एन-क्षेत्र

File:Sphere wireframe.svg

ऑर्थोगोनल प्रक्षेपण के रूप में 2-गोले वायरफ्रेम

File:Hypersphere coord.PNG

जिस तरह एक स्टीरियोग्राफिक प्रोजेक्शन एक गोले की सतह को एक समतल पर प्रोजेक्ट कर सकता है, उसी तरह यह 3-गोले को 3-स्पेस में भी प्रोजेक्ट कर सकता है। यह छवि 3-स्पेस के लिए प्रक्षेपित तीन समन्वय दिशाओं को दिखाती है: समांतर (लाल), मेरिडियन (भूगोल) (नीला) और हाइपरमेरिडियन (हरा)। त्रिविम प्रक्षेपण के अनुरूप मानचित्र गुण के कारण, वक्र एक दूसरे को लंबवत रूप से (पीले बिंदुओं में) 4D के रूप में काटते हैं। सभी वक्र वृत्त हैं: वे वक्र जो प्रतिच्छेद करते हैं ⟨0,0,0,1⟩ की एक अनंत त्रिज्या (= सीधी रेखा) है।

गणित में n- या हाइपरस्फीयर एक टोपोलॉजिकल स्पेस है। जो एक मानक के लिए होमियोमॉर्फिक है n-क्षेत्र, जो बिंदुओं का समुच्चय है (n + 1)-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष जो एक स्थिर दूरी पर स्थित हैं r एक निश्चित बिंदु से, जिसे केंद्र कहा जाता है। यह सामान्य त्रि-आयामी अंतरिक्ष में सामान्य क्षेत्र का सामान्यीकरण है। एक गोले की त्रिज्या केंद्र से उसके बिंदुओं की निरंतर दूरी है। जब गोले की इकाई त्रिज्या होती है, तो इसे सामान्य रूप से 'इकाई' कहा जाता है n-क्षेत्र या बस n-संक्षिप्तता के लिए क्षेत्र। मानदंड (गणित) के संदर्भ में, n-क्षेत्र को परिभाषित किया गया है

$S^{n}=\left\{x\in \mathbb {R} ^{n+1}:\left\|x\right\|=1\right\},$

और एक n-त्रिज्या का क्षेत्र r के रूप में परिभाषित किया जा सकता है

$S^{n}(r)=\left\{x\in \mathbb {R} ^{n+1}:\left\|x\right\|=r\right\}.$

का आयाम n-क्षेत्र है n, और आयाम के साथ भ्रमित नहीं होना चाहिए (n + 1) यूक्लिडियन अंतरिक्ष जिसमें यह स्वाभाविक रूप से एम्बेडिंग हो रहा है। एक n-क्षेत्र किसी की सतह या सीमा है (n + 1)-आयामी गेंद (गणित)।

विशेष रूप से:

• एक (एक आयामी) रेखा खंड के सिरों पर बिंदुओं की जोड़ी एक 0-गोला है,
• एक वृत्त, जो एक (द्वि-आयामी) डिस्क (गणित) की एक-आयामी परिधि है, एक 1-गोला है,
• त्रि-आयामी गेंद की द्वि-आयामी सतह एक 2-गोला है, जिसे अक्सर केवल गोला कहा जाता है,
• एक (चार-आयामी) 4-गेंद की त्रि-आयामी सीमा (टोपोलॉजी) एक 3-गोला है,
• द (n – 1)-एक की आयामी सीमा (n-आयामी) n-गेंद एक है (n – 1)-वृत्त।

के लिए n ≥ 2, द n-गोले जो विभेदक कई गुना हैं, उन्हें (एक भिन्नता तक) केवल जुड़े हुए के रूप में चित्रित किया जा सकता है n-निरंतर, सकारात्मक स्थिर वक्रता के आयामी कई गुना। वह n-क्षेत्र कई अन्य स्थलाकृतिक विवरणों को स्वीकार करते हैं: उदाहरण के लिए, उन्हें दो को जोड़कर बनाया जा सकता है n-डायमेंशनल यूक्लिडियन स्पेस एक साथ, एक हाइपरक्यूब की सीमा की पहचान करकेn-एक बिंदु के साथ घन, या (आगमनात्मक रूप से) एक के निलंबन (टोपोलॉजी) का गठन करके (n − 1)-वृत्त। 1-गोला 1-कई गुना है जो एक वृत्त है, जो केवल जुड़ा नहीं है। 0-गोला 0-कई गुना है, जो जुड़ा भी नहीं है, जिसमें दो बिंदु हैं।

विवरण

किसी भी प्राकृतिक संख्या के लिए n, एक n-त्रिज्या का क्षेत्र r को बिंदुओं के सेट के रूप में परिभाषित किया गया है (n + 1)-आयामी यूक्लिडियन स्थान जो दूरी पर हैं r किसी निश्चित बिंदु से c, कहाँ r कोई धनात्मक संख्या वास्तविक संख्या हो सकती है और कहाँ c में कोई बिंदु हो सकता है (n + 1)-विमीय स्थान। विशेष रूप से:

• एक 0-गोला बिंदुओं की एक जोड़ी है {c − r, c + r}, और एक लाइन सेगमेंट (1-बॉल) की सीमा है।
• 1-गोला त्रिज्या का एक वृत्त है r पर केंद्रित है c, और एक डिस्क (2-बॉल) की सीमा है।
• एक 2-गोला 3-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष में एक साधारण 2-आयामी क्षेत्र है, और एक साधारण गेंद (3-गेंद) की सीमा है।
• 3-गोला 4-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष में 3-आयामी क्षेत्र है।

यूक्लिडियन निर्देशांक में है (n + 1)-अंतरिक्ष

में बिंदुओं का समूह (n + 1)-अंतरिक्ष, (x₁, x₂, ..., x_n+1), जो एक को परिभाषित करता है n-वृत्त, Sⁿ(r), समीकरण द्वारा दर्शाया गया है:

$r^{2}=\sum _{i=1}^{n+1}(x_{i}-c_{i})^{2},$

कहाँ c = (c₁, c₂, ..., c_n+1) एक केंद्र बिंदु है, और r त्रिज्या है।

उपरोक्त n-क्षेत्र में मौजूद है (n + 1)-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष और इसका एक उदाहरण है n-कई गुना। वॉल्यूम फॉर्म ω की एक n-त्रिज्या का क्षेत्र r द्वारा दिया गया है

$\omega ={\frac {1}{r}}\sum _{j=1}^{n+1}(-1)^{j-1}x_{j}\,dx_{1}\wedge \cdots \wedge dx_{j-1}\wedge dx_{j+1}\wedge \cdots \wedge dx_{n+1}={\star }dr$

कहाँ ${\star }$ हॉज स्टार ऑपरेटर है; देखना Flanders (1989, §6.1) मामले में इस सूत्र की चर्चा और प्रमाण के लिए r = 1. नतीजतन,

$dr\wedge \omega =dx_{1}\wedge \cdots \wedge dx_{n+1}.$

n-बॉल

Main article: Ball (mathematics)

अंतरिक्ष एक से घिरा हुआ है n-क्षेत्र को a कहते हैं (n + 1)-बॉल (गणित)। एक (n + 1)-बॉल बंद सेट है अगर इसमें शामिल है n-क्षेत्र, और यह खुला सेट है अगर इसमें शामिल नहीं है n-वृत्त।

विशेष रूप से:

• एक 1-गेंद, एक रेखा खंड, 0-गोले का आंतरिक भाग है।
• एक 2-गेंद, एक डिस्क (गणित), एक वृत्त (1-गोले) का आंतरिक भाग है।
• एक 3-गेंद, एक साधारण गेंद (गणित), एक गोले (2-गोले) का आंतरिक भाग है।
• एक 4-गेंद 3-गोले आदि का आंतरिक भाग है।

सांस्थितिक विवरण

टोपोलॉजी, ए n-क्षेत्र का निर्माण एलेक्जेंड्रॉफ विस्तार के रूप में किया जा सकता है | एक बिंदु का संघनन n-आयामी यूक्लिडियन स्थान। संक्षेप में, n-क्षेत्र को इस प्रकार वर्णित किया जा सकता है Sⁿ = ℝⁿ ∪ {∞}, जो है n-विमीय यूक्लिडियन स्थान और सभी दिशाओं में अनंत का प्रतिनिधित्व करने वाला एक बिंदु। विशेष रूप से, यदि एक बिंदु से एक बिंदु हटा दिया जाता है n-क्षेत्र, यह होमोमोर्फिज्म बन जाता है ℝⁿ. यह त्रिविम प्रक्षेपण का आधार बनता है।

मात्रा और सतह क्षेत्र

V_n(R) और S_n(R) हैं n-गेंद का आयामी आयतन (गणित)|n-बॉल और सतह क्षेत्र n-क्षेत्र आयाम में सन्निहित है n + 1, क्रमशः, त्रिज्या का R.

स्थिरांक V_n और S_n (के लिए R = 1, यूनिट बॉल और गोला) पुनरावृत्ति से संबंधित हैं:

${\begin{aligned}V_{0}&=1&V_{n+1}&={\frac {S_{n}}{n+1}}\\[6pt]S_{0}&=2&S_{n+1}&=2\pi V_{n}\end{aligned}}$

सतहों और आयतन को बंद रूप में भी दिया जा सकता है:

${\begin{aligned}S_{n-1}(R)&={\frac {2\,\pi ^{\frac {n}{2}}}{\Gamma \left({\frac {n}{2}}\right)}}R^{n-1}\\[6pt]V_{n}(R)&={\frac {\pi ^{\frac {n}{2}}}{\Gamma \left({\frac {n}{2}}+1\right)}}R^{n}\end{aligned}}$

कहाँ Γ गामा समारोह है। इन समीकरणों की व्युत्पत्ति इस खंड में दी गई है।

File:Hypersphere volume and surface area graphs.svg

मात्रा के रेखांकन (V_n) और भूतल क्षेत्र (S_n−1) का n-त्रिज्या की गेंदें 1. मेंHypersphere_volume_and_surface_area_graphs.svg, इसे और इसके मूल्य को हाइलाइट करने के लिए एक बिंदु पर होवर करें।

See also: Volume of an n-ball

सामान्य तौर पर, की मात्रा n-बॉल इन n-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष, और की सतह क्षेत्र n-क्षेत्र में (n + 1)-आयामी यूक्लिडियन स्थान, त्रिज्या का R, के समानुपाती होते हैं {{math|n}त्रिज्या की }वीं शक्ति, R (आनुपातिकता के विभिन्न अचरों के साथ भिन्न होते हैं n). हम लिखते हैं V_n(R) = V_nRⁿ की मात्रा के लिए n-बॉल और S_n(R) = S_nRⁿ के सतह क्षेत्र के लिए n-क्षेत्र, त्रिज्या के दोनों R, कहाँ V_n = V_n(1) और S_n = S_n(1) इकाई-त्रिज्या स्थिति के मान हैं।

इकाई का आयतन n-गेंद आयाम पांच में अधिकतम है, जहां यह घटने लगती है, और शून्य के रूप में जाती है n अनंत की ओर जाता है। इसके अलावा, सम-आयामी की मात्रा का योग n-त्रिज्या की गेंदें R बंद रूप में व्यक्त किया जा सकता है::$\sum _{n=0}^{\infty }V_{2n}(R)=e^{\pi R^{2}}.$ विषम-आयामी एनालॉग के लिए,

$\sum _{n=0}^{\infty }V_{2n+1}(R)=e^{\pi R^{2}}\operatorname {erf} ({\sqrt {\pi }}R),$

कहाँ erf त्रुटि कार्य है।

उदाहरण

0-बॉल में एक बिंदु होता है। 0-आयामी हॉसडॉर्फ उपाय एक सेट में अंकों की संख्या है। इसलिए,

$V_{0}=1.$

0-गोले में इसके दो अंत-बिंदु होते हैं, {−1, 1}. इसलिए,

$S_{0}=2.$

यूनिट 1-बॉल अंतराल है [−1, 1] लंबाई 2. तो,

$V_{1}=2.$

इकाई 1-गोला यूक्लिडियन तल में इकाई वृत्त है, और इसकी परिधि (1-आयामी माप) है

$S_{1}=2\pi .$

इकाई 1-गोले से घिरा क्षेत्र 2-गेंद, या इकाई डिस्क है, और इसका क्षेत्रफल (2-आयामी माप) है

$V_{2}=\pi .$

अनुरूप रूप से, 3-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष में, इकाई 2-गोले का सतह क्षेत्र (2-आयामी माप) द्वारा दिया जाता है

$S_{2}=4\pi .$

और संलग्न आयतन यूनिट 3-बॉल का आयतन (3-आयामी माप) है, जिसके द्वारा दिया गया है

$V_{3}={\tfrac {4}{3}}\pi .$

पुनरावृत्ति

सतह क्षेत्र, या ठीक से n-विमीय आयतन, का n-क्षेत्र की सीमा पर (n + 1)-त्रिज्या की गेंद R अंतर समीकरण द्वारा गेंद के आयतन से संबंधित है

$S_{n}R^{n}={\frac {dV_{n+1}R^{n+1}}{dR}}={(n+1)V_{n+1}R^{n}},$

या, समकक्ष, इकाई का प्रतिनिधित्व करते हैं n-गेंद संकेंद्रित के संघ के रूप में (n − 1)-गोलाकार खोल,

$V_{n+1}=\int _{0}^{1}S_{n}r^{n}\,dr.$

इसलिए,

$V_{n+1}={\frac {S_{n}}{n+1}}.$

हम इकाई का प्रतिनिधित्व भी कर सकते हैं (n + 2)-क्षेत्र एक सर्कल (1-गोले) के उत्पादों के संघ के रूप में n-वृत्त। होने देना r = cos θ और r² + R² = 1, ताकि R = sin θ और dR = cos θ dθ. तब,

${\begin{aligned}S_{n+2}&=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}S_{1}r\cdot S_{n}R^{n}\,d\theta \\[6pt]&=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}S_{1}\cdot S_{n}R^{n}\cos \theta \,d\theta \\[6pt]&=\int _{0}^{1}S_{1}\cdot S_{n}R^{n}\,dR\\[6pt]&=S_{1}\int _{0}^{1}S_{n}R^{n}\,dR\\[6pt]&=2\pi V_{n+1}.\end{aligned}}$

तब से S₁ = 2π V₀, समीकरण

$S_{n+1}=2\pi V_{n}$

सभी के लिए रखता है n.

यह पुनरावृत्ति की व्युत्पत्ति को पूरा करता है:

${\begin{aligned}V_{0}&=1&V_{n+1}&={\frac {S_{n}}{n+1}}\\[6pt]S_{0}&=2&S_{n+1}&=2\pi V_{n}\end{aligned}}$

बंद प्रपत्र

पुनरावृत्तियों को मिलाकर, हम देखते हैं कि

$V_{n+2}=2\pi {\frac {V_{n}}{n+2}}.$

इसलिए इंडक्शन ऑन करके दिखाना आसान है k वह,

${\begin{aligned}V_{2k}&={\frac {\left(2\pi \right)^{k}}{(2k)!!}}={\frac {\pi ^{k}}{k!}}\\[6pt]V_{2k+1}&={\frac {2\left(2\pi \right)^{k}}{(2k+1)!!}}={\frac {2\left(4\pi \right)^{k}k!}{(2k+1)!}}\end{aligned}}$

कहाँ !! विषम प्राकृतिक संख्याओं के लिए परिभाषित दोहरे क्रमगुणन को दर्शाता है 2k + 1 द्वारा (2k + 1)!! = 1 × 3 × 5 × ... × (2k − 1) × (2k + 1) और इसी तरह सम संख्याओं के लिए (2k)!! = 2 × 4 × 6 × ... × (2k − 2) × (2k).

सामान्य तौर पर, वॉल्यूम, में n-आयामी यूक्लिडियन स्थान, इकाई का n-बॉल, द्वारा दिया जाता है

$V_{n}={\frac {\pi ^{\frac {n}{2}}}{\Gamma \left({\frac {n}{2}}+1\right)}}={\frac {\pi ^{\frac {n}{2}}}{\left({\frac {n}{2}}\right)!}}$

कहाँ Γ गामा फ़ंक्शन है, जो संतुष्ट करता है Γ(1/2) = √π, Γ(1) = 1, और Γ(x + 1) = xΓ(x), इसलिए Γ(x + 1) = x!, और जहाँ हम इसके विपरीत x को परिभाषित करते हैं! = Γ(x + 1) प्रत्येक x के लिए।

गुणा करके V_n द्वारा Rⁿ, के संबंध में अंतर करना R, और फिर सेटिंग R = 1, हमें बंद रूप मिलता है

$S_{n-1}={\frac {n\pi ^{\frac {n}{2}}}{\Gamma \left({\frac {n}{2}}+1\right)}}={\frac {2\pi ^{\frac {n}{2}}}{\Gamma \left({\frac {n}{2}}\right)}}.$

के लिए (n− 1)-गोले की आयामी सतह Sⁿ⁻¹.

अन्य संबंध

आरेख में दर्शाए अनुसार सतह क्षेत्र के लिए एक रिवर्स-दिशा पुनरावृत्ति संबंध देने के लिए पुनरावृत्तियों को जोड़ा जा सकता है:

$S_{n-1}={\frac {n}{2\pi }}S_{n+1}$

File:N SpheresVolumeAndSurfaceArea.png

n परिवेशी यूक्लिडियन स्थान के आयाम को संदर्भित करता है, जो उस ठोस का आंतरिक आयाम भी है जिसका आयतन यहाँ सूचीबद्ध है, लेकिन जो उस गोले के आंतरिक आयाम से 1 अधिक है जिसका सतह क्षेत्र यहाँ सूचीबद्ध है। घुमावदार लाल तीर अलग-अलग सूत्रों के बीच संबंध दिखाते हैं n. प्रत्येक तीर की नोक पर सूत्र गुणांक उस तीर के पुच्छ पर सूत्र गुणांक के बराबर होता है जो तीर के शीर्ष में गुणक (जहाँ n एरोहेड में संदर्भित करता है n मान जो तीर का सिरा इंगित करता है)। यदि नीचे के तीरों की दिशा उलट दी जाती है, तो उनके तीरों के सिरों को गुणा करने के लिए कहेंगे 2π/n − 2. वैकल्पिक रूप से कहा, सतह क्षेत्र S_n+1 क्षेत्र में n + 2 आयाम बिल्कुल है 2πR गुना मात्रा V_n में गोले से घिरा हुआ है n आयाम।

सूचकांक-स्थानांतरण n को n − 2 फिर पुनरावृत्ति संबंध उत्पन्न करता है:

${\begin{aligned}V_{n}&={\frac {2\pi }{n}}V_{n-2}\\[6pt]S_{n-1}&={\frac {2\pi }{n-2}}S_{n-3}\end{aligned}}$

कहाँ S₀ = 2, V₁ = 2, S₁ = 2π और V₂ = π.

के लिए पुनरावृत्ति संबंध V_n को 2-आयामी ध्रुवीय समन्वय प्रणाली के साथ अभिन्न के माध्यम से भी सिद्ध किया जा सकता है:

${\begin{aligned}V_{n}&=\int _{0}^{1}\int _{0}^{2\pi }V_{n-2}\left({\sqrt {1-r^{2}}}\right)^{n-2}\,r\,d\theta \,dr\\[6pt]&=\int _{0}^{1}\int _{0}^{2\pi }V_{n-2}\left(1-r^{2}\right)^{{\frac {n}{2}}-1}\,r\,d\theta \,dr\\[6pt]&=2\pi V_{n-2}\int _{0}^{1}\left(1-r^{2}\right)^{{\frac {n}{2}}-1}\,r\,dr\\[6pt]&=2\pi V_{n-2}\left[-{\frac {1}{n}}\left(1-r^{2}\right)^{\frac {n}{2}}\right]_{r=0}^{r=1}\\[6pt]&=2\pi V_{n-2}{\frac {1}{n}}={\frac {2\pi }{n}}V_{n-2}.\end{aligned}}$

गोलाकार निर्देशांक

हम एक समन्वय प्रणाली को एक में परिभाषित कर सकते हैं n-आयामी यूक्लिडियन स्थान जो 3-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष के लिए परिभाषित गोलाकार निर्देशांक के अनुरूप है, जिसमें निर्देशांक एक रेडियल समन्वय से मिलकर बनता है r, और n − 1 कोणीय निर्देशांक φ₁, φ₂, ..., φ_n−1, जहां कोण φ₁, φ₂, ..., φ_n−2 सीमा से अधिक [0, π] रेडियंस (या अधिक [0, 180] डिग्री) और φ_n−1 के दायरे में है [0, 2π) रेडियंस (या अधिक [0, 360) डिग्री)। अगर x_i कार्तीय निर्देशांक हैं, तो हम गणना कर सकते हैं x₁, ..., x_n से r, φ₁, ..., φ_n−1 साथ:

${\begin{aligned}x_{1}&=r\cos(\varphi _{1})\\x_{2}&=r\sin(\varphi _{1})\cos(\varphi _{2})\\x_{3}&=r\sin(\varphi _{1})\sin(\varphi _{2})\cos(\varphi _{3})\\&\,\,\,\vdots \\x_{n-1}&=r\sin(\varphi _{1})\cdots \sin(\varphi _{n-2})\cos(\varphi _{n-1})\\x_{n}&=r\sin(\varphi _{1})\cdots \sin(\varphi _{n-2})\sin(\varphi _{n-1}).\end{aligned}}$ नीचे वर्णित विशेष मामलों को छोड़कर, उलटा परिवर्तन अद्वितीय है:

कहाँ अगर x_k ≠ 0 कुछ के लिए k लेकिन सभी x_k+1, ... x_n तब शून्य हैं φ_k = 0 कब x_k > 0, और φ_k = π (180 डिग्री) जब x_k < 0.

कुछ विशेष मामले हैं जहां उलटा परिवर्तन अद्वितीय नहीं है; φ_k किसी के लिए k जब भी सभी अस्पष्ट होंगे x_k, x_k+1, ... x_n शून्य हैं; इस मामले में φ_k को शून्य चुना जा सकता है।

गोलाकार आयतन और क्षेत्र तत्व

के आयतन तत्व को व्यक्त करने के लिए n-डायमेंशनल यूक्लिडियन स्पेस गोलाकार निर्देशांक के संदर्भ में, पहले निरीक्षण करें कि जेकोबियन मैट्रिक्स और परिवर्तन का निर्धारक है:

$J_{n}={\begin{pmatrix}\cos(\varphi _{1})&-r\sin(\varphi _{1})&0&0&\cdots &0\\\sin(\varphi _{1})\cos(\varphi _{2})&r\cos(\varphi _{1})\cos(\varphi _{2})&-r\sin(\varphi _{1})\sin(\varphi _{2})&0&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &&\ddots &\vdots \\&&&&&0\\\sin(\varphi _{1})\cdots \sin(\varphi _{n-2})\cos(\varphi _{n-1})&\cdots &\cdots &&&-r\sin(\varphi _{1})\cdots \sin(\varphi _{n-2})\sin(\varphi _{n-1})\\\sin(\varphi _{1})\cdots \sin(\varphi _{n-2})\sin(\varphi _{n-1})&r\cos(\varphi _{1})\cdots \sin(\varphi _{n-1})&\cdots &&&r\sin(\varphi _{1})\cdots \sin(\varphi _{n-2})\cos(\varphi _{n-1})\end{pmatrix}}.$

इस मैट्रिक्स के निर्धारक की गणना प्रेरण द्वारा की जा सकती है। कब n = 2, एक सीधी संगणना से पता चलता है कि निर्धारक है r. बड़े के लिए n, उसका अवलोकन करो J_n से बनाया जा सकता है J_n−1 निम्नलिखित नुसार। कॉलम को छोड़कर n, पंक्तियाँ n − 1 और n का J_n पंक्ति के समान हैं n − 1 का J_n−1, लेकिन के एक अतिरिक्त कारक से गुणा किया जाता है cos φ_n−1 पंक्ति में n − 1 और का एक अतिरिक्त कारक sin φ_n−1 पंक्ति में n. स्तंभ में n, पंक्तियाँ n − 1 और n का J_n स्तंभ के समान हैं n − 1 पंक्ति का n − 1 का J_n−1, लेकिन के अतिरिक्त कारकों से गुणा sin φ_n−1 पंक्ति में n − 1 और cos φ_n−1 पंक्ति में n, क्रमश। का निर्धारक J_n की गणना अंतिम कॉलम में लाप्लास विस्तार द्वारा की जा सकती है। के पुनरावर्ती विवरण द्वारा J_n, पर प्रविष्टि को हटाकर गठित सबमैट्रिक्स (n − 1, n) और इसकी पंक्ति और स्तंभ लगभग बराबर हैं J_n−1, सिवाय इसके कि इसकी अंतिम पंक्ति को गुणा किया जाता है sin φ_n−1. इसी प्रकार, प्रविष्टि को हटाकर गठित सबमैट्रिक्स (n, n) और इसकी पंक्ति और स्तंभ लगभग बराबर हैं J_n−1, सिवाय इसके कि इसकी अंतिम पंक्ति को गुणा किया जाता है cos φ_n−1. इसलिए का निर्धारक J_n है

${\begin{aligned}|J_{n}|&=(-1)^{(n-1)+n}(-r\sin(\varphi _{1})\dotsm \sin(\varphi _{n-2})\sin(\varphi _{n-1}))(\sin(\varphi _{n-1})|J_{n-1}|)\\&\qquad {}+(-1)^{n+n}(r\sin(\varphi _{1})\dotsm \sin(\varphi _{n-2})\cos(\varphi _{n-1}))(\cos(\varphi _{n-1})|J_{n-1}|)\\&=(r\sin(\varphi _{1})\dotsm \sin(\varphi _{n-2})|J_{n-1}|(\sin ^{2}(\varphi _{n-1})+\cos ^{2}(\varphi _{n-1}))\\&=(r\sin(\varphi _{1})\dotsm \sin(\varphi _{n-2}))|J_{n-1}|.\end{aligned}}$

इंडक्शन तब गोलाकार निर्देशांक में आयतन तत्व के लिए एक बंद-रूप अभिव्यक्ति देता है

${\begin{aligned}d^{n}V&=\left|\det {\frac {\partial (x_{i})}{\partial \left(r,\varphi _{j}\right)}}\right|dr\,d\varphi _{1}\,d\varphi _{2}\cdots d\varphi _{n-1}\\&=r^{n-1}\sin ^{n-2}(\varphi _{1})\sin ^{n-3}(\varphi _{2})\cdots \sin(\varphi _{n-2})\,dr\,d\varphi _{1}\,d\varphi _{2}\cdots d\varphi _{n-1}.\end{aligned}}$

की मात्रा का सूत्र n-गेंद को समाकलन द्वारा इससे प्राप्त किया जा सकता है।

इसी प्रकार की सतह क्षेत्र तत्व (n − 1)-त्रिज्या का क्षेत्र R, जो 2-गोले के क्षेत्र तत्व का सामान्यीकरण करता है, द्वारा दिया गया है

$d_{S^{n-1}}V=R^{n-1}\sin ^{n-2}(\varphi _{1})\sin ^{n-3}(\varphi _{2})\cdots \sin(\varphi _{n-2})\,d\varphi _{1}\,d\varphi _{2}\cdots d\varphi _{n-1}.$

कोणीय निर्देशांक पर एक ओर्थोगोनल आधार की प्राकृतिक पसंद Gegenbauer बहुपद का एक उत्पाद है,

${\begin{aligned}&{}\quad \int _{0}^{\pi }\sin ^{n-j-1}\left(\varphi _{j}\right)C_{s}^{\left({\frac {n-j-1}{2}}\right)}\cos \left(\varphi _{j}\right)C_{s'}^{\left({\frac {n-j-1}{2}}\right)}\cos \left(\varphi _{j}\right)\,d\varphi _{j}\\[6pt]&={\frac {2^{3-n+j}\pi \Gamma (s+n-j-1)}{s!(2s+n-j-1)\Gamma ^{2}\left({\frac {n-j-1}{2}}\right)}}\delta _{s,s'}\end{aligned}}$

के लिए j = 1, 2, ..., n − 2, और यह e^isφ_j कोण के लिए j = n − 1 गोलाकार हार्मोनिक्स के अनुरूप।

बहुगोल निर्देशांक

मानक गोलाकार समन्वय प्रणाली लेखन से उत्पन्न होती है ℝⁿ उत्पाद के रूप में ℝ × ℝⁿ⁻¹. ये दो कारक ध्रुवीय निर्देशांकों का उपयोग करके संबंधित हो सकते हैं। प्रत्येक बिंदु के लिए x का ℝⁿ, मानक कार्तीय निर्देशांक

$\mathbf {x} =(x_{1},\dots ,x_{n})=(y_{1},z_{1},\dots ,z_{n-1})=(y_{1},\mathbf {z} )$

मिश्रित ध्रुवीय-कार्टेशियन समन्वय प्रणाली में परिवर्तित किया जा सकता है:

$\mathbf {x} =(r\sin \theta ,(r\cos \theta ){\hat {\mathbf {z} }}).$

यह कहता है कि में इंगित करता है ℝⁿ किरण को मूल बिंदु से प्रारंभ करके और वहां से गुजरते हुए व्यक्त किया जा सकता है ${\hat {\mathbf {z} }}=\mathbf {z} /\lVert \mathbf {z} \rVert \in S^{n-2}$, की ओर घुमा रहा है $(1,0,\dots ,0)$ द्वारा $\theta =\arcsin y_{1}/r$, और एक दूरी की यात्रा $r=\lVert \mathbf {x} \rVert$ किरण के साथ। इस अपघटन को दोहराने से अंततः मानक गोलाकार समन्वय प्रणाली बन जाती है।

इस निर्माण के एक सामान्यीकरण से पॉलीस्फेरिकल समन्वय प्रणाली उत्पन्न होती है। अंतरिक्ष ℝⁿ छोटे आयाम के दो यूक्लिडियन रिक्त स्थान के उत्पाद के रूप में विभाजित है, लेकिन एक रेखा होने के लिए किसी भी स्थान की आवश्यकता नहीं है। विशेष रूप से, मान लीजिए p और q सकारात्मक पूर्णांक हैं जैसे कि n = p + q. तब ℝⁿ = ℝ^p × ℝ^q. इस अपघटन का उपयोग करते हुए, एक बिंदु x ∈ ℝⁿ के रूप में लिखा जा सकता है

$\mathbf {x} =(x_{1},\dots ,x_{n})=(y_{1},\dots ,y_{p},z_{1},\dots ,z_{q})=(\mathbf {y} ,\mathbf {z} ).$

इसे लिखकर मिश्रित ध्रुवीय-कार्टेशियन समन्वय प्रणाली में परिवर्तित किया जा सकता है:

$\mathbf {x} =((r\sin \theta ){\hat {\mathbf {y} }},(r\cos \theta ){\hat {\mathbf {z} }}).$

यहाँ ${\hat {\mathbf {y} }}$ और ${\hat {\mathbf {z} }}$ से जुड़े इकाई वैक्टर हैं y और z. यह व्यक्त करता है x के अनुसार ${\hat {\mathbf {y} }}\in S^{p-1}$, ${\hat {\mathbf {z} }}\in S^{q-1}$, r ≥ 0, और एक कोण θ. यह दिखाया जा सकता है कि का डोमेन θ है [0, 2π) अगर p = q = 1, [0, π] यदि बिल्कुल एक p और q 1 है, और [0, π/2] यदि कोई नहीं p और न q हैं 1. व्युत्क्रम परिवर्तन है

${\begin{aligned}r&=\lVert \mathbf {x} \rVert ,\\\theta &=\arcsin(\lVert \mathbf {y} \rVert /\lVert \mathbf {x} \rVert )\\&=\arccos(\lVert \mathbf {z} \rVert /\lVert \mathbf {x} \rVert )\\&=\arctan(\lVert \mathbf {y} \rVert /\lVert \mathbf {z} \rVert ).\end{aligned}}$

इन विभाजनों को तब तक दोहराया जा सकता है जब तक कि शामिल कारकों में से एक का आयाम दो या अधिक हो। एक पॉलीस्फेरिकल कोऑर्डिनेट सिस्टम इन विभाजनों को दोहराने का परिणाम है जब तक कि कोई कार्टेशियन निर्देशांक नहीं बचा है। पहले के बाद विभाजन को रेडियल समन्वय की आवश्यकता नहीं होती है क्योंकि के डोमेन ${\hat {\mathbf {y} }}$ और ${\hat {\mathbf {z} }}$ गोले हैं, इसलिए एक बहुगोलीय समन्वय प्रणाली के निर्देशांक एक गैर-नकारात्मक त्रिज्या हैं और n − 1 कोण। संभावित पॉलीस्फेरिकल समन्वय प्रणाली बाइनरी पेड़ के साथ मेल खाती है n पत्तियाँ। पेड़ में प्रत्येक गैर-पत्ती नोड एक विभाजन से मेल खाता है और एक कोणीय समन्वय निर्धारित करता है। उदाहरण के लिए, पेड़ की जड़ प्रतिनिधित्व करती है ℝⁿ, और इसके तत्काल बच्चे पहले विभाजन का प्रतिनिधित्व करते हैं ℝ^p और ℝ^q. लीफ नोड्स कार्टेशियन निर्देशांक के अनुरूप हैं Sⁿ⁻¹. पॉलीस्फेरिकल निर्देशांक से कार्टेशियन निर्देशांक में परिवर्तित करने के सूत्र रूट से लीफ नोड्स तक के रास्तों को खोजकर निर्धारित किए जा सकते हैं। ये सूत्र पथ द्वारा ली गई प्रत्येक शाखा के लिए एक कारक वाले उत्पाद हैं। एक नोड के लिए जिसका संगत कोणीय निर्देशांक है θ_i, बाईं शाखा लेने से एक कारक का परिचय मिलता है sin θ_i और दाहिनी शाखा लेना एक कारक का परिचय देता है cos θ_i. उलटा परिवर्तन, पॉलीस्फेरिकल निर्देशांक से कार्टेशियन निर्देशांक तक, समूहीकरण नोड्स द्वारा निर्धारित किया जाता है। एक आम माता-पिता वाले नोड्स की प्रत्येक जोड़ी को एक मिश्रित ध्रुवीय-कार्टेशियन समन्वय प्रणाली से विभाजित करने के लिए उपरोक्त सूत्रों का उपयोग करके कार्टेशियन समन्वय प्रणाली में परिवर्तित किया जा सकता है।

विशेष ऑर्थोगोनल समूह के संदर्भ में पॉलीस्फेरिकल निर्देशांक की भी व्याख्या है। एक बंटवारा ℝⁿ = ℝ^p × ℝ^q एक उपसमूह निर्धारित करता है

$\operatorname {SO} _{p}(\mathbb {R} )\times \operatorname {SO} _{q}(\mathbb {R} )\subseteq \operatorname {SO} _{n}(\mathbb {R} ).$

यह उपसमूह है जो दो कारकों में से प्रत्येक को छोड़ देता है $S^{p-1}\times S^{q-1}\subseteq S^{n-1}$ हल किया गया। भागफल के लिए सहसमुच्चय प्रतिनिधियों का एक सेट चुनना वही है जो पॉलीस्फेरिकल समन्वय अपघटन के इस चरण के लिए प्रतिनिधि कोणों को चुनना है।

बहुगोलीय निर्देशांकों में आयतन का माप चालू होता है ℝⁿ और क्षेत्र माप पर Sⁿ⁻¹ उत्पाद हैं। प्रत्येक कोण के लिए एक कारक है, और आयतन माप चालू है ℝⁿ में रेडियल निर्देशांक के लिए एक कारक भी है। क्षेत्र माप का रूप है:

$dA_{n-1}=\prod _{i=1}^{n-1}F_{i}(\theta _{i})\,d\theta _{i},$

जहां कारक F_i पेड़ द्वारा निर्धारित किया जाता है। इसी प्रकार, मात्रा माप है

$dV_{n}=r^{n-1}\,dr\,\prod _{i=1}^{n-1}F_{i}(\theta _{i})\,d\theta _{i}.$

मान लीजिए कि हमारे पास पेड़ का एक नोड है जो अपघटन से मेल खाता है ℝ^n₁+n₂ = ℝ^n₁ × ℝ^n₂ और वह कोणीय समन्वय है θ. संगत कारक F के मूल्यों पर निर्भर करता है n₁ और n₂. जब क्षेत्र माप को सामान्यीकृत किया जाता है ताकि गोले का क्षेत्रफल 1 हो, तो ये कारक इस प्रकार हैं। अगर n₁ = n₂ = 1, तब

$F(\theta )={\frac {d\theta }{2\pi }}.$

अगर n₁ > 1 और n₂ = 1, और अगर B तब बीटा समारोह को दर्शाता है

$F(\theta )={\frac {\sin ^{n_{1}-1}\theta }{\mathrm {B} ({\frac {n_{1}}{2}},{\frac {1}{2}})}}\,d\theta .$

अगर n₁ = 1 और n₂ > 1, तब

$F(\theta )={\frac {\cos ^{n_{2}-1}\theta }{\mathrm {B} ({\frac {1}{2}},{\frac {n_{2}}{2}})}}\,d\theta .$

अंत में, यदि दोनों n₁ और n₂ तब एक से अधिक हैं

$F(\theta )={\frac {(\sin ^{n_{1}-1}\theta )(\cos ^{n_{2}-1}\theta )}{{\frac {1}{2}}\mathrm {B} ({\frac {n_{1}}{2}},{\frac {n_{2}}{2}})}}\,d\theta .$

त्रिविम प्रक्षेपण

Main article: Stereographic projection

जिस तरह तीन आयामों में सन्निहित एक द्वि-आयामी क्षेत्र को त्रिविमीय प्रक्षेपण द्वारा द्वि-आयामी तल पर मैप किया जा सकता है, उसी प्रकार एक n-sphere को a पर मैप किया जा सकता है n-डायमेंशनल हाइपरप्लेन द्वारा n-स्टीरियोग्राफिक प्रक्षेपण का आयामी संस्करण। उदाहरण के लिए बिंदु [x,y,z] त्रिज्या 1 मानचित्र के द्वि-आयामी क्षेत्र पर बिंदु पर [x/1 − z, y/1 − z] पर xy-विमान। दूसरे शब्दों में,

$[x,y,z]\mapsto \left[{\frac {x}{1-z}},{\frac {y}{1-z}}\right].$

इसी तरह, एक का त्रिविम प्रक्षेपण n-वृत्त Sⁿ त्रिज्या 1 को मैप करेगा (n − 1)-आयामी हाइपरप्लेन ℝⁿ⁻¹ के लंबवत x_n-अक्ष के रूप में

$[x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}]\mapsto \left[{\frac {x_{1}}{1-x_{n}}},{\frac {x_{2}}{1-x_{n}}},\ldots ,{\frac {x_{n-1}}{1-x_{n}}}\right].$

यादृच्छिक अंक उत्पन्न करना

समान रूप से यादृच्छिक पर (n − 1)-क्षेत्र

File:2sphere-uniform.png

एक इकाई 2-गोले की सतह पर समान रूप से वितरण से खींचे गए बिंदुओं का एक सेट, जो मार्सग्लिया के एल्गोरिथम का उपयोग करके उत्पन्न होता है।

इकाई पर समान रूप से वितरित यादृच्छिक अंक उत्पन्न करने के लिए (n − 1)-क्षेत्र (अर्थात इकाई की सतह n-गेंद), Marsaglia (1972) निम्नलिखित एल्गोरिथम देता है।

एक उत्पन्न करें n-सामान्य वितरण के आयामी वेक्टर (यह उपयोग करने के लिए पर्याप्त है N(0, 1), हालांकि वास्तव में भिन्नता का चुनाव मनमाना है), x = (x₁, x₂, ..., x_n). अब इस बिंदु की त्रिज्या की गणना करें:

$r={\sqrt {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}}}.$

सदिश 1/rx इकाई की सतह पर समान रूप से वितरित है n-गेंद।

मार्सग्लिया द्वारा दिया गया एक विकल्प समान रूप से बेतरतीब ढंग से एक बिंदु का चयन करना है x = (x₁, x₂, ..., x_n) यूनिट हाइपरक्यूब में|n-घन प्रत्येक का नमूना लेकर x_i स्वतंत्र रूप से निरंतर समान वितरण से अधिक (–1, 1), कंप्यूटिंग r उपरोक्त के रूप में, और बिंदु को अस्वीकार कर रहा है और यदि पुन: नमूनाकरण कर रहा है r ≥ 1 (यानी, यदि बिंदु अंदर नहीं है n-बॉल), और जब गेंद में एक बिंदु कारक द्वारा गोलाकार सतह तक स्केलिंग प्राप्त किया जाता है 1/r; तो फिर 1/rx इकाई की सतह पर समान रूप से वितरित है n-गेंद। उच्च आयामों के लिए यह विधि बहुत अक्षम हो जाती है, क्योंकि इकाई घन का एक छोटा सा अंश गोले में समाहित होता है। दस आयामों में, घन का 2% से कम गोला द्वारा भरा जाता है, इसलिए आम तौर पर 50 से अधिक प्रयासों की आवश्यकता होगी। सत्तर आयामों में, से कम $10^{-24}$ घन भर गया है, जिसका अर्थ है कि आमतौर पर एक ट्रिलियन क्वाड्रिलियन परीक्षणों की आवश्यकता होगी, जो कि एक कंप्यूटर से कहीं अधिक हो सकता है।

=== समान रूप से एन-बॉल === के भीतर यादृच्छिक रूप से इकाई की सतह से यादृच्छिक रूप से समान रूप से चुने गए बिंदु के साथ (n − 1)-क्षेत्र (उदाहरण के लिए, मार्सग्लिया के एल्गोरिथ्म का उपयोग करके), इकाई के भीतर यादृच्छिक रूप से समान रूप से एक बिंदु प्राप्त करने के लिए केवल एक त्रिज्या की आवश्यकता होती है n-गेंद। अगर u अंतराल से यादृच्छिक रूप से समान रूप से उत्पन्न संख्या है [0, 1] और x एक बिंदु है जिसे इकाई से यादृच्छिक रूप से समान रूप से चुना गया है (n − 1)-क्षेत्र, तब u^1/n x इकाई के भीतर समान रूप से वितरित किया जाता है n-गेंद।

वैकल्पिक रूप से, बिंदुओं को इकाई के भीतर से समान रूप से नमूना लिया जा सकता है n-गेंद इकाई से घटाकर (n + 1)-वृत्त। विशेष रूप से, अगर (x₁, x₂, ..., x_n+2) इकाई से समान रूप से चुना गया बिंदु है (n + 1)-क्षेत्र, तब (x₁, x₂, ..., x_n) इकाई के भीतर समान रूप से वितरित किया जाता है n-बॉल (यानी, केवल दो निर्देशांकों को छोड़कर)। अगर n पर्याप्त रूप से बड़ी है, की अधिकांश मात्रा n-गेंद इसकी सतह के बहुत करीब के क्षेत्र में समाहित होगी, इसलिए उस आयतन से चुना गया बिंदु भी शायद सतह के करीब होगा। यह कुछ संख्यात्मक और अन्य अनुप्रयोगों में उत्पन्न होने वाली आयामीता के तथाकथित अभिशाप की ओर ले जाने वाली घटनाओं में से एक है।

विशिष्ट क्षेत्र

0-गोला

बिंदुओं का जोड़ा {±R} कुछ के लिए असतत टोपोलॉजी के साथ R > 0. एकमात्र क्षेत्र जो पथ से जुड़ा नहीं है। समानांतर।

1-गोला

सामान्यतः वृत्त कहलाता है। एक गैर-तुच्छ मौलिक समूह है। एबेलियन ले समूह संरचना U(1); मंडल समूह। वास्तविक प्रक्षेपी रेखा के लिए होमियोमॉर्फिक।

2-गोला

सामान्यतया केवल एक गोला कहा जाता है। इसकी जटिल संरचना के लिए रीमैन क्षेत्र देखें। बराबर जटिल प्रक्षेपी रेखा के लिए

3-गोला

समानांतर करने योग्य, मुख्य बंडल सर्कल बंडल|U(1)-बंडल हॉफ फिब्रेशन द 2-स्फीयर, लाइ ग्रुप स्ट्रक्चर Sp(1).

4-गोला

चतुष्कोणीय प्रक्षेपी रेखा के समतुल्य, HP¹. SO(5) / SO(4).

5-गोला

मुख्य बंडल वृत्त बंडल|U(1)-जटिल प्रोजेक्टिव स्पेस पर बंडल |CP². SO(6) / SO(5) = SU(3) / SU(2). दिया गया है या नहीं यह अनिर्णीत समस्या है n-डायमेंशनल मैनिफोल्ड होमियोमॉर्फिक है Sⁿ के लिए n ≥ 5.

6-क्षेत्र

शुद्ध इकाई ऑक्टोनियन के सेट से आने वाली लगभग जटिल संरचना को धारण करता है। SO(7) / SO(6) = G₂ / SU(3). हेंज हॉफ के बाद यह सवाल कि क्या इसमें एक जटिल कई गुना है, हॉपफ समस्या के रूप में जाना जाता है।

7-क्षेत्र

इकाई ऑक्टोनियंस के सेट के रूप में टोपोलॉजिकल quasigroup संरचना। प्रधान अध्यापक Sp(1)-बंडल ओवर S⁴. समानांतर। SO(8) / SO(7) = SU(4) / SU(3) = Sp(2) / Sp(1) = Spin(7) / G₂ = Spin(6) / SU(3). 7-गोला विशेष रुचि का है क्योंकि यह इस आयाम में था कि पहले विदेशी क्षेत्रों की खोज की गई थी।

8-गोला

अष्टकोणीय प्रक्षेपी रेखा के समतुल्य OP¹.

23-गोला

24-आयामी अंतरिक्ष में एक अत्यधिक सघन गोला-पैकिंग संभव है, जो जोंक जाली के अद्वितीय गुणों से संबंधित है।

अष्टफलकीय क्षेत्र

अष्टफलकीय n-क्षेत्र को इसी तरह परिभाषित किया गया है n-क्षेत्र लेकिन 1 मानदंड का उपयोग करना|1-मानक

$S^{n}=\left\{x\in \mathbb {R} ^{n+1}:\left\|x\right\|_{1}=1\right\}$

सामान्य तौर पर, यह एक क्रॉस-पॉलीटॉप का आकार लेता है।

अष्टफलकीय 1-गोला एक वर्ग है (इसके आंतरिक भाग के बिना)। अष्टफलकीय 2-गोला एक नियमित अष्टफलक है; इसके कारण नाम। अष्टफलकीय n-sphere का टोपोलॉजिकल जॉइन है n + 1 पृथक बिंदुओं के जोड़े। सहज रूप से, दो जोड़े के टोपोलॉजिकल जॉइन एक जोड़ी में प्रत्येक बिंदु के बीच एक खंड और दूसरी जोड़ी में प्रत्येक बिंदु को खींचकर उत्पन्न होता है; इससे एक वर्ग प्राप्त होता है। इसे तीसरी जोड़ी से जोड़ने के लिए, वर्ग पर प्रत्येक बिंदु और तीसरी जोड़ी में प्रत्येक बिंदु के बीच एक खंड बनाएं; यह एक अष्टफलक देता है।

यह भी देखें

• एफ़िन क्षेत्र
• अनुरूप ज्यामिति
• विदेशी क्षेत्र
• होमोलॉजी क्षेत्र
• गोले के होमोटॉपी समूह
• होमोटॉपी क्षेत्र
• अतिशयोक्तिपूर्ण समूह
• अतिविम
• उलटा ज्यामिति
• लूप (टोपोलॉजी)
• कई गुना
• मोबियस परिवर्तन
• ऑर्थोगोनल समूह
• गोलाकार टोपी
• एक n-गेंद का आयतन|एक का आयतन n-गेंद
• विग्नर अर्धवृत्त वितरण

संदर्भ

• Flanders, Harley (1989). Differential forms with applications to the physical sciences. New York: Dover Publications. ISBN 978-0-486-66169-8.
• Moura, Eduarda; Henderson, David G. (1996). Experiencing geometry: on plane and sphere. Prentice Hall. ISBN 978-0-13-373770-7(Chapter 20: 3-spheres and hyperbolic 3-spaces).{{cite book}}: CS1 maint: postscript (link)
• Weeks, Jeffrey R. (1985). The Shape of Space: how to visualize surfaces and three-dimensional manifolds. Marcel Dekker. ISBN 978-0-8247-7437-0(Chapter 14: The Hypersphere).{{cite book}}: CS1 maint: postscript (link)
• Marsaglia, G. (1972). "Choosing a Point from the Surface of a Sphere". Annals of Mathematical Statistics. 43 (2): 645–646. doi:10.1214/aoms/1177692644.
• Huber, Greg (1982). "Gamma function derivation of n-sphere volumes". Amer. Math. Monthly. 89 (5): 301–302. doi:10.2307/2321716. JSTOR 2321716. MR 1539933.
• Barnea, Nir (1999). "Hyperspherical functions with arbitrary permutational symmetry: Reverse construction". Phys. Rev. A. 59 (2): 1135–1146. Bibcode:1999PhRvA..59.1135B. doi:10.1103/PhysRevA.59.1135.

बाहरी संबंध

• Weisstein, Eric W. "Hypersphere". MathWorld.