अवकल संकारक

एनुलस (गणित) पर परिभाषित हार्मोनिक फ़ंक्शन। हार्मोनिक फ़ंक्शंस वास्तव में वे फ़ंक्शंस हैं जो लाप्लास ऑपरेटर के कर्नेल (रैखिक बीजगणित) में स्थित हैं, जो महत्वपूर्ण अंतर ऑपरेटर है।

गणित में, डिफरेंशियल ऑपरेटर ऑपरेटर (गणित) है जिसे व्युत्पन्न ऑपरेटर के फ़ंक्शन के रूप में परिभाषित किया गया है। सबसे पहले, संकेतन के मामले में, विभेदीकरण को अमूर्त ऑपरेशन के रूप में मानना ​​सहायक होता है जो फ़ंक्शन (गणित) को स्वीकार करता है और अन्य फ़ंक्शन (कंप्यूटर विज्ञान में उच्च-क्रम फ़ंक्शन की शैली में) लौटाता है।

यह आलेख मुख्य रूप से रैखिक मानचित्र अंतर ऑपरेटरों पर विचार करता है, जो सबसे सामान्य प्रकार हैं। हालाँकि, गैर-रेखीय अंतर ऑपरेटर भी मौजूद हैं, जैसे कि श्वार्ज़ियन व्युत्पन्न।

परिभाषा

एक अऋणात्मक पूर्णांक m दिया गया है, क्रम-$m$ लीनियर डिफरेंशियल ऑपरेटर मानचित्र है $P$ कार्य स्थान से ${\mathcal {F}}_{1}$ किसी अन्य फ़ंक्शन स्थान पर ${\mathcal {F}}_{2}$ जिसे इस प्रकार लिखा जा सकता है:

$$P=\sum _{|\alpha |\leq m}a_{\alpha }(x)D^{\alpha }\ ,$$

कहाँ $\alpha =(\alpha _{1},\alpha _{2},\cdots ,\alpha _{n})$ गैर-ऋणात्मक पूर्णांकों का बहु-सूचकांक है, $|\alpha |=\alpha _{1}+\alpha _{2}+\cdots +\alpha _{n}$, और प्रत्येक के लिए $\alpha$, $a_{\alpha }(x)$ एन-डायमेंशनल स्पेस में कुछ खुले डोमेन पर फ़ंक्शन है। परिचालक $D^{\alpha }$ के रूप में व्याख्या की गई है

$$D^{\alpha }={\frac {\partial ^{|\alpha |}}{\partial x_{1}^{\alpha _{1}}\partial x_{2}^{\alpha _{2}}\cdots \partial x_{n}^{\alpha _{n}}}}$$

इस प्रकार समारोह के लिए $f\in {\mathcal {F}}_{1}$:

$$Pf=\sum _{|\alpha |\leq m}a_{\alpha }(x){\frac {\partial ^{|\alpha |}f}{\partial x_{1}^{\alpha _{1}}\partial x_{2}^{\alpha _{2}}\cdots \partial x_{n}^{\alpha _{n}}}}$$

संकेतन $D^{\alpha }$ दूसरे डेरिवेटिव की समरूपता के कारण उचित है (यानी, भेदभाव के क्रम से स्वतंत्र)।

D को चरों से प्रतिस्थापित करने पर बहुपद p प्राप्त होता है $\xi$ में P को P का 'कुल प्रतीक' कहा जाता है; यानी, उपरोक्त P का कुल प्रतीक है:

$$p(x,\xi )=\sum _{|\alpha |\leq m}a_{\alpha }(x)\xi ^{\alpha }$$

कहाँ $\xi ^{\alpha }=\xi _{1}^{\alpha _{1}}\cdots \xi _{n}^{\alpha _{n}}.$ प्रतीक का उच्चतम सजातीय घटक, अर्थात्,

$\sigma (x,\xi )=\sum _{|\alpha |=m}a_{\alpha }(x)\xi ^{\alpha }$

P का प्रमुख प्रतीक कहा जाता है। जबकि कुल प्रतीक आंतरिक रूप से परिभाषित नहीं है, मुख्य प्रतीक आंतरिक रूप से परिभाषित है (यानी, यह कोटैंजेंट बंडल पर फ़ंक्शन है)।

अधिक आम तौर पर, मान लीजिए कि E और F मैनिफोल्ड X पर वेक्टर बंडल हैं। फिर रैखिक ऑपरेटर

$P:C^{\infty }(E)\to C^{\infty }(F)$

ऑर्डर का विभेदक ऑपरेटर है $k$ यदि, X पर स्थानीय निर्देशांक में, हमारे पास है

$Pu(x)=\underset{|\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}|=}{\sum <!--\; \sum \; -->}$