Fisher–Snedecor
Probability density function
Cumulative distribution function
Parameters
d 1 , d 2 > 0 deg. of freedom Support
x ∈ ( 0 , + ∞ ) {\displaystyle x\in (0,+\infty )\;} d 1 = 1 {\displaystyle d_{1}=1} x ∈ [ 0 , + ∞ ) {\displaystyle x\in [0,+\infty )\;} PDF
( d 1 x ) d 1 d 2 d 2 ( d 1 x + d 2 ) d 1 + d 2 x B ( d 1 2 , d 2 2 ) {\displaystyle {\frac {\sqrt {\frac {(d_{1}x)^{d_{1}}d_{2}^{d_{2}}}{(d_{1}x+d_{2})^{d_{1}+d_{2}}}}}{x\,\mathrm {B} \!\left({\frac {d_{1}}{2}},{\frac {d_{2}}{2}}\right)}}\!} CDF
I d 1 x d 1 x + d 2 ( d 1 2 , d 2 2 ) {\displaystyle I_{\frac {d_{1}x}{d_{1}x+d_{2}}}\left({\tfrac {d_{1}}{2}},{\tfrac {d_{2}}{2}}\right)} Mean
d 2 d 2 − 2 {\displaystyle {\frac {d_{2}}{d_{2}-2}}\!} d 2 > 2 Mode
d 1 − 2 d 1 d 2 d 2 + 2 {\displaystyle {\frac {d_{1}-2}{d_{1}}}\;{\frac {d_{2}}{d_{2}+2}}} d 1 > 2 Variance
2 d 2 2 ( d 1 + d 2 − 2 ) d 1 ( d 2 − 2 ) 2 ( d 2 − 4 ) {\displaystyle {\frac {2\,d_{2}^{2}\,(d_{1}+d_{2}-2)}{d_{1}(d_{2}-2)^{2}(d_{2}-4)}}\!} d 2 > 4 Skewness
( 2 d 1 + d 2 − 2 ) 8 ( d 2 − 4 ) ( d 2 − 6 ) d 1 ( d 1 + d 2 − 2 ) {\displaystyle {\frac {(2d_{1}+d_{2}-2){\sqrt {8(d_{2}-4)}}}{(d_{2}-6){\sqrt {d_{1}(d_{1}+d_{2}-2)}}}}\!} d 2 > 6 Ex. kurtosis
see text Entropy
ln Γ ( d 1 2 ) + ln Γ ( d 2 2 ) − ln Γ ( d 1 + d 2 2 ) + {\displaystyle \ln \Gamma \left({\tfrac {d_{1}}{2}}\right)+\ln \Gamma \left({\tfrac {d_{2}}{2}}\right)-\ln \Gamma \left({\tfrac {d_{1}+d_{2}}{2}}\right)+\!} ( 1 − d 1 2 ) ψ ( 1 + d 1 2 ) − ( 1 + d 2 2 ) ψ ( 1 + d 2 2 ) {\displaystyle \left(1-{\tfrac {d_{1}}{2}}\right)\psi \left(1+{\tfrac {d_{1}}{2}}\right)-\left(1+{\tfrac {d_{2}}{2}}\right)\psi \left(1+{\tfrac {d_{2}}{2}}\right)\!} + ( d 1 + d 2 2 ) ψ ( d 1 + d 2 2 ) + ln d 1 d 2 {\displaystyle +\left({\tfrac {d_{1}+d_{2}}{2}}\right)\psi \left({\tfrac {d_{1}+d_{2}}{2}}\right)+\ln {\frac {d_{1}}{d_{2}}}\!} [1] MGF
does not exist, raw moments defined in text and in [2] [3] CF
see text
संभाव्यता सिद्धांत और सांख्यिकी में, एफ -वितरण या एफ-अनुपात, जिसे स्नेडेकोर के एफ वितरण या फिशर-स्नेडेकोर वितरण (रोनाल्ड फिशर और जॉर्ज डब्ल्यू. स्नेडेकोर के बाद) के रूप में भी जाना जाता है, एक सतत संभावना वितरण है। जो परीक्षण आंकड़ों के अशक्त वितरण के रूप में अक्सर उत्पन्न होता है, विशेष रूप से विचरण (ANOVA) और अन्य F-परीक्षण|F -परीक्षणों के विश्लेषण में।[2] [3] [4] [5]
परिभाषा डी के साथ एफ-वितरण1 और डी2 स्वतंत्रता की डिग्री का वितरण है
X = S 1 / d 1 S 2 / d 2 {\displaystyle X={\frac {S_{1}/d_{1}}{S_{2}/d_{2}}}} कहाँ S 1 {\textstyle S_{1}} S 2 {\textstyle S_{2}} ची-स्क्वायर वितरण के साथ स्वतंत्र यादृच्छिक चर हैं d 1 {\textstyle d_{1}} d 2 {\textstyle d_{2}}
यह अनुसरण करने के लिए दिखाया जा सकता है कि एक्स के लिए प्रायिकता घनत्व फ़ंक्शन (पीडीएफ) द्वारा दिया गया है
f ( x ; d 1 , d 2 ) = ( d 1 x ) d 1 d 2 d 2 ( d 1 x + d 2 ) d 1 + d 2 x B ( d 1 2 , d 2 2 ) = 1 B ( d 1 2 , d 2 2 ) ( d 1 d 2 ) d 1 / 2 x d 1 / 2 − 1 ( 1 + d 1 d 2 x ) − ( d 1 + d 2 ) / 2 {\displaystyle {\begin{aligned}f(x;d_{1},d_{2})&={\frac {\sqrt {\frac {(d_{1}x)^{d_{1}}\,\,d_{2}^{d_{2}}}{(d_{1}x+d_{2})^{d_{1}+d_{2}}}}}{x\operatorname {B} \left({\frac {d_{1}}{2}},{\frac {d_{2}}{2}}\right)}}\\[5pt]&={\frac {1}{\operatorname {B} \left({\frac {d_{1}}{2}},{\frac {d_{2}}{2}}\right)}}\left({\frac {d_{1}}{d_{2}}}\right)^{d_{1}/2}x^{d_{1}/2-1}\left(1+{\frac {d_{1}}{d_{2}}}\,x\right)^{-(d_{1}+d_{2})/2}\end{aligned}}} वास्तविक संख्या x > 0 के लिए यहाँ B {\displaystyle \mathrm {B} } 1 और डी2 सकारात्मक पूर्णांक हैं, लेकिन इन मापदंडों के सकारात्मक वास्तविक मूल्यों के लिए वितरण अच्छी तरह से परिभाषित है।
संचयी वितरण समारोह है
F ( x ; d 1 , d 2 ) = I d 1 x / ( d 1 x + d 2 ) ( d 1 2 , d 2 2 ) , {\displaystyle F(x;d_{1},d_{2})=I_{d_{1}x/(d_{1}x+d_{2})}\left({\tfrac {d_{1}}{2}},{\tfrac {d_{2}}{2}}\right),} जहां I नियमित अधूरा बीटा फ़ंक्शन है।
F(d) के बारे में अपेक्षा, विचरण और अन्य विवरण1 , डी2 ) साइडबॉक्स में दिए गए हैं; घ के लिए2 > 8, अतिरिक्त ककुदता है
γ 2 = 12 d 1 ( 5 d 2 − 22 ) ( d 1 + d 2 − 2 ) + ( d 2 − 4 ) ( d 2 − 2 ) 2 d 1 ( d 2 − 6 ) ( d 2 − 8 ) ( d 1 + d 2 − 2 ) . {\displaystyle \gamma _{2}=12{\frac {d_{1}(5d_{2}-22)(d_{1}+d_{2}-2)+(d_{2}-4)(d_{2}-2)^{2}}{d_{1}(d_{2}-6)(d_{2}-8)(d_{1}+d_{2}-2)}}.} एफ का के-वें पल (डी1 , डी2 ) वितरण मौजूद है और केवल तभी परिमित है जब 2k <d2 और यह बराबर है
μ X ( k ) = ( d 2 d 1 ) k Γ ( d 1 2 + k ) Γ ( d 1 2 ) Γ ( d 2 2 − k ) Γ ( d 2 2 ) . {\displaystyle \mu _{X}(k)=\left({\frac {d_{2}}{d_{1}}}\right)^{k}{\frac {\Gamma \left({\tfrac {d_{1}}{2}}+k\right)}{\Gamma \left({\tfrac {d_{1}}{2}}\right)}}{\frac {\Gamma \left({\tfrac {d_{2}}{2}}-k\right)}{\Gamma \left({\tfrac {d_{2}}{2}}\right)}}.} [6] एफ-डिस्ट्रीब्यूशन बीटा प्राइम वितरण का एक विशेष पैरामीट्रिजेशन है, जिसे दूसरी तरह का बीटा डिस्ट्रीब्यूशन भी कहा जाता है।
विशेषता फ़ंक्शन (संभाव्यता सिद्धांत) को कई मानक संदर्भों में गलत तरीके से सूचीबद्ध किया गया है (उदाहरण के लिए,[3] [7]
φ d 1 , d 2 F ( s ) = Γ ( d 1 + d 2 2 ) Γ ( d 2 2 ) U ( d 1 2 , 1 − d 2 2 , − d 2 d 1 ı s ) {\displaystyle \varphi _{d_{1},d_{2}}^{F}(s)={\frac {\Gamma \left({\frac {d_{1}+d_{2}}{2}}\right)}{\Gamma \left({\tfrac {d_{2}}{2}}\right)}}U\!\left({\frac {d_{1}}{2}},1-{\frac {d_{2}}{2}},-{\frac {d_{2}}{d_{1}}}\imath s\right)} जहां U(a, b, z) दूसरी तरह का संगम हाइपरज्यामितीय समारोह है।
लक्षण वर्णन मापदंडों के साथ एफ-वितरण का एक यादृच्छिक चर d 1 {\displaystyle d_{1}} d 2 {\displaystyle d_{2}} [8]
X = U 1 / d 1 U 2 / d 2 {\displaystyle X={\frac {U_{1}/d_{1}}{U_{2}/d_{2}}}} कहाँ
ऐसे उदाहरणों में जहां एफ-वितरण का उपयोग किया जाता है, उदाहरण के लिए विचरण के विश्लेषण में, की स्वतंत्रता U 1 {\displaystyle U_{1}} U 2 {\displaystyle U_{2}}
समतुल्य रूप से, F-बंटन का यादृच्छिक चर भी लिखा जा सकता है
X = s 1 2 σ 1 2 ÷ s 2 2 σ 2 2 , {\displaystyle X={\frac {s_{1}^{2}}{\sigma _{1}^{2}}}\div {\frac {s_{2}^{2}}{\sigma _{2}^{2}}},} कहाँ s 1 2 = S 1 2 d 1 {\displaystyle s_{1}^{2}={\frac {S_{1}^{2}}{d_{1}}}} s 2 2 = S 2 2 d 2 {\displaystyle s_{2}^{2}={\frac {S_{2}^{2}}{d_{2}}}} S 1 2 {\displaystyle S_{1}^{2}} d 1 {\displaystyle d_{1}} N ( 0 , σ 1 2 ) {\displaystyle N(0,\sigma _{1}^{2})} S 2 2 {\displaystyle S_{2}^{2}} d 2 {\displaystyle d_{2}} N ( 0 , σ 2 2 ) {\displaystyle N(0,\sigma _{2}^{2})}
[discuss [citation needed
फ़्रीक्वेंटिस्ट संदर्भ में, एक स्केल किया हुआ F-वितरण इसलिए प्रायिकता देता है p ( s 1 2 / s 2 2 ∣ σ 1 2 , σ 2 2 ) {\displaystyle p(s_{1}^{2}/s_{2}^{2}\mid \sigma _{1}^{2},\sigma _{2}^{2})} σ 1 2 {\displaystyle \sigma _{1}^{2}} σ 2 2 {\displaystyle \sigma _{2}^{2}}
मात्रा X {\displaystyle X} जेफरीस पूर्व को लिया जाता है σ 1 2 {\displaystyle \sigma _{1}^{2}} σ 2 2 {\displaystyle \sigma _{2}^{2}} [9] p ( σ 2 2 / σ 1 2 ∣ s 1 2 , s 2 2 ) {\displaystyle p(\sigma _{2}^{2}/\sigma _{1}^{2}\mid s_{1}^{2},s_{2}^{2})} s 1 2 {\displaystyle s_{1}^{2}} s 2 2 {\displaystyle s_{2}^{2}}
अगर X ∼ χ d 1 2 {\displaystyle X\sim \chi _{d_{1}}^{2}} Y ∼ χ d 2 2 {\displaystyle Y\sim \chi _{d_{2}}^{2}} स्वतंत्रता (संभाव्यता सिद्धांत) हैं, तो X / d 1 Y / d 2 ∼ F ( d 1 , d 2 ) {\displaystyle {\frac {X/d_{1}}{Y/d_{2}}}\sim \mathrm {F} (d_{1},d_{2})}
अगर X k ∼ Γ ( α k , β k ) {\displaystyle X_{k}\sim \Gamma (\alpha _{k},\beta _{k})\,} गामा वितरण ) तब स्वतंत्र हैं α 2 β 1 X 1 α 1 β 2 X 2 ∼ F ( 2 α 1 , 2 α 2 ) {\displaystyle {\frac {\alpha _{2}\beta _{1}X_{1}}{\alpha _{1}\beta _{2}X_{2}}}\sim \mathrm {F} (2\alpha _{1},2\alpha _{2})}
अगर X ∼ Beta ( d 1 / 2 , d 2 / 2 ) {\displaystyle X\sim \operatorname {Beta} (d_{1}/2,d_{2}/2)} बीटा वितरण ) तब d 2 X d 1 ( 1 − X ) ∼ F ( d 1 , d 2 ) {\displaystyle {\frac {d_{2}X}{d_{1}(1-X)}}\sim \operatorname {F} (d_{1},d_{2})}
समान रूप से, यदि X ∼ F ( d 1 , d 2 ) {\displaystyle X\sim F(d_{1},d_{2})} d 1 X / d 2 1 + d 1 X / d 2 ∼ Beta ( d 1 / 2 , d 2 / 2 ) {\displaystyle {\frac {d_{1}X/d_{2}}{1+d_{1}X/d_{2}}}\sim \operatorname {Beta} (d_{1}/2,d_{2}/2)}
अगर X ∼ F ( d 1 , d 2 ) {\displaystyle X\sim F(d_{1},d_{2})} d 1 d 2 X {\displaystyle {\frac {d_{1}}{d_{2}}}X} d 1 d 2 X ∼ β ′ ( d 1 2 , d 2 2 ) {\displaystyle {\frac {d_{1}}{d_{2}}}X\sim \operatorname {\beta ^{\prime }} \left({\tfrac {d_{1}}{2}},{\tfrac {d_{2}}{2}}\right)}
अगर X ∼ F ( d 1 , d 2 ) {\displaystyle X\sim F(d_{1},d_{2})} Y = lim d 2 → ∞ d 1 X {\displaystyle Y=\lim _{d_{2}\to \infty }d_{1}X} χ d 1 2 {\displaystyle \chi _{d_{1}}^{2}}
F ( d 1 , d 2 ) {\displaystyle F(d_{1},d_{2})} d 2 d 1 ( d 1 + d 2 − 1 ) T 2 ( d 1 , d 1 + d 2 − 1 ) {\displaystyle {\frac {d_{2}}{d_{1}(d_{1}+d_{2}-1)}}\operatorname {T} ^{2}(d_{1},d_{1}+d_{2}-1)} अगर X ∼ F ( d 1 , d 2 ) {\displaystyle X\sim F(d_{1},d_{2})} X − 1 ∼ F ( d 2 , d 1 ) {\displaystyle X^{-1}\sim F(d_{2},d_{1})}
अगर X ∼ t ( n ) {\displaystyle X\sim t_{(n)}} X 2 ∼ F ( 1 , n ) X − 2 ∼ F ( n , 1 ) {\displaystyle {\begin{aligned}X^{2}&\sim \operatorname {F} (1,n)\\X^{-2}&\sim \operatorname {F} (n,1)\end{aligned}}}
एफ-वितरण टाइप 6 पियर्सन वितरण का एक विशेष मामला है
अगर X {\displaystyle X} Y {\displaystyle Y} X , Y ∼ {\displaystyle X,Y\sim } | X − μ | | Y − μ | ∼ F ( 2 , 2 ) {\displaystyle {\frac {|X-\mu |}{|Y-\mu |}}\sim \operatorname {F} (2,2)}
अगर X ∼ F ( n , m ) {\displaystyle X\sim F(n,m)} log X 2 ∼ FisherZ ( n , m ) {\displaystyle {\tfrac {\log {X}}{2}}\sim \operatorname {FisherZ} (n,m)}
नॉनसेंट्रल एफ-डिस्ट्रीब्यूशन|नॉनसेंट्रल एफ-डिस्ट्रीब्यूशन एफ-डिस्ट्रीब्यूशन को सरल बनाता है अगर λ = 0 {\displaystyle \lambda =0}
डबल नॉनसेंट्रल एफ-डिस्ट्रीब्यूशन| नॉनसेंट्रल एफ-डिस्ट्रीब्यूशन एफ-डिस्ट्रीब्यूशन को सरल बनाता है अगर λ 1 = λ 2 = 0 {\displaystyle \lambda _{1}=\lambda _{2}=0}
अगर Q X ( p ) {\displaystyle \operatorname {Q} _{X}(p)} X ∼ F ( d 1 , d 2 ) {\displaystyle X\sim F(d_{1},d_{2})} Q Y ( 1 − p ) {\displaystyle \operatorname {Q} _{Y}(1-p)} 1 − p {\displaystyle 1-p} Y ∼ F ( d 2 , d 1 ) {\displaystyle Y\sim F(d_{2},d_{1})} Q X ( p ) = 1 Q Y ( 1 − p ) . {\displaystyle \operatorname {Q} _{X}(p)={\frac {1}{\operatorname {Q} _{Y}(1-p)}}.}
एफ-वितरण अनुपात वितरण का एक उदाहरण है यह भी देखें
बीटा प्राइम डिस्ट्रीब्यूशन
ची-स्क्वायर वितरण
चाउ परीक्षण गामा वितरण
होटलिंग का टी-वर्ग वितरण
विल्क्स का लैम्ब्डा वितरण
विशार्ट वितरण संशोधित आधा सामान्य वितरण [10] ( 0 , ∞ ) {\displaystyle (0,\infty )} f ( x ) = 2 β α 2 x α − 1 exp ( − β x 2 + γ x ) Ψ ( α 2 , γ β ) {\displaystyle f(x)={\frac {2\beta ^{\frac {\alpha }{2}}x^{\alpha -1}\exp(-\beta x^{2}+\gamma x)}{\Psi {\left({\frac {\alpha }{2}},{\frac {\gamma }{\sqrt {\beta }}}\right)}}}} Ψ ( α , z ) = 1 Ψ 1 ( ( α , 1 2 ) ( 1 , 0 ) ; z ) {\displaystyle \Psi (\alpha ,z)={}_{1}\Psi _{1}\left({\begin{matrix}\left(\alpha ,{\frac {1}{2}}\right)\\(1,0)\end{matrix}};z\right)} फॉक्स-राइट साई समारोह को दर्शाता है।
संदर्भ
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बाहरी संबंध
Discrete
with finite with infinite
Continuous
supported on a supported on a supported with support
Mixed
Multivariate Directional Degenerate singular Families
