सममित फलन वलय

बीजगणित में और विशेष रूप से बीजगणितीय साहचर्य में, सममित कार्यों की अंगूठी 'n' अनिश्चित में सममित बहुपद की अंगूठी (गणित) की विशिष्ट सीमा है, क्योंकि 'n' अनंत तक जाती है। यह वलय सार्वभौमिक संरचना के रूप में कार्य करता है जिसमें सममित बहुपदों के बीच संबंधों को निर्धारकों की संख्या n से स्वतंत्र विधियों से व्यक्त किया जा सकता है (किन्तु इसके तत्व न तो बहुपद हैं और न ही कार्य)। अन्य बातों के अतिरिक्त, यह वलय सममित समूह के प्रतिनिधित्व सिद्धांत में महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है।

सममित कार्यों की अंगूठी को सह-उत्पाद और द्विरेखीय रूप दिया जा सकता है जो इसे सकारात्मक स्वसम्मिलित ग्रेडेड बीजगणित हॉपफ बीजगणित में बनाता है जो क्रमविनिमेय और सहसम्बन्धी दोनों है।

सममित बहुपद

Main article: सममित बहुपद

सममित कार्यों का अध्ययन सममित बहुपदों पर आधारित है। अनिश्चितकों के कुछ परिमित समुच्चय में बहुपद वलय में, बहुपद को सममित कहा जाता है यदि यह वही रहता है जब भी किसी भी प्रकार से अनिश्चित को अनुमति दी जाती है। अधिक औपचारिक रूप से, सममित समूह S_n के अंगूठी ऑटोमोर्फिज्म द्वारा समूह क्रिया होती है n अनिश्चित में बहुपद की अंगूठी पर, जहां क्रमचय उपयोग किए गए क्रमपरिवर्तन के अनुसार प्रत्येक अनिश्चित को साथ प्रतिस्थापित करके बहुपद पर कार्य करता है। अपरिवर्तनीय (गणित) इस क्रिया के लिए समूह क्रिया के अंतर्गत अपरिवर्तित सममित बहुपदों का उपसमूह बनाता है। यदि अनिश्चित X₁, ..., X_n,हैं, तो ऐसे सममित बहुपदों के उदाहरण हैं

$X_{1}+X_{2}+\cdots +X_{n},\,$

$X_{1}^{3}+X_{2}^{3}+\cdots +X_{n}^{3},\,$

और

$X_{1}X_{2}\cdots X_{n}.\,$

कुछ और जटिल उदाहरण हैX₁³X₂X₃ + X₁X₂³X₃ + X₁X₂X₃³ + X₁³X₂X₄ + X₁X₂³X₄ + X₁X₂X₄³ + ... जहां योग कुछ चर और दो अन्य चर की तीसरी शक्ति के सभी उत्पादों को सम्मलित करता है। कई विशिष्ट प्रकार के सममित बहुपद हैं, जैसे प्राथमिक सममित बहुपद, शक्ति योग सममित बहुपद, एकपद सममित बहुपद, पूर्ण सजातीय सममित बहुपद, और शूर बहुपद।

सममित कार्यों की अंगूठी

सममित बहुपदों के बीच अधिकांश संबंध अनिर्धारकों की संख्या n पर निर्भर नहीं करते हैं, सिवाय इसके कि संबंध में कुछ बहुपदों को n को परिभाषित करने के लिए काफी बड़ा होना आवश्यक हो सकता है। उदाहरण के लिए न्यूटन की तत्समक|तीसरी घात योग बहुपद p के लिए न्यूटन की तत्समक₃ओर जाता है

$p_{3}(X_{1},\ldots ,X_{n})=e_{1}(X_{1},\ldots ,X_{n})^{3}-3e_{2}(X_{1},\ldots ,X_{n})e_{1}(X_{1},\ldots ,X_{n})+3e_{3}(X_{1},\ldots ,X_{n}),$

जहां $e_{i}$ प्रारंभिक सममित बहुपदों को निरूपित करें; यह सूत्र सभी प्राकृतिक संख्याओं n के लिए मान्य है, और इस पर एकमात्र उल्लेखनीय निर्भरता यह है कि e_k(एक्स₁,...,एक्स_n) = 0 जब भी n < k. कोई इसे पहचान के रूप में लिखना चाहेगा

$p_{3}=e_{1}^{3}-3e_{2}e_{1}+3e_{3}$

यह n पर बिल्कुल भी निर्भर नहीं करता है, और यह सममित कार्यों के वलय में किया जा सकता है। उस वलय में अशून्य तत्व होते हैं_k सभी पूर्णांक k ≥ 1 के लिए, और अंगूठी के किसी भी तत्व को तत्वों e में बहुपद अभिव्यक्ति द्वारा दिया जा सकता है_k.

परिभाषाएँ

सममित कार्यों की अंगूठी को किसी भी क्रमविनिमेय अंगूठी आर पर परिभाषित किया जा सकता है, और इसे Λ के रूप में दर्शाया जाएगा_R; मूल मामला R = 'Z' के लिए है। अंगूठी एल_R वास्तव में वलय के ऊपर वर्गीकृत वलय R-बीजगणित है। इसके लिए दो मुख्य निर्माण हैं; नीचे दिया गया पहला (स्टेनली, 1999) में पाया जा सकता है, और दूसरा अनिवार्य रूप से (मैकडोनाल्ड, 1979) में दिया गया है।

औपचारिक शक्ति श्रृंखला की अंगूठी के रूप में

सबसे आसान (हालांकि कुछ हद तक भारी) निर्माण कई चर में औपचारिक शक्ति श्रृंखला # पावर श्रृंखला की अंगूठी से शुरू होता है $R[[X_{1},X_{2},...]]$ आर पर असीम रूप से (गणना करने योग्य अनंत) कई अनिश्चित; इस पावर सीरीज़ अंगूठी के तत्व शर्तों के औपचारिक अनंत योग हैं, जिनमें से प्रत्येक में R से गुणांक एकपद द्वारा गुणा किया जाता है, जहां प्रत्येक एकपद अनिश्चित रूप से कई परिमित शक्तियों का उत्पाद होता है। Λ को परिभाषित करता है_R इसके उप-वलय के रूप में उन शक्ति श्रृंखला S से मिलकर बनता है जो संतुष्ट करती हैं

1. S अनिश्चित के किसी भी क्रमपरिवर्तन के तहत अपरिवर्तनीय है, और
2. S में होने वाले एकपदों के बहुपद की कोटि परिबद्ध है।

ध्यान दें कि दूसरी स्थिति के कारण, घात श्रृंखला का उपयोग यहां केवल निश्चित डिग्री के असीम रूप से कई पदों को अनुमति देने के लिए किया जाता है, बजाय सभी संभावित डिग्री के पदों के योग के लिए। इसकी अनुमति देना जरूरी है क्योंकि तत्व जिसमें उदाहरण के लिए एक्स शब्द होता है₁ X शब्द भी होना चाहिए_i सममित होने के लिए प्रत्येक i > 1 के लिए। पूरी शक्ति श्रृंखला अंगूठी के विपरीत, सबअंगूठी Λ_R मोनोमियल्स की कुल डिग्री द्वारा वर्गीकृत किया जाता है: स्थिति 2 के कारण, Λ का प्रत्येक तत्व_R Λ के सजातीय बहुपद तत्वों का परिमित योग है_R (जो स्वयं समान कोटि के पदों के अनंत योग हैं)। प्रत्येक k ≥ 0 के लिए, तत्व e_k∈ एल_R k विशिष्ट अनिश्चित के सभी उत्पादों के औपचारिक योग के रूप में परिभाषित किया गया है, जो डिग्री k का स्पष्ट रूप से सजातीय है।

बीजगणितीय सीमा के रूप में

एल का और निर्माण_R वर्णन करने में कुछ अधिक समय लगता है, किन्तु अंगूठी R [X के साथ संबंध को बेहतर ढंग से इंगित करता है₁,...,एक्स_n]^S_n