हुक का नियम

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हुक का नियम: बल विस्तार के समानुपाती होता है

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भौंरा ट्यूब हुक के नियम पर आधारित हैं। ऊपर कुंडलित धातु ट्यूब के अंदर गैस के दबाव द्वारा बनाया गया बल इसे दबाव के समानुपाती मात्रा में खोल देता है।

File:Balancier avec ressort spiral.png

कई यांत्रिक घड़ियों और घड़ियों के मूल में संतुलन चक्र हुक के नियम पर निर्भर करता है। चूंकि कुंडलित वसंत द्वारा उत्पन्न टोक़ पहिया द्वारा घुमाए गए कोण के समानुपाती होता है, इसके दोलनों की अवधि लगभग स्थिर होती है।

भौतिकी में, हुक का नियम एक अनुभवजन्य नियम है जो बताता है कि बल (F) किसी वसंत (उपकरण)उपकरण) को कुछ दूरी तक बढ़ाने या संपीड़ित करने के लिए आवश्यक (x) समानुपातिकता (गणित)#प्रत्यक्ष_आनुपातिकता उस दूरी के संबंध में—अर्थात्, F_s = kx, कहाँ k वसंत की एक स्थिर कारक विशेषता है (यानी, इसकी कठोरता), और x वसंत के कुल संभावित विरूपण की तुलना में छोटा है। कानून का नाम 17वीं सदी के ब्रिटिश भौतिक विज्ञानी रॉबर्ट हुक के नाम पर रखा गया है। उन्होंने पहली बार 1676 में कानून को लैटिन अनाग्राम के रूप में बताया। उन्होंने 1678 में अपने विपर्यय का समाधान प्रकाशित किया जैसा: ut tensio, sic vis (विस्तार के रूप में, इसलिए बल या विस्तार बल के समानुपाती होता है)। हूक ने 1678 के काम में कहा है कि वह 1660 से कानून के बारे में जानता था।

हूक का समीकरण कई अन्य स्थितियों में (कुछ हद तक) होता है जहां एक लोच (भौतिकी) शरीर विरूपण (भौतिकी) है, जैसे कि एक ऊंची इमारत पर हवा का बहना, और एक संगीतकार गिटार की एक तार (संगीत) बजाता है। एक लोचदार शरीर या सामग्री जिसके लिए इस समीकरण को ग्रहण किया जा सकता है, उसे रैखिक लोच कहा जाता है। रैखिक-लोचदार या हुकियन।

हुक का नियम लागू बलों के लिए स्प्रिंग्स और अन्य लोचदार निकायों की वास्तविक प्रतिक्रिया के लिए केवल एक टेलर श्रृंखला | प्रथम-क्रम रैखिक सन्निकटन है। एक बार जब बल कुछ सीमा से अधिक हो जाते हैं, तो यह अंततः विफल हो जाता है, क्योंकि कोई भी सामग्री एक निश्चित न्यूनतम आकार से परे संकुचित नहीं हो सकती है, या बिना किसी स्थायी विरूपण या राज्य के परिवर्तन के अधिकतम आकार से आगे बढ़ाया जा सकता है। उन लोचदार सीमाओं तक पहुंचने से पहले कई सामग्रियां हूक के नियम से स्पष्ट रूप से विचलित हो जाएंगी।

दूसरी ओर, हूक का नियम अधिकांश ठोस पिंडों के लिए एक सटीक सन्निकटन है, जब तक कि बल और विकृति काफी कम हैं। इस कारण से, विज्ञान और इंजीनियरिंग की सभी शाखाओं में हूक के नियम का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है, और यह भूकंप विज्ञान, आणविक यांत्रिकी और ध्वनिकी जैसे कई विषयों की नींव है। यह वसंत पैमाने , दबाव नापने का यंत्र , बिजली की शक्ति नापने का यंत्र और यांत्रिक घड़ी के बैलेंस व्हील के पीछे भी मूलभूत सिद्धांत है।

प्रत्यास्थता का आधुनिक सिद्धांत हूक के नियम को यह कहने के लिए सामान्यीकृत करता है कि एक लोचदार वस्तु या सामग्री का विरूपण (यांत्रिकी) (विरूपण) उस पर लागू तनाव (यांत्रिकी) के समानुपाती होता है। हालांकि, चूंकि सामान्य तनाव और तनाव में कई स्वतंत्र घटक हो सकते हैं, आनुपातिकता कारक अब केवल एक वास्तविक संख्या नहीं हो सकता है, बल्कि एक रैखिक मानचित्र (एक टेन्सर) है जिसे वास्तविक संख्याओं के मैट्रिक्स (गणित) द्वारा दर्शाया जा सकता है।

इस सामान्य रूप में, हुक का नियम उन सामग्रियों के आंतरिक गुणों के संदर्भ में जटिल वस्तुओं के लिए तनाव और तनाव के बीच संबंध को कम करना संभव बनाता है जिससे वे बने हैं। उदाहरण के लिए, कोई यह निष्कर्ष निकाल सकता है कि समान अनुप्रस्थ काट (ज्यामिति) के साथ एक सजातीय छड़ एक साधारण स्प्रिंग की तरह व्यवहार करेगी जब उसे खींचा जाएगा, एक कठोरता के साथ k इसके क्रॉस-सेक्शन क्षेत्र के सीधे आनुपातिक और इसकी लंबाई के व्युत्क्रमानुपाती।

औपचारिक परिभाषा

रैखिक स्प्रिंग्स के लिए

एक साधारण कुंडलित वक्रता स्प्रिंग पर विचार करें जिसका एक सिरा किसी स्थिर वस्तु से जुड़ा है, जबकि मुक्त सिरे को एक बल द्वारा खींचा जा रहा है जिसका परिमाण है F_s. मान लीजिए कि वसंत यांत्रिक संतुलन की स्थिति में पहुंच गया है, जहां इसकी लंबाई अब नहीं बदल रही है। होने देना x वह राशि हो जिससे स्प्रिंग का मुक्त सिरा अपनी आराम की स्थिति से विस्थापित हो गया (जब इसे खींचा नहीं जा रहा हो)। हूक का नियम कहता है कि

$$F_{s}=kx$$

या, समकक्ष,

$$x={\frac {F_{s}}{k}}$$

कहाँ k एक सकारात्मक वास्तविक संख्या है, जो वसंत की विशेषता है। इसके अलावा, एक ही सूत्र धारण करता है जब वसंत को संकुचित किया जाता है F_s और x उस मामले में दोनों नकारात्मक। इस सूत्र के अनुसार, लागू बल के एक कार्य का ग्राफ F_s विस्थापन के एक समारोह के रूप में x कार्तीय निर्देशांकों से गुजरने वाली एक सीधी रेखा होगी, जिसका ढाल है k.

एक वसंत के लिए हुक का नियम कभी-कभी, लेकिन शायद ही कभी, सम्मेलन के तहत कहा गया है कि F_s जो कुछ भी इसके मुक्त सिरे को खींच रहा है, उस पर स्प्रिंग द्वारा लगाया गया प्रत्यानयन बल है। ऐसे में समीकरण बन जाता है

$$F_{s}=-kx$$

क्योंकि प्रत्यानयन बल की दिशा विस्थापन की दिशा के विपरीत होती है।

सामान्य स्केलर स्प्रिंग्स

हूक का वसंत नियम आमतौर पर किसी भी लोचदार वस्तु पर लागू होता है, मनमाने ढंग से जटिलता के रूप में, जब तक विरूपण और तनाव दोनों को एक ही संख्या द्वारा व्यक्त किया जा सकता है जो सकारात्मक और नकारात्मक दोनों हो सकता है।

उदाहरण के लिए, जब दो समानांतर प्लेटों से जुड़ा रबर का एक ब्लॉक खींच या संपीड़न के बजाय सरल कर्तन द्वारा विकृत होता है, तो कतरनी बल F_s और पार्श्व में प्लेटों का विस्थापन x हुक के नियम का पालन करें (पर्याप्त छोटी विकृतियों के लिए)।

हुक का नियम तब भी लागू होता है जब एक सीधी स्टील बार या कंक्रीट बीम (जैसे कि इमारतों में इस्तेमाल की जाने वाली बीम), दोनों सिरों पर समर्थित होती है, वजन से मुड़ी होती है F किसी मध्यवर्ती बिंदु पर रखा गया। विस्थापन x इस मामले में बीम का विचलन है, जिसे अनुप्रस्थ दिशा में मापा जाता है, इसके अनलोड आकार के सापेक्ष।

यह नियम तब भी लागू होता है जब एक तने हुए स्टील के तार को एक सिरे से जुड़े लीवर को खींचकर मरोड़ा जाता है। ऐसे में तनाव F_s को लीवर पर लगाए गए बल के रूप में लिया जा सकता है, और x उसके द्वारा अपने वृत्ताकार पथ के साथ तय की गई दूरी के रूप में। या, समकक्ष, कोई दे सकता है F_s लीवर द्वारा तार के अंत में लगाया गया टॉर्कः हो, और x वह कोण हो जिससे वह सिरा मुड़ता है। किसी भी मामले में F_s के लिए आनुपातिक है x (हालांकि स्थिर k प्रत्येक मामले में अलग है।)

वेक्टर सूत्रीकरण

एक पेचदार स्प्रिंग के मामले में जो अपनी धुरी (गणित) के साथ फैला या संकुचित होता है, लागू (या बहाल) बल और परिणामी बढ़ाव या संपीड़न की एक ही दिशा होती है (जो उक्त अक्ष की दिशा है)। इसलिए, अगर F_s और x को वेक्टर (गणित) के रूप में परिभाषित किया गया है, हुक का समीकरण अभी भी कायम है और कहता है कि बल वेक्टर विस्थापन (वेक्टर) एक निश्चित स्केलर (गणित) से गुणा है।

सामान्य टेन्सर रूप

एक अलग दिशा के बल के अधीन होने पर कुछ लोचदार निकाय एक दिशा में विकृत हो जाएंगे। एक उदाहरण गैर-स्क्वायर आयताकार क्रॉस सेक्शन वाला एक क्षैतिज लकड़ी का बीम है जो अनुप्रस्थ भार से मुड़ा हुआ है जो न तो लंबवत है और न ही क्षैतिज है। ऐसे मामलों में, विस्थापन का परिमाण x बल के परिमाण के समानुपाती होगा F_s, जब तक बाद की दिशा समान रहती है (और इसका मान बहुत बड़ा नहीं है); इसलिए हुक के नियम का अदिश संस्करण F_s = −kx रोक लेंगे। हालाँकि, बल और विस्थापन सदिश एक दूसरे के अदिश गुणक नहीं होंगे, क्योंकि उनकी अलग-अलग दिशाएँ हैं। इसके अलावा, अनुपात k उनके परिमाण के बीच सदिश की दिशा पर निर्भर करेगा F_s.

फिर भी, ऐसे मामलों में अक्सर बल और विरूपण सदिशों के बीच एक निश्चित रेखीय नक्शा होता है, जब तक कि वे काफी छोटे होते हैं। अर्थात्, एक कार्य है (गणित) κ वैक्टर से वैक्टर तक, जैसे कि F = κ(X), और κ(αX₁ + βX₂) = ακ(X₁) + βκ(X₂) किसी भी वास्तविक संख्या के लिए α, β और कोई भी विस्थापन वेक्टर X₁, X₂. इस तरह के फ़ंक्शन को (द्वितीय क्रम) टेन्सर कहा जाता है।

मनमाने कार्टेशियन निर्देशांक के संबंध में, बल और विस्थापन वैक्टर को वास्तविक संख्याओं के 3 × 1 मैट्रिक्स (गणित) द्वारा दर्शाया जा सकता है। फिर टेंसर κ उन्हें जोड़ने को 3 × 3 मैट्रिक्स द्वारा दर्शाया जा सकता है {{mvar|κ}वास्तविक गुणांकों का }, कि, जब मैट्रिक्स उत्पाद विस्थापन सदिश द्वारा, बल सदिश देता है:

$$\mathbf {F} \,=\,{\begin{bmatrix}F_{1}\\F_{2}\\F_{3}\end{bmatrix}}\,=\,{\begin{bmatrix}\kappa _{11}&\kappa _{12}&\kappa _{13}\\\kappa _{21}&\kappa _{22}&\kappa _{23}\\\kappa _{31}&\kappa _{32}&\kappa _{33}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}X_{1}\\X_{2}\\X_{3}\end{bmatrix}}\,=\,{\boldsymbol {\kappa }}\mathbf {X}$$

वह है,

$$F_{i}=\kappa _{i1}X_{1}+\kappa _{i2}X_{2}+\kappa _{i3}X_{3}$$

के लिए i = 1, 2, 3. इसलिए, हुक का नियम F = κX को होल्ड करने के लिए भी कहा जा सकता है X और F परिवर्तनशील दिशाओं वाले सदिश हैं, सिवाय इसके कि वस्तु की कठोरता एक टेन्सर है κ, एक वास्तविक संख्या के बजाय k.

निरंतर मीडिया के लिए हुक का नियम

Main article: linear elasticity

File:Hookes law nanoscale.jpg

(ए) एक बहुलक नैनोस्प्रिंग की योजनाबद्ध। कुंडल त्रिज्या, आर, पिच, पी, वसंत की लंबाई, एल, और घुमावों की संख्या, एन, क्रमशः 2.5 माइक्रोन, 2.0 माइक्रोन, 13 माइक्रोन और 4 हैं। नैनोस्प्रिंग के इलेक्ट्रॉन माइक्रोग्राफ, लोड करने से पहले (बी-ई), फैला हुआ (एफ), संपीड़ित (जी), मुड़ा हुआ (एच), और बरामद (i)। सभी स्केल बार 2μm हैं। वसंत लागू बल के खिलाफ एक रैखिक प्रतिक्रिया का पालन करता है, नैनोस्केल पर हुक के कानून की वैधता का प्रदर्शन करता है।

एक सतत यांत्रिकी लोचदार सामग्री (जैसे रबड़ का एक ब्लॉक, बायलर की दीवार, या स्टील बार) के अंदर सामग्री के तनाव और उपभेद एक रैखिक संबंध से जुड़े होते हैं जो हुक के वसंत कानून के समान गणितीय रूप से समान होता है, और अक्सर होता है उस नाम से जाना जाता है।

हालाँकि, किसी बिंदु के आसपास ठोस माध्यम में तनाव की स्थिति को एक सदिश द्वारा वर्णित नहीं किया जा सकता है। सामग्री का एक ही पार्सल, चाहे वह कितना भी छोटा क्यों न हो, एक ही समय में अलग-अलग दिशाओं में संकुचित, खींचा और कतरा जा सकता है। इसी तरह, उस पार्सल में तनाव एक साथ धकेलना, खींचना और कतरना हो सकता है।

इस जटिलता को पकड़ने के लिए, एक बिंदु के आसपास माध्यम की प्रासंगिक स्थिति को दो-द्वितीय क्रम के टेंसर, तनाव टेंसर द्वारा दर्शाया जाना चाहिए ε (विस्थापन के बदले में X) और कौशी तनाव टेन्सर σ (पुनर्स्थापना बल की जगह F). निरंतर मीडिया के लिए हुक के वसंत नियम का अनुरूप है

$${\boldsymbol {\sigma }}=\mathbf {c} {\boldsymbol {\varepsilon }},$$

कहाँ c एक चौथे क्रम का टेन्सर है (अर्थात, दूसरे क्रम के टेंसरों के बीच एक रेखीय मानचित्र) जिसे आमतौर पर कठोरता टेंसर या लोच टेंसर कहा जाता है। कोई इसे इस रूप में भी लिख सकता है

$${\boldsymbol {\varepsilon }}=\mathbf {s} {\boldsymbol {\sigma }},$$

जहां टेंसर s, जिसे कठोरता टेन्सर कहा जाता है, उक्त रेखीय मानचित्र के व्युत्क्रम का प्रतिनिधित्व करता है।

कार्टेशियन समन्वय प्रणाली में, तनाव और तनाव टेंसरों को 3 × 3 आव्यूहों द्वारा दर्शाया जा सकता है

$${\boldsymbol {\varepsilon }}\,=\,{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}&\varepsilon _{12}&\varepsilon _{13}\\\varepsilon _{21}&\varepsilon _{22}&\varepsilon _{23}\\\varepsilon _{31}&\varepsilon _{32}&\varepsilon _{33}\end{bmatrix}}\,;\qquad {\boldsymbol {\sigma }}\,=\,{\begin{bmatrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}&\sigma _{13}\\\sigma _{21}&\sigma _{22}&\sigma _{23}\\\sigma _{31}&\sigma _{32}&\sigma _{33}\end{bmatrix}}$$

नौ नंबरों के बीच एक रेखीय मानचित्रण होना σ_ij और नौ नंबर ε_kl, कठोरता टेंसर c के मैट्रिक्स द्वारा दर्शाया गया है 3 × 3 × 3 × 3 = 81 वास्तविक संख्या c_ijkl. हुक का नियम तब कहता है

$$\sigma _{ij}=\sum _{k=1}^{3}\sum _{l=1}^{3}c_{ijkl}\varepsilon _{kl}$$

कहाँ i,j = 1,2,3.

तीनों टेंसर आम तौर पर माध्यम के अंदर एक बिंदु से दूसरे बिंदु तक भिन्न होते हैं, और समय के साथ-साथ भिन्न भी हो सकते हैं। तनाव टेंसर ε केवल बिंदु के पड़ोस में मध्यम कणों के विस्थापन को निर्दिष्ट करता है, जबकि तनाव टेन्सर σ उन बलों को निर्दिष्ट करता है जो माध्यम के पड़ोसी पार्सल एक दूसरे पर कार्य कर रहे हैं। इसलिए, वे सामग्री की संरचना और भौतिक स्थिति से स्वतंत्र हैं। कठोरता टेंसर c, दूसरी ओर, सामग्री का एक गुण है, और अक्सर तापमान, दबाव और सूक्ष्म जैसे भौतिक अवस्था चर पर निर्भर करता है।

की अंतर्निहित समरूपता के कारण σ, ε, और c, बाद के केवल 21 लोचदार गुणांक स्वतंत्र हैं। सामग्री की समरूपता द्वारा इस संख्या को और कम किया जा सकता है: 9 एक ऑर्थोरोम्बिक क्रिस्टल सिस्टम क्रिस्टल के लिए, 5 हेक्सागोनल क्रिस्टल परिवार संरचना के लिए, और 3 घन क्रिस्टल प्रणाली समरूपता के लिए। समदैशिक मीडिया के लिए (जिसमें किसी भी दिशा में समान भौतिक गुण होते हैं), c को केवल दो स्वतंत्र संख्याओं, थोक मापांक तक घटाया जा सकता है K और कतरनी मापांक G, जो क्रमशः मात्रा में परिवर्तन और कतरनी विकृतियों के लिए सामग्री के प्रतिरोध को मापता है।

अनुरूप कानून

चूंकि हुक का नियम दो मात्राओं के बीच एक सरल आनुपातिकता है, इसके सूत्र और परिणाम गणितीय रूप से कई अन्य भौतिक कानूनों के समान हैं, जैसे कि तरल पदार्थ की गति का वर्णन करने वाले, या विद्युत क्षेत्र द्वारा ढांकता हुआ का आयनिक ध्रुवीकरण।

विशेष रूप से, टेंसर समीकरण σ = cε इलास्टिक स्ट्रेस को स्ट्रेन से संबंधित करना पूरी तरह से समीकरण के समान है τ = με̇ चिपचिपा तनाव टेंसर से संबंधित τ और तनाव दर टेंसर ε̇ चिपचिपापन तरल पदार्थ के प्रवाह में; हालांकि पूर्व स्थिति-विज्ञान स्ट्रेस (विरूपण की मात्रा से संबंधित) से संबंधित है, जबकि बाद वाला गतिकी (भौतिकी)भौतिकी) स्ट्रेस (विरूपण की दर से संबंधित) से संबंधित है।

माप की इकाइयाँ

इकाइयों की अंतर्राष्ट्रीय प्रणाली में, विस्थापन मीटर (एम) में मापा जाता है, और न्यूटन (यूनिट) एस (एन या किग्रा·एम/एस) में बल²). इसलिए, वसंत स्थिरांक k, और टेंसर का प्रत्येक तत्व κ, न्यूटन प्रति मीटर (N/m), या किलोग्राम प्रति वर्ग सेकंड (kg/s) में मापा जाता है²).

निरंतर मीडिया के लिए, तनाव टेंसर का प्रत्येक तत्व σ एक क्षेत्र द्वारा विभाजित बल है; इसलिए इसे दबाव की इकाइयों में मापा जाता है, अर्थात् पास्कल (यूनिट) s (Pa, या N/m², या किग्रा/(मि·से²). तनाव टेंसर के तत्व ε आयामहीन होते हैं (विस्थापनों को दूरियों से विभाजित किया जाता है)। इसलिए, की प्रविष्टियाँ c_ijkl को दबाव की इकाइयों में भी व्यक्त किया जाता है।

लोचदार सामग्री के लिए सामान्य आवेदन

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Stress–strain curve for low-carbon steel, showing the relationship between the stress (force per unit area) and strain (resulting compression/stretching, known as deformation). Hooke's law is only valid for the portion of the curve between the origin and the yield point (2).

• 1: Ultimate strength
• 2: Yield strength (yield point)
• 3: Rupture
• 4: Strain hardening region
• 5: Necking region
• A: Apparent stress (F/A₀)
• B: Actual stress (F/A)

वस्तुएं जो एक बल द्वारा विकृत होने के बाद जल्दी से अपने मूल आकार को पुनः प्राप्त कर लेती हैं, उनकी सामग्री के अणुओं या परमाणुओं के साथ स्थिर संतुलन की प्रारंभिक स्थिति में लौट आती हैं, अक्सर हुक के नियम का पालन करती हैं।

हुक का नियम केवल कुछ सामग्रियों के लिए कुछ लोडिंग शर्तों के तहत लागू होता है। अधिकांश इंजीनियरिंग अनुप्रयोगों में स्टील रैखिक-लोचदार व्यवहार प्रदर्शित करता है; हूक का नियम इसके पूरे लोचदार रेंज (यानी, उपज (इंजीनियरिंग) के नीचे के तनावों के लिए) के लिए मान्य है। कुछ अन्य सामग्रियों के लिए, जैसे कि एल्यूमीनियम, हुक का नियम केवल लोचदार सीमा के एक हिस्से के लिए मान्य है। इन सामग्रियों के लिए एक आनुपातिक सीमा तनाव परिभाषित किया गया है, जिसके नीचे रैखिक सन्निकटन से जुड़ी त्रुटियां नगण्य हैं।

रबर को आम तौर पर एक गैर-हुकेन सामग्री के रूप में माना जाता है क्योंकि इसकी लोच तनाव पर निर्भर होती है और तापमान और लोडिंग दर के प्रति संवेदनशील होती है।

परिमित तनाव सिद्धांत के मामले में हुक के नियम का सामान्यीकरण नव-हुकियन ठोस और मूनी-रिवलिन ठोस के मॉडल द्वारा प्रदान किया गया है।

व्युत्पन्न सूत्र

एक समान पट्टी का तनाव तनाव

किसी भी लोच (भौतिकी) सामग्री की एक छड़ को रैखिक वसंत (उपकरण) के रूप में देखा जा सकता है। छड़ की लम्बाई होती है L और पार के अनुभागीय क्षेत्र A. इसका तन्यता तनाव σ इसके भिन्नात्मक विस्तार या तनाव के रैखिक रूप से आनुपातिक है ε लोच के मापांक द्वारा E:

$$\sigma =E\varepsilon .$$

लोच के मापांक को अक्सर स्थिर माना जा सकता है। के बदले में,

$$\varepsilon ={\frac {\Delta L}{L}}$$

(यानी, लंबाई में भिन्नात्मक परिवर्तन), और तब से

$$\sigma ={\frac {F}{A}}\,,$$

यह इस प्रकार है कि:

$$\varepsilon ={\frac {\sigma }{E}}={\frac {F}{AE}}\,.$$

लंबाई में परिवर्तन के रूप में व्यक्त किया जा सकता है

$$\Delta L=\varepsilon L={\frac {FL}{AE}}\,.$$

वसंत ऊर्जा

संभावित ऊर्जा U_el(x) एक वसंत में संग्रहीत द्वारा दिया जाता है

$$U_{\mathrm {el} }(x)={\tfrac {1}{2}}kx^{2}$$

जो स्प्रिंग को संवर्धित रूप से संपीडित करने में लगने वाली ऊर्जा को जोड़ने से आता है। अर्थात्, विस्थापन पर बल का समाकलन। चूंकि बाहरी बल की दिशा विस्थापन के समान ही होती है, स्प्रिंग की स्थितिज ऊर्जा हमेशा गैर-ऋणात्मक होती है।

यह क्षमता U_el पर परवलय के रूप में देखा जा सकता है Ux-विमान ऐसा कि U_el(x) = 1/2kx². चूंकि वसंत सकारात्मक में फैला हुआ है x-दिशा, संभावित ऊर्जा परवलयिक रूप से बढ़ती है (वसंत के संकुचित होने पर भी ऐसा ही होता है)। चूँकि संभावित ऊर्जा में परिवर्तन एक स्थिर दर से बदलता है:

$${\frac {d^{2}U_{\mathrm {el} }}{dx^{2}}}=k\,.$$

ध्यान दें कि परिवर्तन में परिवर्तन U विस्थापन और त्वरण शून्य होने पर भी स्थिर रहता है।

शिथिल बल स्थिरांक (सामान्यीकृत अनुपालन स्थिरांक)

आराम से बल स्थिरांक (सामान्यीकृत अनुपालन स्थिरांक के व्युत्क्रम) आणविक प्रणालियों के लिए विशिष्ट रूप से परिभाषित होते हैं, जो सामान्य कठोर बल स्थिरांक के विपरीत होते हैं, और इस प्रकार उनका उपयोग अभिकारकों, संक्रमण अवस्थाओं और उत्पादों के लिए गणना किए गए बल क्षेत्रों के बीच सार्थक सहसंबंध बनाने की अनुमति देता है। एक रासायनिक प्रतिक्रिया। जिस प्रकार स्थितिज ऊर्जा को आंतरिक निर्देशांकों में द्विघात रूप में लिखा जा सकता है, उसी प्रकार इसे सामान्यीकृत बलों के रूप में भी लिखा जा सकता है। परिणामी गुणांकों को अनुपालन स्थिरांक कहा जाता है। सामान्य मोड विश्लेषण करने की आवश्यकता के बिना, अणु के किसी भी आंतरिक समन्वय के लिए अनुपालन स्थिरांक की गणना के लिए एक प्रत्यक्ष विधि मौजूद है। सहसंयोजक बंधन शक्ति वर्णनकर्ता के रूप में शिथिल बल स्थिरांक (प्रतिलोम अनुपालन स्थिरांक) की उपयुक्तता को 1980 की शुरुआत में प्रदर्शित किया गया था। हाल ही में, गैर-सहसंयोजक बंधन शक्ति वर्णनकर्ता के रूप में उपयुक्तता का भी प्रदर्शन किया गया था।

हार्मोनिक ऑसिलेटर

See also: Harmonic oscillator

File:Mass-spring-system.png

एक वसंत द्वारा निलंबित द्रव्यमान एक हार्मोनिक ऑसीलेटर का शास्त्रीय उदाहरण है

एक द्रव्यमान m एक स्प्रिंग के अंत से जुड़ी एक लयबद्ध दोलक का एक उत्कृष्ट उदाहरण है। द्रव्यमान पर थोड़ा सा खींचकर और फिर इसे छोड़ कर, सिस्टम संतुलन की स्थिति के बारे में साइन लहर दोलन गति में सेट हो जाएगा। जिस हद तक कमानी हुक के नियम का पालन करती है, और कोई घर्षण और कमानी के द्रव्यमान की उपेक्षा कर सकता है, दोलन का आयाम स्थिर रहेगा; और इसकी आवृत्ति f इसके आयाम से स्वतंत्र होगा, केवल द्रव्यमान और वसंत की कठोरता से निर्धारित होता है:

$$f={\frac {1}{2\pi }}{\sqrt {\frac {k}{m}}}$$

इस घटना ने सटीक यांत्रिक घड़ियों और घड़ियों के निर्माण को संभव बनाया जिन्हें जहाजों और लोगों की जेबों पर ले जाया जा सकता था।

गुरुत्व मुक्त स्थान में घूर्णन

यदि द्रव्यमान m बल स्थिरांक वाले स्प्रिंग से जुड़े थे k और मुक्त स्थान में घूमते हुए, स्प्रिंग तनाव (F_t) आवश्यक केन्द्रापसारक बल की आपूर्ति करेगा (F_c):

$$F_{\mathrm {t} }=kx\,;\qquad F_{\mathrm {c} }=m\omega ^{2}r$$

तब से F_t = F_c और x = r, तब:

$$k=m\omega ^{2}$$

मान लें कि ω = 2πf, यह उपरोक्त के समान आवृत्ति समीकरण की ओर जाता है:

$$f={\frac {1}{2\pi }}{\sqrt {\frac {k}{m}}}$$

निरंतर मीडिया के लिए रैखिक लोच सिद्धांत

See also: Elasticity tensor

Note: the Einstein summation convention of summing on repeated indices is used below.

आइसोट्रोपिक सामग्री

For an analogous development for viscous fluids, see Viscosity.

आइसोट्रोपिक सामग्रियों की विशेषता उन गुणों से होती है जो अंतरिक्ष में दिशा से स्वतंत्र होते हैं। आइसोटोपिक सामग्रियों से जुड़े भौतिक समीकरणों को उनका प्रतिनिधित्व करने के लिए चुनी गई समन्वय प्रणाली से स्वतंत्र होना चाहिए। तनाव टेंसर एक सममित टेंसर है। चूंकि किसी भी टेन्सर का ट्रेस (रैखिक बीजगणित) किसी भी समन्वय प्रणाली से स्वतंत्र है, एक सममित टेन्सर का सबसे पूर्ण समन्वय-मुक्त अपघटन इसे एक निरंतर टेंसर और एक ट्रेसलेस सममित टेंसर के योग के रूप में प्रस्तुत करना है। इस प्रकार रिक्की कलन में:

$$\varepsilon _{ij}=\left({\tfrac {1}{3}}\varepsilon _{kk}\delta _{ij}\right)+\left(\varepsilon _{ij}-{\tfrac {1}{3}}\varepsilon _{kk}\delta _{ij}\right)$$

कहाँ δ_ij क्रोनकर डेल्टा है। प्रत्यक्ष टेन्सर संकेतन में:

$${\boldsymbol {\varepsilon }}=\operatorname {vol} ({\boldsymbol {\varepsilon }})+\operatorname {dev} ({\boldsymbol {\varepsilon }})\,;\qquad \operatorname {vol} ({\boldsymbol {\varepsilon }})={\tfrac {1}{3}}\operatorname {tr} ({\boldsymbol {\varepsilon }})~\mathbf {I} \,;\qquad \operatorname {dev} ({\boldsymbol {\varepsilon }})={\boldsymbol {\varepsilon }}-\operatorname {vol} ({\boldsymbol {\varepsilon }})$$

कहाँ I दूसरे क्रम का आइडेंटिटी टेन्सर है।

दाईं ओर पहला शब्द स्थिर टेंसर है, जिसे वॉल्यूमेट्रिक स्ट्रेन टेंसर के रूप में भी जाना जाता है, और दूसरा शब्द ट्रैसलेस सिमेट्रिक टेंसर है, जिसे डेविएटोरिक स्ट्रेन टेंसर या कतरनी टेंसर के रूप में भी जाना जाता है।

आइसोटोपिक सामग्रियों के लिए हुक के कानून का सबसे सामान्य रूप अब इन दो टेंसरों के रैखिक संयोजन के रूप में लिखा जा सकता है:

$$\sigma _{ij}=3K\left({\tfrac {1}{3}}\varepsilon _{kk}\delta _{ij}\right)+2G\left(\varepsilon _{ij}-{\tfrac {1}{3}}\varepsilon _{kk}\delta _{ij}\right)\,;\qquad {\boldsymbol {\sigma }}=3K\operatorname {vol} ({\boldsymbol {\varepsilon }})+2G\operatorname {dev} ({\boldsymbol {\varepsilon }})$$

कहाँ K थोक मापांक है और G अपरूपण मापांक है।

लोचदार मॉड्यूलस के बीच संबंधों का उपयोग करके, इन समीकरणों को अन्य तरीकों से भी व्यक्त किया जा सकता है। समदैशिक सामग्रियों के लिए हुक के नियम का एक सामान्य रूप, प्रत्यक्ष टेन्सर संकेतन में व्यक्त किया गया है ${\boldsymbol {\sigma }}=\lambda \operatorname {tr} ({\boldsymbol {\varepsilon }})\mathbf {I} +2\mu {\boldsymbol {\varepsilon }}={\mathsf {c}}:{\boldsymbol {\varepsilon }}\,;\qquad {\mathsf {c}}=\lambda \mathbf {I} \otimes \mathbf {I} +2\mu {\mathsf {I}}$ कहाँ λ = K − 2/3G = c₁₁₁₁ − 2c₁₂₁₂ और μ = G = c₁₂₁₂ लेमे स्थिरांक हैं, I दूसरी रैंक की पहचान टेंसर है, और I चौथी रैंक की पहचान टेंसर का सममित हिस्सा है। इंडेक्स नोटेशन में:

$$\sigma _{ij}=\lambda \varepsilon _{kk}~\delta _{ij}+2\mu \varepsilon _{ij}=c_{ijkl}\varepsilon _{kl}\,;\qquad c_{ijkl}=\lambda \delta _{ij}\delta _{kl}+\mu \left(\delta _{ik}\delta _{jl}+\delta _{il}\delta _{jk}\right)$$

उलटा संबंध है

$${\boldsymbol {\varepsilon }}={\frac {1}{2\mu }}{\boldsymbol {\sigma }}-{\frac {\lambda }{2\mu (3\lambda +2\mu )}}\operatorname {tr} ({\boldsymbol {\sigma }})\mathbf {I} ={\frac {1}{2G}}{\boldsymbol {\sigma }}+\left({\frac {1}{9K}}-{\frac {1}{6G}}\right)\operatorname {tr} ({\boldsymbol {\sigma }})\mathbf {I}$$

इसलिए, संबंध में अनुपालन टेंसर ε = s : σ है

$${\mathsf {s}}=-{\frac {\lambda }{2\mu (3\lambda +2\mu )}}\mathbf {I} \otimes \mathbf {I} +{\frac {1}{2\mu }}{\mathsf {I}}=\left({\frac {1}{9K}}-{\frac {1}{6G}}\right)\mathbf {I} \otimes \mathbf {I} +{\frac {1}{2G}}{\mathsf {I}}$$

यंग के मापांक और पॉसों के अनुपात के संदर्भ में, आइसोटोपिक सामग्रियों के लिए हुक के नियम को तब व्यक्त किया जा सकता है

$$\varepsilon _{ij}={\frac {1}{E}}{\big (}\sigma _{ij}-\nu (\sigma _{kk}\delta _{ij}-\sigma _{ij}){\big )}\,;\qquad {\boldsymbol {\varepsilon }}={\frac {1}{E}}{\big (}{\boldsymbol {\sigma }}-\nu (\operatorname {tr} ({\boldsymbol {\sigma }})\mathbf {I} -{\boldsymbol {\sigma }}){\big )}={\frac {1+\nu }{E}}{\boldsymbol {\sigma }}-{\frac {\nu }{E}}\operatorname {tr} ({\boldsymbol {\sigma }})\mathbf {I}$$

यह वह रूप है जिसमें इंजीनियरिंग में तनाव टेन्सर के संदर्भ में तनाव व्यक्त किया जाता है। विस्तारित रूप में अभिव्यक्ति है

$${\begin{aligned}\varepsilon _{11}&={\frac {1}{E}}{\big (}\sigma _{11}-\nu (\sigma _{22}+\sigma _{33}){\big )}\\\varepsilon _{22}&={\frac {1}{E}}{\big (}\sigma _{22}-\nu (\sigma _{11}+\sigma _{33}){\big )}\\\varepsilon _{33}&={\frac {1}{E}}{\big (}\sigma _{33}-\nu (\sigma _{11}+\sigma _{22}){\big )}\\\varepsilon _{12}&={\frac {1}{2G}}\sigma _{12}\,;\qquad \varepsilon _{13}={\frac {1}{2G}}\sigma _{13}\,;\qquad \varepsilon _{23}={\frac {1}{2G}}\sigma _{23}\end{aligned}}$$

कहाँ E यंग का मापांक है और ν प्वासों का अनुपात है। (3-डी लोच देखें)।

Derivation of Hooke's law in three dimensions

The three-dimensional form of Hooke's law can be derived using Poisson's ratio and the one-dimensional form of Hooke's law as follows. Consider the strain and stress relation as a superposition of two effects: stretching in direction of the load (1) and shrinking (caused by the load) in perpendicular directions (2 and 3),

$${\begin{aligned}\varepsilon _{1}'&={\frac {1}{E}}\sigma _{1}\,,\\\varepsilon _{2}'&=-{\frac {\nu }{E}}\sigma _{1}\,,\\\varepsilon _{3}'&=-{\frac {\nu }{E}}\sigma _{1}\,,\end{aligned}}$$

where ν is Poisson's ratio and E is Young's modulus.

We get similar equations to the loads in directions 2 and 3,

$${\begin{aligned}\varepsilon _{1}''&=-{\frac {\nu }{E}}\sigma _{2}\,,\\\varepsilon _{2}''&={\frac {1}{E}}\sigma _{2}\,,\\\varepsilon _{3}''&=-{\frac {\nu }{E}}\sigma _{2}\,,\end{aligned}}$$

and

$${\begin{aligned}\varepsilon _{1}'''&=-{\frac {\nu }{E}}\sigma _{3}\,,\\\varepsilon _{2}'''&=-{\frac {\nu }{E}}\sigma _{3}\,,\\\varepsilon _{3}'''&={\frac {1}{E}}\sigma _{3}\,.\end{aligned}}$$

Summing the three cases together (ε_i = ε_i′ + ε_i″ + ε_i‴) we get

$${\begin{aligned}\varepsilon _{1}&={\frac {1}{E}}{\big (}\sigma _{1}-\nu (\sigma _{2}+\sigma _{3}){\big )}\,,\\\varepsilon _{2}&={\frac {1}{E}}{\big (}\sigma _{2}-\nu (\sigma _{1}+\sigma _{3}){\big )}\,,\\\varepsilon _{3}&={\frac {1}{E}}{\big (}\sigma _{3}-\nu (\sigma _{1}+\sigma _{2}){\big )}\,,\end{aligned}}$$

or by adding and subtracting one νσ

$${\begin{aligned}\varepsilon _{1}&={\frac {1}{E}}{\big (}(1+\nu )\sigma _{1}-\nu (\sigma _{1}+\sigma _{2}+\sigma _{3}){\big )}\,,\\\varepsilon _{2}&={\frac {1}{E}}{\big (}(1+\nu )\sigma _{2}-\nu (\sigma _{1}+\sigma _{2}+\sigma _{3}){\big )}\,,\\\varepsilon _{3}&={\frac {1}{E}}{\big (}(1+\nu )\sigma _{3}-\nu (\sigma _{1}+\sigma _{2}+\sigma _{3}){\big )}\,,\end{aligned}}$$

and further we get by solving σ₁

$$\sigma _{1}={\frac {E}{1+\nu }}\varepsilon _{1}+{\frac {\nu }{1+\nu }}(\sigma _{1}+\sigma _{2}+\sigma _{3})\,.$$

Calculating the sum

$${\begin{aligned}\varepsilon _{1}+\varepsilon _{2}+\varepsilon _{3}&={\frac {1}{E}}{\big (}(1+\nu )(\sigma _{1}+\sigma _{2}+\sigma _{3})-3\nu (\sigma _{1}+\sigma _{2}+\sigma _{3}){\big )}={\frac {1-2\nu }{E}}(\sigma _{1}+\sigma _{2}+\sigma _{3})\\\sigma _{1}+\sigma _{2}+\sigma _{3}&={\frac {E}{1-2\nu }}(\varepsilon _{1}+\varepsilon _{2}+\varepsilon _{3})\end{aligned}}$$

and substituting it to the equation solved for σ₁ gives

$${\begin{aligned}\sigma _{1}&={\frac {E}{1+\nu }}\varepsilon _{1}+{\frac {E\nu }{(1+\nu )(1-2\nu )}}(\varepsilon _{1}+\varepsilon _{2}+\varepsilon _{3})\\&=2\mu \varepsilon _{1}+\lambda (\varepsilon _{1}+\varepsilon _{2}+\varepsilon _{3})\,,\end{aligned}}$$

where μ and λ are the Lamé parameters.

Similar treatment of directions 2 and 3 gives the Hooke's law in three dimensions.

आव्यूह रूप में, समदैशिक पदार्थों के लिए हुक के नियम को इस प्रकार लिखा जा सकता है

$${\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\\varepsilon _{33}\\2\varepsilon _{23}\\2\varepsilon _{13}\\2\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}\,=\,{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\\varepsilon _{33}\\\gamma _{23}\\\gamma _{13}\\\gamma _{12}\end{bmatrix}}\,=\,{\frac {1}{E}}{\begin{bmatrix}1&-\nu &-\nu &0&0&0\\-\nu &1&-\nu &0&0&0\\-\nu &-\nu &1&0&0&0\\0&0&0&2+2\nu &0&0\\0&0&0&0&2+2\nu &0\\0&0&0&0&0&2+2\nu \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{33}\\\sigma _{23}\\\sigma _{13}\\\sigma _{12}\end{bmatrix}}$$

कहाँ γ_ij = 2ε_ij इंजीनियरिंग अपरूपण विकृति है। व्युत्क्रम संबंध के रूप में लिखा जा सकता है

$${\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{33}\\\sigma _{23}\\\sigma _{13}\\\sigma _{12}\end{bmatrix}}\,=\,{\frac {E}{(1+\nu )(1-2\nu )}}{\begin{bmatrix}1-\nu &\nu &\nu &0&0&0\\\nu &1-\nu &\nu &0&0&0\\\nu &\nu &1-\nu &0&0&0\\0&0&0&{\frac {1-2\nu }{2}}&0&0\\0&0&0&0&{\frac {1-2\nu }{2}}&0\\0&0&0&0&0&{\frac {1-2\nu }{2}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\\varepsilon _{33}\\2\varepsilon _{23}\\2\varepsilon _{13}\\2\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}$$

जिसे Lame स्थिरांक के लिए सरल बनाया जा सकता है:

$${\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{33}\\\sigma _{23}\\\sigma _{13}\\\sigma _{12}\end{bmatrix}}\,=\,{\begin{bmatrix}2\mu +\lambda &\lambda &\lambda &0&0&0\\\lambda &2\mu +\lambda &\lambda &0&0&0\\\lambda &\lambda &2\mu +\lambda &0&0&0\\0&0&0&\mu &0&0\\0&0&0&0&\mu &0\\0&0&0&0&0&\mu \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\\varepsilon _{33}\\2\varepsilon _{23}\\2\varepsilon _{13}\\2\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}$$

वेक्टर नोटेशन में यह बन जाता है

$${\begin{bmatrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}&\sigma _{13}\\\sigma _{12}&\sigma _{22}&\sigma _{23}\\\sigma _{13}&\sigma _{23}&\sigma _{33}\end{bmatrix}}\,=\,2\mu {\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}&\varepsilon _{12}&\varepsilon _{13}\\\varepsilon _{12}&\varepsilon _{22}&\varepsilon _{23}\\\varepsilon _{13}&\varepsilon _{23}&\varepsilon _{33}\end{bmatrix}}+\lambda \mathbf {I} \left(\varepsilon _{11}+\varepsilon _{22}+\varepsilon _{33}\right)$$

कहाँ I पहचान टेन्सर है।

विमान तनाव

प्लेन स्ट्रेस के तहत # प्लेन स्ट्रेस की स्थिति, σ₃₁ = σ₁₃ = σ₃₂ = σ₂₃ = σ₃₃ = 0. उस स्थिति में हुक का नियम रूप ले लेता है

$${\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{12}\end{bmatrix}}\,=\,{\frac {E}{1-\nu ^{2}}}{\begin{bmatrix}1&\nu &0\\\nu &1&0\\0&0&{\frac {1-\nu }{2}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\2\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}$$

वेक्टर नोटेशन में यह बन जाता है

$${\begin{bmatrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}\\\sigma _{12}&\sigma _{22}\end{bmatrix}}\,=\,{\frac {E}{1-\nu ^{2}}}\left((1-\nu ){\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}&\varepsilon _{12}\\\varepsilon _{12}&\varepsilon _{22}\end{bmatrix}}+\nu \mathbf {I} \left(\varepsilon _{11}+\varepsilon _{22}\right)\right)$$

व्युत्क्रम संबंध आमतौर पर कम रूप में लिखा जाता है

$${\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\2\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}\,=\,{\frac {1}{E}}{\begin{bmatrix}1&-\nu &0\\-\nu &1&0\\0&0&2+2\nu \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{12}\end{bmatrix}}$$

प्लेन स्ट्रेन

अतिसूक्ष्म तनाव सिद्धांत के तहत#विमान तनाव की स्थिति, ε₃₁ = ε₁₃ = ε₃₂ = ε₂₃ = ε₃₃ = 0. इस मामले में हुक का नियम रूप लेता है

$${\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{12}\end{bmatrix}}\,=\,{\frac {E}{(1+\nu )(1-2\nu )}}{\begin{bmatrix}1-\nu &\nu &0\\\nu &1-\nu &0\\0&0&{\frac {1-2\nu }{2}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\2\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}$$

अनिसोट्रोपिक सामग्री

तनाव की समरूपता (भौतिकी) (σ_ij = σ_ji) और सामान्यीकृत हुक के नियम (σ_ij = c_ijklε_kl) इसका आशय है c_ijkl = c_jikl. इसी प्रकार, अतिसूक्ष्म तनाव सिद्धांत की समरूपता का तात्पर्य है c_ijkl = c_ijlk. इन समरूपताओं को कठोरता टेन्सर c की छोटी समरूपता कहा जाता है। यह लोचदार स्थिरांक की संख्या को 81 से घटाकर 36 कर देता है।

यदि इसके अलावा, चूंकि विस्थापन प्रवणता और कौशी प्रतिबल कार्य संयुग्मी हैं, तो प्रतिबल-तनाव संबंध एक विकृति ऊर्जा घनत्व क्रियात्मक (कार्यात्मक) से प्राप्त किया जा सकता है।U), तब

$$\sigma _{ij}={\frac {\partial U}{\partial \varepsilon _{ij}}}\quad \implies \quad c_{ijkl}={\frac {\partial ^{2}U}{\partial \varepsilon _{ij}\partial \varepsilon _{kl}}}\,.$$

विभेदीकरण के क्रम की मनमानी का तात्पर्य है c_ijkl = c_klij. इन्हें कठोरता टेंसर की प्रमुख समरूपता कहा जाता है। यह लोचदार स्थिरांक की संख्या को 36 से घटाकर 21 कर देता है। प्रमुख और छोटी समरूपता दर्शाती है कि कठोरता टेंसर में केवल 21 स्वतंत्र घटक हैं।

मैट्रिक्स प्रतिनिधित्व (कठोरता टेंसर)

मैट्रिक्स संकेतन में हुक के नियम के अनिसोट्रोपिक रूप को व्यक्त करना अक्सर उपयोगी होता है, जिसे वायगट नोटेशन भी कहा जाता है। ऐसा करने के लिए हम प्रतिबल और विकृति टेन्सर की समरूपता का लाभ उठाते हैं और उन्हें ऑर्थोनॉर्मल कोऑर्डिनेट सिस्टम में छह-आयामी वैक्टर के रूप में व्यक्त करते हैं (e₁,e₂,e₃) जैसा

$$[{\boldsymbol {\sigma }}]\,=\,{\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{33}\\\sigma _{23}\\\sigma _{13}\\\sigma _{12}\end{bmatrix}}\,\equiv \,{\begin{bmatrix}\sigma _{1}\\\sigma _{2}\\\sigma _{3}\\\sigma _{4}\\\sigma _{5}\\\sigma _{6}\end{bmatrix}}\,;\qquad [{\boldsymbol {\varepsilon }}]\,=\,{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\\varepsilon _{33}\\2\varepsilon _{23}\\2\varepsilon _{13}\\2\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}\,\equiv \,{\begin{bmatrix}\varepsilon _{1}\\\varepsilon _{2}\\\varepsilon _{3}\\\varepsilon _{4}\\\varepsilon _{5}\\\varepsilon _{6}\end{bmatrix}}$$

फिर कठोरता टेंसर (सी) के रूप में व्यक्त किया जा सकता है

$$[{\mathsf {c}}]\,=\,{\begin{bmatrix}c_{1111}&c_{1122}&c_{1133}&c_{1123}&c_{1131}&c_{1112}\\c_{2211}&c_{2222}&c_{2233}&c_{2223}&c_{2231}&c_{2212}\\c_{3311}&c_{3322}&c_{3333}&c_{3323}&c_{3331}&c_{3312}\\c_{2311}&c_{2322}&c_{2333}&c_{2323}&c_{2331}&c_{2312}\\c_{3111}&c_{3122}&c_{3133}&c_{3123}&c_{3131}&c_{3112}\\c_{1211}&c_{1222}&c_{1233}&c_{1223}&c_{1231}&c_{1212}\end{bmatrix}}\,\equiv \,{\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{13}&C_{14}&C_{15}&C_{16}\\C_{12}&C_{22}&C_{23}&C_{24}&C_{25}&C_{26}\\C_{13}&C_{23}&C_{33}&C_{34}&C_{35}&C_{36}\\C_{14}&C_{24}&C_{34}&C_{44}&C_{45}&C_{46}\\C_{15}&C_{25}&C_{35}&C_{45}&C_{55}&C_{56}\\C_{16}&C_{26}&C_{36}&C_{46}&C_{56}&C_{66}\end{bmatrix}}$$

और हुक का नियम इस प्रकार लिखा जाता है

$$[{\boldsymbol {\sigma }}]=[{\mathsf {C}}][{\boldsymbol {\varepsilon }}]\qquad {\text{or}}\qquad \sigma _{i}=C_{ij}\varepsilon _{j}\,.$$

इसी प्रकार अनुपालन टेंसर (ओं) को इस रूप में लिखा जा सकता है

$$c_{pqrs}=l_{pi}l_{qj}l_{rk}l_{sl}c_{ijkl}$$