गाऊसी चतुर्भुज

2-बिंदु गॉसियन और समलंब चतुर्भुज के बीच तुलना।
नीला वक्र उस फलन को दर्शाता है जिसका अंतराल पर निश्चित समाकल है [−1, 1] की गणना (एकीकृत) की जानी है। समलम्बाकार नियम फ़ंक्शन को रैखिक फ़ंक्शन के साथ अनुमानित करता है जो अंतराल के अंत बिंदुओं पर समाकलित के साथ मेल खाता है और नारंगी धराशायी रेखा द्वारा दर्शाया जाता है। सन्निकटन स्पष्ट रूप से अच्छा नहीं है, इसलिए त्रुटि बड़ी है (समलम्बाकार नियम समाकल के बराबर सन्निकटन देता है y(–1) + y(1) = –10, जबकि सही मान 2⁄3 है )। अधिक त्रुटिहीन परिणाम प्राप्त करने के लिए, अंतराल को कई उप-अंतरालों में विभाजित किया जाना चाहिए और फिर समग्र समलम्बाकार नियम का उपयोग किया जाना चाहिए, जिसके लिए बहुत अधिक गणनाओं की आवश्यकता होती है।
गॉसियन चतुर्भुज इसके अतिरिक्त अधिक उपयुक्त बिंदु चुनता है, इसलिए रैखिक फ़ंक्शन भी फ़ंक्शन को श्रेष्ठतर (काली धराशायी रेखा) अनुमानित करता है। जैसा कि समाकलित घात 3 का बहुपद है (y(x) = 7x³ – 8x² – 3x + 3), 2-बिंदु गॉसियन चतुर्भुज नियम भी त्रुटिहीन परिणाम देता है।

संख्यात्मक विश्लेषण में, चतुर्भुज नियम फ़ंक्शन (गणित) के समाकल का अनुमान है, जिसे सामान्यतः समाकलन के डोमेन के भीतर निर्दिष्ट बिंदुओं पर फ़ंक्शन मानों के भारित योग के रूप में कहा जाता है। (चतुर्भुज (गणित) नियमों पर अधिक जानकारी के लिए संख्यात्मक समाकलन देखें।) An n-बिंदु गॉसियन चतुर्भुज नियम, कार्ल फ्रेडरिक गॉस के नाम पर, घात के बहुपद के लिए त्रुटिहीन परिणाम प्राप्त करने के लिए निर्मित चतुर्भुज नियम है 2n − 1 या उससे कम नोड्स के उपयुक्त विकल्प द्वारा x_i और भार w_i के लिए i = 1, …, n. 1826 में कार्ल गुस्ताव जैकोबी द्वारा ऑर्थोगोनल बहुपद का उपयोग करते हुए आधुनिक सूत्रीकरण विकसित किया गया था। इस प्रकार के नियम के लिए समाकलन का सबसे साधारण डोमेन लिया जाता है [−1, 1], इसलिए नियम के रूप में कहा गया है

$\int _{-1}^{1}f(x)\,dx\approx \sum _{i=1}^{n}w_{i}f(x_{i}),$

जो 2n − 1 या उससे कम घात वाले बहुपदों के लिए है । इस त्रुटिहीन नियम को गॉस-लेजेंड्रे चतुर्भुज नियम के रूप में जाना जाता है। चतुष्कोण नियम उपरोक्त समाकलन के लिए केवल त्रुटिहीन सन्निकटन होगा यदि f (x) को [−1, 1] पर घात 2n − 1 या उससे कम के बहुपद द्वारा अच्छी प्रकार से अनुमानित किया गया है।

एड्रियन मैरी लीजेंड्रे क्वाडरेचर नियम सामान्यतः समापन बिंदु विलक्षणता (गणित) के साथ पूर्णांक कार्यों के लिए उपयोग नहीं किया जाता है। इसके अतिरिक्त, यदि समाकलित को इस रूप में लिखा जा सकता है

$f(x)=\left(1-x\right)^{\alpha }\left(1+x\right)^{\beta }g(x),\quad \alpha ,\beta >-1,$

जहाँ g(x) कम-घात बहुपद, फिर वैकल्पिक नोड्स द्वारा अच्छी प्रकार से अनुमानित है x_i' और भार w_i' सामान्यतः अधिक त्रुटिहीन चतुर्भुज नियम देगा। इन्हें गॉस-जैकोबी चतुष्कोण नियम के रूप में जाना जाता है, अर्थात,

$\int _{-1}^{1}f(x)\,dx=\int _{-1}^{1}\left(1-x\right)^{\alpha }\left(1+x\right)^{\beta }g(x)\,dx\approx \sum _{i=1}^{n}w_{i}'g\left(x_{i}'\right).$

सामान्य भार ${\textstyle {\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}$ चेबिशेव-गॉस) और ${\sqrt {1-x^{2}}}$ सम्मलितहैं। कोई अर्ध-अनंत (गॉस-लगुएरे चतुष्कोण) और अनंत अंतराल (गॉस-हर्माइट चतुष्कोण) पर भी समाकलित इच्छा कर सकता है।

यह दिखाया जा सकता है (देखें प्रेस, एट अल।, या स्टोअर और बुलिरश) कि चतुर्भुज नोड्स x_i ओर्थोगोनल बहुपदों के वर्ग से संबंधित बहुपद के फलन के मूल हैं (भारित आंतरिक-उत्पाद के संबंध में वर्ग ऑर्थोगोनल)। गॉस क्वाडरेचर नोड्स और वजन की गणना के लिए यह महत्वपूर्ण अवलोकन है।

गॉस-लीजेंड्रे चतुर्भुज

लीजेंड्रे बहुपदों के रेखांकन (तक n = 5)

ऊपर बताई गई सरलतम समाकलन समस्या के लिए, अर्थात, f(x) पर बहुपदों द्वारा अच्छी प्रकार से अनुमानित है $[-1,1]$, संबंधित ऑर्थोगोनल बहुपद लीजेंड्रे बहुपद हैं, जिन्हें द्वारा दर्शाया गया है P_n(x). साथ n-वाँ बहुपद देने के लिए सामान्यीकृत P_n(1) = 1, द i-वां गॉस नोड, x_i, है i-की जड़ P_n और भार सूत्र द्वारा दिए गए हैं

$w_{i}={\frac {2}{\left(1-x_{i}^{2}\right)\left[P'_{n}(x_{i})\right]^{2}}}.$

कुछ निम्न-क्रम द्विघात नियम नीचे सारणीबद्ध हैं (अंतराल पर [−1, 1], अन्य अंतरालों के लिए नीचे दिया गया अनुभाग देखें)।

बिंदुओं की संख्या, n	अंक, xi		भार, wi
1	0		2
2	$\pm {\frac {1}{\sqrt {3}}}$	±0.57735...	1
3	0		${\frac {8}{9}}$	0.888889...
	$\pm {\sqrt {\frac {3}{5}}}$	±0.774597...	${\frac {5}{9}}$	0.555556...
4	$\pm {\sqrt {{\frac {3}{7}}-{\frac {2}{7}}{\sqrt {\frac {6}{5}}}}}$	±0.339981...	${\frac {18+{\sqrt {30}}}{36}}$	0.652145...
	$\pm {\sqrt {{\frac {3}{7}}+{\frac {2}{7}}{\sqrt {\frac {6}{5}}}}}$	±0.861136...	${\frac {18-{\sqrt {30}}}{36}}$	0.347855...
5	0		${\frac {128}{225}}$	0.568889...
	$\pm {\frac {1}{3}}{\sqrt {5-2{\sqrt {\frac {10}{7}}}}}$	±0.538469...	${\frac {322+13{\sqrt {70}}}{900}}$	0.478629...
	$\pm <!--\; \pm \; -->$