सममित फलन वलय

बीजगणित में और विशेष रूप से बीजगणितीय साहचर्य में, सममित कार्यों की अंगूठी 'n' अनिश्चित में सममित बहुपद की अंगूठी (गणित) की विशिष्ट सीमा है, क्योंकि 'n' अनंत तक जाती है। यह वलय सार्वभौमिक संरचना के रूप में कार्य करता है जिसमें सममित बहुपदों के बीच संबंधों को निर्धारकों की संख्या n से स्वतंत्र विधियों से व्यक्त किया जा सकता है (किन्तु इसके तत्व न तो बहुपद हैं और न ही कार्य)। अन्य बातों के अतिरिक्त, यह वलय सममित समूह के प्रतिनिधित्व सिद्धांत में महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है।

सममित कार्यों की अंगूठी को सह-उत्पाद और द्विरेखीय रूप दिया जा सकता है जो इसे सकारात्मक स्वसम्मिलित ग्रेडेड बीजगणित हॉपफ बीजगणित में बनाता है जो क्रमविनिमेय और सहसम्बन्धी दोनों है।

सममित बहुपद

Main article: सममित बहुपद

सममित कार्यों का अध्ययन सममित बहुपदों पर आधारित है। अनिश्चितकों के कुछ परिमित समुच्चय में बहुपद वलय में, बहुपद को सममित कहा जाता है यदि यह वही रहता है जब भी किसी भी प्रकार से अनिश्चित को अनुमति दी जाती है। अधिक औपचारिक रूप से, सममित समूह S_n के अंगूठी ऑटोमोर्फिज्म द्वारा समूह क्रिया होती है n अनिश्चित में बहुपद की अंगूठी पर, जहां क्रमचय उपयोग किए गए क्रमपरिवर्तन के अनुसार प्रत्येक अनिश्चित को साथ प्रतिस्थापित करके बहुपद पर कार्य करता है। अपरिवर्तनीय (गणित) इस क्रिया के लिए समूह क्रिया के अंतर्गत अपरिवर्तित सममित बहुपदों का उपसमूह बनाता है। यदि अनिश्चित X₁, ..., X_n,हैं, तो ऐसे सममित बहुपदों के उदाहरण हैं

$X_{1}+X_{2}+\cdots +X_{n},\,$

$X_{1}^{3}+X_{2}^{3}+\cdots +X_{n}^{3},\,$

और

$X_{1}X_{2}\cdots X_{n}.\,$

कुछ और जटिल उदाहरण है एक्स₁³एक्स₂X₃ + एक्स₁X₂³एक्स₃ + एक्स₁X₂X₃³ + एक्स₁³एक्स₂X₄ + एक्स₁X₂³एक्स₄ + एक्स₁X₂X₄³ + ... जहां योग कुछ चर और दो अन्य चर की तीसरी शक्ति के सभी उत्पादों को शामिल करता है। कई विशिष्ट प्रकार के सममित बहुपद हैं, जैसे प्राथमिक सममित बहुपद, शक्ति योग सममित बहुपद, मोनोमियल सममित बहुपद, पूर्ण सजातीय सममित बहुपद, और शूर बहुपद।

सममित कार्यों की अंगूठी

सममित बहुपदों के बीच अधिकांश संबंध अनिर्धारकों की संख्या n पर निर्भर नहीं करते हैं, सिवाय इसके कि संबंध में कुछ बहुपदों को n को परिभाषित करने के लिए काफी बड़ा होना आवश्यक हो सकता है। उदाहरण के लिए न्यूटन की तत्समक|तीसरी घात योग बहुपद p के लिए न्यूटन की तत्समक₃ओर जाता है

$p_{3}(X_{1},\ldots ,X_{n})=e_{1}(X_{1},\ldots ,X_{n})^{3}-3e_{2}(X_{1},\ldots ,X_{n})e_{1}(X_{1},\ldots ,X_{n})+3e_{3}(X_{1},\ldots ,X_{n}),$

जहां $e_{i}$ प्रारंभिक सममित बहुपदों को निरूपित करें; यह सूत्र सभी प्राकृतिक संख्याओं n के लिए मान्य है, और इस पर एकमात्र उल्लेखनीय निर्भरता यह है कि e_k(एक्स₁,...,एक्स_n) = 0 जब भी n < k. कोई इसे पहचान के रूप में लिखना चाहेगा

$p_{3}=e_{1}^{3}-3e_{2}e_{1}+3e_{3}$

यह n पर बिल्कुल भी निर्भर नहीं करता है, और यह सममित कार्यों के वलय में किया जा सकता है। उस वलय में अशून्य तत्व होते हैं_k सभी पूर्णांक k ≥ 1 के लिए, और अंगूठी के किसी भी तत्व को तत्वों e में बहुपद अभिव्यक्ति द्वारा दिया जा सकता है_k.

परिभाषाएँ

सममित कार्यों की अंगूठी को किसी भी क्रमविनिमेय अंगूठी आर पर परिभाषित किया जा सकता है, और इसे Λ के रूप में दर्शाया जाएगा_R; मूल मामला R = 'Z' के लिए है। अंगूठी एल_R वास्तव में वलय के ऊपर वर्गीकृत वलय R-बीजगणित है। इसके लिए दो मुख्य निर्माण हैं; नीचे दिया गया पहला (स्टेनली, 1999) में पाया जा सकता है, और दूसरा अनिवार्य रूप से (मैकडोनाल्ड, 1979) में दिया गया है।

औपचारिक शक्ति श्रृंखला की अंगूठी के रूप में

सबसे आसान (हालांकि कुछ हद तक भारी) निर्माण कई चर में औपचारिक शक्ति श्रृंखला # पावर श्रृंखला की अंगूठी से शुरू होता है $R[[X_{1},X_{2},...]]$ आर पर असीम रूप से (गणना करने योग्य अनंत) कई अनिश्चित; इस पावर सीरीज़ अंगूठी के तत्व शर्तों के औपचारिक अनंत योग हैं, जिनमें से प्रत्येक में R से गुणांक एकपद द्वारा गुणा किया जाता है, जहां प्रत्येक मोनोमियल अनिश्चित रूप से कई परिमित शक्तियों का उत्पाद होता है। Λ को परिभाषित करता है_R इसके उप-वलय के रूप में उन शक्ति श्रृंखला S से मिलकर बनता है जो संतुष्ट करती हैं

1. S अनिश्चित के किसी भी क्रमपरिवर्तन के तहत अपरिवर्तनीय है, और
2. S में होने वाले एकपदों के बहुपद की कोटि परिबद्ध है।

ध्यान दें कि दूसरी स्थिति के कारण, घात श्रृंखला का उपयोग यहां केवल निश्चित डिग्री के असीम रूप से कई पदों को अनुमति देने के लिए किया जाता है, बजाय सभी संभावित डिग्री के पदों के योग के लिए। इसकी अनुमति देना जरूरी है क्योंकि तत्व जिसमें उदाहरण के लिए एक्स शब्द होता है₁ X शब्द भी होना चाहिए_i सममित होने के लिए प्रत्येक i > 1 के लिए। पूरी शक्ति श्रृंखला अंगूठी के विपरीत, सबअंगूठी Λ_R मोनोमियल्स की कुल डिग्री द्वारा वर्गीकृत किया जाता है: स्थिति 2 के कारण, Λ का प्रत्येक तत्व_R Λ के सजातीय बहुपद तत्वों का परिमित योग है_R (जो स्वयं समान कोटि के पदों के अनंत योग हैं)। प्रत्येक k ≥ 0 के लिए, तत्व e_k∈ एल_R k विशिष्ट अनिश्चित के सभी उत्पादों के औपचारिक योग के रूप में परिभाषित किया गया है, जो डिग्री k का स्पष्ट रूप से सजातीय है।

बीजगणितीय सीमा के रूप में

एल का और निर्माण_R वर्णन करने में कुछ अधिक समय लगता है, किन्तु अंगूठी R [X के साथ संबंध को बेहतर ढंग से इंगित करता है₁,...,एक्स_n]^{S_nn अनिश्चित में सममित बहुपदों का} । प्रत्येक n के लिए विशेषण वलय समरूपता ρ है_n समरूप वलय R[X₁,...,एक्स_n+1]^S_n+1 R[X पर और अनिश्चित के साथ₁,...,एक्स_n]^S_n, अंतिम अनिश्चित X को सेट करके परिभाषित किया गया है_n+1 से 0. हालांकि ρ_n गैर-तुच्छ कर्नेल (बीजगणित) है, उस कर्नेल के गैर-शून्य तत्वों में कम से कम डिग्री है $n+1$ (वे X के गुणक हैं₁X₂...एक्स_n+1). इसका मतलब है कि ρ का प्रतिबंध_n अधिक से अधिक n डिग्री के तत्वों के लिए विशेषण रैखिक नक्शा है, और ρ_n(यह है_k(एक्स₁,...,एक्स_n+1)) = ई_k(एक्स₁,...,एक्स_n) सभी के लिए k≤ n. इस प्रतिबंध के व्युत्क्रम को विशिष्ट रूप से अंगूठी समरूपता φ तक बढ़ाया जा सकता है_n आर [एक्स से₁,...,एक्स_n]^S_n से R[X₁,...,एक्स_n+1]^S_n+1, जैसा कि उदाहरण के लिए सममित बहुपदों के मूलभूत प्रमेय से लिया गया है। छवियों के बाद से φ_n(यह है_k(एक्स₁,...,एक्स_n)) = ई_k(एक्स₁,...,एक्स_n+1) k = 1,...,n के लिए अभी भी R, समाकारिता φ पर बीजगणितीय रूप से स्वतंत्र हैं_n इंजेक्शन है और इसे रिंगों के समावेश (कुछ असामान्य) के रूप में देखा जा सकता है; φ लागू करना_n पहले से मौजूद मोनोमियल से समरूपता द्वारा प्राप्त नए अनिश्चित वाले सभी मोनोमियल को जोड़ने के लिए बहुपद राशि। अंगूठी एल_R तब इन समावेशन के अधीन इन सभी छल्लों का संघ (प्रत्यक्ष सीमा) है। चूंकि सभी φ_n शामिल रिंगों की कुल डिग्री द्वारा ग्रेडिंग के साथ संगत हैं, Λ_R वर्गीकृत अंगूठी की संरचना प्राप्त करता है।

यह निर्माण (मैकडोनाल्ड, 1979) में से थोड़ा अलग है। वह निर्माण केवल विशेषण आकारिकी ρ का उपयोग करता है_n इंजेक्शन morphisms φ का उल्लेख किए बिना_n: यह Λ के सजातीय घटकों का निर्माण करता है_R अलग से, और ρ का उपयोग करके उनके प्रत्यक्ष योग को अंगूठी संरचना से लैस करता है_n. यह भी देखा गया है कि परिणाम को वर्गीकृत छल्लों की श्रेणी (गणित) में व्युत्क्रम सीमा के रूप में वर्णित किया जा सकता है। हालांकि यह विवरण कुछ हद तक इंजेक्टिव मोर्फिज्म की सीधी सीमा के लिए विशिष्ट महत्वपूर्ण संपत्ति को अस्पष्ट करता है, अर्थात् प्रत्येक व्यक्तिगत तत्व (सममित कार्य) पहले से ही सीमा निर्माण में उपयोग की जाने वाली किसी वस्तु में ईमानदारी से प्रतिनिधित्व किया जाता है, यहां अंगूठी आर [एक्स₁,...,एक्स_d]^{S_d</सुप>। यह d के लिए सममित फ़ंक्शन की डिग्री लेने के लिए पर्याप्त है, क्योंकि उस अंगूठी के डिग्री d में भाग को आइसोमोर्फिक रूप से मैप किया जाता है, जो कि φ द्वारा अधिक अनिश्चित होता है।_n सभी के लिए एन ≥ डी। इसका तात्पर्य है कि अलग-अलग तत्वों के बीच संबंधों का अध्ययन करने के लिए सममित बहुपदों और सममित कार्यों के बीच कोई मूलभूत अंतर नहीं है।}

व्यक्तिगत सममित कार्यों को परिभाषित करना

Λ के तत्वों के लिए नाम सममित कार्य_R मिथ्या नाम है: न तो निर्माण में तत्व कार्य (गणित) हैं, और वास्तव में, सममित बहुपदों के विपरीत, ऐसे तत्वों से स्वतंत्र चर का कोई कार्य नहीं जोड़ा जा सकता है (उदाहरण के लिए ई₁ सभी असीम रूप से कई चरों का योग होगा, जो तब तक परिभाषित नहीं होता है जब तक कि चर पर प्रतिबंध नहीं लगाया जाता है)। हालाँकि नाम पारंपरिक और अच्छी प्रकार से स्थापित है; यह (मैकडॉनल्ड, 1979) दोनों में पाया जा सकता है, जो कहता है (पृष्ठ 12 पर फुटनोट)

Λ के तत्व (Λ के तत्वों के विपरीत_n) अब बहुपद नहीं हैं: वे एकपदी के औपचारिक अनंत योग हैं। इसलिए हम सममित कार्यों की पुरानी शब्दावली पर वापस आ गए हैं।

(यहाँ एल_n एन अनिश्चित में सममित बहुपदों की अंगूठी को दर्शाता है), और (स्टेनली, 1999) में भी।

सममित समारोह को परिभाषित करने के लिए या तो पहले निर्माण के रूप में सीधे शक्ति श्रृंखला का संकेत देना चाहिए, या दूसरे निर्माण के साथ संगत विधियों से प्रत्येक प्राकृतिक संख्या n के लिए n अनिश्चित में सममित बहुपद देना चाहिए। उदाहरण के लिए, अनिश्चित संख्या में अभिव्यक्ति दोनों कर सकती है

$e_{2}=\sum _{i<j}X_{i}X_{j}\,$

प्राथमिक सममित समारोह की परिभाषा के रूप में लिया जा सकता है यदि अनिश्चित की संख्या अनंत है, या किसी भी परिमित संख्या में प्राथमिक सममित बहुपद की परिभाषा के रूप में। समान सममित फलन के लिए सममित बहुपदों को समरूपता ρ के साथ संगत होना चाहिए_n (उनमें से कुछ को शून्य पर सेट करके अनिश्चितताओं की संख्या घटाकर प्राप्त की जाती है, ताकि शेष अनिश्चितताओं में किसी भी मोनोमियल के गुणांक अपरिवर्तित रहें), और उनकी डिग्री बंधी रहनी चाहिए। (सममित बहुपदों के परिवार का उदाहरण जो दोनों स्थितियों में विफल रहता है $\textstyle \prod _{i=1}^{n}X_{i}$; परिवार $\textstyle \prod _{i=1}^{n}(X_{i}+1)$ केवल दूसरी स्थिति में विफल रहता है।) n अनिश्चित में किसी भी सममित बहुपद का उपयोग सममित बहुपदों के संगत परिवार के निर्माण के लिए किया जा सकता है, समरूपता ρ का उपयोग करके_i for i < n अनिश्चित की संख्या कम करने के लिए, और φ_i i ≥ n के लिए अनिश्चितताओं की संख्या बढ़ाने के लिए (जो पहले से मौजूद मोनोमियल्स से समरूपता द्वारा प्राप्त नए अनिश्चितकों में सभी मोनोमियल्स को जोड़ने के बराबर है)।

निम्नलिखित सममित कार्यों के मूलभूत उदाहरण हैं।

• 'मोनोमियल सिमेट्रिक फ़ंक्शंस' एम_α. मान लीजिए = (ए₁,ए₂,...) गैर-ऋणात्मक पूर्णांकों का अनुक्रम है, जिनमें से केवल बहुत से गैर-शून्य हैं। तब हम α: X द्वारा परिभाषित मोनोमियल पर विचार कर सकते हैं^α = एक्स₁^α₁एक्स₂^α₂एक्स₃^α₃.... फिर म_α एक्स द्वारा निर्धारित सममित कार्य है^α, अर्थात X से प्राप्त सभी एकपदीयों का योग^α समरूपता द्वारा। औपचारिक परिभाषा के लिए, β ~ α को परिभाषित करें जिसका अर्थ है कि अनुक्रम β अनुक्रम α और सेट का क्रमपरिवर्तन है

$m_{\alpha }=\sum \nolimits _{\beta \sim \alpha }X^{\beta }.$

यह सममित कार्य मोनोमियल सममित बहुपद एम से मेल खाता है_α(एक्स₁,...,एक्स_n) किसी भी बड़े n के �