रेले नंबर

द्रव यांत्रिकी में, रेले संख्या (Ra, जॉन स्ट्रट के बाद, तीसरा बैरन रेले) एक तरल पदार्थ के लिए उछाल-संचालित प्रवाह से जुड़ी एक आयामहीन संख्या है, जिसे मुक्त संवहन (या प्राकृतिक) संवहन के रूप में भी जाना जाता है।यह द्रव के प्रवाह शासन की विशेषता बताता है: एक निश्चित निचली सीमा में एक मान लामिना का प्रवाह दर्शाता है; उच्च श्रेणी में एक मान, अशांति। एक निश्चित महत्वपूर्ण मूल्य के नीचे, कोई द्रव गति नहीं होती है और गर्मी हस्तांतरण संवहन के बजाय थर्मल चालन द्वारा होता है। अधिकांश इंजीनियरिंग उद्देश्यों के लिए, रेले संख्या बड़ी है, लगभग 10 के आसपास⁶से 10⁸.

रेले संख्या को ग्राशोफ़ संख्या के गुणनफल के रूप में परिभाषित किया गया है (Gr), जो एक तरल पदार्थ के भीतर उछाल और चिपचिपाहट और प्रांटल संख्या के बीच संबंध का वर्णन करता है (Pr), जो गतिज श्यानता और तापीय प्रसार के बीच संबंध का वर्णन करता है: Ra = Gr × Pr.इसलिए इसे संवेग और तापीय प्रसार के अनुपात से गुणा किए गए उछाल और चिपचिपाहट बलों के अनुपात के रूप में भी देखा जा सकता है: Ra = B/μ × ν/α. इसका नुसेल्ट संख्या से गहरा संबंध है (Nu).

व्युत्पत्ति

रेले संख्या तरल पदार्थ (जैसे पानी या हवा) के व्यवहार का वर्णन करती है जब तरल का द्रव्यमान घनत्व असमान होता है। द्रव्यमान घनत्व में अंतर आमतौर पर तापमान अंतर के कारण होता है। आमतौर पर कोई तरल पदार्थ गर्म होने पर फैलता है और कम सघन हो जाता है। गुरुत्वाकर्षण के कारण द्रव का सघन भाग डूब जाता है, जिसे संवहन कहते हैं। लॉर्ड रेले ने अध्ययन कियारेले-बेनार्ड संवहन का मामला|रेले-बेनार्ड संवहन। जब रेले नंबर, रा, किसी तरल पदार्थ के लिए महत्वपूर्ण मान से नीचे होता है, तो कोई प्रवाह नहीं होता है और गर्मी हस्तांतरण पूरी तरह से थर्मल चालन द्वारा होता है; जब यह उस मान से अधिक हो जाता है, तो ऊष्मा प्राकृतिक संवहन द्वारा स्थानांतरित हो जाती है।

जब द्रव्यमान घनत्व में अंतर तापमान अंतर के कारण होता है, तो रा, परिभाषा के अनुसार, गति पर संवहन तापीय परिवहन के लिए समय पैमाने पर प्रसार थर्मल परिवहन के लिए समय पैमाने का अनुपात है $u$:

$$\mathrm {Ra} ={\frac {\text{time scale for thermal transport via diffusion}}{{\text{time scale for thermal transport via convection at speed}}~u}}.$$

इसका मतलब है कि रेले नंबर एक प्रकार हैपेकलेट संख्या का. आकार के तरल पदार्थ की मात्रा के लिए $l$ तीनों आयामों में और द्रव्यमान घनत्व में अंतर $\Delta \rho$, गुरुत्वाकर्षण के कारण बल क्रम का है $\Delta \rho l^{3}g$, कहाँ $g$ गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण है. स्टोक्स के नियम के अनुसार, जब द्रव का आयतन कम हो रहा होता है, तो चिपचिपा खिंचाव क्रम का होता है $\eta lu$, कहाँ $\eta$ द्रव की गतिशील श्यानता है। जब इन दोनों बलों को बराबर कर दिया जाता है, तो गति $u\sim \Delta \rho l^{2}g/\eta$. इस प्रकार प्रवाह के माध्यम से परिवहन के लिए समय का पैमाना है $l/u\sim \eta /\Delta \rho lg$. दूर तक तापीय प्रसार का समय पैमाना $l$ है $l^{2}/\alpha$, कहाँ $\alpha$ तापीय प्रसारशीलता है। इस प्रकार रेले संख्या रा है

$$\mathrm {Ra} ={\frac {l^{2}/\alpha }{\eta /\Delta \rho lg}}={\frac {\Delta \rho l^{3}g}{\eta \alpha }}={\frac {\rho \beta \Delta Tl^{3}g}{\eta \alpha }}$$

जहां हमने घनत्व अंतर का अनुमान लगाया $\Delta \rho =\rho \beta \Delta T$ औसत द्रव्यमान घनत्व के तरल पदार्थ के लिए $\rho$, ताप विस्तार प्रसार गुणांक $\beta$ और तापमान में अंतर $\Delta T$ दूरी के पार $l$.

रेलेघ संख्या को ग्राशोफ़ संख्या और प्रांटल संख्या के गुणनफल के रूप में लिखा जा सकता है:

$$\mathrm {Ra} =\mathrm {Gr} \mathrm {Pr} .$$

शास्त्रीय परिभाषा

एक ऊर्ध्वाधर दीवार के निकट मुक्त संवहन के लिए, रेले संख्या को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:

$$\mathrm {Ra} _{x}={\frac {g\beta }{\nu \alpha }}(T_{s}-T_{\infty })x^{3}=\mathrm {Gr} _{x}\mathrm {Pr}$$

कहाँ:

• x विशेषता लंबाई है
• रा_x विशेषता लंबाई x के लिए रेले संख्या है
• g गुरुत्वाकर्षण के कारण होने वाला त्वरण है
• β थर्मल विस्तार का गुणांक है (आदर्श गैसों के लिए 1/T के बराबर, जहां T पूर्ण तापमान है)।
• $\nu$ गतिज श्यानता है
• α तापीय विसरणशीलता है
• टी_sसतह का तापमान है
• टी_∞ शांत तापमान है (वस्तु की सतह से दूर द्रव तापमान)
• जीआर_x विशेषता लंबाई x के लिए ग्राशोफ़ संख्या है
• पीआर प्रांटल नंबर है

उपरोक्त में, द्रव गुण Pr, ν, α और β का मूल्यांकन फिल्म तापमान पर किया जाता है, जिसे इस प्रकार परिभाषित किया गया है:

$$T_{f}={\frac {T_{s}+T_{\infty }}{2}}.$$

एक समान दीवार हीटिंग फ्लक्स के लिए, संशोधित रेले संख्या को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:

$$\mathrm {Ra} _{x}^{*}={\frac {g\beta q''_{o}}{\nu \alpha k}}x^{4}$$

कहाँ:

• क्यू"_oएकसमान सतह ऊष्मा प्रवाह है
• k तापीय चालकता है।

अन्य अनुप्रयोग

ठोस बनाने वाली मिश्रधातुएँ

रेले नंबर का उपयोग एक ठोस मिश्र धातु के गूदेदार क्षेत्र में ए-अलग करता है जैसे संवहन संबंधी अस्थिरताओं की भविष्यवाणी करने के लिए एक मानदंड के रूप में भी किया जा सकता है। मटमैले क्षेत्र रेले नंबर को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:

$$\mathrm {Ra} ={\frac {{\frac {\Delta \rho }{\rho _{0}}}g{\bar {K}}L}{\alpha \nu }}={\frac {{\frac {\Delta \rho }{\rho _{0}}}g{\bar {K}}}{R\nu }}$$

कहाँ:

• K औसत पारगम्यता है (मश के प्रारंभिक भाग की)
• एल विशेषता लंबाई का पैमाना है
• α तापीय विसरणशीलता है
• ν गतिज श्यानता है
• आर जमने या इज़ोटेर्म गति है।

जब रेले संख्या एक निश्चित महत्वपूर्ण मान से अधिक हो जाती है तो ए-सेग्रीगेट्स बनने की भविष्यवाणी की जाती है। यह महत्वपूर्ण मूल्य मिश्र धातु की संरचना से स्वतंत्र है, और यह सुजुकी मानदंड जैसे संवहनी अस्थिरता की भविष्यवाणी के लिए अन्य मानदंडों पर रेले संख्या मानदंड का मुख्य लाभ है।

तोराबी राड एट अल. दिखाया गया कि स्टील मिश्र धातुओं के लिए महत्वपूर्ण रेले संख्या 17 है।पिकरिंग एट अल. तोराबी रेड की कसौटी का पता लगाया, और इसकी प्रभावशीलता को और सत्यापित किया। सीसा-टिन और निकल-आधारित सुपर-मिश्र धातुओं के लिए महत्वपूर्ण रेले नंबर भी विकसित किए गए थे।

छिद्रपूर्ण मीडिया

उपरोक्त रेले नंबर हवा या पानी जैसे थोक तरल पदार्थ में संवहन के लिए है, लेकिन संवहन तब भी हो सकता है जब तरल पदार्थ अंदर होता है और एक झरझरा माध्यम भरता है, जैसे कि पानी से संतृप्त झरझरा चट्टान। फिर रेले नंबर, जिसे कभी-कभी रेले-डार्सी नंबर भी कहा जाता है, अलग है। एक थोक तरल पदार्थ में, यानी, एक छिद्रपूर्ण माध्यम में नहीं, स्टोक्स के नियम से, आकार के एक डोमेन की गिरने की गति $l$ तरल का $u\sim \Delta \rho l^{2}g/\eta$. झरझरा माध्यम में, इस अभिव्यक्ति को डार्सी के नियम से प्रतिस्थापित कर दिया जाता है $u\sim \Delta \rho kg/\eta$, साथ $k$ झरझरा माध्यम की पारगम्यता. रेले या रेले-डार्सी नंबर तब है

$$\mathrm {Ra} ={\frac {\rho \beta \Delta Tklg}{\eta \alpha }}$$

यह ठोस मिश्रधातु के गूदेदार क्षेत्र में, ए-सेग्रीगेट्स पर भी लागू होता है।

भूभौतिकीय अनुप्रयोग

भूभौतिकी में, रेले संख्या मौलिक महत्व की है: यह पृथ्वी के आवरण जैसे तरल पदार्थ के भीतर संवहन की उपस्थिति और शक्ति को इंगित करती है। मेंटल एक ठोस है जो भूवैज्ञानिक समय के पैमाने पर तरल पदार्थ के रूप में व्यवहार करता है। अकेले आंतरिक ताप के कारण पृथ्वी के आवरण के लिए रेले संख्या, रा_H, द्वारा दिया गया है:

$$\mathrm {Ra} _{H}={\frac {g\rho _{0}^{2}\beta HD^{5}}{\eta \alpha k}}$$

कहाँ:

• एच प्रति इकाई द्रव्यमान रेडियोजेनिक ताप उत्पादन की दर है
• η गतिशील श्यानता है
• k तापीय चालकता है
• डी मेंटल (भूविज्ञान) की गहराई है।

कोर से मेंटल के निचले हीटिंग के लिए एक रेले नंबर, रा_T, को इस प्रकार भी परिभाषित किया जा सकता है:

$$\mathrm {Ra} _{T}={\frac {\rho _{0}^{2}g\beta \Delta T_{\text{sa}}D^{3}C_{P}}{\eta k}}$$

कहाँ:

• ΔT_sa संदर्भ मेंटल तापमान और कोर-मेंटल सीमा के बीच सुपरएडियाबेटिक तापमान अंतर है
• सी_Pस्थिर दबाव पर विशिष्ट ताप क्षमता है।

पृथ्वी के आवरण के लिए उच्च मान इंगित करता है कि पृथ्वी के भीतर संवहन जोरदार और समय-परिवर्तनशील है, और यह संवहन गहरे आंतरिक भाग से सतह तक पहुंचाई जाने वाली लगभग सभी गर्मी के लिए जिम्मेदार है।

यह भी देखें

• ग्राशोफ़ संख्या
• प्रैंडटल नंबर
• रेनॉल्ड्स संख्या
• पेकलेट संख्या
• नुसेल्ट संख्या
• रेले-बेनार्ड संवहन

संदर्भ

• Turcotte, D.; Schubert, G. (2002). Geodynamics (2nd ed.). New York: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-66186-7.

बाहरी संबंध

• Rayleigh number calculator