आयतन रूप

गणित में, आयतन फॉर्म या शीर्ष-आयामी फॉर्म अवकलन मैनीफोल्ड आयाम के बराबर डिग्री का एक अवकलक फॉर्म होता है। इस प्रकार मैनीफोल्ड पर $M$ आयाम का $n$, वॉल्यूम फॉर्म एक $n$-प्रपत्र के रूप में होता है। यह लाइन बंडल के अनुभाग (फाइबर बंडल) के स्थान का एक तत्व के रूप में होता है, इसे $\textstyle {\bigwedge }^{n}(T^{*}M)$, के रूप में घोषित किया जाता है, $\Omega ^{n}(M)$. मैनिफोल्ड कहीं न लुप्त होने वाले आयतन फॉर्म को स्वीकार करता है यदि और केवल यदि वह ओरियंटेबल है। एक ओरिएंटेबल मैनिफोल्ड में अनंत रूप से कई वॉल्यूम फॉर्म होते हैं, क्योंकि वॉल्यूम फॉर्म को एक फलन द्वारा गुणा करने पर दूसरा वॉल्यूम फॉर्म प्राप्त होता है। गैर-ओरियंटेबल मैनिफोल्ड्स पर इसके अतिरिक्त घनत्व की कमजोर धारणा को परिभाषित किया जा सकता है।

एक वॉल्यूम फॉर्म एक भिन्न मैनिफोल्ड पर एक फलन (गणित) के अभिन्न अंग को परिभाषित करने का एक साधन प्रदान करता है। दूसरे शब्दों में, एक वॉल्यूम फॉर्म एक माप (गणित) को जन्म देता है जिसके संबंध में फलनों को उपयुक्त लेब्सग समाकलन द्वारा एकीकृत किया जा सकता है। वॉल्यूम फॉर्म का निरपेक्ष मान एक वॉल्यूम तत्व के रूप में होता है, जिसे विभिन्न प्रकार से ट्विस्टेड वॉल्यूम फॉर्म या प्सयूडो -वॉल्यूम फॉर्म के रूप में भी जाना जाता है। यह एक माप को भी परिभाषित करता है, लेकिन किसी भी अवकलक चाहे वह ओरियंटेबल हो या नहीं हो पर इसकी विविधता पर सम्मलित होता है।

काहलर मैनिफोल्ड्स, जटिल मैनिफोल्ड्स होने के कारण स्वाभाविक रूप से ओरियंटेबल होते हैं और इसलिए उनके पास वॉल्यूम फॉर्म होता है। अधिक सामान्यतः, $n$ सिंपलेक्टिक मैनिफ़ोल्ड पर सिंपलेक्टिक रूप की बाहरी शक्ति एक आयतन फॉर्म होती है। मैनिफोल्ड्स के कई वर्गों में कैनोनिकल वॉल्यूम फॉर्म होते हैं चूंकि उनके पास अतिरिक्त संरचना होती है जो पसंदीदा वॉल्यूम फॉर्म की चॉइस की अनुमति देती है। ओरिएंटेड प्सयूडो रीमैनियन मैनिफोल्ड में एक संबद्ध कैनोनिकल वॉल्यूम फॉर्म के रूप में होता है।

ओरिएंटेशन

नीचे केवल अवकलनीयता मैनिफ़ोल्ड के ओरिएंटेशन के बारे में बताया जाता है, यह किसी भी टोपोलॉजिकल मैनिफोल्ड पर परिभाषित एक अधिक सामान्य धारणा है।

एक मैनिफोल्ड एडजस्टेबल होता है, यदि इसमें एक निर्देशांक एटलस होता है, जिसके सभी ट्रांजीशन फलनों में धनात्मक जैकोबियन डीटरमीनेट होते हैं। ऐसे अधिकतम एटलस का चयन एक ओरिएंटेशन $M.$ के रूप में होता है, एक वॉल्यूम फॉर्म $\omega$ पर $M$ निर्देशांक चार्ट के एटलस के रूप में प्राकृतिक विधि से एक ओरिएंटेशन $M$ को जन्म देता है, जिससे कि वह $\omega$ यूक्लिडियन वॉल्यूम फॉर्म के धनात्मक गुणक के लिए $dx^{1}\wedge \cdots \wedge dx^{n}.$के रूप में होते है।

वॉल्यूम फॉर्म $M.$पर फ्रेम के पसंदीदा वर्ग के विनिर्देशन की भी अनुमति देता है और इस प्रकार स्पर्शरेखा सदिश $(X_{1},\ldots ,X_{n})$ के आधार को दाएँ हाथ से कॉल करते है यदि यह इस रूप में होते है

$$\omega \left(X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}\right)>0.$$

सभी दाएं हाथ के फ़्रेमों के संग्रह पर धनात्मक डीटरमीनेट के साथ $n$ आयामों में सामान्य रैखिक मैपिंग के समूह $\mathrm {GL} ^{+}(n)$ द्वारा कार्य किया जाता है और इस प्रकार सामान्य रैखिक समूह मानचित्रण में $n$ धनात्मक डीटरमीनेट के साथ आयाम के रूप में सिद्धांत बनाते हैं $\mathrm {GL} ^{+}(n)$ के रैखिक फ्रेम बंडल का उप-बंडल $M,$ के रूप में होता है और इसलिए वॉल्यूम फॉर्म से जुड़ा ओरिएंटेशन फ्रेम बंडल की कैनोनिकल कमी देता है, जो कि $M$ संरचना समूह के साथ एक उप-बंडल में होते है $\mathrm {GL} ^{+}(n).$ का तात्पर्य यह है कि आयतन फॉर्म G संरचना को जन्म देता है $\mathrm {GL} ^{+}(n)$ संरचना $M.$ पर फ़्रेमों पर विचार करके कमी स्पष्ट रूप से संभव है,

$\omega \left(X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}\right)=1.$

(1)

इस प्रकार एक आयतन रूप एक $\mathrm {SL} (n)$ संरचना को भी जन्म देता है। इसके विपरीत एक दिया गया $\mathrm {SL} (n)$ संरचना विशेष रैखिक फ़्रेमों के लिए (1) लगाकर और फिर आवश्यक n फॉर्म को हल करके वॉल्यूम फॉर्म को पुनर्प्राप्त कर सकती है और इस प्रकार $\omega$ अपने तर्कों में एकरूपता की आवश्यकता होती है।

मैनिफोल्ड ओरिएंटेबल यदि इसमें कहीं भी गायब होने वाला वॉल्यूम फॉर्म न हो तो वास्तव में, $\mathrm {SL} (n)\to \mathrm {GL} ^{+}(n)$ के रूप में एक विरूपण प्रत्यावर्तन होता है, $\mathrm {GL} ^{+}=\mathrm {SL} \times \mathbb {R} ^{+},$ जहां धनात्मक वास्तविकताएं अदिश आव्यूह के रूप में अंतर्निहित हैं। इस प्रकार प्रत्येक $\mathrm {GL} ^{+}(n)$ संरचना को कम किया जा सकता है और इस प्रकार $\mathrm {SL} (n)$ संरचना,और $\mathrm {GL} ^{+}(n)$ संरचनाएँ ओरिएंटेशन के साथ मेल खाती हैं, चूंकि $M.$ अधिक ठोस रूप से, डीटरमीनेट बंडल की ट्रिवियल $\Omega ^{n}(M)$ ओरिएंटेबिलिटी के बराबर होती है और एक लाइन बंडल ट्रिवियल के रूप में होता है यदि केवल इसमें कहीं भी गायब होने वाला अनुभाग नहीं होता है। इस प्रकार, वॉल्यूम फॉर्म का अस्तित्व ओरिएंटेबिलिटी के बराबर होता है।

मापन से संबंध

See also: मैनिफोल्ड पर घनत्व

वॉल्यूम फॉर्म दिया गया है $\omega$ एक ओरियंटेबल मैनिफोल्ड पर घनत्व $|\omega |$ ओरिएंटेशन को भूलकर प्राप्त नॉनओरिएंटेड मैनिफोल्ड पर एक वॉल्यूम प्सयूडो फॉर्म के रूप में होते है। घनत्व को सामान्यतः नॉन ओरिएंटेशन मैनिफोल्ड्स पर �