चार गति

विशेष सापेक्षता में, चार-संवेग (जिसे संवेग-ऊर्जा या मोम-ऊर्जा भी कहा जाता है ) शास्त्रीय त्रि-आयामी संवेग का चार-आयामी दिक्-काल में सामान्यीकरण है। मोमेंटम तीन आयामों में एक वेक्टर है; इसी तरह चार-मोमेंटम अंतरिक्ष समय में एक चार-वेक्टर है। आपेक्षिक ऊर्जा वाले कण का प्रतिपरिवर्ती सदिश चार-संवेग E और तीन-गति p = (p_x, p_y, p_z) = γmv, कहाँ v कण का तीन-वेग है और γ लोरेंत्ज़ कारक, है

$$p=\left(p^{0},p^{1},p^{2},p^{3}\right)=\left({\frac {E}{c}},p_{x},p_{y},p_{z}\right).$$

मात्रा {{math|mv}उपरोक्त का } साधारण संवेग#एकल कण|कण का गैर-सापेक्ष संवेग है और m उसका विराम द्रव्यमान। सापेक्षतावादी गणनाओं में चार-संवेग उपयोगी है क्योंकि यह एक लोरेंत्ज़ सहसंयोजक वेक्टर है। इसका मतलब यह है कि लोरेंत्ज़ परिवर्तनों के तहत यह कैसे रूपांतरित होता है, इस पर नज़र रखना आसान है।

उपरोक्त परिभाषा समन्वय सम्मेलन के तहत लागू होती है x⁰ = ct. कुछ लेखक सम्मेलन का उपयोग करते हैं x⁰ = t, जो एक संशोधित परिभाषा देता है p⁰ = E/c². सहपरिवर्ती सदिश चार-संवेग को परिभाषित करना भी संभव है p_μ जहां ऊर्जा का चिन्ह (या चुने हुए मीट्रिक हस्ताक्षर के आधार पर तीन-गति का चिन्ह) उलटा हो।

मिंकोस्की मानदंड

मिन्कोवस्की स्थान की गणना करना#चार-मोमेंटम की गणितीय संरचना एक लोरेंत्ज़ अपरिवर्तनीय मात्रा के बराबर देती है (प्रकाश की गति के कारकों तक) c) कण के उचित द्रव्यमान के वर्ग तक:

$$p\cdot p=\eta _{\mu \nu }p^{\mu }p^{\nu }=p_{\nu }p^{\nu }=-{E^{2} \over c^{2}}+|\mathbf {p} |^{2}=-m^{2}c^{2}$$

कहाँ

$$\eta _{\mu \nu }={\begin{pmatrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}$$

निश्चितता के लिए मीट्रिक हस्ताक्षर के साथ विशेष सापेक्षता का मीट्रिक टेन्सर (सामान्य सापेक्षता) चुना जाना है (–1, 1, 1, 1). मानदंड की नकारात्मकता दर्शाती है कि संवेग विशाल कणों के लिए एक समय-समान चार-वेक्टर है। हस्ताक्षर की दूसरी पसंद कुछ सूत्रों में संकेत फ़्लिप करेगी (जैसे यहां आदर्श के लिए)। यह चुनाव महत्वपूर्ण नहीं है, लेकिन एक बार बना लेने के बाद इसे निरंतरता बनाए रखना चाहिए।

मिन्कोव्स्की मानदंड लोरेंत्ज़ इनवेरिएंट है, जिसका अर्थ है कि इसका मूल्य लोरेंत्ज़ परिवर्तनों/संदर्भ के विभिन्न फ़्रेमों में वृद्धि द्वारा नहीं बदला गया है। अधिक आम तौर पर, किसी भी दो चार-क्षण के लिए p और q, मात्रा p ⋅ q अपरिवर्तनीय है।

चार-वेग से संबंध

एक विशाल कण के लिए, चार-संवेग कण के अपरिवर्तनीय द्रव्यमान द्वारा दिया जाता है m कण के चार-वेग से गुणा,

$$p^{\mu }=mu^{\mu },$$

जहां चार-वेग u है

$$u=\left(u^{0},u^{1},u^{2},u^{3}\right)=\gamma _{v}\left(c,v_{x},v_{y},v_{z}\right),$$

और

$$\gamma _{v}={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}$$

लोरेंत्ज़ कारक है (गति के साथ जुड़ा हुआ है v), c प्रकाश की गति है।

व्युत्पत्ति

चार-संवेग के लिए सही व्यंजक पर पहुँचने के कई तरीके हैं। एक तरीका यह है कि पहले चार-वेग को परिभाषित किया जाए u = dx/dτ और बस परिभाषित करें p = mu, संतुष्ट होने के नाते कि यह सही इकाइयों और सही व्यवहार वाला चार-वेक्टर है। एक और, अधिक संतोषजनक, दृष्टिकोण कम से कम कार्रवाई के सिद्धांत के साथ शुरू करना है और ऊर्जा के लिए अभिव्यक्ति सहित चार-गति को प्राप्त करने के लिए लग्रांगियन यांत्रिकी का उपयोग करना है। एक बार में, नीचे दिए गए अवलोकनों का उपयोग करते हुए, क्रिया (भौतिकी) # एकल सापेक्ष कण से चार-संवेग को परिभाषित कर सकते हैं S. यह देखते हुए कि सामान्य रूप से सामान्यीकृत निर्देशांक वाले बंद सिस्टम के लिए q_i और विहित गति p_i,

$$p_{i}={\frac {\partial S}{\partial q_{i}}}={\frac {\partial S}{\partial x_{i}}},\quad E=-{\frac {\partial S}{\partial t}}=-c\cdot {\frac {\partial S}{\partial x_{0}}},$$

यह तत्काल है (याद करते हुए x⁰ = ct, x¹ = x, x² = y, x³ = z और x₀ = −x⁰, x₁ = x¹, x₂ = x², x₃ = x³ वर्तमान मीट्रिक सम्मेलन में) कि

$$p_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}=-<!--\; -\; -->\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}S}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}^{}}$$