आयतन रूप

गणित में, आयतन रूप या शीर्ष-आयामी रूप अवकलन मैनीफोल्ड आयाम के बराबर डिग्री का एक अवकलक रूप है। इस प्रकार मैनीफोल्ड पर $M$ आयाम का $n$, वॉल्यूम फॉर्म एक $n$-प्रपत्र के रूप में होता है। यह लाइन बंडल के अनुभाग (फाइबर बंडल) के स्थान का एक तत्व के रूप में होता है $\textstyle {\bigwedge }^{n}(T^{*}M)$, इस रूप में घोषित किया गया $\Omega ^{n}(M)$. मैनिफोल्ड कहीं न लुप्त होने वाले आयतन रूप को स्वीकार करता है यदि और केवल यदि वह ओरियंटेबल है। एक ओरिएंटेबल मैनिफोल्ड में अनंत रूप से कई वॉल्यूम फॉर्म होते हैं, क्योंकि वॉल्यूम फॉर्म को एक फलन द्वारा गुणा करने पर दूसरा वॉल्यूम फॉर्म प्राप्त होता है। गैर-ओरियंटेबल मैनिफोल्ड्स पर इसके अतिरिक्त घनत्व की कमजोर धारणा को परिभाषित किया जा सकता है।

एक वॉल्यूम फॉर्म एक भिन्न मैनिफोल्ड पर एक फलन (गणित) के अभिन्न अंग को परिभाषित करने का एक साधन प्रदान करता है। दूसरे शब्दों में, एक वॉल्यूम फॉर्म एक माप (गणित) को जन्म देता है जिसके संबंध में कार्यों को उपयुक्त लेब्सग इंटीग्रल द्वारा एकीकृत किया जा सकता है। वॉल्यूम फॉर्म का निरपेक्ष मान एक वॉल्यूम तत्व है, जिसे विभिन्न प्रकार से ट्विस्टेड वॉल्यूम फॉर्म या छद्म-वॉल्यूम फॉर्म के रूप में भी जाना जाता है। यह एक माप को भी परिभाषित करता है, लेकिन किसी भी अवकलक विविधता पर मौजूद होता है, चाहे वह ओरियंटेबल हो या नहीं।

काहलर मैनिफोल्ड्स, जटिल मैनिफोल्ड्स होने के कारण, स्वाभाविक रूप से ओरियंटेबल होते हैं, और इसलिए उनके पास वॉल्यूम फॉर्म होता है। अधिक सामान्यतः, $n$सिंपलेक्टिक मैनिफ़ोल्ड पर सिंपलेक्टिक रूप की बाहरी शक्ति एक आयतन रूप है। मैनिफोल्ड्स के कई वर्गों में कैनोनिकल वॉल्यूम फॉर्म होते हैं: उनके पास अतिरिक्त संरचना होती है जो पसंदीदा वॉल्यूम फॉर्म की पसंद की अनुमति देती है। ओरिएंटेड छद्म-रीमैनियन मैनिफोल्ड में एक संबद्ध कैनोनिकल वॉल्यूम फॉर्म होता है।

अभिविन्यास

निम्नलिखित केवल भिन्न-भिन्न मैनिफोल्ड्स की ओरिएंटेबिलिटी के बारे में होगा (यह किसी भी टोपोलॉजिकल मैनिफोल्ड पर परिभाषित एक अधिक सामान्य धारणा है)।

एक मैनिफोल्ड एडजस्टेबल होता है यदि इसमें एक समन्वय एटलस होता है जिसके सभी संक्रमण कार्यों में सकारात्मक जैकोबियन निर्धारक होते हैं। ऐसे अधिकतम एटलस का चयन एक अभिविन्यास है $M.$ एक वॉल्यूम फॉर्म $\omega$ पर $M$ समन्वय चार्ट के एटलस के रूप में प्राकृतिक तरीके से एक अभिविन्यास को जन्म देता है $M$ वह भेजें $\omega$ यूक्लिडियन वॉल्यूम फॉर्म के सकारात्मक गुणक के लिए $dx^{1}\wedge \cdots \wedge dx^{n}.$ वॉल्यूम फॉर्म चलती फ्रेम के पसंदीदा वर्ग के विनिर्देशन की भी अनुमति देता है $M.$ स्पर्शरेखा सदिशों का आधार बताइए $(X_{1},\ldots ,X_{n})$ दाएँ हाथ से काम करने वाला अगर

$$\omega \left(X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}\right)>0.$$

सभी दाएं हाथ के फ़्रेमों का संग्रह समूह क्रिया (गणित) समूह द्वारा (गणित) है $\mathrm {GL} ^{+}(n)$ सामान्य रैखिक समूह मानचित्रण में $n$ सकारात्मक निर्धारक के साथ आयाम. वे एक प्रिंसिपल बंडल|प्रिंसिपल बनाते हैं $\mathrm {GL} ^{+}(n)$ के रैखिक फ्रेम बंडल का उप-बंडल $M,$ और इसलिए वॉल्यूम फॉर्म से जुड़ा अभिविन्यास फ्रेम बंडल की एक विहित कमी देता है $M$ संरचना समूह के साथ एक उप-बंडल में $\mathrm {GL} ^{+}(n).$ कहने का तात्पर्य यह है कि आयतन रूप G-संरचना को जन्म देता है|$\mathrm {GL} ^{+}(n)$-संरचना चालू $M.$ उन फ़्रेमों पर विचार करके अधिक कमी स्पष्ट रूप से संभव है

$\omega \left(X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}\right)=1.$

(1)

इस प्रकार एक आयतन रूप एक को जन्म देता है $\mathrm {SL} (n)$-संरचना भी. इसके विपरीत, एक दिया गया $\mathrm {SL} (n)$-संरचना, कोई भी लगाकर वॉल्यूम फॉर्म को पुनर्प्राप्त कर सकता है (1) विशेष रैखिक फ़्रेमों के लिए और फिर आवश्यक के लिए हल करना $n$-प्रपत्र $\omega$ अपने तर्कों में एकरूपता की आवश्यकता के द्वारा।

एक मैनिफोल्ड ओरिएंटेबल है यदि और केवल तभी जब इसमें कहीं भी गायब होने वाला वॉल्यूम फॉर्म न हो। वास्तव में, $\mathrm {SL} (n)\to \mathrm {GL} ^{+}(n)$ तब से एक विरूपण प्रत्यावर्तन है $\mathrm {GL} ^{+}=\mathrm {SL} \times \mathbb {R} ^{+},$ जहां सकारात्मक वास्तविकताएं अदिश मैट्रिक्स के रूप में अंतर्निहित हैं। इस प्रकार प्रत्येक $\mathrm {GL} ^{+}(n)$-संरचना को कम किया जा सकता है $\mathrm {SL} (n)$-संरचना, और $\mathrm {GL} ^{+}(n)$-संरचनाएँ अभिविन्यास के साथ मेल खाती हैं $M.$ अधिक ठोस रूप से, निर्धारक बंडल की तुच्छता $\Omega ^{n}(M)$ ओरिएंटेबिलिटी के बराबर है, और एक लाइन बंडल तुच्छ है यदि और केवल तभी इसमें कहीं भी गायब होने वाला अनुभाग न हो। इस प्रकार, वॉल्यूम फॉर्म का अस्तित्व ओरिएंटेबिलिटी के बराबर है।

उपायों से संबंध

See also: Density on a manifold

वॉल्यूम फॉर्म दिया गया है $\omega$ एक ओरियंटेबल मैनिफोल्ड पर, घनत्व एक मैनिफोल्ड पर $|\omega |$ ओरिएंटेशन को भूलकर प्राप्त नॉनओरिएंटेड मैनिफोल्ड पर एक वॉल्यूम स्यूडोटेंसर|छद्म-रूप है। घनत्व को सामान्यतः गैर-अभिमुख मैनिफोल्ड्स पर भी परिभाषित किया जा सकता है।

कोई भी आयतन छद्म रूप $\omega$