सेमीप्राइम

गणित में, एक सेमीप्राइम एक प्राकृतिक संख्या है जो ठीक दो अभाज्य संख्याओं का गुणनफल (गणित) है। गुणनफल में दो अभाज्य संख्याएँ एक दूसरे के बराबर हो सकती हैं, इसलिए अर्ध अभाज्य संख्याओं में अभाज्य संख्याओं की वर्ग संख्या शामिल होती है। क्योंकि अपरिमित रूप से अनेक अभाज्य संख्याएँ हैं, अपरिमित रूप से अनेक अर्ध अभाज्य संख्याएँ भी हैं। सेमीप्राइम्स को बाइप्राइम्स भी कहा जाता है।

उदाहरण और विविधताएं

100 से कम के सेमीप्राइम हैं:

4, 6, 9, 10, 14, 15, 21, 22, 25, 26, 33, 34, 35, 38, 39, 46, 49, 51, 55, 57, 58, 62, 65, 69, 74, 77, 82, 85, 86, 87, 91, 93, 94, and 95 (sequence A001358 in the OEIS)

सेमीप्राइम्स जो वर्ग संख्या नहीं हैं, असतत, विशिष्ट, या स्क्वायरफ्री सेमीप्राइम्स कहलाते हैं:

6, 10, 14, 15, 21, 22, 26, 33, 34, 35, 38, 39, 46, 51, 55, 57, 58, 62, 65, 69, 74, 77, 82, 85, 86, 87, 91, 93, 94, 95, ... (sequence A006881 in the OEIS)

सेमीप्रिम्स मामला है $k=2$ की $k$-लगभग अभाज्य संख्याएँ, सटीक संख्याएँ $k$ प्रधान कारण। हालाँकि, कुछ स्रोत सेमीप्राइम का उपयोग संख्याओं के एक बड़े सेट को संदर्भित करने के लिए करते हैं, संख्याएँ अधिकतम दो प्रमुख कारकों (यूनिट (1), प्राइम्स और सेमीप्राइम्स सहित) के साथ। ये:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 10, 11, 13, 14, 15, 17, 19, 21, 22, 23, 25, 26, 29, 31, 33, 34, 35, 37, 38, 39, 41, 43, 46, 47, 49, ... (sequence A037143 in the OEIS)

सेमीप्राइम्स की संख्या के लिए सूत्र

2005 में ई. नोएल और जी. पैनोस द्वारा एक सेमीप्राइम काउंटिंग फॉर्मूला खोजा गया था। मान लीजिए $\pi _{2}(n)$ n से कम या उसके बराबर सेमीप्राइम्स की संख्या को निरूपित करें। तब

$$\pi _{2}(n)=\sum _{k=1}^{\pi ({\sqrt {n}})}[\pi (n/p_{k})-k+1]$$

कहाँ $\pi (x)$ प्राइम-काउंटिंग फंक्शन है और $p_{k}$ kth प्राइम को दर्शाता है।

गुण

सेमीप्राइम संख्याओं में स्वयं के अलावा अन्य कारकों के रूप में कोई समग्र संख्या नहीं होती है। उदाहरण के लिए, संख्या 26 सेमीप्राइम है और इसके केवल कारक 1, 2, 13 और 26 हैं, जिनमें से केवल 26 संयुक्त हैं।

वर्गमुक्त सेमीप्राइम के लिए $n=pq$ (साथ $p\neq q$) यूलर के कुल फलन का मान $\varphi (n)$ (सकारात्मक पूर्णांकों की संख्या इससे कम या इसके बराबर $n$ जो अपेक्षाकृत प्रमुख हैं $n$) सरल रूप लेता है

$$\varphi (n)=(p-1)(q-1)=n-(p+q)+1.$$

यह गणना आरएसए क्रिप्टोसिस्टम में सेमीप्राइम्स के अनुप्रयोग का एक महत्वपूर्ण हिस्सा है। एक वर्ग सेमीप्राइम के लिए $n=p^{2}$सूत्र फिर से सरल है:

$$\varphi (n)=p(p-1)=n-p.$$

अनुप्रयोग

अरेसीबो संदेश

सेमिप्राइम्स क्रिप्टोग्राफी और संख्या सिद्धांत के क्षेत्र में अत्यधिक उपयोगी हैं, विशेष रूप से सार्वजनिक कुंजी क्रिप्टोग्राफी में, जहां उनका उपयोग आरएसए (एल्गोरिदम) और छद्म यादृच्छिक संख्या जनरेटर जैसे ब्लम ब्लम शुब द्वारा किया जाता है। ये विधियाँ इस तथ्य पर निर्भर करती हैं कि दो बड़ी अभाज्य संख्याएँ ढूँढ़ना और उन्हें एक साथ गुणा करना (परिणामस्वरूप सेमीप्राइम) कम्प्यूटेशनल रूप से सरल है, जबकि पूर्णांक गुणनखंड करना कठिन प्रतीत होता है। RSA फैक्टरिंग चैलेंज में, RSA सिक्योरिटी ने विशिष्ट बड़े सेमीप्राइम्स की फैक्टरिंग के लिए पुरस्कारों की पेशकश की और कई पुरस्कार प्रदान किए गए। मूल आरएसए फैक्टरिंग चैलेंज 1991 में जारी किया गया था, और 2001 में न्यू आरएसए फैक्टरिंग चैलेंज द्वारा प्रतिस्थापित किया गया था, जिसे बाद में 2007 में वापस ले लिया गया था।

1974 में Arecibo संदेश एक स्टार क्लस्टर के उद्देश्य से एक रेडियो सिग्नल के साथ भेजा गया था। इसमें शामिल है $1679$ द्विआधारी अंक एक के रूप में व्याख्या करने का इरादा है $23\times 73$ बिटमैप चित्र। जो नंबर $1679=23\cdot 73$ चुना गया था क्योंकि यह एक सेमीप्राइम है और इसलिए इसे केवल दो अलग-अलग तरीकों (23 पंक्तियों और 73 कॉलम, या 73 पंक्तियों और 23 कॉलम) में एक आयताकार छवि में व्यवस्थित किया जा सकता है।

यह भी देखें

• चेन की प्रमेय

बाहरी संबंध

• Weisstein, Eric W. "Semiprime". MathWorld.