शीफ कोहोलॉजी

गणित में, शीफ कोहोलॉजी टोपोलॉजिकल स्पेस पर शीफ (गणित) के वैश्विक वर्गों का विश्लेषण करने के लिए होमोलॉजिकल बीजगणित का अनुप्रयोग है। व्यापक रूप से बोलते हुए, शीफ कोहोलॉजी विश्व स्तर पर ज्यामितीय समस्या को समाधान करने के लिए बाधाओं का वर्णन करती है, जब इसे स्थानीय रूप से समाधान किया जा सकता है। शेफ कॉहोलॉजी के अध्ययन के लिए केंद्रीय कार्य ग्रोथेंडिक का 1957 तोहोकू पेपर है।

ऑस्ट्रिया में ऑफलाग XVII-A के युद्ध शिविर के कैदी में जॉन लेरे द्वारा शेव्स, शीफ कोहोलॉजी और वर्णक्रमीय अनुक्रम प्रस्तुत किए गए थे। 1940 से 1945 तक, लेरे और अन्य कैदियों ने शिविर में विश्वविद्यालय का आयोजन किया था।

1950 के दशक में लेरे की परिभाषाओं को सरल और स्पष्ट किया गया था। यह स्पष्ट हो गया कि शेफ सह-समरूपता न केवल बीजगणितीय टोपोलॉजी में कोहोलॉजी के लिए नया दृष्टिकोण था, किन्तु जटिल विश्लेषणात्मक ज्यामिति और बीजगणितीय ज्यामिति में भी शक्तिशाली विधि थी। इन विषयों में अधिकांश निर्दिष्ट स्थानीय गुणों के साथ वैश्विक कार्य (गणित) का निर्माण करना सम्मिलित होता है, और शेफ कोहोलॉजी आदर्श रूप से ऐसी समस्याओं के अनुकूल होती है। रीमैन-रोच प्रमेय और हॉज सिद्धांत जैसे पहले के कई परिणाम शीफ कोहोलॉजी का उपयोग करके सामान्यीकृत या उत्तम समझे गए हैं।

परिभाषा

टोपोलॉजिकल स्पेस X पर एबेलियन समूहों के शेवों की श्रेणी एक एबेलियन श्रेणी है, और इसलिए यह पूछने में समझ में आता है कि कब मोर्फिज्म f: B → C का शेव्स इंजेक्शन (एकरूपता) या विशेषण (अधिरूपता) है। उत्तर यह है कि f अंतःक्षेपी (क्रमशः विशेषण) है यदि और केवल यदि शीफ (शीफ) B_x → C_x पर संबंधित समरूपता X में प्रत्येक बिंदु x के लिए अंतःक्षेपी फलन (क्रमशः आच्छादन फलन) है। यह अनुसरण करता है कि f अंतःक्षेपी है यदि और केवल यदि U पर वर्गों का समरूपता B(U) → C(U) X में प्रत्येक खुले समुच्चय U के लिए अंतःक्षेपी है। प्रक्षेपकता अधिक सूक्ष्म है, चूंकि: मोर्फिज्म एफ विशेषण है यदि और केवल यदि X में प्रत्येक खुले समुच्चय U के लिए, U के ऊपर सी के प्रत्येक खंड, और U में हर बिंदु X, X का खुला निकटतम (गणित) V है U में ऐसा है कि V तक सीमित है, V के ऊपर B के कुछ खंड की छवि है। (शब्दों में: C का प्रत्येक खंड स्थानीय रूप से B के अनुभागों के लिए लिफ्ट करता है।)

परिणामस्वरूप, सवाल उठता है: शेवों के B → C और X के ऊपर C के एक खंड को देखते हुए, X के ऊपर B के एक खंड की छवि कब है? यह ज्यामिति में सभी प्रकार के स्थानीय-बनाम-वैश्विक प्रश्नों के लिए एक मॉडल है। शेफ कोहोलॉजी संतोषजनक सामान्य उत्तर देता है। अर्थात्, A को प्रक्षेपण B → C का कर्नेल (श्रेणी सिद्धांत) होने दें, जो X पर संक्षिप्त त्रुटिहीन अनुक्रम देता है

$0\to A\to B\to C\to 0$

फिर एबेलियन समूहों का लंबा त्रुटिहीन क्रम होता है, जिसे शीफ कोहोलॉजी समूह कहा जाता है:

$0\to H^{0}(X,A)\to H^{0}(X,B)\to H^{0}(X,C)\to H^{1}(X,A)\to \cdots ,$

जहां H⁰(X,A) X पर A के वैश्विक अनुभागों का समूह A(X) है। उदाहरण के लिए, यदि समूह H¹(X,A) शून्य है, तो इस त्रुटिहीन अनुक्रम का तात्पर्य है कि C का प्रत्येक वैश्विक खंड B के वैश्विक खंड को उठाता है। अधिक सामान्यतः, त्रुटिहीन अनुक्रम उच्च कोहोलॉजी समूहों के ज्ञान को लक्षित करने के लिए मौलिक उपकरण बनाता है। शेवों के वर्गों को समझें।

शेफ कोहोलॉजी की अलेक्जेंडर ग्रोथेंडिक की परिभाषा, जो अब मानक है, होमोलॉजिकल बीजगणित की भाषा का उपयोग करती है। आवश्यक बिंदु यह है कि टोपोलॉजिकल स्पेस X को ठीक किया जाए और कोहोलॉजी को X पर एबेलियन समूहों के शेव से लेकर एबेलियन समूहों तक ऑपरेटर के रूप में सोचा जाए। अधिक विस्तार से, X पर एबेलियन समूहों के शेवों से एबेलियन समूहों के लिए फंक्शनल E ↦ E (X) से प्रारंभ करें। यह त्रुटिहीन कारक छोड़ दिया गया है, किन्तु सामान्यतः सही त्रुटिहीन नहीं है। फिर समूह Hⁱ(X,E) पूर्णांकों के लिए i को फ़ैक्टर E ↦ E(X) के सही व्युत्पन्न फ़ैक्टर के रूप में परिभाषित किया गया है। यह इसे स्वचालित बनाता है कि Hⁱ(X,E) i < 0 के लिए शून्य है, और वह H⁰(X,E) वैश्विक वर्गों का समूह E(X) है। ऊपर दिया गया लंबा त्रुटिहीन क्रम भी इस परिभाषा से सीधा है।

व्युत्पन्न फलन की परिभाषा का उपयोग करता है कि किसी भी टोपोलॉजिकल स्पेस X पर एबेलियन समूहों के शेवों की श्रेणी में पर्याप्त इंजेक्शन हैं; अर्थात्, प्रत्येक शीफ E के लिए इंजेक्शन E → I के साथ इंजेक्शन शीफ I है। यह इस प्रकार है कि प्रत्येक शीफ E में इंजेक्शन संकल्प (बीजगणित) होता है:

$0\to E\to I_{0}\to I_{1}\to I_{2}\to \cdots .$

फिर शीफ कोहोलॉजी समूह Hⁱ(X,E) एबेलियन समूहों की श्रृंखला परिसर के कोहोलॉजी समूह (समरूपता मॉडुलो का कर्नेल पिछले की छवि) हैं:

$0\to I_{0}(X)\to I_{1}(X)\to I_{2}(X)\to \cdots .$

होमोलॉजिकल बीजगणित में मानक तर्कों का अर्थ है कि ये कोहोलॉजी समूह ई कोलाई के इंजेक्शन संकल्प की पसंद से स्वतंत्र हैं।

शेफ कोहोलॉजी की गणना करने के लिए परिभाषा का उपयोग संभवतः ही कभी सीधे किया जाता है। यह फिर भी शक्तिशाली है, क्योंकि यह महान सामान्यता में काम करता है (किसी भी टोपोलॉजिकल स्पेस पर एबेलियन समूहों का कोई भी शीफ), और यह आसानी से शीफ कोहोलॉजी के औपचारिक गुणों को दर्शाता है, जैसे कि ऊपर दी गई लंबी त्रुटिहीन अनुक्रम। विशिष्ट वर्गों के स्पेस या शेवों के लिए, शीफ कोहोलॉजी की गणना के लिए कई उपकरण हैं, जिनमें से कुछ की चर्चा नीचे की गई है।

कार्यात्मकता

टोपोलॉजिकल स्पेस के किसी भी निरंतर माप f: X → Y और Y पर एबेलियन समूहों के किसी भी शीफ E के लिए, 'पुलबैक होमोमोर्फिज्म' होता है।

$f^{*}\colon H^{j}(Y,E)\to H^{j}(X,f^{*}(E))$

प्रत्येक पूर्णांक j के लिए, जहाँ f*(E) प्रतिलोम छवि शीफ या 'पुलबैक शीफ' को दर्शाता है। यदि f, Y के उप-स्थान टोपोलॉजी X का समावेश है, तो f*(E) E से X का 'प्रतिबंध' है, जिसे अधिकांश फिर से E कहा जाता है, और Y से X तक खंड s के पुलबैक को प्रतिबंध s|_X कहा जाता है।

पुलबैक समरूपता का उपयोग मेयर-विएटोरिस अनुक्रम में किया जाता है, जो महत्वपूर्ण कम्प्यूटेशनल परिणाम है। अर्थात्, X को टोपोलॉजिकल स्पेस होने दें जो दो खुले उपसमुच्चय U और V का मिलन है, और E को X पर शीफ होने दें। फिर एबेलियन समूहों का लंबा त्रुटिहीन क्रम है:

$0\to H^{0}(X,E)\to H^{0}(U,E)\oplus H^{0}(V,E)\to H^{0}(U\cap V,E)\to H^{1}(X,E)\to \cdots .$

निरंतर गुणांकों के साथ शीफ कोहोलॉजी

टोपोलॉजिकल स्पेस X और एबेलियन समूह A के लिए, निरंतर शीफ A_X का अर्थ ए में मूल्यों के साथ स्थानीय रूप से निरंतर कार्यों का शीफ है। निरंतर गुणांक वाले शीफ कोहोलॉजी समूह H^j(X,A_X) निरंतर गुणांक के साथ अधिकांश H^j(X,A) के रूप में लिखा जाता है, जब तक कि यह कोहोलॉजी के दूसरे संस्करण जैसे एकवचन कोहोलॉजी के साथ भ्रम उत्पन्न न करे।

निरंतर माप f: X → Y और एबेलियन समूह A के लिए, पुलबैक शीफ़ f*(A_Y) A_X के लिए आइसोमोर्फिक है। परिणामस्वरूप, पुलबैक होमोमोर्फिज्म टोपोलॉजिकल स्पेस से एबेलियन समूहों के लिए प्रतिपरिवर्ती संचालिका में निरंतर गुणांक के साथ शीफ कोहोलॉजी बनाता है।

किसी भी स्थान X और Y और किसी भी एबेलियन समूह A के लिए, X से Y तक के दो होमोटोपिक माप f और g, शीफ कोहोलॉजी पर समान समरूपता को प्रेरित करते हैं:

$f^{*}=g^{*}:H^{j}(Y,A)\to H^{j}(X,A).$

यह इस प्रकार है कि दो होमोटॉपी समकक्ष स्पेस में निरंतर गुणांक वाले आइसोमोर्फिक शीफ कॉहोलॉजी हैं।

X को पैराकॉम्पैक्ट स्पेस हॉसडॉर्फ स्पेस होने दें, जो स्थानीय रूप से सिकुड़ा हुआ है, यहां तक ​​​​कि कमजोर अर्थों में भी कि बिंदु x के प्रत्येक खुले निकटतम U में x का खुला निकटतम V होता है, जैसे कि समावेशन V → U स्थिर माप के लिए होमोटोपिक है। फिर एबेलियन समूह ए में गुणांक वाले X के एकवचन कोहोलॉजी समूह निरंतर गुणांक, H* (X, A_X) के साथ शीफ कोहोलॉजी के लिए आइसोमॉर्फिक हैं। उदाहरण के लिए, यह X के लिए टोपोलॉजिकल मैनिफोल्ड या सीडब्ल्यू जटिल है।

परिणामस्वरूप, निरंतर गुणांक वाले शीफ कोहोलॉजी की कई मूलभूत गणना एकवचन कोहोलॉजी की गणना के समान हैं। गोले, प्रोजेक्टिव स्पेस, तोरी और सतहों के कोहोलॉजी के लिए कोहोलॉजी पर लेख देखें।

स्वैच्छिक विधि से टोपोलॉजिकल स्पेस के लिए, एकवचन कोहोलॉजी और शीफ कोहोलॉजी (निरंतर गुणांक के साथ) अलग-अलग हो सकते हैं। यह H^{0 के लिए भी होता है। एकवचन कोहोलॉजी H0(X,'Z') X के पथ घटकों के समुच्चय से पूर्णांक 'Z' तक सभी कार्यों का समूह है, जबकि शीफ कोहोलॉजी H0(X,'Z'X) X से 'Z' तक स्थानीय रूप से स्थिर कार्यों का समूह है। ये भिन्न हैं, उदाहरण के लिए, जब X कैंटर समुच्चय है। वास्तविक में, शीफ कोहोलॉजी H0(X,'Z'X) उस स्थिति में गणनीय एबेलियन समूह है, जबकि एकवचन कोहोलॉजी H0(X,'Z') X से 'Z' तक के सभी कार्यों का समूह है, जिसमें प्रमुखता $2^{2^{\aleph _{0}}}$है।}

पैराकॉम्पैक्ट हॉसडॉर्फ स्पेस X और X पर एबेलियन समूहों के किसी भी शेफ ई के लिए, कोहोलॉजी समूह H^j(X,E) X के आवरण आयाम से बड़े j के लिए शून्य हैं। (यह एकवचन कोहोलॉजी के लिए समान सामान्यता में नहीं है: उदाहरण के लिए, यूक्लिडियन स्पेस R³ का कॉम्पैक्ट जगह सबसमुच्चय है जिसमें असीमित रूप से कई डिग्री में शून्येतर एकवचन कोहोलॉजी है। कवरिंग आयाम टोपोलॉजिकल मैनिफोल्ड या CW जटिल के लिए आयाम की सामान्य धारणा से सहमत है।

परतदार और मुलायम शेव

टोपोलॉजिकल स्पेस X पर एबेलियन समूहों के शीफ E को 'एसाइक्लिक' कहा जाता है यदि H^j(X,E) = 0 सभी j > 0 के लिए। शीफ कोहोलॉजी के लंबे त्रुटिहीन अनुक्रम द्वारा, किसी भी शेफ के कोहोलॉजी की गणना E के किसी भी एसाइक्लिक रिज़ॉल्यूशन (इंजेक्शन रिज़ॉल्यूशन के अतिरिक्त) से की जा सकती है। इंजेक्टिव शीव्स एसाइक्लिक हैं, किन्तु कम्प्यूटेशंस के लिए एसाइक्लिक शेव्स के अन्य उदाहरणों के लिए यह उपयोगी है।

X पर शीफ ई को 'फ्लैबी' (फ्रेंच: फ्लास्क) कहा जाता है यदि X के खुले उपसमुच्चय पर ई के प्रत्येक खंड को X के सभी पर ई के खंड तक फैलाया जाता है। फ्लैबी शीव्स चक्रीय हैं। रोजर गॉडमेंट ने शीफ कोहोलॉजी को किसी भी शीफ के देव संकल्प के माध्यम से परिभाषित किया; चूँकि पिलपिला शेव एसाइक्लिक है, गोडेमेंट की परिभाषा उपरोक्त शीफ कोहोलॉजी की परिभाषा से सहमत है।

पैराकॉम्पैक्ट हौसडॉर्फ स्पेस X पर शीफ ई को 'सॉफ्ट' कहा जाता है, यदि X के बंद उपसमुच्चय के लिए ई के प्रतिबंध का प्रत्येक खंड X के सभी पर ई के खंड तक फैला हुआ है। प्रत्येक सॉफ्ट शीफ एसाइक्लिक है।

सॉफ्ट शेव के कुछ उदाहरण हैं किसी भी पैराकॉम्पैक्ट हॉउसडॉर्फ स्पेस पर वास्तविक संख्या-मूल्यवान निरंतर कार्यों का शीफ, या