सममित बहुपद

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गणित में, सममित बहुपद एक बहुपद P(X₁, X₂, …, X_n) में n चर है, जैसे कि यदि किसी भी चर को आपस में बदल दिया जाए, तो एक ही बहुपद प्राप्त होता है। औपचारिक रूप से, P किसी भी क्रमचय के लिए सममित बहुपद है σ पादांक का 1, 2, ..., n किसी के पास P(X_σ(1), X_σ(2), …, X_σ(n)) = P(X₁, X₂, …, X_n).

सममित बहुपद स्वाभाविक रूप से चर और उसके गुणांक में बहुपद का मूल के बीच के संबंध के अध्ययन में उत्पन्न होते हैं, क्योंकि गुणांक मूल में बहुपद अभिव्यक्तियों द्वारा दिए जा सकते हैं, और सभी मूल इस समायोजन में समान भूमिका निभाती हैं। इस दृष्टिकोण से प्रारंभिक सममित बहुपद सबसे आधारभूत सममित बहुपद हैं। दरअसल, प्रमेय जिसे सममित बहुपदों का मूलभूत प्रमेय कहा जाता है, कहता है कि किसी भी सममित बहुपद को प्रारंभिक सममित बहुपदों के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। इसका तात्पर्य यह है कि मोनिक बहुपद की मूल में प्रत्येक सममित बहुपद व्यंजक प्रत्यावर्ती रूप से बहुपद के गुणांकों में बहुपद व्यंजक के रूप में दिया जा सकता है।

सममित बहुपद भी बहुपद की मूल से किसी भी संबंध से स्वतंत्र रूप से अपने आप में एक दिलचस्प संरचना बनाते हैं। इस संदर्भ में विशिष्ट सममित बहुपदों के अन्य संग्रह, जैसे पूर्ण सजातीय सममित बहुपद, घात योग सममित बहुपद, और शूर बहुपद प्रारंभिक के साथ महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं। परिणामी संरचनाएं, और विशेष रूप से सममित फलन की वलय, साहचर्य और प्रतिनिधित्व सिद्धांत में बहुत महत्वपूर्ण हैं।

उदाहरण

निम्नलिखित बहुपद दो चर X₁ और X₂ में सममित हैं:

$X_{1}^{3}+X_{2}^{3}-7$

$4X_{1}^{2}X_{2}^{2}+X_{1}^{3}X_{2}+X_{1}X_{2}^{3}+(X_{1}+X_{2})^{4}$

जैसा कि तीन चर X₁, X₂, X₃ में निम्नलिखित बहुपद है:

$X_{1}X_{2}X_{3}-2X_{1}X_{2}-2X_{1}X_{3}-2X_{2}X_{3}$

किसी भी चर संख्या में विशिष्ट सममित बहुपद बनाने के कई तरीके हैं (नीचे विभिन्न प्रकार देखें)। कुछ भिन्न झलक का उदाहरण है

$\prod _{1\leq i<j\leq n}(X_{i}-X_{j})^{2}$

जहां पहले बहुपद का निर्माण किया जाता है जो चर के प्रत्येक आदान-प्रदान के अनुसार प्रतीक बदलता है, और वर्ग (बीजगणित) लेने से यह पूरी तरह से सममित हो जाता है (यदि चर एक बहुपद की मूल का प्रतिनिधित्व करते हैं, तो यह बहुपद अपना विभेदक देता है)।

दूसरी ओर, दो चरों में बहुपद

$X_{1}-X_{2}$

सममित नहीं है, क्योंकि यदि कोई विनिमय करता है $X_{1}$ और $X_{2}$ एक को एक अलग बहुपद मिलता है, $X_{2}-X_{1}$. इसी प्रकार तीन चरों में

$X_{1}^{4}X_{2}^{2}X_{3}+X_{1}X_{2}^{4}X_{3}^{2}+X_{1}^{2}X_{2}X_{3}^{4}$

तीन चरों के चक्रीय क्रमपरिवर्तन के अनुसार केवल समरूपता है, जो सममित बहुपद होने के लिए पर्याप्त नहीं है। हालाँकि, निम्नलिखित सममित है:

$X_{1}^{4}X_{2}^{2}X_{3}+X_{1}X_{2}^{4}X_{3}^{2}+X_{1}^{2}X_{2}X_{3}^{4}+X_{1}^{4}X_{2}X_{3}^{2}+X_{1}X_{2}^{2}X_{3}^{4}+X_{1}^{2}X_{2}^{4}X_{3}$

अनुप्रयोग

गैलोइस सिद्धांत

Main article: गैलोइस सिद्धांत

एक संदर्भ जिसमें सममित बहुपद फलन होते हैं, एक दिए गए क्षेत्र (गणित) में n मूल वाले बहुपद n की डिग्री के मोनिक बहुपद अविभाजित बहुपदों के अध्ययन में है। ये n मूल बहुपद का निर्धारण करती हैं, और जब उन्हें स्वतंत्र चर के रूप में माना जाता है, तो बहुपद के गुणांक मूल के सममित बहुपद फलन होते हैं। इसके अतिरिक्त सममित बहुपदों के आधारभूत प्रमेय का अर्थ है कि n मूल के बहुपद फलन f को मूल द्वारा निर्धारित बहुपद के गुणांकों के (दूसरे) बहुपद फलन के रूप में व्यक्त किया जा सकता है यदि और केवल यदि f एक सममित बहुपद द्वारा दिया दिया जाता है।

यह इस मानचित्र को उल्टा करके बहुपद समीकरणों को हल करने के दृष्टिकोण को प्राप्त करता है, समरूपता को "तोड़ना" - बहुपद के गुणांक (जड़ों में प्रारंभिक सममित बहुपद) दिए गए हैं, कोई मूल को कैसे पुनर्प्राप्त कर सकता है? यह मूल के क्रमचय समूह का उपयोग करके बहुपदों के समाधान का अध्ययन करने की ओर जाता है, मूल रूप से लैग्रेंज सॉल्वैंट्स के रूप में, जिसे बाद में गैलोज़ सिद्धांत में विकसित किया गया था।

मोनिक यूनिवेरिएट बहुपद की मूल के साथ संबंध

डिग्री n के t में मोनिक बहुपद पर विचार करें

$P=t^{n}+a_{n-1}t^{n-1}+\cdots +a_{2}t^{2}+a_{1}t+a_{0}$

किसी क्षेत्र K में गुणांक a_i के साथ। संभवतः कुछ बड़े क्षेत्र में P की n मूल x₁,…,x_nमौजूद हैं (उदाहरण के लिए यदि K वास्तविक संख्याओं का क्षेत्र है, तो मूल समिश्र संख्या के क्षेत्र में सम्मिलित होंगी); कुछ मूल समान हो सकते हैं, लेकिन तथ्य यह है कि सभी मूल संबंध द्वारा व्यक्त की जाती हैं

$P=t^n+a_{n-<!--\; -\; -->1}{t}^{n-<!--\; -\; -->1}+\cdots <!--\; \cdots \; -->$