अल्ट्राफ़िल्टर

This article is about अनुक्रम सिद्धांत में गणितीय अवधारणा. For समूह पर विशेष रूप से अल्ट्राफिल्टर, see अल्ट्राफिल्टर (समूह सिद्धांत). For भौतिक उपकरण, see अल्ट्राफिल्ट्रेशन.

210 के भाजक का हैस आरेख, संबंध द्वारा क्रमबद्ध भाजक है, ऊपरी समूह ↑14 गहरे हरे रंग के साथ। यह है एक principal filter, लेकिन नहीं ultrafilter, क्योंकि इसे हल्के हरे रंग के तत्वों को सम्मलित करके बड़े गैर-तुच्छ फिल्टर ↑2 तक बढ़ाया जा सकता है। चूँकि ↑2 को और आगे नहीं बढ़ाया जा सकता, यह एक अतिफिल्टर है।

अनुक्रम सिद्धांत के गणित क्षेत्र में, दिए गए आंशिक रूप से अनुक्रम किए गए समूह (या पोसमूह) पर अतिफिल्टर $P$ एक निश्चित उपसमुच्चय होता है $P,$ एक उचित फिल्टर $P$ है इसे एक बड़े उचित फिल्टर तक बढ़ाया नहीं जा सकता है $P.$

यदि $X$ एक मनमाना समुच्चय है, इसकी ऊर्जा समुच्चय है $\wp (X),$ समूह समावेशन द्वारा अनुक्रमित, हमेशा एक बूलियन बीजगणित (संरचना) होता है और इसलिए एक पोसमूह, और अतिफिल्टर होता है $\wp (X)$ सामान्यतः कहा जाता है $X$. समूह पर एक अतिफिल्टर $X$ एक परिमित योगात्मक माप (गणित) के रूप में माना जा सकता है $X$. इस दृष्टि से, प्रत्येक उपसमुच्चय $X$ या तो लगभग संपूर्ण माना जाता है (माप 1 है) या लगभग कुछ भी नहीं (माप 0 है), यह इस पर निर्भर करता है कि यह दिए गए अतिफिल्टर से संबंधित है या नहीं है।

समूह सिद्धांत, नमूना सिद्धांत, सांस्थिति में अतिफिल्टर के कई अनुप्रयोग होते है।

आंशिक अनुक्रम पर अतिफिल्टर

अनुक्रम सिद्धांत में, एक अतिफिल्टर आंशिक रूप से अनुक्रम किए गए समूह का एक पोसमूह होता है। इसका तात्पर्य यह होता है कि कोई भी फिल्टर जिसमें उचित रूप से अतिफिल्टर होता है, वह पूरे पोसमूह के बराबर होता है।ka

औपचारिक रूप से, यदि $P$ एक समूह है, जिसे आंशिक रूप से अनुक्रम किया गया है $\,\leq \,$ तब

• उपसमुच्चय $F\subseteq P$ फिल्टर कहा जाता है $P$ यदि
  • $F$ गैर-रिक्त है,
  • हर एक के लिए $x,y\in F,$ वहां कुछ तत्व उपस्थित है $z\in F$ ऐसा है कि $z\leq x$ और $z\leq y,$ और
  • हर एक के लिए $x\in F$ और $y\in P,$ $x\leq y$ इसका आशय $y$ में $F$ है
• एक उचित उपसमुच्चय $U$ का $P$ इसे अतिफिल्टर कहा जाता है $P$ यदि
  • $U$ एक फिल्टर है $P,$ और
  • कोई उचित फिल्टर नहीं होता है $F$ पर $P$ वह उचित रूप से विस्तारित होता है $U$ (अर्थात, $U$ का एक उचित उपसमुच्चय है $F$)

अल्ट्राफिल्टर के प्रकार और अस्तित्व

प्रत्येक अतिफिल्टर बिल्कुल दो श्रेणियों में से एक में आता है: प्रमुख या मुक्त। एक प्रमुख अतिफिल्टर एक वह फिल्टर होता है जिसमें कम से कम तत्व होते है। परिणाम स्वरूप, प्रमुख अतिफिल्टर होते है $F_{a}=\{x:a\leq x\}$ कुछ (लेकिन सभी नहीं) तत्वों के लिए $a$ दिए गए पोसमूह इस स्थिति में अतिफिल्टर $a$ कहा जाता है। कोई भी अतिफिल्टर जो प्रमुख नहीं होता है उसे मुक्त (या गैर-प्रमुख) अतिफिल्टर कहा जाता है।

ऊर्जा समूह पर अतिफिल्टर के लिए $\wp (X),$ एक प्रमुख अतिफिल्टर में सभी उपसमूह सम्मलित होते है $X$ जिसमें एक दिया गया तत्व सम्मलित है $x\in X.$ प्रत्येक अतिफिल्टर $\wp (X)$ एक प्रमुख फिल्टर है। इसलिए, एक अतिफिल्टर $U$ पर $\wp (X)$ प्रमुख है यदि इसमें एक परिमित समुच्चय है। यदि $X$ अनंत है, एक अतिफिल्टर $U$ पर $\wp (X)$ एक गैर-प्रमुख है यदि इसमें सह-परिमित उपसमुच्चय का फ्रेचेट फिल्टर सम्मलित है $X.$ यदि $X$ परिमित है, प्रत्येक अतिफिल्टर प्रमुख है।

यदि $X$ अनंत है तो फ्रेचेट फिल्टर ऊर्जा समूह पर अतिफिल्टर नहीं है $X$ लेकिन यह परिमित बीजगणित पर एक अतिफिल्टर है $X.$ बूलियन बीजगणित पर प्रत्येक फिल्टर (या अधिक सामान्यतः, परिमित प्रतिच्छेदन गुण वाला कोई भी उपसमुच्चय) एक अतिफिल्टर में समाहित होता है। दूसरी ओर, प्रत्येक फिल्टर एक अतिफिल्टर में समाहित होता है। वास्तव में, यह बूलियन मूल अनुक्रम सिद्धांत (बीपीआईटी) के समतुल्य है, जो ज़र्मेलो-फ्रेंकेल समूह सिद्धांत (जेडएफ) के सिद्धांतों द्वारा संवर्धित जेडएफ सिद्धांत के बीच एक प्रसिद्ध मध्यवर्ती बिंदु है। सामान्यतः, सिद्धांत से जुड़े मुक्त अतिफिल्टर के स्पष्ट उदाहरण नहीं देते है, चूंकि जेडएफ के कुछ नमूनों में स्पष्ट उदाहरण प्राप्त संभव होता है, उदाहरण के लिए, कर्ट गोडेल ने दिखाया है कि यह कोई स्पष्ट वैश्विक विकल्प फलन लिख सकता है। जेडएफ के सिद्धांत के बिना, प्रत्येक अतिफिल्टर प्रमुख होता है।

बूलियन बीजगणित पर अतिफिल्टर

अवधारणा की एक महत्वपूर्ण विशेष स्थिति तब होती है जब माना गया पोसमूह एक बूलियन बीजगणित (संरचना) होता है। इस स्थिति में, अतिफिल्टर को प्रत्येक तत्व के लिए युक्त करके चित्रित किया जाता है $a$ बूलियन बीजगणित का, तत्वों में से एक $a$ और $\lnot a$ है (बाद वाला बूलियन बीजगणित नॉनमोनोटोन नियम है $a$):

यदि $P$ एक बूलियन बीजगणित है और $F$ एक उचित फिल्टर है $P,$ तब निम्नलिखित कथन समतुल्य है:

1. $F$ एक अतिफिल्टर है $P,$
2. $F$ एक मुख्य फिल्टर है $P,$
3. प्रत्येक के लिए $a\in P,$ दोनों में से एक $a\in F$ या ($\lnot a$