अपूर्ण संख्या

संख्या 8 की कमी का प्रदर्शन, Cuisenaire छड़ के साथ

संख्या सिद्धांत में, एक कमी संख्या या दोषपूर्ण संख्या एक संख्या n है जिसके लिए विभाजक फ़ंक्शनn की परिभाषा 2n से कम है। समतुल्य रूप से, यह एक संख्या है जिसके लिए उचित भाजक (या विभाज्य योग) का योग n से कम है। उदाहरण के लिए, 8 के उचित विभाजक 1, 2 और 4 हैं, और उनका योग 8 से कम है, इसलिए 8 कम है।

विभाजकों के योग को σ(n) द्वारा नकारना, मान 2n − σ(n) को संख्या की कमी कहा जाता है। विभाज्य राशि s(n) के संदर्भ में, कमी है n − s(n)।

उदाहरण

पहले कुछ अपूर्ण संख्याएँ हैं

1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10, 11, 13, 14, 15, 16, 17, 19, 21, 22, 23, 25, 26, 27, 29, 31, 32 , 33, 34, 35, 37, 38, 39, 41, 43, 44, 45, 46, 47, 49, 50, ... (sequence A005100 in the OEIS)

एक उदाहरण के रूप में, संख्या 21 पर विचार करें। इसके भाजक 1, 3, 7 और 21 हैं, और उनका योग 32 है। क्योंकि 32 संख्या 42 से कम है, संख्या 21 अपूर्ण है। इसकी कमी 2 × 21 − 32 = 10 होती है।

गुण

चूँकि अभाज्य संख्याओं का विभाज्य योग 1 के बराबर होता है, सभी अभाज्य संख्याएँ अपूर्ण होती हैं। अधिक आम तौर पर, एक या दो भिन्न अभाज्य गुणनखण्ड वाली सभी विषम संख्याएँ अपूर्ण होती हैं। इससे पता चलता है कि अपरिमित रूप से अनेक विषम संख्याएँ अपूर्ण संख्याएँ हैं। सम संख्या की कमी वाली संख्याओं की अनंत संख्या भी होती है क्योंकि दो की सभी शक्तियों का योग होता है (1 + 2 + 4 + 8 + ... + 2^x-1 = 2^x - 1).

अधिक आम तौर पर, सभी प्रमुख शक्तियाँ $p^{k}$ कमी हैं क्योंकि उनके एकमात्र उचित भाजक हैं $1,p,p^{2},\dots ,p^{k-1}$ जिसका योग है ${\frac {p^{k}-1}{p-1}}$, जो कि अधिक से अधिक है $p^{k}-1$.

अपूर्ण संख्याओं के सभी उचित विभाजक त्रुटिपूर्ण होते हैं। इसके अलावा, पूर्ण संख्याओं के सभी उचित विभाजक त्रुटिपूर्ण हैं। अंतराल में कम से कम एक कमी संख्या मौजूद है $[n,n+(\log n)^{2}]$ सभी के लिए पर्याप्त रूप से बड़ा एन।

संबंधित अवधारणाएं

File:Euler diagram numbers with many divisors.svg

Euler diagram of abundant, primitive abundant, highly abundant, superabundant, colossally abundant, highly composite, superior highly composite, weird and perfect numbers under 100 in relation to deficient and composite numbers

σ(n) = 2n के साथ परिपूर्ण संख्याएं, और σ(n) > 2n के साथ प्रचुर संख्याएं हैं।

प्राकृतिक संख्याओं को सबसे पहले अंकगणित के अपने परिचय (लगभग 100 CE) में निकोमाचस द्वारा या तो कमी, पूर्ण या प्रचुरता के रूप में वर्गीकृत किया गया था।

यह भी देखें

• लगभग पूर्ण संख्या
• सौहार्दपूर्ण संख्या
• मिलनसार संख्या
• अत्यधिक संख्या

संदर्भ

• Sándor, József; Mitrinović, Dragoslav S.; Crstici, Borislav, eds. (2006). Handbook of number theory I. Dordrecht: Springer-Verlag. ISBN 1-4020-4215-9. Zbl 1151.11300.

बाहरी संबंध

• The Prime Glossary: Deficient number
• Weisstein, Eric W. "Deficient Number". MathWorld.
• deficient number at PlanetMath.