तांतरण के मैक्रोस्कोपिक उपचार के लिए लंबाई-समय पैमाने के नियम।

ऊष्मा कणों की तापमान-निर्भर गति से जुड़ी तापीय ऊर्जा है। ऊष्मा अंतरण विश्लेषण में प्रयुक्त अतिसूक्ष्म आयतन के लिए स्थूल ऊर्जा समीकरण है

$$\nabla \cdot \mathbf {q} =-\rho c_{p}{\frac {\partial T}{\partial t}}+\sum _{i,j}{\dot {s}}_{i-j},$$

कहाँ q ऊष्मा प्रवाह वेक्टर है, −ρc_p(∂T/∂t)आंतरिक ऊर्जा का अस्थायी परिवर्तन है (ρ घनत्व है, c_p स्थिर दबाव पर विशिष्ट ताप क्षमता है, Tतापमान है और t समय है), और ${\dot {s}}$ थर्मल ऊर्जा से ऊर्जा रूपांतरण है (i और j प्रमुख ऊर्जा वाहकों के लिए हैं)। तो, शब्द ऊर्जा परिवहन, भंडारण और परिवर्तन का प्रतिनिधित्व करते हैं। ऊष्मा प्रवाह वेक्टर q तीन स्थूल मौलिक तरीकों से बना है, जो थर्मल चालन हैं (q_k = −k∇T, k: तापीय चालकता), संवहन (q_u = ρc_puT, u: वेग), और विकिरण (${\textstyle \mathbf {q} _{r}=2\pi \int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\pi }\mathbf {s} I_{ph,\omega }\sin(\theta )d\theta \,d\omega }$, ω: कोणीय आवृत्ति, θ: ध्रुवीय कोण, I_ph,ω: वर्णक्रमीय, दिशात्मक विकिरण तीव्रता, s: यूनिट वेक्टर), यानी, q = q_k + q_u + q_r.

एक बार ऊर्जा रूपांतरण और थर्मोफिजिकल गुणों की स्थिति और गतिकी ज्ञात हो जाने के बाद, गर्मी हस्तांतरण के भाग्य को उपरोक्त समीकरण द्वारा वर्णित किया गया है। इन परमाणु-स्तर के तंत्रों और गतिकी को ऊष्मा स्थानांतरण भौतिकी में संबोधित किया जाता है। सूक्ष्म तापीय ऊर्जा को प्रमुख ऊर्जा वाहकों द्वारा संग्रहीत, परिवहन और रूपांतरित किया जाता है: फोनन (पी), इलेक्ट्रॉन (ई), द्रव कण (एफ), और फोटॉन (पीएच)।

लंबाई और समय का पैमाना

पदार्थ के थर्मोफिजिकल गुण और प्रमुख वाहकों के बीच परस्पर क्रिया और ऊर्जा विनिमय की गतिशीलता परमाणु-स्तर के विन्यास और अंतःक्रिया पर आधारित होती है।तापीय चालकता जैसे परिवहन गुणों की गणना शास्त्रीय और क्वांटम यांत्रिकी का उपयोग करके इन परमाणु-स्तर के गुणों से की जाती है। प्रमुख वाहकों की क्वांटम अवस्थाएँ (उदाहरण के लिए संवेग, ऊर्जा) श्रोडिंगर समीकरण (जिसे प्रथम सिद्धांत या एबी इनिटियो कहा जाता है) से प्राप्त की जाती हैं और इंटरैक्शन दर (कैनेटिक्स के लिए) की गणना क्वांटम अवस्थाओं और क्वांटम पर्टर्बेशन सिद्धांत (क्वांटम यांत्रिकी) का उपयोग करके की जाती है। फर्मी स्वर्ण नियम के रूप में तैयार किया गया)। एब इनिटियो (शुरुआत से लैटिन) सॉल्वर (सॉफ्टवेयर) की विविधता मौजूद है (उदाहरण के लिए, एबिनिट, कैस्टेप, गाऊसी (सॉफ्टवेयर) , क्यू केम, एस्प्रेसो जितना , सिएस्टा (कंप्यूटर प्रोग्राम), वीएएसपी, WIEN2k)। आंतरिक कोश (कोर) में इलेक्ट्रॉन गर्मी हस्तांतरण में शामिल नहीं होते हैं, और आंतरिक-कोश इलेक्ट्रॉनों के बारे में उचित अनुमान से गणना बहुत कम हो जाती है। क्वांटम उपचार, जिसमें संतुलन और नॉनक्विलिब्रियम एब इनिटियो आणविक गतिशीलता (एमडी) शामिल हैं, जिसमें बड़ी लंबाई और समय शामिल है, गणना संसाधनों द्वारा सीमित हैं, इसलिए सरलीकृत मान्यताओं के साथ विभिन्न वैकल्पिक उपचारों और कैनेटीक्स का उपयोग किया गया है। शास्त्रीय (न्यूटोनियन) एमडी में, परमाणु या अणु (कण) की गति अनुभवजन्य या प्रभावी अंतःक्रिया क्षमता पर आधारित होती है, जो बदले में एबी इनिटियो गणना के वक्र-फिट या थर्मोफिजिकल गुणों के वक्र-फिट पर आधारित हो सकती है। अनुरूपित कणों के समुच्चय से, स्थैतिक या गतिशीलता थर्मल गुण या बिखरने की दर प्राप्त होती है। अभी भी बड़े लंबाई के पैमाने पर (मेसोस्केल, जिसमें कई माध्य मुक्त पथ शामिल हैं)बोल्ट्ज़मैन परिवहन समीकरण समीकरण (बीटीई) लागू किया जाता है जो शास्त्रीय हैमिल्टनियन-सांख्यिकीय यांत्रिकी पर आधारित है। बीटीई स्थिति और गति वैक्टर (एक्स, पी) के संदर्भ में कण राज्यों पर विचार करता है और इसे राज्य व्यवसाय संभावना के रूप में दर्शाया जाता है। व्यवसाय में संतुलन वितरण (ज्ञात बोसॉन, फ़र्मियन और मैक्सवेल-बोल्ट्ज़मैन कण) हैं और ऊर्जा (गर्मी) का परिवहन किसी भी संतुलन (एक प्रेरक बल या क्षमता के कारण) के कारण होता है। परिवहन के केंद्र में बिखरने की भूमिका है जो वितरण को संतुलन की ओर मोड़ती है। प्रकीर्णन संबंध समय या माध्य मुक्त पथ द्वारा प्रस्तुत किया जाता है। विश्राम का समय (या इसका व्युत्क्रम जो अंतःक्रिया दर है) अन्य गणनाओं (अब इनिटियो या एमडी) या अनुभवजन्य रूप से पाया जाता है। बीटीई को मोंटे कार्लो विधि आदि से संख्यात्मक रूप से हल किया जा सकता है। लंबाई और समय के पैमाने के आधार पर, उपचार का उचित स्तर (ab initio, MD, या BTE) चुना जाता है। हीट ट्रांसफर भौतिकी विश्लेषण में थर्मल ऊर्जा भंडारण, परिवहन और परिवर्तन से संबंधित राज्यों और गतिज के साथ कई पैमाने शामिल हो सकते हैं (उदाहरण के लिए, एबी इनिटियो या शास्त्रीय एमडी से इंटरैक्शन दर का उपयोग करके बीटीई)।

तो, ऊष्मा स्थानांतरण भौतिकी शास्त्रीय और क्वांटम यांत्रिक दृष्टिकोण से चार प्रमुख ऊर्जा वहन और उनकी गतिकी को कवर करती है। यह निम्न-आयामीता और आकार प्रभावों सहित मल्टीस्केल (एबी इनिटियो, एमडी, बीटीई और मैक्रोस्केल) विश्लेषण को सक्षम बनाता है।

फ़ोनोन

फोनन (मात्राबद्ध जाली कंपन तरंग) एक केंद्रीय थर्मल ऊर्जा वाहक है जो गर्मी क्षमता (समझदार गर्मी भंडारण) और संघनित चरण में प्रवाहकीय गर्मी हस्तांतरण में योगदान देता है, और थर्मल ऊर्जा रूपांतरण में बहुत महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है। इसके परिवहन गुणों को फोनन चालकता टेंसर K द्वारा दर्शाया जाता है_p (डब्ल्यू/एम-के, फूरियर कानून क्यू से_k,p = -के_p⋅∇ टी) थोक सामग्री के लिए, और फोनन सीमा प्रतिरोध एआर_p,b[के/(डब्ल्यू/एम²)] ठोस इंटरफेस के लिए, जहां ए इंटरफ़ेस क्षेत्र है। फोनन विशिष्ट ऊष्मा क्षमता c_v,p(J/kg-K) में क्वांटम प्रभाव शामिल है। फोनन से जुड़ी तापीय ऊर्जा रूपांतरण दर इसमें शामिल है ${\dot {s}}_{i{\mbox{-}}j}$. हीट ट्रांसफर भौतिकी वर्णन और भविष्यवाणी करती है, सी_v,p, 'क'_p, आर_p,b(या संचालन जी_p,b) और ${\dot {s}}_{i{\mbox{-}}j}$, परमाणु-स्तर के गुणों पर आधारित।

एक संतुलन क्षमता के लिए ⟨φ⟩_o एन परमाणुओं वाले एक सिस्टम में, कुल क्षमता ⟨φ⟩ संतुलन पर टेलर श्रृंखला विस्तार द्वारा पाई जाती है और इसे दूसरे डेरिवेटिव (हार्मोनिक सन्निकटन) द्वारा अनुमानित किया जा सकता है

$${\begin{aligned}\langle \varphi \rangle &=\langle \varphi \rangle _{\mathrm {o} }+\left.\sum _{i}\sum _{\alpha }{\frac {\partial \langle \varphi \rangle }{\partial d_{i\alpha }}}\right|_{\mathrm {o} }d_{i\alpha }+\left.{\frac {1}{2}}\sum _{i,j}\sum _{\alpha ,\beta }{\frac {\partial ^{2}\langle \varphi \rangle }{\partial d_{i\alpha }\partial d_{j\beta }}}\right|_{\mathrm {o} }d_{i\alpha }d_{j\beta }+\left.{\frac {1}{6}}\sum _{i,j,k}\sum _{\alpha ,\beta ,\gamma }{\frac {\partial ^{3}\langle \varphi \rangle }{\partial d_{i\alpha }\partial d_{j\beta }\partial d_{k\gamma }}}\right|_{\mathrm {o} }d_{i\alpha }d_{j\beta }d_{k\gamma }+\cdots \\&\approx \langle \varphi \rangle _{\mathrm {o} }+{\frac {1}{2}}\sum _{i,j}\sum _{\alpha ,\beta }\Gamma _{\alpha \beta }d_{i\alpha }d_{j\beta },\end{aligned}}$$

जहां घ_i परमाणु i का विस्थापन वेक्टर है, और Γ विभव के दूसरे क्रम के व्युत्पन्न के रूप में स्प्रिंग (या बल) स्थिरांक है। परमाणुओं के विस्थापन के संदर्भ में जाली कंपन के लिए गति का समीकरण ['डी'(जेएल,टी): समय टी पर एल-वें इकाई सेल में जे-वें परमाणु का विस्थापन वेक्टर] है

$$m_{j}{\frac {d^{2}\mathbf {d} (jl,t)}{dt^{2}}}=-\sum _{j'l'}{\boldsymbol {\Gamma }}{\binom {j\ j^{\prime }}{l\ l'}}\cdot \mathbf {d} (j'l',T),$$

जहां m परमाणु द्रव्यमान है और 'Γ' बल स्थिरांक टेंसर है। परमाणु विस्थापन सामान्य मोड का योग है ['s'_α: मोड α, ω का यूनिट वेक्टर_p: तरंग की कोणीय आवृत्ति, और 'κ'_p: तरंग वेक्टर]। इस समतल-तरंग विस्थापन का उपयोग करते हुए, गति का समीकरण आइगेनवैल्यू समीकरण बन जाता है

$$\mathbf {M} \omega _{p}^{2}({\boldsymbol {\kappa }}_{p},\alpha )\mathbf {s} _{\alpha }({\boldsymbol {\kappa }}_{p})=\mathbf {D} ({\boldsymbol {\kappa }}_{p})\mathbf {s} _{\alpha }({\boldsymbol {\kappa }}_{p}),$$

जहां M विकर्ण द्रव्यमान मैट्रिक्स है और D हार्मोनिक डायनेमिक मैट्रिक्स है। इस eigenvalue समीकरण को हल करने से कोणीय आवृत्ति ω के बीच संबंध मिलता है_pऔर तरंग वेक्टर 'κ'_p, और इस संबंध को फ़ोनन फ़ोनन#विक्षेपण संबंध कहा जाता है। इस प्रकार, फोनन फैलाव संबंध मैट्रिक्स एम और डी द्वारा निर्धारित किया जाता है, जो परमाणु संरचना और घटक परमाणुओं के बीच बातचीत की ताकत पर निर्भर करता है (इंटरेक्शन जितना मजबूत होगा और परमाणु जितने हल्के होंगे, फोनन आवृत्ति उतनी ही अधिक होगी और बड़ी होगी) ढलान dω_p/डीएम_p). हार्मोनिक सन्निकटन के साथ फोनन प्रणाली का हैमिल्टनियन है

$$\mathrm {H} _{p}=\sum _{x}{\frac {1}{2m}}\mathbf {p} ^{2}(\mathbf {x} )+{\frac {1}{2}}\sum _{\mathbf {x} ,\mathbf {x} '}\mathbf {d} _{i}(\mathbf {x} )D_{ij}(\mathbf {x} -\mathbf {x} ')\mathbf {d} _{j}(\mathbf {x} '),$$

जहां घ_ijपरमाणुओं i और j, और 'd' के बीच गतिशील मैट्रिक्स तत्व है_i (डी_j) i (j) परमाणु का विस्थापन है, और 'p' संवेग है। इससे और फैलाव संबंध के समाधान से, क्वांटम उपचार के लिए फोनन विनाश ऑपरेटर को परिभाषित किया गया है

$$b_{\kappa ,\alpha }={\frac {1}{N^{1/2}}}\sum _{\kappa _{p},\alpha }e^{-i({\boldsymbol {\kappa }}_{p}\cdot \mathbf {x} )}\mathbf {s} _{\alpha }({\boldsymbol {\kappa }}_{p})\cdot \left[\left({\frac {m\omega _{p,\alpha }}{2\hbar }}\right)^{1/2}\mathbf {d} (\mathbf {x} )+i\left({\frac {1}{2\hbar m\omega _{p,\alpha }}}\right)^{1/2}\mathbf {p} (\mathbf {x} )\right],$$

जहां N, α द्वारा विभाजित सामान्य मोड की संख्या है और ħ कम प्लैंक स्थिरांक है। सृजन संचालिका संहार संचालिका का सहायक है,

$$b_{\kappa ,\alpha }^{\dagger }={\frac {1}{N^{1/2}}}\sum _{\kappa _{p},\alpha }e^{i({\boldsymbol {\kappa }}_{p}\cdot \mathbf {x} )}\mathbf {s} _{\alpha }({\boldsymbol {\kappa }}_{p})\cdot \left[\left({\frac {m\omega _{p,\alpha }}{2\hbar }}\right)^{1/2}\mathbf {d} (\mathbf {x} )-i\left({\frac {1}{2\hbar m\omega _{p,\alpha }}}\right)^{1/2}\mathbf {p} (\mathbf {x} )\right].$$

बी के संदर्भ में हैमिल्टनियन_κ,α^†और बी_κ,αएच है_p= एस_κ,αभाई_p,α[बी_κ,α^†बी_κ,α+ 1/2] और बी_κ,α^†बी_κ,αफोनन नंबर ऑपरेटर है. क्वांटम-हार्मोनिक ऑसिलेटर की ऊर्जा E है_p= एस_κ,α [एफ_p(के,ए) + 1/2]सीओ_p,α('क'_p), और इस प्रकार फोनन ऊर्जा की मात्रा ħω_p.

फ़ोनन फैलाव संबंध ब्रिलोइन जोन (पारस्परिक स्थान में आदिम कोशिका के भीतर का क्षेत्र) और राज्यों डी के फ़ोनन घनत्व के भीतर सभी संभावित फ़ोनन मोड देता है_p(संभावित फोनन मोड की संख्या घनत्व)। फ़ोनन समूह वेग यू_p,gफैलाव वक्र का ढलान है, dω_p/डी'के'_p. चूँकि फोनन एक बोसोन कण है, इसका अधिभोग बोस-आइंस्टीन वितरण {f_p^ओ = [exp(ħω_p/क_Bटी)-1]⁻¹, के_B: बोल्ट्ज़मान स्थिरांक}. राज्यों के फोनन घनत्व और इस अधिभोग वितरण का उपयोग करते हुए, फोनन ऊर्जा ई है_p(टी) = '∫'डी_p(ओह_p)एफ_p(ओह_p,T)ħω_pdω_p, और फोनन घनत्व n है_p(टी) = '∫'डी_p(ओह_p)एफ_p(ओह_p,T)dω_p. फोनन ताप क्षमता सी_v,p(ठोस सी में_v,p= सी_p,p, सी_v,p: स्थिर-आयतन ताप क्षमता, सी_p,p: स्थिर-दबाव ताप क्षमता) डेबी मॉडल (रैखिक फैलाव मॉडल) के लिए फोनन ऊर्जा का तापमान व्युत्पन्न है, है

$$c_{v,p}=\left.{\frac {dE_{p}}{dT}}\right|_{v}={\frac {9k_{\mathrm {B} }}{m}}\left({\frac {T}{T_{D}}}\right)^{3}n\int _{0}^{T_{D}/T}{\frac {x^{4}e^{x}}{\left(e^{x}-1\right)^{2}}}dx\qquad (x={\frac {\hbar \omega }{k_{\mathrm {B} }T}}),$$

जहां टी_D डेबी मॉडल है, एम परमाणु द्रव्यमान है, और एन परमाणु संख्या घनत्व है (क्रिस्टल 3एन के लिए फोनन मोड की संख्या घनत्व)। इससे डेबाई टी3 नियम मिलता है|डेबाई टी³कम तापमान पर नियम और उच्च तापमान पर डुलोंग-पेटिट नियम।

गैसों के गतिज सिद्धांत से, प्रमुख वाहक की तापीय चालकता i (p, e, f और ph) है

$$k_{i}={\frac {1}{3}}n_{i}c_{v,i}u_{i}\lambda _{i},$$

कहां एन_iवाहक घनत्व है और ताप क्षमता प्रति वाहक है, यू_iवाहक गति और λ है_iमाध्य मुक्त पथ है (प्रकीर्णन घटना से पहले वाहक द्वारा तय की गई दूरी)। इस प्रकार, वाहक घनत्व, ताप क्षमता और गति जितनी अधिक होगी और प्रकीर्णन जितना कम होगा, चालकता उतनी ही अधिक होगी। फोनन के लिए λ_pफ़ोनों की अंतःक्रिया (प्रकीर्णन) गतिकी का प्रतिनिधित्व करता है और प्रकीर्णन विश्राम समय से संबंधित है τ_pया दर (= 1/τ_p) λ के माध्यम से_p= यू_pτ_p. फोनन अन्य फोनन के साथ, और इलेक्ट्रॉनों, सीमाओं, अशुद्धियों आदि के साथ बातचीत करते हैं, और λ_pमैथिसेन के नियम के माध्यम से इन अंतःक्रिया तंत्रों को जोड़ता है। कम तापमान पर, सीमाओं द्वारा प्रकीर्णन प्रमुख होता है और तापमान में वृद्धि के साथ अशुद्धियों, इलेक्ट्रॉन और अन्य फ़ोनों के साथ अंतःक्रिया की दर महत्वपूर्ण हो जाती है, और अंत में T > 0.2T के लिए फ़ोनन-फ़ोनन प्रकीर्णन प्रमुख हो जाता है।_D. में इंटरैक्शन दरों की समीक्षा की जाती है और इसमें क्वांटम गड़बड़ी सिद्धांत और एमडी शामिल हैं।

फैलाव और λ के संबंध में अनुमान के साथ कई चालकता मॉडल उपलब्ध हैं_p. एकल-मोड विश्राम समय सन्निकटन (∂f) का उपयोग करना_p^“/∂t|_s = −f_p^“/t_p) और गैस गतिज सिद्धांत, कैलावे फोनन (जाली) चालकता मॉडल के रूप में

$$k_{p,\mathbf {s} }={\frac {1}{8\pi ^{3}}}\sum _{\alpha }\int c_{v,p}\tau _{p}(\mathbf {u} _{p,g}\cdot \mathbf {s} )^{2}d\kappa \ \ \ \ \ {\text{ for component along }}\mathbf {s} ,$$

$$k_{p}={\frac {1}{6\pi ^{3}}}\sum _{\alpha }\int c_{v,p}\tau _{p}{u}_{p,g}^{2}\kappa ^{2}d\kappa \ \ \ \ \ \ \ \ {\text{for isotropic conductivity}}.$$

डेबी मॉडल के साथ (एकल समूह वेग यू_p,g, और ऊपर गणना की गई एक विशिष्ट ताप क्षमता), यह बन जाती है

$$k_{p}=\left(48\pi ^{2}\right)^{1/3}{\frac {k_{\mathrm {B} }^{3}T^{3}}{ah_{\mathrm {P} }^{2}T_{\mathrm {D} }}}\int _{0}^{T/T_{\mathrm {D} }}\tau _{p}{\frac {x^{4}e^{x}}{\left(e^{x}-1\right)^{2}}}dx,$$

जहाँ a जालक स्थिरांक a = n है^−1/3घन जाली के लिए, और n परमाणु क्रमांक घनत्व है। सुस्त फोनन चालकता मॉडल मुख्य रूप से ध्वनिक फोनन बिखरने (तीन-फोनन इंटरैक्शन) पर विचार करते हुए दिया गया है

$$k_{p}=k_{p,S}={\frac {3.1\times 10^{12}\langle M\rangle V_{a}^{1/3}T_{D,\infty }^{3}}{T\langle \gamma _{G}^{2}\rangle N_{o}^{2/3}}}\qquad {\text{ high temperatures }}(T>0.2T_{D},{\text{ phonon-phonon scattering only)}},$$

कहाँ ⟨M⟩ आदिम कोशिका में परमाणुओं का औसत परमाणु भार है, V_a=1/एन प्रति परमाणु औसत आयतन है, टी_D,∞उच्च तापमान डिबाई तापमान है, टी तापमान है, एन_o आदिम कोशिका में परमाणुओं की संख्या है, और ⟨γ²_G⟩ उच्च तापमान पर ग्रुनेसेन स्थिरांक या पैरामीटर का मोड-औसत वर्ग है। इस मॉडल का शुद्ध गैर-धातु क्रिस्टल के साथ व्यापक रूप से परीक्षण किया गया है, और समग्र समझौता अच्छा है, यहां तक ​​कि जटिल क्रिस्टल के लिए भी।

कैनेटीक्स और परमाणु संरचना विचार के आधार पर, उच्च क्रिस्टलीय और मजबूत इंटरैक्शन वाली सामग्री, जो हल्के परमाणुओं (जैसे हीरे और ग्राफीन) से बनी होती है, में बड़ी फोनन चालकता होने की उम्मीद है। जाली का प्रतिनिधित्व करने वाली सबसे छोटी इकाई कोशिका में एक से अधिक परमाणु वाले ठोस में दो प्रकार के फोनन होते हैं, यानी ध्वनिक और ऑप्टिकल। (ध्वनिक फोनन अपने संतुलन की स्थिति के बारे में परमाणुओं के चरण-चरण आंदोलन हैं, जबकि ऑप्टिकल फोनन जाली में आसन्न परमाणुओं के चरण-बाहर आंदोलन हैं।) ऑप्टिकल फोनन में उच्च ऊर्जा (आवृत्ति) होती है, लेकिन चालन गर्मी हस्तांतरण में छोटा योगदान होता है , उनके छोटे समूह वेग और अधिभोग के कारण।

हेटरो-संरचना सीमाओं के पार फोनन परिवहन (आर के साथ दर्शाया गया है)।_p,b, इंटरफेशियल थर्मल प्रतिरोध) सीमा बिखरने के अनुमान के अनुसार ध्वनिक और फैलाना बेमेल मॉडल के रूप में तैयार किया गया है। बड़ा फोनन ट्रांसमिशन (छोटा आर_p,b) उन सीमाओं पर होता है जहां सामग्री जोड़े में समान फ़ोनन गुण होते हैं (यू_p, डी_p, आदि), और अनुबंध में बड़े आर_p,bतब होता है जब कुछ सामग्री दूसरे की तुलना में नरम (कम कट-ऑफ फोनन आवृत्ति) होती है।

इलेक्ट्रॉन

See also: Thermoelectric effect

इलेक्ट्रॉन के लिए क्वांटम इलेक्ट्रॉन ऊर्जा अवस्थाएं इलेक्ट्रॉन क्वांटम हैमिल्टनियन का उपयोग करके पाई जाती हैं, जो आम तौर पर गतिज (-ħ) से बना होता है²∇²/2m_e) और संभावित ऊर्जा शब्द (φ)।_e). परमाणु कक्षक, एक फ़ंक्शन (गणित) जो एक परमाणु में एक इलेक्ट्रॉन या इलेक्ट्रॉनों की एक जोड़ी के तरंग-जैसे व्यवहार का वर्णन करता है, इस इलेक्ट्रॉन हैमिल्टनियन के साथ श्रोडिंगर समीकरण से पाया जा सकता है। हाइड्रोजन जैसे परमाणु (एक नाभिक और एक इलेक्ट्रॉन) इलेक्ट्रोस्टैटिक क्षमता (कूलम्ब कानून) के साथ श्रोडिंगर समीकरण के बंद-रूप समाधान की अनुमति देते हैं। एक से अधिक इलेक्ट्रॉन वाले परमाणुओं या परमाणु आयनों के श्रोडिंगर समीकरण को इलेक्ट्रॉनों के बीच कूलम्ब इंटरैक्शन के कारण विश्लेषणात्मक रूप से हल नहीं किया गया है। इस प्रकार, संख्यात्मक तकनीकों का उपयोग किया जाता है, और एक इलेक्ट्रॉन विन्यास को सरल हाइड्रोजन-जैसे परमाणु ऑर्बिटल्स (पृथक इलेक्ट्रॉन ऑर्बिटल्स) के उत्पाद के रूप में अनुमानित किया जाता है। एकाधिक परमाणुओं (नाभिक और उनके इलेक्ट्रॉन) वाले अणुओं में आणविक कक्षीय (एमओ, एक अणु में एक ऋणावेशित सूक्ष्म अणु का विन्यास तरंग-जैसे व्यवहार के लिए एक गणितीय कार्य) होता है, और परमाणु कक्षाओं के रैखिक संयोजन (एलसीएओ) जैसी सरलीकृत समाधान तकनीकों से प्राप्त होते हैं। . आणविक कक्षक का उपयोग रासायनिक और भौतिक गुणों की भविष्यवाणी करने के लिए किया जाता है, और उच्चतम व्याप्त आणविक कक्षक (HOMO/LUMO) और सबसे कम रिक्त आणविक कक्षक (HOMO/LUMO) के बीच का अंतर अणुओं की उत्तेजित अवस्था का एक माप है।

धात्विक ठोसों की क्रिस्टल संरचना में, मुक्त इलेक्ट्रॉन मॉडल (शून्य क्षमता, φ_e= 0) संयोजकता इलेक्ट्रॉनों के व्यवहार के लिए प्रयोग किया जाता है। हालाँकि, एक क्रिस्टल संरचना | आवधिक जाली (क्रिस्टल) में, आवधिक क्रिस्टल क्षमता होती है, इसलिए इलेक्ट्रॉन हैमिल्टनियन बन जाता है

$$\mathrm {H} _{e}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m_{e}}}\nabla ^{2}+\varphi _{c}(\mathbf {x} ),$$

कहां एम_eइलेक्ट्रॉन द्रव्यमान है, और आवधिक क्षमता φ के रूप में व्यक्त की जाती है_c(एक्स) = एस_g φ_gexp[i('g'∙'x')] ('g': व्युत्क्रम जाली वेक्टर)। इस हैमिल्टनियन के साथ समय-स्वतंत्र श्रोडिंगर समीकरण (आइजेनवैल्यू समीकरण) के रूप में दिया गया है

$$\mathrm {H} _{e}\psi _{e,\mathbf {x} }(\mathbf {x} )=E_{e}({\boldsymbol {\kappa }}_{e})\psi _{e,\mathbf {x} }(\mathbf {x} ),$$

जहां eigenfunction ψ_e,κइलेक्ट्रॉन तरंग फ़ंक्शन है, और eigenvalue E_e('क'_e), इलेक्ट्रॉन ऊर्जा है (κ_e: इलेक्ट्रॉन वेववेक्टर)। वेववेक्टर, κ के बीच संबंध_e और ऊर्जा ई_eइलेक्ट्रॉनिक बैंड संरचना प्रदान करता है। व्यवहार में, अनेक-निकाय समस्या के रूप में एक जाली | अनेक-निकाय प्रणालियों में क्षमता में इलेक्ट्रॉनों और नाभिक के बीच परस्पर क्रिया शामिल होती है, लेकिन यह गणना बहुत जटिल हो सकती है। इस प्रकार, कई अनुमानित तकनीकों का सुझाव दिया गया है और उनमें से एक है घनत्व कार्यात्मक सिद्धांत (डीएफटी), पूर्ण इंटरैक्शन के बजाय स्थानिक रूप से निर्भर इलेक्ट्रॉनिक घनत्व के कार्यात्मक का उपयोग करता है। डीएफटी का व्यापक रूप से एबी इनिटियो सॉफ्टवेयर (ABINIT, CASTEP, क्वांटम एस्प्रेसो, SIESTA (कंप्यूटर प्रोग्राम), VASP, WIEN2k, आदि) में उपयोग किया जाता है। इलेक्ट्रॉन विशिष्ट ऊष्मा ऊर्जा अवस्थाओं और अधिभोग वितरण (फ़र्मी-डिराक आँकड़े) पर आधारित है। सामान्य तौर पर, इलेक्ट्रॉन की ताप क्षमता बहुत उच्च तापमान को छोड़कर छोटी होती है जब वे फोनन (जाली) के साथ थर्मल संतुलन में होते हैं। इलेक्ट्रॉन ठोस में, विशेष रूप से धातुओं में, ताप संचालन (आवेश वहन के अलावा) में योगदान करते हैं। ठोस में तापीय चालकता टेंसर विद्युत और फोनन तापीय चालकता टेंसरों का योग है 'K' = 'K'_e + के_p.

इलेक्ट्रॉन दो थर्मोडायनामिक बलों से प्रभावित होते हैं [आवेश से, ∇(E_F/यह है_c) जहां ई_F फर्मी स्तर और ई है_cप्राथमिक आवेश और तापमान प्रवणता है, ∇(1/T)] क्योंकि उनमें आवेश और तापीय ऊर्जा दोनों होती है, और इस प्रकार विद्युत धारा 'जे' होती है।_e और ताप प्रवाह q को थर्मोइलेक्ट्रिक टेंसर (ए) के साथ वर्णित किया गया है_ee, ए_et, ए_te, और ए_tt) ऑनसागर पारस्परिक संबंधों से जैसा

$$\mathbf {j} _{e}=\mathbf {A} _{ee}\cdot \nabla {\frac {E_{\mathrm {F} }}{e_{c}}}+\mathbf {A} _{et}\cdot \nabla {\frac {1}{T}},\ \ {\text{and}}$$

$$\mathbf {q} =\mathbf {A} _{te}\cdot \nabla {\frac {E_{\mathrm {F} }}{e_{c}}}+\mathbf {A} _{tt}\cdot \nabla {\frac {1}{T}}.$$

इन समीकरणों को j में परिवर्तित करना_e विद्युत क्षेत्र के संदर्भ में समीकरण ई_e और ∇T और 'q' समीकरण 'j' के साथ_e और ∇T, (आइसोट्रोपिक परिवहन के लिए अदिश गुणांक का उपयोग करते हुए, α_ee, ए_et, ए_te, और α_ttके बजाय एक'_ee, ए_et, ए_te, और ए_tt)

$$\mathbf {j} _{e}=\alpha _{ee}\mathbf {e} _{e}-{\frac {\alpha _{et}}{T^{2}}}\nabla T\qquad (\mathbf {e} _{e}=\alpha _{ee}^{-1}\mathbf {j} _{e}+{\frac {\alpha _{ee}^{-1}\alpha _{et}}{T^{2}}}\nabla T),$$

$$\mathbf {q} =\alpha _{te}\alpha _{ee}^{-1}\mathbf {j} _{e}-{\frac {\alpha _{tt}-\alpha _{te}\alpha _{ee}^{-1}\alpha _{et}}{T^{2}}}\nabla T.$$

विद्युत चालकता/प्रतिरोधकता σ_e(ओह⁻¹m⁻¹)/ पी_e (Ω-m), विद्युत तापीय चालकता k_e(डब्ल्यू/एम-के) और सीबेक/पेल्टियर गुणांक α_S (वी/के)/ए_P (वी) को इस प्रकार परिभाषित किया गया है,

$$\sigma _{e}={\frac {1}{\rho _{e}}}=\alpha _{ee},\ \ k_{e}={\frac {\alpha _{tt}-\alpha _{te}\alpha _{ee}^{-1}\alpha _{et}}{T^{2}}},\mathrm {and} \ \alpha _{\mathrm {S} }={\frac {\alpha _{et}\alpha _{ee}^{-1}}{T^{2}}}\ \ (\alpha _{\mathrm {S} }=\alpha _{\mathrm {P} }T).$$

विभिन्न वाहक (इलेक्ट्रॉन, मैग्नन, फोनन और पोलरॉन) और उनकी परस्पर क्रियाएं सीबेक गुणांक को काफी हद तक प्रभावित करती हैं। सीबेक गुणांक को दो योगदानों, α के साथ विघटित किया जा सकता है_S = ए_S,pres + ए_S,trans, कहां α_S,pres वाहक-प्रेरित एन्ट्रापी परिवर्तन में योगदान का योग है, अर्थात, α_S,pres = ए_S,mix + ए_S,spin + ए_S,vib (ए_S,mix: मिश्रण की एन्ट्रॉपी, α_S,spin: स्पिन एन्ट्रापी, और α_S,vib: कंपन एन्ट्रापी)। अन्य योगदान α_S,trans किसी वाहक को हिलाने में हस्तांतरित शुद्ध ऊर्जा को qT (q: वाहक आवेश) से विभाजित किया जाता है। सीबेक गुणांक में इलेक्ट्रॉन का योगदान अधिकतर α में होता है_S,pres. α_S,mix आमतौर पर हल्के डोप किए गए अर्धचालकों में प्रमुख होता है। किसी प्रणाली में एक इलेक्ट्रॉन जोड़ने पर मिश्रण की एन्ट्रापी में परिवर्तन तथाकथित हेइक्स सूत्र है

$$\alpha _{\mathrm {S,mix} }={\frac {1}{q}}{\frac {\partial S_{\mathrm {mix} }}{\partial N}}={\frac {k_{\mathrm {B} }}{q}}\ln \left({\frac {1-f_{e}^{\mathrm {o} }}{f_{e}^{\mathrm {o} }}}\right),$$

जहाँ एफ_e^ओ = एन/एन_aसाइटों (वाहक एकाग्रता) के लिए इलेक्ट्रॉनों का अनुपात है। रासायनिक क्षमता (μ) का उपयोग करते हुए, तापीय ऊर्जा (k_Bटी) और फर्मी फ़ंक्शन, उपरोक्त समीकरण को वैकल्पिक रूप, α में व्यक्त किया जा सकता है_S,mix = (के_B/क्यू)[(ई_e- μ)/(k_Bटी)]। सीबेक प्रभाव को स्पिन तक विस्तारित करते हुए, एक लौहचुंबकीय मिश्र धातु एक अच्छा उदाहरण हो सकता है। सीबेक गुणांक में योगदान, जो सिस्टम की स्पिन एन्ट्रापी को बदलने वाले इलेक्ट्रॉनों की उपस्थिति के परिणामस्वरूप होता है, α द्वारा दिया जाता है_S,spin = एस_spin/क्यू = (के_B/q)ln[(2s + 1)/(2s₀ +1)], जहां एस₀ और एस क्रमशः वाहक की अनुपस्थिति और उपस्थिति में चुंबकीय स्थल के शुद्ध स्पिन हैं। इलेक्ट्रॉनों के साथ कई कंपन प्रभाव भी सीबेक गुणांक में योगदान करते हैं। कंपन आवृत्तियों का नरम होना कंपन एन्ट्रापी में परिवर्तन उत्पन्न करता है, इसका एक उदाहरण है। कंपन एन्ट्रापी मुक्त ऊर्जा का नकारात्मक व्युत्पन्न है, अर्थात,

$$S_{\mathrm {vib} }=-{\frac {\partial F_{\mathrm {mix} }}{\partial T}}=3Nk_{\mathrm {B} }T\int _{0}^{\omega }\left\{{\frac {\hbar \omega }{2k_{\mathrm {B} }T}}\coth \left({\frac {\hbar \omega }{2k_{\mathrm {B} }T}}\right)-\ln \left[2\sinh \left({\frac {\hbar \omega }{2k_{\mathrm {B} }T}}\right)\right]\right\}D_{p}(\omega )d\omega ,$$

जहां घ_p(ω) संरचना के लिए फ़ोनन घनत्व की स्थिति है। उच्च तापमान सीमा और अतिशयोक्तिपूर्ण कार्यों की श्रृंखला विस्तार के लिए, उपरोक्त को α के रूप में सरल बनाया गया है_S,vib = (ΔS_vib/क्यू) = (के_B/क्यू)एस_i(-देखना_i/ओ_i).

उपरोक्त ऑनसेगर फॉर्मूलेशन में प्राप्त सीबेक गुणांक मिश्रण घटक α है_S,mix, जो अधिकांश अर्धचालकों पर हावी है। हाई-बैंड गैप सामग्री जैसे बी में कंपन घटक₁₃C₂ बहुत महत्वपूर्ण है.
सूक्ष्म परिवहन को ध्यान में रखते हुए (परिवहन किसी संतुलन का परिणाम नहीं है),

$$\mathbf {j} _{e}=-{\frac {e_{c}}{\hbar ^{3}}}\sum _{p}\mathbf {u} _{e}f_{e}^{\prime }=-{\frac {e_{c}}{\hbar ^{3}k_{\mathrm {B} }T}}\sum _{p}\mathbf {u} _{e}\tau _{e}\left(-{\frac {\partial f_{e}^{\mathrm {o} }}{\partial E_{e}}}\right)(\mathbf {u} _{e}\cdot \mathbf {F} _{te}),$$

$$\mathbf {q} ={\frac {1}{\hbar ^{3}}}\sum _{p}(E_{e}-E_{\mathrm {F} })\mathbf {u} _{e}f_{e}^{\prime }={\frac {1}{\hbar ^{3}k_{\mathrm {B} }T}}\sum _{p}\mathbf {u} _{e}\tau _{e}\left(-{\frac {\partial f_{e}^{\mathrm {o} }}{\partial E_{e}}}\right)(E_{e}-E_{\mathrm {F} })(\mathbf {u} _{e}\cdot \mathbf {F} _{te}),$$

जहां तुम_e इलेक्ट्रॉन वेग वेक्टर है, एफ_e(एफ_e^o) इलेक्ट्रॉन नोक्विलिब्रियम (संतुलन) वितरण है, τ_eइलेक्ट्रॉन प्रकीर्णन समय है, ई_eइलेक्ट्रॉन ऊर्जा है, और 'एफ'_te ∇(E) से विद्युत और तापीय बल है_F/यह है_c) और ∇(1/T). जे के लिए थर्मोइलेक्ट्रिक गुणांक को सूक्ष्म परिवहन समीकरणों से संबंधित करना_eऔर क्यू, थर्मल, इलेक्ट्रिक और थर्मोइलेक्ट्रिक गुणों की गणना की जाती है। इस प्रकार, के_eविद्युत चालकता σe और तापमान T के साथ बढ़ती है, जैसा कि विडेमैन-फ्रांज कानून प्रस्तुत करता है [k_e/(पी_eT_e) = (1/3)(πk_B/यह है_c)²= 2.44×10⁻⁸ W-Ω/K²]. इलेक्ट्रॉन परिवहन (σ के रूप में दर्शाया गया है_e) वाहक घनत्व n का एक फलन है_e,cऔर इलेक्ट्रॉन गतिशीलता μ_e(पी_e= और_cn_e,cμ_e). एम_eइलेक्ट्रॉन प्रकीर्णन दर द्वारा निर्धारित होता है ${\dot {\gamma }}_{e}$ (या विश्राम का समय, $\tau _{e}=1/{\dot {\gamma }}_{e}$) अन्य इलेक्ट्रॉनों, फोनन, अशुद्धियों और सीमाओं के साथ बातचीत सहित विभिन्न इंटरैक्शन तंत्रों में।

इलेक्ट्रॉन अन्य प्रमुख ऊर्जा वाहकों के साथ परस्पर क्रिया करते हैं। विद्युत क्षेत्र द्वारा त्वरित किए गए इलेक्ट्रॉनों को फोनन (अर्धचालकों में, ज्यादातर ऑप्टिकल फोनन) में ऊर्जा रूपांतरण के माध्यम से आराम दिया जाता है, जिसे जूल तापन कहा जाता है। पेल्टियर कूलिंग और थर्मोइलेक्ट्रिक जनरेटर जैसे थर्मोइलेक्ट्रिक्स में विद्युत क्षमता और फोनन ऊर्जा के बीच ऊर्जा रूपांतरण पर विचार किया जाता है। इसके अलावा, Optoelectronics अनुप्रयोगों (यानी प्रकाश उत्सर्जक डायोड, सौर फोटोवोल्टिक सेल, आदि) में फोटॉन के साथ बातचीत का अध्ययन केंद्रीय है। एब इनिटियो दृष्टिकोण के साथ फर्मी गोल्डन नियम (परटर्बेशन सिद्धांत से) का उपयोग करके इंटरेक्शन दर या ऊर्जा रूपांतरण दर का मूल्यांकन किया जा सकता है।

द्रव कण

द्रव कण किसी भी रासायनिक बंधन को तोड़े बिना द्रव चरण (गैस, तरल या प्लाज्मा) में सबसे छोटी इकाई (परमाणु या अणु) है। द्रव कण की ऊर्जा को संभावित, इलेक्ट्रॉनिक, ट्रांसलेशनल, कंपनात्मक और घूर्णी ऊर्जा में विभाजित किया गया है। द्रव कण में ऊष्मा (थर्मल) ऊर्जा का भंडारण तापमान पर निर्भर कण गति (अनुवादात्मक, कंपनात्मक और घूर्णी ऊर्जा) के माध्यम से होता है। इलेक्ट्रॉनिक ऊर्जा को केवल तभी शामिल किया जाता है जब तापमान तरल कणों को आयनित करने या अलग करने या अन्य इलेक्ट्रॉनिक संक्रमणों को शामिल करने के लिए पर्याप्त उच्च हो। द्रव कणों की ये क्वांटम ऊर्जा अवस्थाएँ उनके संबंधित क्वांटम हैमिल्टनियन का उपयोग करके पाई जाती हैं। ये हैं एच_f,t = −(एच²/2m)∇², एच_f,v= −(एच²/2m)∇² + Γx²/2 और एच_f,r = −(एच²/2I_f)∇²ट्रांसलेशनल, वाइब्रेशनल और रोटेशनल मोड के लिए। (Γ: हुक का नियम, I_f: अणु के लिए जड़ता का क्षण)। हैमिल्टनियन से, परिमाणित द्रव कण ऊर्जा अवस्था ई_fऔर विभाजन फलन (सांख्यिकीय यांत्रिकी) Z_f[मैक्सवेल-बोल्ट्ज़मैन आँकड़ों के साथ|मैक्सवेल-बोल्ट्ज़मैन (एमबी) अधिभोग वितरण] के रूप में पाए जाते हैं

• अनुवादात्मक
  $$E_{f,t,n}={\frac {\pi ^{2}\hbar ^{2}}{2m}}\left({\frac {n_{x}^{2}}{L^{2}}}+{\frac {n_{y}^{2}}{L^{2}}}+{\frac {n_{z}^{2}}{L^{2}}}\right)\ \ \ {\text{and}}\ \ \ Z_{f,t}\sum _{i=0}^{\infty }g_{f,t,i}\exp \left(-{\frac {E_{f,t,i}}{k_{\mathrm {B} }T}}\right)=V\left({\frac {mk_{\mathrm {B} }T}{2\pi \hbar ^{2}}}\right)^{3/2},$$
• कंपनात्मक
  $$E_{f,v,l}=\hbar \omega _{f,v}\left(1+{\frac {1}{2}}\right)\ \ {\text{and}}\ \ Z_{f,v}\sum _{j=0}^{\infty }\exp \left[-\left(l+{\frac {1}{2}}\right){\frac {\hbar \omega _{f,v}}{k_{\mathrm {B} }T}}\right]={\frac {\exp(-T_{f,v}/2T)}{1-\exp(-T_{f,v}/T)}},$$
• घूर्णी
  $$E_{f,r,j}={\frac {\hbar ^{2}}{2I_{f}}}\ \ {\text{and}}\ \ Z_{f,r}\sum _{j=0}^{\infty }(2j+1)\exp \left[-{\frac {-\hbar ^{2}j(j+1)}{2I_{f}k_{\mathrm {B} }T}}\right]\approx {\frac {T}{T_{f,r}}}\left(1+{\frac {T_{f,r}}{3T}}+{\frac {T_{f,r}^{2}}{15T^{2}}}+\cdots \right),$$
• कुल
  $$E_{f}=\sum _{i}E_{f,i}=E_{f,t}+E_{f,v}+E_{f,r}+\dots \ \ {\text{and}}\ \ Z_{f}=\prod _{i}Z_{f,i}=Z_{f,t}Z_{f,v}Z_{f,r}\dots .$$

यहाँ, जी_fअध:पतन है, n, l, और j संक्रमणकालीन, कंपनात्मक और घूर्णी क्वांटम संख्याएँ हैं, T_f,vकंपन के लिए विशिष्ट तापमान है (= ħω_f,v/क_B, : कंपन आवृत्ति), और टी_f,rघूर्णी तापमान है [= ħ²/(2आई_fk_B)]. औसत विशिष्ट आंतरिक ऊर्जा Z के माध्यम से विभाजन फ़ंक्शन से संबंधित है_f, $e_{f}=(k_{\mathrm {B} }T^{2}/m)(\partial \mathrm {ln} Z_{f}/\partial T)|_{N,V}.$ ऊर्जा अवस्थाओं और विभाजन फ़ंक्शन के साथ, द्रव कण विशिष्ट ताप क्षमता c_v,fविभिन्न गतिज ऊर्जाओं के योगदान का योग है (गैर-आदर्श गैस के लिए संभावित ऊर्जा भी जोड़ी जाती है)। क्योंकि अणुओं में स्वतंत्रता की कुल डिग्री परमाणु विन्यास द्वारा निर्धारित होती है, c_v,fकॉन्फ़िगरेशन के आधार पर अलग-अलग सूत्र हैं,

• मोनोआटोमिक आदर्श गैस
  $$c_{v,f}=\left.{\frac {\partial e_{f}}{\partial T}}\right|_{V}={\frac {3R_{g}}{2M}},$$
• द्विपरमाणुक आदर्श गैस
  $$c_{v,f}={\frac {R_{g}}{M}}\left\{{\frac {3}{2}}+\left({\frac {T_{f,v}}{T}}\right)^{2}{\frac {\exp(T_{f,v,i}/T)}{[\exp(T_{f,v,i}/T)-1]^{2}}}+1+{\frac {2}{15}}\left({\frac {T_{f,v}}{T}}\right)^{2}\right\},$$
• अरैखिक, बहुपरमाणुक आदर्श गैस
  $$c_{v,f}={\frac {R_{g}}{M}}\left\{3+\sum _{j=1}^{3N_{o}-6}\left({\frac {T_{f,v}}{T}}\right)^{2}{\frac {\exp(T_{f,v,i}/T)}{[\exp(T_{f,v,i}/T)-1]^{2}}}\right\}.$$

जहां आर_gगैस स्थिरांक है (= N_Ak_B, एन_A: एवोगैड्रो स्थिरांक) और एम आणविक द्रव्यमान (किलो/किलोमीटर) है। (बहुपरमाणुक आदर्श गैस के लिए, एन_o एक अणु में परमाणुओं की संख्या है।) गैस में, स्थिर दबाव विशिष्ट ताप क्षमता सी_p,fइसका मान बड़ा है और अंतर तापमान T, वॉल्यूमेट्रिक थर्मल विस्तार गुणांक β और इज़ोटेर्मल संपीड़ितता κ [c पर निर्भर करता है।_p,f- सी_v,f= टीβ²/(आर_fके), आर_f: द्रव घनत्व]। सघन तरल पदार्थों के लिए कणों के बीच परस्पर क्रिया (वैन डेर वाल्स इंटरेक्शन) को शामिल किया जाना चाहिए, और सी_v,fऔर सी_p,fतदनुसार परिवर्तन होगा. कणों की शुद्ध गति (गुरुत्वाकर्षण या बाहरी दबाव के तहत) संवहन ऊष्मा प्रवाह 'q' को जन्म देती है_u = पी_fc_p,fमें_fटी. चालन ताप प्रवाह 'क्यू'_kआदर्श गैस के लिए गैस गतिज सिद्धांत या बोल्ट्ज़मैन परिवहन समीकरणों से प्राप्त किया जाता है, और तापीय चालकता होती है

$$k_{f}={\tfrac {1}{3}}n_{f}c_{p,f}\langle u_{f}^{2}\rangle \tau _{f{\mbox{-}}f},$$

जहां तुम_f²⟩^1/2आरएमएस (मूल माध्य वर्ग) थर्मल वेग (3k) है_Bएमबी वितरण फ़ंक्शन से टी/एम, एम: परमाणु द्रव्यमान) और τ_f-fविश्राम का समय है (या अंतर्टकराव समय अवधि) [(2^1/2π डी²n_f⟨में_f⟩)⁻¹गैस गतिज सिद्धांत से, ⟨u_f⟩: औसत तापीय गति (8k_Bटी/πm)^1/2, d: द्रव कण (परमाणु या अणु) का टकराव व्यास, n_f: द्रव संख्या घनत्व]।

क_fआणविक गतिशीलता (एमडी) का उपयोग करके भी गणना की जाती है, जो न्यूटन के गति (शास्त्रीय) और बल क्षेत्र (रसायन विज्ञान) (एबी इनिटियो या अनुभवजन्य गुणों से) के नियमों के साथ द्रव कणों की गति (भौतिकी) का अनुकरण करता है। के की गणना के लिए_f, ग्रीन-क्यूबो संबंधों के साथ संतुलन एमडी, जो समय सहसंबंध कार्यों (उतार-चढ़ाव पर विचार करते हुए) के अभिन्न अंग के संदर्भ में परिवहन गुणांक व्यक्त करते हैं, या कोई भी संतुलन एमडी (सिम्युलेटेड सिस्टम में गर्मी प्रवाह या तापमान अंतर निर्धारित करना) आमतौर पर नियोजित नहीं होते हैं।

द्रव कण अन्य प्रमुख कणों के साथ परस्पर क्रिया कर सकते हैं। कंपन या घूर्णी मोड, जिनमें अपेक्षाकृत उच्च ऊर्जा होती है, फोटॉन के साथ बातचीत के माध्यम से उत्तेजित या क्षय होते हैं। गैस लेजर द्रव कणों और फोटॉन के बीच इंटरेक्शन कैनेटीक्स को नियोजित करते हैं, और सीओ में लेजर कूलिंग पर भी विचार किया गया है₂ गैस लेजर. इसके अलावा, तरल पदार्थ के कण ठोस सतहों (फिसिसोरेशन और केमिसोरेशन) पर सोख सकते हैं, और सोखने वाले (द्रव कण) में कुंठित कंपन मोड ई बनाकर क्षय हो जाते हैं⁻-ज⁺जोड़े या फ़ोनन। इन अंतःक्रिया दरों की गणना द्रव कण और फर्मी गोल्डन नियम पर एब इनिटियो गणना के माध्यम से भी की जाती है।

फोटॉन

विशिष्ट गैस, तरल और ठोस चरणों के लिए वर्णक्रमीय फोटॉन अवशोषण गुणांक। ठोस चरण के लिए, बहुलक, ऑक्साइड, अर्धचालक और धातुओं के उदाहरण दिए गए हैं।

फोटॉन विद्युतचुंबकीय विकिरण का क्वांटा है|विद्युतचुंबकीय (ईएम) विकिरण और थर्मल विकिरण के लिए ऊर्जा वाहक है। ईएम तरंग शास्त्रीय मैक्सवेल के समीकरणों द्वारा नियंत्रित होती है, और विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र की मात्रा का उपयोग ब्लैक-बॉडी विकिरण (विशेष रूप से पराबैंगनी आपदा को समझाने के लिए) जैसी घटनाओं के लिए किया जाता है। कोणीय आवृत्ति ω की क्वांटा ईएम तरंग (फोटॉन) ऊर्जा_phई है_ph = hω_ph, और बोस-आइंस्टीन वितरण फ़ंक्शन (एफ) का अनुसरण करता है_ph). परिमाणित विकिरण क्षेत्र (द्वितीय परिमाणीकरण) के लिए फोटॉन हैमिल्टनियन है

$$\mathrm {H} _{ph}={\frac {1}{2}}\int \left(\varepsilon _{\mathrm {o} }\mathbf {e} _{e}^{2}+\mu _{\mathrm {o} }^{-1}\mathbf {b} _{e}^{2}\right)dV=\sum _{\alpha }\hbar \omega _{ph,\alpha }\left(c_{\alpha }^{\dagger }c_{\alpha }+{\frac {1}{2}}\right),$$

कहां ई_e और बी_e ईएम विकिरण के विद्युत और चुंबकीय क्षेत्र हैं, ε_o और μ_o मुक्त-स्थान पारगम्यता और पारगम्यता हैं, वी इंटरैक्शन वॉल्यूम है, ω_ph,αα मोड और c के लिए फोटॉन कोणीय आवृत्ति है_α^†और सी_αफोटॉन निर्माण और विनाश संचालक हैं। वेक्टर क्षमता 'ए'_e ईएम क्षेत्रों की (उदा_e = −∂a_e/∂t और 'बी'_e = ∇×a_e) है

$$\mathbf {a} _{e}(\mathbf {x} ,t)=\sum _{\alpha }\left({\frac {\hbar }{2\varepsilon _{\mathrm {o} }\omega _{ph,\alpha }V}}\right)^{1/2}\mathbf {s} _{ph,\alpha }\left(c_{\alpha }e^{i{\boldsymbol {\kappa }}_{\alpha }\cdot \mathbf {x} }+c_{\alpha }^{\dagger }e^{-i{\boldsymbol {\kappa }}_{\alpha }\cdot \mathbf {x} }\right),$$

कहाँ एस_ph,α इकाई ध्रुवीकरण वेक्टर है, κ_α तरंग सदिश है.

विभिन्न प्रकार के फोटॉन उत्सर्जन के बीच ब्लैकबॉडी विकिरण इंटरफोटॉन इंटरैक्शन के बिना थर्मल ऊर्जा वितरण के साथ फोटॉन गैस मॉडल को नियोजित करता है। रैखिक फैलाव संबंध (यानी, फैलाव रहित) से, चरण और समूह गति बराबर हैं (यू)।_ph= डी ω_ph/dk = ω_ph/के, यू_ph: फोटॉन गति) और डिबाई (फैलाव रहित फोटॉन के लिए प्रयुक्त) राज्यों का घनत्व डी है_ph,b,ωdω = ω_ph²dω_ph/पी²u_ph³. डी के साथ_ph,b,ωऔर संतुलन वितरण एफ_ph, फोटॉन ऊर्जा वर्णक्रमीय वितरण डी.आई_b,ωया डी.आई_b,λ(एल_ph: तरंग दैर्ध्य) और कुल उत्सर्जक शक्ति ई_bके रूप में व्युत्पन्न हैं

$$dI_{b,\omega }={\frac {D_{ph,b,\omega }f_{ph}u_{ph}d\omega _{ph}}{4\pi }}={\frac {\hbar \omega _{ph}^{3}}{4\pi ^{3}u_{ph}^{2}}}{\frac {1}{e^{\hbar \omega _{ph}/k_{\mathrm {B} }T}-1}}d\omega _{ph}\ {\text{or}}\ dI_{b,\lambda }={\frac {4\pi \hbar u_{ph}^{2}d\lambda _{ph}}{\lambda _{ph}^{5}(e^{2\pi \hbar u_{ph}/\lambda _{ph}k_{\mathrm {B} }T}-1)}}$$

(प्लैंक का नियम),

$$E_{b}=\int _{0}^{\infty }dE_{b,\lambda }=\sigma _{\mathrm {SB} }T^{4}\ {\text{, where}}\ \sigma _{\mathrm {SB} }={\frac {\pi ^{2}k_{\mathrm {B} }^{4}}{60\hbar ^{3}u_{ph}^{2}}}$$

(स्टीफ़न-बोल्ट्ज़मैन कानून)।

ब्लैकबॉडी विकिरण की तुलना में, लेजर उत्सर्जन में उच्च दिशात्मकता (छोटा ठोस कोण ΔΩ) और वर्णक्रमीय शुद्धता (संकीर्ण बैंड Δω) होती है। इलेक्ट्रॉनिक ऊर्जा अवस्थाओं के बीच गुंजयमान संक्रमण (उत्तेजित उत्सर्जन) के आधार पर लेज़रों की रेंज दूर-अवरक्त से लेकर एक्स-रे/γ-किरणों तक होती है। निकट-क्षेत्र विकिरण ताप स्थानांतरण|ऊष्मीय रूप से उत्तेजित द्विध्रुवों और अन्य विद्युत/चुंबकीय संक्रमणों से निकट-क्षेत्र विकिरण उत्सर्जन स्थलों से कम दूरी (तरंग दैर्ध्य के क्रम) के भीतर बहुत प्रभावी होता है। फोटॉन कण गति के लिए बीटीई पी_ph = hω_phएस/यू_phदिशा के साथ-साथ अवशोषण/उत्सर्जन का अनुभव हो रहा है $\textstyle {\dot {s}}_{f,ph-e}\$ (=में_phσ_ph,ω[एफ_ph(ओह_ph,टी) - एफ_ph('एस')], पी_ph,ω: वर्णक्रमीय अवशोषण गुणांक), और पीढ़ी/निष्कासन $\textstyle {\dot {s}}_{f,ph,i}$, है

$${\frac {\partial f_{ph}}{\partial t}}+u_{ph}\mathbf {s} \cdot \nabla f_{ph}=\left.{\frac {\partial f_{ph}}{\partial t}}\right|_{s}+u_{ph}\sigma _{ph,\omega }[f_{ph}(\omega _{ph},T)-f_{ph}(\mathbf {s} )]+{\dot {s}}_{f,ph,i}.$$

विकिरण की तीव्रता के संदर्भ में (I_ph,ω= यू_phf_phभाई_phD_ph,ω/4पी, डी_ph,ω: राज्यों का फोटॉन घनत्व), इसे विकिरण हस्तांतरण (ईआरटी) का समीकरण कहा जाता है

$${\frac {\partial I_{ph,\omega }(\omega _{ph},\mathbf {s} )}{u_{ph}\partial t}}+\mathbf {s} \cdot \nabla I_{ph,\omega }(\omega _{ph},\mathbf {s} )=\left.{\frac {\partial I_{ph,\omega }(\omega _{ph},\mathbf {s} )}{u_{ph}\partial t}}\right|_{s}+\sigma _{ph,\omega }[I_{ph,\omega }(\omega _{ph},T)-I_{ph}(\omega _{ph},\mathbf {s} )]+{\dot {s}}_{ph,i}.$$

शुद्ध विकिरणीय ऊष्मा प्रवाह वेक्टर है ${\textstyle \mathbf {q} _{r}=\mathbf {q} _{ph}=\int _{0}^{\infty }\int _{4\pi }\mathbf {s} I_{ph,\omega }d\Omega d\omega .}$ आइंस्टीन गुणांक से, वर्णक्रमीय अवशोषण गुणांक σ_ph,ωईआरटी में है,

$$\sigma _{ph,\omega }={\frac {\hbar \omega {\dot {\gamma }}_{ph,a}n_{e}}{u_{ph}}},$$

कहाँ ${\dot {\gamma }}_{ph,a}$ अंतःक्रिया संभाव्यता (अवशोषण) दर या परमाणु वर्णक्रमीय रेखा बी है₁₂(जे⁻¹m³s⁻¹), जो विकिरण क्षेत्र की प्रति इकाई वर्णक्रमीय ऊर्जा घनत्व (1: जमीनी अवस्था, 2: उत्तेजित अवस्था), और n प्रति इकाई समय की संभावना देता है_eइलेक्ट्रॉन घनत्व (जमीनी अवस्था में) है। इसे संक्रमण द्विध्रुव आघूर्ण 'μ' का उपयोग करके प्राप्त किया जा सकता है_eएफजीआर और आइंस्टीन गुणांक के बीच संबंध के साथ। औसत σ_ph,ωω से अधिक औसत फोटॉन अवशोषण गुणांक σ देता है_ph.

L लंबाई के वैकल्पिक रूप से मोटे माध्यम के मामले में, यानी, σ_phएल >> 1, और गैस गतिज सिद्धांत का उपयोग करते हुए, फोटॉन चालकता k_ph16σ है_SBT³/3σ_ph(पी_SB: स्टीफ़न-बोल्ट्ज़मान स्थिरांक, σ_ph: औसत फोटॉन अवशोषण), और फोटॉन ताप क्षमता एन_phc_v,ph16σ है_SBT³/u_ph.

फोटॉन में ऊर्जा की सबसे बड़ी श्रृंखला होती है और यह विभिन्न प्रकार के ऊर्जा रूपांतरणों में केंद्रीय होता है। फोटॉन विद्युत और चुंबकीय संस्थाओं के साथ परस्पर क्रिया करते हैं। उदाहरण के लिए, विद्युत द्विध्रुव जो बदले में ऑप्टिकल फोनन या द्रव कण कंपन, या इलेक्ट्रॉनिक संक्रमण के संक्रमण द्विध्रुव क्षणों से उत्तेजित होते हैं। हीट ट्रांसफर भौतिकी में, फोनन के इंटरेक्शन कैनेटीक्स का इलाज परटर्बेशन सिद्धांत (फर्मी गोल्डन रूल) और इंटरेक्शन हैमिल्टनियन का उपयोग करके किया जाता है। फोटॉन-इलेक्ट्रॉन इंटरैक्शन है

$$\mathrm {H} _{ph-e}=-{\frac {e_{c}}{m_{e}}}\left(a+a^{\dagger }\right)\mathbf {a} _{e}\cdot \mathbf {p} _{e}=-\left({\frac {\hbar \omega _{ph,\alpha }}{2\varepsilon _{o}V}}\right)^{1/2}(\mathbf {s} _{ph,\alpha }\cdot e_{c}\mathbf {x} _{e})\left(a+a^{\dagger }\right)\left(ce^{i\mathrm {\kappa } \cdot \mathrm {x} }+c^{\dagger }e^{-i\mathrm {\kappa } \cdot \mathrm {x} }\right),$$

जहां पी_e द्विध्रुव आघूर्ण सदिश है और a^†और ए इलेक्ट्रॉन की आंतरिक गति का निर्माण और विनाश है। फोटॉन टर्नरी इंटरैक्शन में भी भाग लेते हैं, उदाहरण के लिए, फोनन-सहायता वाले फोटॉन अवशोषण/उत्सर्जन (इलेक्ट्रॉन ऊर्जा स्तर का संक्रमण)। द्रव कणों में कंपन मोड फोटॉन उत्सर्जित या अवशोषित करके क्षय या उत्तेजित हो सकता है। उदाहरण ठोस और आणविक गैस लेजर शीतलन हैं। ईएम सिद्धांत के साथ पहले सिद्धांतों के आधार पर एबी इनिटियो गणनाओं का उपयोग करते हुए, विभिन्न विकिरण गुण जैसे कि ढांकता हुआ फ़ंक्शन (विद्युत पारगम्यता, ε)_e,ω), वर्णक्रमीय अवशोषण गुणांक (σ_ph,ω), और जटिल अपवर्तन सूचकांक (एम_ω), पदार्थ में फोटॉन और विद्युत/चुंबकीय संस्थाओं के बीच विभिन्न इंटरैक्शन के लिए गणना की जाती है। उदाहरण के लिए, काल्पनिक भाग (ε_e,c,ω) जटिल ढांकता हुआ फ़ंक्शन (ε_e,ω= ई_e,r,ω+ मैं ई_e,c,ω) एक बैंडगैप में इलेक्ट्रॉनिक संक्रमण के लिए है

$$\varepsilon _{e,c,\omega }={\frac {4\pi ^{2}}{\omega ^{2}V}}\sum _{i\in \mathrm {VB} ,j\in \mathrm {CB} }\sum _{\kappa }w_{\kappa }|p_{ij}|^{2}\delta (E_{\kappa ,j}-E_{\kappa ,i}-\hbar \omega ),$$

जहां V इकाई-सेल आयतन है, VB और CB वैलेंस और चालन बैंड को दर्शाते हैं, w_κκ-बिंदु और पी से जुड़ा वजन है_ijसंक्रमण गति मैट्रिक्स तत्व है। वास्तविक भाग ε है_e,r,ωε से प्राप्त होता है_e,c,ωक्रेमर्स-क्रोनिग संबंध का उपयोग करना

$$\varepsilon _{e,r,\omega }=1+{\frac {4}{\pi }}\mathbb {P} \int _{0}^{\infty }\mathrm {d} \omega '{\frac {\omega '\varepsilon _{e,c,\omega '}}{\omega '^{2}-\omega ^{2}}}.$$

यहाँ, $\mathbb {P}$ कॉची प्रमुख मूल्य को दर्शाता है।

एक अन्य उदाहरण में, सुदूर आईआर क्षेत्रों के लिए जहां ऑप्टिकल फोनन शामिल हैं, ढांकता हुआ फ़ंक्शन (ε_e,ω) के रूप में गणना की जाती है

$${\frac {\varepsilon _{e,\omega }}{\varepsilon _{e,\infty }}}=1+\sum _{j}{\frac {\omega _{\mathrm {LO} ,j}^{2}-\omega _{\mathrm {TO} ,j}^{2}}{\omega _{\mathrm {TO} ,j}^{2}-\omega ^{2}-i\gamma \omega }},$$

जहां LO और TO अनुदैर्ध्य और अनुप्रस्थ ऑप्टिकल फोनन मोड को दर्शाते हैं, j सभी IR-सक्रिय मोड हैं, और γ ऑसिलेटर मॉडल में तापमान-निर्भर भिगोना शब्द है। ε_e,∞उच्च आवृत्ति ढांकता हुआ पारगम्यता है, जिसकी गणना डीएफटी गणना की जा सकती है जब आयनों को बाहरी क्षमता के रूप में माना जाता है।

इन ढांकता हुआ फ़ंक्शन से (ε_e,ω) गणना (उदाहरण के लिए, एबिनिट, वीएएसपी, आदि), जटिल अपवर्तक सूचकांक एम_ω(=एन_ω+ मैं श्रीमान_ω, एन_ω: अपवर्तन सूचकांक और κ_ω: विलुप्ति सूचकांक) पाया जाता है, यानी, एम_ω²=ई_e,ω= ई_e,r,ω+ मैं ई_e,c,ω). निर्वात या वायु से सामान्य आपतित एक आदर्श सतह का सतह परावर्तन R इस प्रकार दिया गया है आर = [(एन_ω- 1)²+श्री_ω²]/[(एन_ω+ 1)²+श्री_ω²]. फिर वर्णक्रमीय अवशोषण गुणांक σ से पाया जाता है_ph,ω= 2o क_ω/में_ph. विभिन्न विद्युत संस्थाओं के लिए वर्णक्रमीय अवशोषण गुणांक नीचे दी गई तालिका में सूचीबद्ध हैं।

Mechanism	Relation (σph,ω)
Electronic absorption transition (atom, ion or molecule)	${\frac {n_{e,A}\pi ^{2}u_{ph}^{2}{\dot {\gamma }}_{ph,e,sp}}{\omega _{e,g}^{2}\int _{\omega }\mathrm {d} \omega }}={\frac {n_{e,A}\pi \omega _{e,g}|{\boldsymbol {\mu }}_{e}|^{2}}{3\varepsilon _{\mathrm {o} }\hbar u_{ph}\int _{\omega }\mathrm {d} \omega }}$, [ne,A: number density of ground state, ωe,g: transition angular frequency, ${\dot {\gamma }}_{ph,e,sp}$: spontaneous emission rate (s−1), μe: transition dipole moment, $\textstyle \int _{\omega }\mathrm {d} \omega$: bandwidth]
Free carrier absorption (metal)	${\frac {2\omega \kappa _{\omega }}{u_{ph}}}=\left({\frac {2n_{e,c}e_{c}^{2}\langle \langle \tau _{e}\rangle \rangle \omega }{\varepsilon _{\mathrm {o} }\varepsilon _{e}m_{e}u_{ph}^{2}}}\right)^{1/2}$ (ne,c: number density of conduction electrons, $\langle \langle \tau _{e}\rangle \rangle$: average momentum electron relaxation time, εo: free space electrical permittivity)
Direct-band absorption (semiconductor)	${\frac {e_{c}^{2}|\langle \varphi _{v}|e_{c}\mathbf {x} |\varphi _{c}\rangle |^{2}D_{ph-e}[f_{e}^{\mathrm {o} }(E_{e,v})-f_{e}^{\mathrm {o} }(E_{e,c})]}{\varepsilon _{\mathrm {o} }^{2}m_{e,e}^{2}u_{ph}n_{\omega }\omega }}$ (nω: index of refraction, Dph-e: joint density of states)
Indirect-band absorption (semiconductor)	with phonon absorption: ${\frac {a_{ph\mathrm {-} e\mathrm {-} p,a}(\hbar \omega -\Delta E_{e,g}+\hbar \omega _{p})^{2}}{\mathrm {exp} (\hbar \omega _{p}/k_{\mathrm {B} }T)-1}}$ (aph-e-p,a phonon absorption coupling coefficient, ΔEe,g: bandgap, ωp: phonon energy ) with phonon emission: ${\frac {a_{ph-e-p,e}(\hbar \omega -\Delta E_{e,g}-\hbar \omega _{p})^{2}}{1-\exp(-\hbar \omega _{p}/k_{\mathrm {B} }T)}}$ (aph-e-p,e phonon emission coupling coefficient)

यह भी देखें

• ऊर्जा अंतरण
• दूरी बदलना
• ऊर्जा परिवर्तन|ऊर्जा परिवर्तन (ऊर्जा रूपांतरण)
• थर्मल भौतिकी
• ताप विज्ञान
• थर्मल इंजीनियरिंग