गाऊसी चतुर्भुज

2-पॉइंट गॉसियन और ट्रेपोजॉइडल क्वाडरेचर के बीच तुलना।
नीला वक्र उस फलन को दर्शाता है जिसका अंतराल पर निश्चित समाकल है [−1, 1] की गणना (इंटीग्रैंड) की जानी है। ट्रैपोज़ाइडल नियम फ़ंक्शन को एक रैखिक फ़ंक्शन के साथ अनुमानित करता है जो अंतराल के अंत बिंदुओं पर इंटीग्रैंड के साथ मेल खाता है और नारंगी धराशायी रेखा द्वारा दर्शाया जाता है। सन्निकटन स्पष्ट रूप से अच्छा नहीं है, इसलिए त्रुटि बड़ी है (ट्रैपेज़ॉइडल नियम अभिन्न के बराबर सन्निकटन देता है y(–1) + y(1) = –10, जबकि सही मान है 2⁄3). अधिक सटीक परिणाम प्राप्त करने के लिए, अंतराल को कई उप-अंतरालों में विभाजित किया जाना चाहिए और फिर समग्र समलम्बाकार नियम का उपयोग किया जाना चाहिए, जिसके लिए बहुत अधिक गणनाओं की आवश्यकता होती है।
गॉसियन चतुर्भुज इसके बजाय अधिक उपयुक्त बिंदु चुनता है, इसलिए एक रैखिक फ़ंक्शन भी फ़ंक्शन को बेहतर (काली धराशायी रेखा) अनुमानित करता है। जैसा कि इंटीग्रैंड डिग्री 3 का बहुपद है (y(x) = 7x³ – 8x² – 3x + 3), 2-बिंदु गॉसियन चतुर्भुज नियम भी एक सटीक परिणाम देता है।

संख्यात्मक विश्लेषण में, एक चतुर्भुज नियम एक फ़ंक्शन (गणित) के अभिन्न अंग का एक अनुमान है, जिसे आमतौर पर एकीकरण के डोमेन के भीतर निर्दिष्ट बिंदुओं पर फ़ंक्शन मानों के भारित योग के रूप में कहा जाता है। (चतुर्भुज (गणित) नियमों पर अधिक जानकारी के लिए संख्यात्मक एकीकरण देखें।) An n-बिंदु गॉसियन चतुर्भुज नियम, कार्ल फ्रेडरिक गॉस के नाम पर, डिग्री के बहुपदों के लिए एक सटीक परिणाम प्राप्त करने के लिए निर्मित एक चतुर्भुज नियम है 2n − 1 या उससे कम नोड्स के उपयुक्त विकल्प द्वारा x_i और वजन w_i के लिए i = 1, …, n. 1826 में कार्ल गुस्ताव जैकोबी द्वारा ऑर्थोगोनल बहुपदों का उपयोग करते हुए आधुनिक सूत्रीकरण विकसित किया गया था। इस तरह के नियम के लिए एकीकरण का सबसे आम डोमेन लिया जाता है [−1, 1], इसलिए नियम के रूप में कहा गया है

$\int _{-1}^{1}f(x)\,dx\approx \sum _{i=1}^{n}w_{i}f(x_{i}),$

जो डिग्री के बहुपदों के लिए सटीक है 2n − 1 या कम। इस सटीक नियम को गॉस-लेजेंड्रे चतुर्भुज नियम के रूप में जाना जाता है। चतुष्कोण नियम उपरोक्त समाकलन के लिए केवल एक सटीक सन्निकटन होगा यदि f (x) डिग्री के बहुपद द्वारा अच्छी तरह से अनुमानित है 2n − 1 या उससे कम [−1, 1].

एड्रियन मैरी लीजेंड्रे क्वाडरेचर नियम आमतौर पर समापन बिंदु विलक्षणता (गणित) के साथ पूर्णांक कार्यों के लिए उपयोग नहीं किया जाता है। इसके बजाय, यदि इंटीग्रैंड को इस रूप में लिखा जा सकता है

$f(x)=\left(1-x\right)^{\alpha }\left(1+x\right)^{\beta }g(x),\quad \alpha ,\beta >-1,$

कहाँ g(x) कम-डिग्री बहुपद, फिर वैकल्पिक नोड्स द्वारा अच्छी तरह से अनुमानित है x_i' और वजन w_i' आमतौर पर अधिक सटीक चतुर्भुज नियम देगा। इन्हें गॉस-जैकोबी चतुष्कोण नियम के रूप में जाना जाता है, अर्थात,

$\int _{-1}^{1}f(x)\,dx=\int _{-1}^{1}\left(1-x\right)^{\alpha }\left(1+x\right)^{\beta }g(x)\,dx\approx \sum _{i=1}^{n}w_{i}'g\left(x_{i}'\right).$

सामान्य भार शामिल हैं ${\textstyle {\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}$ (चेबीशेव-गॉस चतुर्भुज | चेबिशेव-गॉस) और ${\sqrt {1-x^{2}}}$. कोई अर्ध-अनंत (गॉस-लगुएरे चतुष्कोण) और अनंत अंतराल (गॉस-हर्माइट चतुष्कोण) पर भी एकीकृत करना चाह सकता है।

यह दिखाया जा सकता है (देखें प्रेस, एट अल।, या स्टोअर और बुलिरश) कि चतुर्भुज नोड्स x_i ओर्थोगोनल बहुपदों के एक वर्ग से संबंधित बहुपद के फलन के मूल हैं (भारित आंतरिक-उत्पाद के संबंध में वर्ग ऑर्थोगोनल)। गॉस क्वाडरेचर नोड्स और वेट की गणना के लिए यह एक महत्वपूर्ण अवलोकन है।

गॉस-लीजेंड्रे चतुर्भुज

Further information: Gauss–Legendre quadrature

लीजेंड्रे बहुपदों के रेखांकन (तक n = 5)

ऊपर बताई गई सरलतम एकीकरण समस्या के लिए, अर्थात, f(x) पर बहुपदों द्वारा अच्छी तरह से अनुमानित है $[-1,1]$, संबंधित ऑर्थोगोनल बहुपद लीजेंड्रे बहुपद हैं, जिन्हें द्वारा दर्शाया गया है P_n(x). साथ n-वाँ बहुपद देने के लिए सामान्यीकृत P_n(1) = 1, द i-वां गॉस नोड, x_i, है i-की जड़ P_n और भार सूत्र द्वारा दिए गए हैं

$w_{i}={\frac {2}{\left(1-x_{i}^{2}\right)\left[P'_{n}(x_{i})\right]^{2}}}.$

कुछ निम्न-क्रम द्विघात नियम नीचे सारणीबद्ध हैं (अंतराल पर [−1, 1], अन्य अंतरालों के लिए नीचे दिया गया अनुभाग देखें)।

Number of points, n	Points, xi		Weights, wi
1	0		2
2	$\pm {\frac {1}{\sqrt {3}}}$	±0.57735...	1
3	0		${\frac {8}{9}}$	0.888889...
	$\pm {\sqrt {\frac {3}{5}}}$	±0.774597...	${\frac {5}{9}}$	0.555556...
4	$\pm {\sqrt {{\frac {3}{7}}-{\frac {2}{7}}{\sqrt {\frac {6}{5}}}}}$	±0.339981...	${\frac {18+{\sqrt {30}}}{36}}$	0.652145...
	$\pm {\sqrt {{\frac {3}{7}}+{\frac {2}{7}}{\sqrt {\frac {6}{5}}}}}$	±0.861136...	${\frac {18-{\sqrt {30}}}{36}}$	0.347855...
5	0		${\frac {128}{225}}$	0.568889...
	$\pm {\frac {1}{3}}{\sqrt {5-2{\sqrt {\frac {10}{7}}}}}$	±0.538469...	${\frac {322+13{\sqrt {70}}}{900}}$	0.478629...
	$\pm {\frac {1}{3}}{\sqrt {5+2{\sqrt {\frac {10}{7}}}}}$	±0.90618...	${\frac {322-13{\sqrt {70}}}{900}}$	0.236927...

अंतराल का परिवर्तन

एक अभिन्न ओवर [a, b] को एक अभिन्न ओवर में बदला जाना चाहिए [−1, 1] गाऊसी चतुर्भुज नियम लागू करने से पहले। अंतराल का यह परिवर्तन निम्न प्रकार से किया जा सकता है:

$\int _{a}^{b}f(x)\,dx=\int _{-1}^{1}f\left({\frac {b-a}{2}}\xi +{\frac {a+b}{2}}\right)\,{\frac {dx}{d\xi }}d\xi$

साथ ${\frac {dx}{d\xi }}={\frac {b-a}{2}}$ लागू करना $n$ बिंदु गाऊसी चतुर्भुज $(\xi ,w)$ नियम तो निम्नलिखित सन्निकटन में परिणाम:

$\int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx {\frac {b-a}{2}}\sum _{i=1}^{n}w_{i}f\left({\frac {b-a}{2}}\xi _{i}+{\frac {a+b}{2}}\right).$

दो-बिंदु गॉस चतुर्भुज नियम का उदाहरण

किसी रॉकेट द्वारा तय की गई दूरी को मीटर में अनुमानित करने के लिए दो-बिंदु गॉस चतुर्भुज नियम का उपयोग करें $t=8\mathrm {s}$ को $t=30\mathrm {s} ,$ जैसा दिया गया है

$$x=\int _{8}^{30}{\left(2000\ln \left[{\frac {140000}{140000-2100t}}\right]-9.8t\right){dt}}$$

सीमाएं बदलें ताकि तालिका 1 में दिए गए वजन और भुज का उपयोग किया जा सके। साथ ही, पूर्ण सापेक्ष सत्य त्रुटि भी पाएं। सही मान 11061.34 मीटर के रूप में दिया गया है।

समाधान

सबसे पहले, एकीकरण की सीमाओं को बदलना $\left[8,30\right]$ को $\left[-1,1\right]$ देता है

$${\begin{aligned}\int _{8}^{30}{f(t)dt}&={\frac {30-8}{2}}\int _{-1}^{1}{f\left({\frac {30-8}{2}}x+{\frac {30+8}{2}}\right){dx}}\\&=11\int _{-1}^{1}{f\left(11x+19\right){dx}}\end{aligned}}$$

अगला, दो-बिंदु नियम के लिए भार कारक और फ़ंक्शन तर्क मान तालिका 1 से प्राप्त करें,

• $c_{1}=1.000000000$
• $x_{1}=-0.577350269$
• $c_{2}=1.000000000$
• $x_{2}=0.577350269$

अब हम गॉस चतुर्भुज सूत्र का उपयोग कर सकते हैं

$${\begin{aligned}11\int _{-1}^{1}{f\left(11x+19\right){dx}}&\approx 11\left[c_{1}f\left(11x_{1}+19\right)+c_{2}f\left(11x_{2}+19\right)\right]\\&=11\left[f\left(11(-0.5773503)+19\right)+f\left(11(0.5773503)+19\right)\right]\\&=11\left[f(12.64915)+f(25.35085)\right]\\&=11\left[(296.8317)+(708.4811)\right]\\&=11058.44\end{aligned}}$$

तब से

$${\begin{aligned}f(12.64915)&=2000\ln \left[{\frac {140000}{140000-2100(12.64915)}}\right]-9.8(12.64915)\\&=296.8317\end{aligned}}$$

$${\begin{aligned}f(25.35085)&=2000\ln \left[{\frac {140000}{140000-2100(25.35085)}}\right]-9.8(25.35085)\\&=708.4811\end{aligned}}$$

यह देखते हुए कि सही मान 11061.34 मीटर है, पूर्ण सापेक्ष सत्य त्रुटि, $\left|\varepsilon _{t}\right|$ है

$$\left|\varepsilon _{t}\right|=\left|{\frac {11061.34-11058.44}{11061.34}}\right|\times 100\%=0.0262\%$$

अन्य रूप

सकारात्मक वजन समारोह शुरू करके एकीकरण समस्या को थोड़ा और सामान्य तरीके से व्यक्त किया जा सकता है ω इंटीग्रैंड में, और इसके अलावा एक अंतराल की अनुमति देता है [−1, 1]. यानी समस्या गणना करने की है

$\int _{a}^{b}\omega (x)\,f(x)\,dx$

कुछ विकल्पों के लिए a, b, और ω. के लिए a = −1, b = 1, और ω(x) = 1, समस्या वही है जो ऊपर मानी गई है। अन्य विकल्प अन्य एकीकरण नियमों की ओर ले जाते हैं। इनमें से कुछ नीचे सारणीबद्ध हैं। अब्रामोवित्ज़ और स्टेगुन (A & S) के लिए समीकरण संख्याएँ दी गई हैं।

Interval	ω(x)	Orthogonal polynomials	A & S	For more information, see ...
[−1, 1]	1	Legendre polynomials	25.4.29	§ Gauss–Legendre quadrature
(−1, 1)	$\left(1-x\right)^{\alpha }\left(1+x\right)^{\beta },\quad \alpha ,\beta >-1$	Jacobi polynomials	25.4.33 (β = 0)	Gauss–Jacobi quadrature
(−1, 1)	${\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$	Chebyshev polynomials (first kind)	25.4.38	Chebyshev–Gauss quadrature
[−1, 1]	${\sqrt {1-x^{2}}}$	Chebyshev polynomials (second kind)	25.4.40	Chebyshev–Gauss quadrature
[0, ∞)	$e^{-x}\,$	Laguerre polynomials	25.4.45	Gauss–Laguerre quadrature
[0, ∞)	$x^{\alpha }e^{-x},\quad \alpha >-1$	Generalized Laguerre polynomials		Gauss–Laguerre quadrature
(−∞, ∞)	$e^{-x^{2}}$	Hermite polynomials	25.4.46	Gauss–Hermite quadrature

मौलिक प्रमेय

होने देना p_n डिग्री का एक गैर-तुच्छ बहुपद हो n ऐसा है कि

$\int _{a}^{b}\omega (x)\,x^{k}p_{n}(x)\,dx=0,\quad {\text{for all }}k=0,1,\ldots ,n-1.$

ध्यान दें कि यह उपरोक्त सभी ऑर्थोगोनल बहुपदों के लिए सत्य होगा, क्योंकि प्रत्येक p_n का निर्माण अन्य बहुपदों के लिए ओर्थोगोनल होने के लिए किया गया है p_j के लिए j<n, और x^k उस सेट की अवधि में है।

अगर हम चुनते हैं n नोड्स x_i का शून्य होना p_n, तो वहाँ मौजूद हैं n वजन w_i जो सभी बहुपदों के लिए गॉस-चतुर्भुज परिकलित अभिन्न को सटीक बनाता है h(x) डिग्री 2n − 1 या कम। इसके अलावा, ये सभी नोड्स x_i खुले अंतराल में होगा (a, b). इस दावे के पहले हिस्से को साबित करने के लिए आइए h(x) कोटि का कोई भी बहुपद हो 2n − 1 या कम। इसे ओर्थोगोनल बहुपद से विभाजित करें p_n पाने के

$h(x)=p_{n}(x)\,q(x)+r(x).$

कहाँ q(x) भागफल है, डिग्री का n − 1 या उससे कम (क्योंकि इसकी डिग्री का योग और विभाजक का p_n लाभांश के बराबर होना चाहिए), और r(x) शेष है, डिग्री का भी n − 1 या उससे कम (क्योंकि शेष की घात हमेशा भाजक की घात से कम होती है)। तब से p_n से कम डिग्री के सभी मोनोमियल्स के लिए ऑर्थोगोनल है n, यह भागफल के लिए ओर्थोगोनल होना चाहिए q(x). इसलिए

$\int _{a}^{b}\omega (x)\,h(x)\,dx=\int _{a}^{b}\omega (x)\,{\big (}\,p_{n}(x)q(x)+r(x)\,{\big )}\,dx=\int _{a}^{b}\omega (x)\,r(x)\,dx.$

शेष के बाद से r(x) डिग्री का है n − 1 या उससे कम, हम इसका उपयोग करके इसे प्रक्षेपित कर सकते हैं n लैग्रेंज बहुपदों के साथ प्रक्षेप बिंदु l_i(x), कहाँ

$l_{i}(x)=\prod _{j\neq i}{\frac {x-x_{j}}{x_{i}-x_{j}}}.$

अपने पास

$r(x)=\sum _{i=1}^{n}l_{i}(x)\,r(x_{i}).$

तब इसका अभिन्न बराबर होगा

$\int _{a}^{b}\omega (x)\,r(x)\,dx=\int _{a}^{b}\omega (x)\,\sum _{i=1}^{n}l_{i}(x)\,r(x_{i})\,dx=\sum _{i=1}^{n}\,r(x_{i})\,\int _{a}^{b}\omega (x)\,l_{i}(x)\,dx=\sum _{i=1}^{n}\,r(x_{i})\,w_{i},$

कहाँ w_i, नोड से जुड़ा वजन x_i, के भारित इंटीग्रल के बराबर परिभाषित किया गया है l_i(x) (वजन के लिए अन्य सूत्रों के लिए नीचे देखें)। लेकिन सभी x_i की जड़ें हैं p_n, तो उपरोक्त विभाजन सूत्र हमें बताता है

$h(x_{i})=p_{n}(x_{i})\,q(x_{i})+r(x_{i})=r(x_{i}),$

सभी के लिए i. इस प्रकार हमारे पास आखिरकार है

$\int _{a}^{b}\omega (x)\,h(x)\,dx=\int _{a}^{b}\omega (x)\,r(x)\,dx=\sum _{i=1}^{n}w_{i}\,r(x_{i})=\sum _{i=1}^{n}w_{i}\,h(x_{i}).$

यह सिद्ध करता है कि किसी भी बहुपद के लिए h(x) डिग्री 2n − 1 या उससे कम, इसका समाकल बिल्कुल गाऊसी चतुर्भुज योग द्वारा दिया जाता है।

दावे के दूसरे भाग को सिद्ध करने के लिए, बहुपद के गुणनखंडित रूप पर विचार करें p_n. कोई भी जटिल संयुग्मी जड़ें एक द्विघात कारक उत्पन्न करेंगी जो पूरी वास्तविक रेखा पर या तो सख्ती से सकारात्मक या सख्ती से नकारात्मक है। से अंतराल के बाहर जड़ों के लिए कोई कारक a को b उस अंतराल पर चिह्न नहीं बदलेगा। अंत में, जड़ों से संबंधित कारकों के लिए x_i अंतराल के अंदर से a को b जो विषम बहुलता के हैं, गुणा करें p_n एक और गुणक द्वारा एक नया बहुपद बनाने के लिए

$p_{n}(x)\,\prod _{i}(x-x_{i}).$

यह बहुपद से अंतराल पर साइन नहीं बदल सकता है a को b क्योंकि इसकी सारी जड़ें अब भी बहुलता की हैं। तो अभिन्न

$\int _{a}^{b}p_{n}(x)\,\left(\prod _{i}(x-x_{i})\right)\,\omega (x)\,dx\neq 0,$

वजन समारोह के बाद से ω(x) हमेशा गैर-ऋणात्मक होता है। लेकिन p_n डिग्री के सभी बहुपदों के लिए ऑर्थोगोनल है n-1 या उससे कम, तो उत्पाद की डिग्री

$\prod _{i}(x-x_{i})$

कम से कम होना चाहिए n. इसलिए p_n है n विशिष्ट जड़ें, सभी वास्तविक, से अंतराल में a को b.

वजन के लिए सामान्य सूत्र

वजन के रूप में व्यक्त किया जा सकता है

$w_{i}={\frac {a_{n}}{a_{n-1}}}{\frac {\int _{a}^{b}\omega (x)p_{n-1}\left(x\right)^{2}dx}{p'_{n}(x_{i})p_{n-1}(x_{i})}}$

(1)

कहाँ $a_{k}$ का गुणांक है $x^{k}$ में $p_{k}(x)$. यह साबित करने के लिए, ध्यान दें कि लैग्रेंज इंटरपोलेशन का उपयोग करके व्यक्त किया जा सकता है r(x) के अनुसार $r(x_{i})$ जैसा

$r(x)=\sum _{i=1}^{n}r(x_{i})\prod _{\begin{smallmatrix}1\leq j\leq n\\j\neq i\end{smallmatrix}}{\frac {x-x_{j}}{x_{i}-x_{j}}}$

क्योंकि r(x) से कम डिग्री है n और इस प्रकार इसे प्राप्त होने वाले मूल्यों द्वारा तय किया जाता है n विभिन्न बिंदु। दोनों पक्षों को से गुणा करना ω(x) और से एकीकृत a को b पैदावार

$\int _{a}^{b}\omega (x)r(x)dx=\sum _{i=1}^{n}r(x_{i})\int _{a}^{b}\omega (x)\prod _{\begin{smallmatrix}1\leq j\leq n\\j\neq i\end{smallmatrix}}{\frac {x-x_{j}}{x_{i}-x_{j}}}dx$

वजन w_i इस प्रकार दिए गए हैं

$w_{i}=\int _{a}^{b}\omega (x)\prod _{\begin{smallmatrix}1\leq j\leq n\\j\neq i\end{smallmatrix}}{\frac {x-x_{j}}{x_{i}-x_{j}}}dx$

के लिए यह अभिन्न अभिव्यक्ति $w_{i}$ ऑर्थोगोनल बहुपदों के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है $p_{n}(x)$ और $p_{n-1}(x)$ निम्नलिखित नुसार।

हम लिख सकते हैं

$\prod _{\begin{smallmatrix}1\leq j\leq n\\j\neq i\end{smallmatrix}}\left(x-x_{j}\right)={\frac {\prod _{1\leq j\leq n}\left(x-x_{j}\right)}{x-x_{i}}}={\frac {p_{n}(x)}{a_{n}\left(x-x_{i}\right)}}$

कहाँ $a_{n}$ का गुणांक है $x^{n}$ में $p_{n}(x)$. की सीमा ले रहा है x को $x_{i}$ L'Hôpital's नियम का उपयोग करके पैदावार

$\prod _{\begin{smallmatrix}1\leq j\leq n\\j\neq i\end{smallmatrix}}\left(x_{i}-x_{j}\right)={\frac {p'_{n}(x_{i})}{a_{n}}}$

हम इस प्रकार वजन के लिए अभिन्न अभिव्यक्ति लिख सकते हैं

$w_{i}={\frac {1}{p'_{n}(x_{i})}}\int _{a}^{b}\omega (x){\frac {p_{n}(x)}{x-x_{i}}}dx$

(2)

एकीकृत में, लेखन

${\frac {1}{x-x_{i}}}={\frac {1-\left({\frac {x}{x_{i}}}\right)^{k}}{x-x_{i}}}+\left({\frac {x}{x_{i}}}\right)^{k}{\frac {1}{x-x_{i}}}$

पैदावार

$\int _{a}^{b}\omega (x){\frac {x^{k}p_{n}(x)}{x-x_{i}}}dx=x_{i}^{k}\int _{a}^{b}\omega (x){\frac {p_{n}(x)}{x-x_{i}}}dx$

बशर्ते $k\leq n$, क्योंकि

${\frac {1-\left({\frac {x}{x_{i}}}\right)^{k}}{x-x_{i}}}$

डिग्री का बहुपद है k − 1 जो तब ओर्थोगोनल है $p_{n}(x)$. तो यदि q(x) हमारे पास अधिकतम nth डिग्री का बहुपद है

$\int _{a}^{b}\omega (x){\frac {p_{n}(x)}{x-x_{i}}}dx={\frac {1}{q(x_{i})}}\int _{a}^{b}\omega (x){\frac {q(x)p_{n}(x)}{x-x_{i}}}dx$

हम के लिए दाहिने हाथ की ओर अभिन्न का मूल्यांकन कर सकते हैं $q(x)=p_{n-1}(x)$ निम्नलिखित नुसार। क्योंकि ${\frac {p_{n}(x)}{x-x_{i}}}$ डिग्री का बहुपद है n − 1, अपने पास

${\frac {p_{n}(x)}{x-x_{i}}}=a_{n}x^{n-1}+s(x)$

कहाँ s(x) डिग्री का बहुपद है $n-2$. तब से s(x) ओर्थोगोनल है $p_{n-1}(x)$ अपने पास

$\int _{a}^{b}\omega (x){\frac {p_{n}(x)}{x-x_{i}}}dx={\frac {a_{n}}{p_{n-1}(x_{i})}}\int _{a}^{b}\omega (x)p_{n-1}(x)x^{n-1}dx$

हम तब लिख सकते हैं

$x^{n-1}=\left(x^{n-1}-{\frac {p_{n-1}(x)}{a_{n-1}}}\right)+{\frac {p_{n-1}(x)}{a_{n-1}}}$

कोष्ठक में शब्द डिग्री का बहुपद है $n-2$, जो इसलिए ओर्थोगोनल है $p_{n-1}(x)$. समाकलन को इस प्रकार लिखा जा सकता है

$\int _{a}^{b}\omega (x){\frac {p_{n}(x)}{x-x_{i}}}dx={\frac {a_{n}}{a_{n-1}p_{n-1}(x_{i})}}\int _{a}^{b}\omega (x)p_{n-1}(x)^{2}dx$

समीकरण के अनुसार (2), भार को इससे विभाजित करके प्राप्त किया जाता है $p'_{n}(x_{i})$ और वह समीकरण में अभिव्यक्ति देता है (1).

$w_{i}$ ऑर्थोगोनल बहुपदों के संदर्भ में भी व्यक्त किया जा सकता है $p_{n}(x)$ और अब $p_{n+1}(x)$. 3-टर्म पुनरावृत्ति संबंध में $p_{n+1}(x_{i})=(a)p_{n}(x_{i})+(b)p_{n-1}(x_{i})$ के साथ शब्द $p_{n}(x_{i})$ गायब हो जाता है, इसलिए $p_{n-1}(x_{i})$ Eq में। (1) द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है ${\textstyle {\frac {1}{b}}p_{n+1}\left(x_{i}\right)}$.

सबूत है कि वजन सकारात्मक हैं

डिग्री के निम्नलिखित बहुपद पर विचार करें $2n-2$

$f(x)=\prod _{\begin{smallmatrix}1\leq j\leq n\\j\neq i\end{smallmatrix}}{\frac {\left(x-x_{j}\right)^{2}}{\left(x_{i}-x_{j}\right)^{2}}}$

जहां, ऊपर के रूप में, x_j बहुपद के मूल हैं $p_{n}(x)$. स्पष्ट रूप से $f(x_{j})=\delta _{ij}$. की डिग्री के बाद से $f(x)$ मै रुक जाना $2n-1$, गाऊसी चतुर्भुज सूत्र से प्राप्त वजन और नोड्स शामिल हैं $p_{n}(x)$ लागू होता है। तब से $f(x_{j})=0$ j के लिए i के बराबर नहीं, हमारे पास है

$\int _{a}^{b}\omega (x)f(x)dx=\sum _{j=1}^{n}w_{j}f(x_{j})=\sum _{j=1}^{n}\delta _{ij}w_{j}=w_{i}>0.$

चूंकि दोनों $\omega (x)$ और $f(x)$ गैर-नकारात्मक कार्य हैं, यह इस प्रकार है $w_{i}>0$.

गौसियन चतुर्भुज नियमों की गणना

नोड्स की गणना के लिए कई एल्गोरिदम हैं x_i और वजन w_i गाऊसी चतुर्भुज नियम। सबसे लोकप्रिय गोलूब-वेल्श एल्गोरिदम की आवश्यकता है O(n²) संचालन, हल करने के लिए न्यूटन की विधि $p_{n}(x)=0$ ओर्थोगोनल बहुपदों का उपयोग करना#पुनरावृत्ति संबंध|मूल्यांकन के लिए तीन-अवधि की पुनरावृत्ति की आवश्यकता होती है O(n²) संचालन, और बड़े n आवश्यकता के लिए स्पर्शोन्मुख सूत्र O(n) संचालन।

पुनरावृत्ति संबंध

ऑर्थोगोनल बहुपद $p_{r}$ साथ $(p_{r},p_{s})=0$ के लिए $r\neq s$ एक स्केलर उत्पाद के लिए $(\,\,)$, डिग्री $(p_{r})=r$ और प्रमुख गुणांक एक (यानी मोनिक बहुपद ऑर्थोगोनल बहुपद) पुनरावृत्ति संबंध को संतुष्ट करते हैं

$p_{r+1}(x)=(x-a_{r,r})p_{r}(x)-a_{r,r-1}p_{r-1}(x)\cdots -a_{r,0}p_{0}(x)$

और स्केलर उत्पाद परिभाषित

$(f(x),g(x))=\int _{a}^{b}\omega (x)f(x)g(x)dx$

के लिए $r=0,1,\ldots ,n-1$ कहाँ n अधिकतम डिग्री है जिसे अनंत माना जा सकता है, और कहाँ ${\textstyle a_{r,s}={\frac {\left(xp_{r},p_{s}\right)}{\left(p_{s},p_{s}\right)}}}$. सबसे पहले, से शुरू होने वाले पुनरावृत्ति संबंध द्वारा परिभाषित बहुपद $p_{0}(x)=1$ अग्रणी गुणांक एक और सही डिग्री है। द्वारा शुरुआती बिंदु दिया गया $p_{0}$, की रूढ़िवादिता $p_{r}$ इंडक्शन द्वारा दिखाया जा सकता है। के लिए $r=s=0$ किसी के पास

$(p_{1},p_{0})=(x-a_{0,0})(p_{0},p_{0})=(xp_{0},p_{0})-a_{0,0}(p_{0},p_{0})=(xp_{0},p_{0})-(xp_{0},p_{0})=0.$

अब अगर $p_{0},p_{1},\ldots ,p_{r}$ ओर्थोगोनल हैं, फिर भी $p_{r+1}$, क्योंकि

$(p_{r+1},p_{s})=(xp_{r},p_{s})-a_{r,r}(p_{r},p_{s})-a_{r,r-1}(p_{r-1},p_{s})\cdots -a_{r,0}(p_{0},p_{s})$

पहले और एक को छोड़कर सभी अदिश उत्पाद गायब हो जाते हैं $p_{s}$ समान लंबकोणीय बहुपद को पूरा करता है। इसलिए,

$(p_{r+1},p_{s})=(xp_{r},p_{s})-a_{r,s}(p_{s},p_{s})=(xp_{r},p_{s})-(xp_{r},p_{s})=0.$

हालांकि, अगर स्केलर उत्पाद संतुष्ट करता है $(xf,g)=(f,xg)$ (जो गौसियन चतुर्भुज के मामले में है), पुनरावृत्ति संबंध तीन-अवधि के पुनरावृत्ति संबंध में कम हो जाता है: के लिए $s<r-1,xp_{s}$ से कम या बराबर डिग्री का बहुपद है r − 1. वहीं दूसरी ओर, $p_{r}$ से कम या बराबर डिग्री के हर बहुपद के लिए ओर्थोगोनल है r − 1. इसलिए, एक है $(xp_{r},p_{s})=(p_{r},xp_{s})=0$ और $a_{r,s}=0$ के लिए s < r − 1. पुनरावृत्ति संबंध तब सरल हो जाता है

$p_{r+1}(x)=(x-a_{r,r})p_{r}(x)-a_{r,r-1}p_{r-1}(x)$

या

$p_{r+1}(x)=(x-a_{r})p_{r}(x)-b_{r}p_{r-1}(x)$

(सम्मेलन के साथ $p_{-1}(x)\equiv 0$) कहाँ

$a_{r}:={\frac {(xp_{r},p_{r})}{(p_{r},p_{r})}},\qquad b_{r}:={\frac {(xp_{r},p_{r-1})}{(p_{r-1},p_{r-1})}}={\frac {(p_{r},p_{r})}{(p_{r-1},p_{r-1})}}$

(आखिरी के कारण $(xp_{r},p_{r-1})=(p_{r},xp_{r-1})=(p_{r},p_{r})$, तब से $xp_{r-1}$ से मतभेद होना $p_{r}$ डिग्री से कम है r).

गोलूब-वेल्श एल्गोरिथम

तीन-पद पुनरावृत्ति संबंध को आव्यूह के रूप में लिखा जा सकता है $J{\tilde {P}}=x{\tilde {P}}-p_{n}(x)\times \mathbf {e} _{n}$ कहाँ ${\tilde {P}}={\begin{bmatrix}p_{0}(x)&p_{1}(x)&\ldots &p_{n-1}(x)\end{bmatrix}}^{\mathsf {T}}$, $\mathbf {e} _{n}$ है $n$मानक आधार सदिश, अर्थात, $\mathbf {e} _{n}={\begin{bmatrix}0&\ldots &0&1\end{bmatrix}}^{\mathsf {T}}$, और J तथाकथित जैकोबी मैट्रिक्स है:

$\mathbf {J} ={\begin{pmatrix}a_{0}&1&0&\ldots &\ldots &\ldots \\b_{1}&a_{1}&1&0&\ldots &\ldots \\0&b_{2}&a_{2}&1&0&\ldots \\0&\ldots &\ldots &\ldots &\ldots &0\\\ldots &\ldots &0&b_{n-2}&a_{n-2}&1\\\ldots &\ldots &\ldots &0&b_{n-1}&a_{n-1}\end{pmatrix}}$

शून्य $x_{j}$ डिग्री तक बहुपदों का n, जो गाऊसी चतुर्भुज के लिए नोड्स के रूप में उपयोग किया जाता है, इस त्रिकोणीय मैट्रिक्स के आइगेनवैल्यू की गणना करके पाया जा सकता है। इस प्रक्रिया को गोलूब-वेल्श एल्गोरिथम के रूप में जाना जाता है।

वजन और नोड्स की गणना के लिए, सममित त्रिभुज मैट्रिक्स पर विचार करना बेहतर होता है ${\mathcal {J}}$ तत्वों के साथ

${\begin{aligned}{\mathcal {J}}_{i,i}=J_{i,i}&=a_{i-1}&&i=1,\ldots ,n\\{\mathcal {J}}_{i-1,i}={\mathcal {J}}_{i,i-1}={\sqrt {J_{i,i-1}J_{i-1,i}}}&={\sqrt {b_{i-1}}}&&i=2,\ldots ,n.\end{aligned}}$

J और ${\mathcal {J}}$ समान मैट्रिसेस हैं और इसलिए समान आइगेनवैल्यूज़ (नोड्स) हैं। वज़न की गणना संबंधित ईजेनवेक्टरों से की जा सकती है: यदि $\phi ^{(j)}$ एक सामान्यीकृत ईजेनवेक्टर है (यानी, यूक्लिडियन मानदंड के बराबर एक ईजेनवेक्टर) ईजेनवेल्यू से जुड़ा हुआ है x_j, इस ईजेनवेक्टर के पहले घटक से संबंधित वजन की गणना की जा सकती है, अर्थात्:

$w_{j}=\mu _{0}\left(\phi _{1}^{(j)}\right)^{2}$

कहाँ $\mu _{0}$ वजन समारोह का अभिन्न अंग है

$\mu _{0}=\int _{a}^{b}\omega (x)dx.$

देखें, उदाहरण के लिए, (Gil, Segura & Temme 2007) अधिक जानकारी के लिए।

त्रुटि अनुमान

गॉसियन चतुर्भुज नियम की त्रुटि निम्नानुसार बताई जा सकती है। एक इंटीग्रैंड के लिए जिसके पास है 2n निरंतर डेरिवेटिव,

$\int _{a}^{b}\omega (x)\,f(x)\,dx-\sum _{i=1}^{n}w_{i}\,f(x_{i})={\frac {f^{(2n)}(\xi )}{(2n)!}}\,(p_{n},p_{n})$

कुछ के लिए ξ में (a, b), कहाँ p_n मोनिक है (यानी अग्रणी गुणांक है 1) डिग्री का ऑर्थोगोनल बहुपद n और कहाँ

$(f,g)=\int _{a}^{b}\omega (x)f(x)g(x)\,dx.$

के महत्वपूर्ण विशेष मामले में ω(x) = 1, हमारे पास त्रुटि अनुमान है

${\frac {\left(b-a\right)^{2n+1}\left(n!\right)^{4}}{(2n+1)\left[\left(2n\right)!\right]^{3}}}f^{(2n)}(\xi ),\qquad a<\xi <b.$

स्टॉयर और बुलिरश टिप्पणी करते हैं कि यह त्रुटि अनुमान अभ्यास में असुविधाजनक है, क्योंकि आदेश का अनुमान लगाना कठिन हो सकता है 2n व्युत्पन्न, और इसके अलावा वास्तविक त्रुटि व्युत्पन्न द्वारा स्थापित सीमा से बहुत कम हो सकती है। एक अन्य दृष्टिकोण विभिन्न आदेशों के दो गॉसियन चतुर्भुज नियमों का उपयोग करना है, और दो परिणामों के बीच अंतर के रूप में त्रुटि का अनुमान लगाना है। इस प्रयोजन के लिए, गॉस-क्रोनरोड चतुर्भुज नियम उपयोगी हो सकते हैं।

गॉस-क्रोनरोड नियम

Main article: Gauss–Kronrod quadrature formula

अगर अंतराल [a, b] उप-विभाजित है, नए उप-अंतरालों के गॉस मूल्यांकन बिंदु पिछले मूल्यांकन बिंदुओं (विषम संख्याओं के लिए शून्य को छोड़कर) के साथ कभी मेल नहीं खाते हैं, और इस प्रकार प्रत्येक बिंदु पर पूर्णांक का मूल्यांकन किया जाना चाहिए। गॉस-क्रोनरोड नियम गौस चतुर्भुज नियमों के विस्तार हैं जो जोड़कर उत्पन्न होते हैं n + 1 एक की ओर इशारा करता है n-बिंदु नियम इस प्रकार है कि परिणामी नियम क्रम का हो 2n + 1. यह निम्न-क्रम अनुमान के फ़ंक्शन मानों का पुन: उपयोग करते हुए उच्च-क्रम अनुमानों की गणना करने की अनुमति देता है। गॉस चतुर्भुज नियम और इसके क्रोनरोड एक्सटेंशन के बीच का अंतर अक्सर सन्निकटन त्रुटि के अनुमान के रूप में उपयोग किया जाता है।

गॉस-लोबेटो नियम

लोबेटो चतुर्भुज के रूप में भी जाना जाता है, डच गणितज्ञ रेहुएल लोबेटो के नाम पर। यह निम्नलिखित अंतरों के साथ गॉसियन चतुर्भुज के समान है:

1. एकीकरण बिंदुओं में एकीकरण अंतराल के अंतिम बिंदु शामिल होते हैं।
2. यह डिग्री तक के बहुपदों के लिए सटीक है 2n – 3, कहाँ n एकीकरण बिंदुओं की संख्या है।

कार्य का लोबेटो चतुर्भुज f(x) अंतराल पर [−1, 1]:

$\int _{-1}^{1}{f(x)\,dx}={\frac {2}{n(n-1)}}[f(1)+f(-1)]+\sum _{i=2}^{n-1}{w_{i}f(x_{i})}+R_{n}.$

भुज: x_i है $(i-1)$सेंट शून्य $P'_{n-1}(x)$, यहाँ $P_{m}(x)$m-th डिग्री के मानक लेजेंड्रे बहुपद को दर्शाता है और डैश डेरिवेटिव को दर्शाता है।

वजन:

$w_{i}={\frac {2}{n(n-1)\left[P_{n-1}\left(x_{i}\right)\right]^{2}}},\qquad x_{i}\neq \pm 1.$

शेष:

$R_{n}={\frac {-n\left(n-1\right)^{3}2^{2n-1}\left[\left(n-2\right)!\right]^{4}}{(2n-1)\left[\left(2n-2\right)!\right]^{3}}}f^{(2n-2)}(\xi ),\qquad -1<\xi <1.$

कुछ वज़न हैं:

Number of points, n	Points, xi	Weights, wi
$3$	$0$	${\frac {4}{3}}$
	$\pm 1$	${\frac {1}{3}}$
$4$	$\pm {\sqrt {\frac {1}{5}}}$	${\frac {5}{6}}$
	$\pm 1$	${\frac {1}{6}}$
$5$	$0$	${\frac {32}{45}}$
	$\pm {\sqrt {\frac {3}{7}}}$	${\frac {49}{90}}$
	$\pm 1$	${\frac {1}{10}}$
$6$	$\pm {\sqrt {{\frac {1}{3}}-{\frac {2{\sqrt {7}}}{21}}}}$	${\frac {14+{\sqrt {7}}}{30}}$
	$\pm {\sqrt {{\frac {1}{3}}+{\frac {2{\sqrt {7}}}{21}}}}$	${\frac {14-{\sqrt {7}}}{30}}$
	$\pm 1$	${\frac {1}{15}}$
$7$	$0$	${\frac {256}{525}}$
	$\pm {\sqrt {{\frac {5}{11}}-{\frac {2}{11}}{\sqrt {\frac {5}{3}}}}}$	${\frac {124+7{\sqrt {15}}}{350}}$
	$\pm {\sqrt {{\frac {5}{11}}+{\frac {2}{11}}{\sqrt {\frac {5}{3}}}}}$	${\frac {124-7{\sqrt {15}}}{350}}$
	$\pm 1$	${\frac {1}{21}}$

2 आंतरिक नोड्स के साथ इस एल्गोरिथम का एक अनुकूली संस्करण GNU ऑक्टेव और MATLAB में पाया जाता है quadl और integrate.

संदर्भ

• Implementing an Accurate Generalized Gaussian Quadrature Solution to Find the Elastic Field in a Homogeneous Anisotropic Media
• Abramowitz, Milton; Stegun, Irene Ann, eds. (1983) [June 1964]. "Chapter 25.4, Integration". Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. Applied Mathematics Series. Vol. 55 (Ninth reprint with additional corrections of tenth original printing with corrections (December 1972); first ed.). Washington D.C.; New York: United States Department of Commerce, National Bureau of Standards; Dover Publications. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN 64-60036. MR 0167642. LCCN 65-12253.
• Anderson, Donald G. (1965). "Gaussian quadrature formulae for $\int _{0}^{1}-\ln(x)f(x)dx$". Math. Comp. 19 (91): 477–481. doi:10.1090/s0025-5718-1965-0178569-1.
• Golub, Gene H.; Welsch, John H. (1969), "Calculation of Gauss Quadrature Rules", Mathematics of Computation, 23 (106): 221–230, doi:10.1090/S0025-5718-69-99647-1, JSTOR 2004418
• Gautschi, Walter (1968). "Construction of Gauss–Christoffel Quadrature Formulas". Math. Comp. Vol. 22, no. 102. pp. 251–270. doi:10.1090/S0025-5718-1968-0228171-0. MR 0228171.
• Gautschi, Walter (1970). "On the construction of Gaussian quadrature rules from modified moments". Math. Comp. Vol. 24. pp. 245–260. doi:10.1090/S0025-5718-1970-0285117-6. MR 0285177.
• Piessens, R. (1971). "Gaussian quadrature formulas for the numerical integration of Bromwich's integral and the inversion of the laplace transform". J. Eng. Math. Vol. 5, no. 1. pp. 1–9. Bibcode:1971JEnMa...5....1P. doi:10.1007/BF01535429.
• Danloy, Bernard (1973). "Numerical construction of Gaussian quadrature formulas for $\int _{0}^{1}(-\log x)x^{\alpha }f(x)dx$ and $\int _{0}^{\infty }E_{m}(x)f(x)dx$". Math. Comp. Vol. 27, no. 124. pp. 861–869. doi:10.1090/S0025-5718-1973-0331730-X. MR 0331730.
• Kahaner, David; Moler, Cleve; Nash, Stephen (1989), Numerical Methods and Software, Prentice-Hall, ISBN 978-0-13-627258-8
• Sagar, Robin P. (1991). "A Gaussian quadrature for the calculation of generalized Fermi-Dirac integrals". Comput. Phys. Commun. 66 (2–3): 271–275. Bibcode:1991CoPhC..66..271S. doi:10.1016/0010-4655(91)90076-W.
• Yakimiw, E. (1996). "Accurate computation of weights in classical Gauss-Christoffel quadrature rules". J. Comput. Phys. 129 (2): 406–430. Bibcode:1996JCoPh.129..406Y. doi:10.1006/jcph.1996.0258.
• Laurie, Dirk P. (1999), "Accurate recovery of recursion coefficients from Gaussian quadrature formulas", J. Comput. Appl. Math., 112 (1–2): 165–180, doi:10.1016/S0377-0427(99)00228-9
• Laurie, Dirk P. (2001). "Computation of Gauss-type quadrature formulas". J. Comput. Appl. Math. 127 (1–2): 201–217. Bibcode:2001JCoAM.127..201L. doi:10.1016/S0377-0427(00)00506-9.
• Riener, Cordian; Schweighofer, Markus (2018). "Optimization approaches to quadrature: New characterizations of Gaussian quadrature on the line and quadrature with few nodes on plane algebraic curves, on the plane and in higher dimensions". Journal of Complexity. 45: 22–54. arXiv:1607.08404. doi:10.1016/j.jco.2017.10.002.
• Stoer, Josef; Bulirsch, Roland (2002), Introduction to Numerical Analysis (3rd ed.), Springer, ISBN 978-0-387-95452-3.
• Temme, Nico M. (2010), "§3.5(v): Gauss Quadrature", in Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.), NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR 2723248
• Press, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007), "Section 4.6. Gaussian Quadratures and Orthogonal Polynomials", Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing (3rd ed.), New York: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88068-8
• Gil, Amparo; Segura, Javier; Temme, Nico M. (2007), "§5.3: Gauss quadrature", Numerical Methods for Special Functions, SIAM, ISBN 978-0-89871-634-4
• Quarteroni, Alfio; Sacco, Riccardo; Saleri, Fausto (2000). Numerical Mathematics. New York: Springer-Verlag. pp. 422, 425. ISBN 0-387-98959-5.
• Walter Gautschi: "A Software Repository for Gaussian Quadratures and Christoffel Functions", SIAM, ISBN 978-1-611976-34-2 (2020).
• Teresa Laudadio, Nicola Mastronardi & Paul Van Dooren: "Computing Gaussian quadrature rules with high relative accuracy", Numerical Algorithms, vol.92(2023), pp.767–793.

Specific

बाहरी संबंध

• "Gauss quadrature formula", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• ALGLIB contains a collection of algorithms for numerical integration (in C# / C++ / Delphi / Visual Basic / etc.)
• GNU Scientific Library — includes C version of QUADPACK algorithms (see also GNU Scientific Library)
• From Lobatto Quadrature to the Euler constant e
• Gaussian Quadrature Rule of Integration – Notes, PPT, Matlab, Mathematica, Maple, Mathcad at Holistic Numerical Methods Institute
• Weisstein, Eric W. "Legendre-Gauss Quadrature". MathWorld.
• Gaussian Quadrature by Chris Maes and Anton Antonov, Wolfram Demonstrations Project.
• Tabulated weights and abscissae with Mathematica source code, high precision (16 and 256 decimal places) Legendre-Gaussian quadrature weights and abscissas, for n=2 through n=64, with Mathematica source code.
• Mathematica source code distributed under the GNU LGPL for abscissas and weights generation for arbitrary weighting functions W(x), integration domains and precisions.
• Gaussian Quadrature in Boost.Math, for arbitrary precision and approximation order
• Gauss-Kronrod Quadrature in Boost.Math
• Nodes and Weights of Gaussian quadrature