ब्राउनियन ब्रिज

ब्राउनियन गति, दोनों सिरों पर पिन की गई। यह एक ब्राउनियन ब्रिज का प्रतिनिधित्व करता है।

एक ब्राउनियन ब्रिज एक निरंतर-समय की स्टोकेस्टिक प्रक्रिया बी(टी) है जिसका प्रायिकता वितरण एक मानक वीनर प्रक्रिया डब्ल्यू(टी) का सशर्त प्रायिकता वितरण है (एक गणितीय एक प्रकार कि गति का मॉडल) शर्त के अधीन (जब मानकीकृत) कि W(T) = 0, ताकि प्रक्रिया को t = 0 और 'दोनों पर समान मान पर पिन किया जा सके 'टी = टी। ज्यादा ठीक:

$B_{t}:=(W_{t}\mid W_{T}=0),\;t\in [0,T]$

अंतराल [0,T] में किसी भी t पर पुल का अपेक्षित मान शून्य है, विचरण के साथ $\textstyle {\frac {t(T-t)}{T}}$, जिसका अर्थ है कि सबसे अधिक अनिश्चितता पुल के बीच में है, नोड्स पर शून्य अनिश्चितता के साथ। B(s) और B(t) का सहप्रसरण है $\min(s,t)-{\frac {s\,t}{T}}$, या s(T − t)/T अगर s < t। ब्राउनियन ब्रिज में वेतन वृद्धि स्वतंत्र नहीं है।

अन्य स्टोकेस्टिक प्रक्रियाओं से संबंध

यदि W(t) एक मानक वीनर प्रक्रिया है (अर्थात, t ≥ 0 के लिए, W(t) अपेक्षित मान 0 और प्रसरण t, और लेवी प्रक्रिया के साथ सामान्य वितरण है), तो

$B(t)=W(t)-{\frac {t}{T}}W(T)\,$

t ∈ [0, T] के लिए ब्राउनियन ब्रिज है। यह W(T) से स्वतंत्र है इसके विपरीत, यदि B(t) एक ब्राउनियन ब्रिज है और Z एक मानक सामान्य वितरण यादृच्छिक चर है जो B से स्वतंत्र है, तो प्रक्रिया

$W(t)=B(t)+tZ\,$

t ∈ [0, 1] के लिए एक वीनर प्रक्रिया है। आम तौर पर, t ∈ [0, T] के लिए एक वीनर प्रक्रिया W(t) को विघटित किया जा सकता है

$W(t)={\sqrt {T}}B\left({\frac {t}{T}}\right)+{\frac {t}{\sqrt {T}}}Z.$

ब्राउनियन गति पर आधारित ब्राउनियन ब्रिज का एक और प्रतिनिधित्व है, t ∈ [0, T] के लिए

$B(t)={\frac {T-t}{\sqrt {T}}}W\left({\frac {t}{T-t}}\right).$

इसके विपरीत, टी ∈ [0, ∞] के लिए

$W(t)={\frac {T+t}{T}}B\left({\frac {Tt}{T+t}}\right).$

ब्राउनियन ब्रिज को स्टोचैस्टिक गुणांक के साथ फूरियर श्रृंखला के रूप में भी दर्शाया जा सकता है

$B_{t}=\sum _{k=1}^{\infty }Z_{k}{\frac {{\sqrt {2T}}\sin(k\pi t/T)}{k\pi }}$

कहाँ $Z_{1},Z_{2},\ldots$ समान रूप से वितरित मानक सामान्य यादृच्छिक चर स्वतंत्र हैं (करहुनेन-लोएव प्रमेय देखें)।

एक ब्राउनियन पुल अनुभवजन्य प्रक्रियाओं के क्षेत्र में डोंस्कर के प्रमेय का परिणाम है। यह सांख्यिकीय अनुमान के क्षेत्र में कोलमोगोरोव-स्मिर्नोव परीक्षण में भी प्रयोग किया जाता है।

सहज टिप्पणी

एक मानक वीनर प्रक्रिया W(0) = 0 को संतुष्ट करती है और इसलिए मूल से बंधी हुई है, लेकिन अन्य बिंदु प्रतिबंधित नहीं हैं। दूसरी ओर ब्राउनियन ब्रिज प्रक्रिया में, न केवल बी (0) = 0 है बल्कि हमें यह भी आवश्यक है कि बी (टी) = 0, यानी प्रक्रिया टी = टी पर भी बंधी हुई है। जैसे शाब्दिक पुल दोनों सिरों पर तोरणों द्वारा समर्थित होता है, वैसे ही अंतराल [0,T] के दोनों सिरों पर शर्तों को पूरा करने के लिए एक ब्राउनियन ब्रिज की आवश्यकता होती है। (थोड़े सामान्यीकरण में, किसी को कभी-कभी बी (टी) की आवश्यकता होती है₁) = ए और बी (टी₂) = बी जहां टी₁, टी₂, ए और बी ज्ञात स्थिरांक हैं।)

मान लीजिए कि हमने कंप्यूटर सिमुलेशन द्वारा वीनर प्रोसेस पाथ के कई बिंदु W(0), W(1), W(2), W(3), आदि उत्पन्न किए हैं। अब यह अंतराल [0,T] में अतिरिक्त बिंदुओं को भरने के लिए वांछित है, जो कि पहले से उत्पन्न बिंदुओं W(0) और W(T) के बीच प्रक्षेपित करना है। इसका समाधान एक ब्राउनियन ब्रिज का उपयोग करना है जो मूल्यों W(0) और W(T) से गुजरने के लिए आवश्यक है।

सामान्य मामला

सामान्य स्थिति के लिए जब B(t₁) = ए और बी (टी₂) = b, समय t ∈ (t₁, टी₂) अपेक्षित मूल्य के साथ सामान्य वितरण है

$a+{\frac {t-t_{1}}{t_{2}-t_{1}}}(b-a)$

और विचरण

${\frac {(t_{2}-t)(t-t_{1})}{t_{2}-t_{1}}},$

और s < t के साथ B(s) और B(t) के बीच सहप्रसरण है

${\frac {(t_{2}-t)(s-t_{1})}{t_{2}-t_{1}}}.$

संदर्भ

• Glasserman, Paul (2004). Monte Carlo Methods in Financial Engineering. New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-00451-3.
• Revuz, Daniel; Yor, Marc (1999). Continuous Martingales and Brownian Motion (2nd ed.). New York: Springer-Verlag. ISBN 3-540-57622-3.