विशार्ट वितरण

Wishart

Notation	X ~ Wp(V, n)
Parameters	n > p − 1 degrees of freedom (real) V > 0 scale matrix (p × p pos. def)
Support	X(p × p) positive definite matrix
PDF	$f_{\mathbf {X} }(\mathbf {x} )={\frac {|\mathbf {x} |^{(n-p-1)/2}e^{-\operatorname {tr} (\mathbf {V} ^{-1}\mathbf {x} )/2}}{2^{\frac {np}{2}}|{\mathbf {V} }|^{n/2}\Gamma _{p}({\frac {n}{2}})}}$ Γp is the multivariate gamma function tr is the trace function
Mean	$\operatorname {E} [X]=n{\mathbf {V} }$
Mode	(n − p − 1)V for n ≥ p + 1
Variance	$\operatorname {Var} (\mathbf {X} _{ij})=n\left(v_{ij}^{2}+v_{ii}v_{jj}\right)$
Entropy	see below
CF	$\Theta \mapsto \left|{\mathbf {I} }-2i\,{\mathbf {\Theta } }{\mathbf {V} }\right|^{-{\frac {n}{2}}}$

आँकड़ों में, विशार्ट वितरण गामा वितरण के कई आयामों का सामान्यीकरण है। इसका नाम जॉन विशार्ट (सांख्यिकीविद्) के सम्मान में रखा गया है, जिन्होंने पहली बार 1928 में विशार्ट वितरण प्रकाशित किया था।

यह सममित गैर-ऋणात्मक निश्चित यादृच्छिक आव्यूह (अर्थात आव्यूह यादृच्छिक चर) पर परिभाषित संभाव्यता वितरण का एक समूह है। यादृच्छिक आव्यूह सिद्धांत में विशार्ट आव्यूह समष्टि को विशार्ट समुच्चय कहा जाता है।

बहुचर आँकड़ों में सहप्रसरण आव्यूह के अनुमान में इन वितरणों का अत्यधिक महत्व है। बायेसियन सांख्यिकी में विशार्ट वितरण एक बहुचर सामान्य यादृच्छिक सदिश के व्युत्क्रम सहप्रसरण आव्यूह से पहले का संयुग्म है।

अन्य नामों में यादृच्छिक आव्यूह सिद्धांत विशार्ट समुच्चय सम्मिलित है। आव्यूह पर संभाव्यता वितरण को सामान्यतः समुच्चय या विशार्ट-लगुएरे समुच्चय कहा जाता है चूंकि इसके आइगेन मान वितरण में जीओई, जीयूई, जीएसई के अनुरूप लैगुएरे बहुपद या एलओई, एलयूई, एलएसई बहुपद सम्मिलित है।

परिभाषा

मान लीजिए G एक p × n आव्यूह है, जिनमें से प्रत्येक स्तम्भ स्वतंत्र रूप से p-चर सामान्य वितरण से शून्य माध्य के साथ खींचा जाता है:

$G_{i}=(g_{i}^{1},\dots ,g_{i}^{p})^{T}\sim {\mathcal {N}}_{p}(0,V).$

विशार्ट वितरण p × p यादृच्छिक आव्यूह का प्रायिकता वितरण है:

$S=GG^{T}=\sum _{i=1}^{n}G_{i}G_{i}^{T}$

जिसको विस्तृत आव्यूह के रूप में जाना जाता है। यह इंगित करता है कि S के पास लेखन द्वारा प्रायिकता वितरण है:

$S\sim W_{p}(V,n).$

धनात्मक पूर्णांक मे n स्वतंत्रता की कोटियो की संख्या है। कभी-कभी इसे W(V, p, n) लिखा जाता है और n ≥ p के लिए आव्यूह S व्युत्क्रमणीय है यदि V व्युत्क्रमणीय है तो प्रायिकता 1 होती है।

यदि p = V = 1 तो यह वितरण स्वतंत्रता की n कोटि वाला ची-वर्ग वितरण है।

घटना

विशार्ट वितरण एक बहुचर सामान्य वितरण से प्रतिरूप के लिए सहप्रसरण आव्यूह के वितरण के रूप में उत्पन्न होता है। प्रायः बहुचर सांख्यिकीय विश्लेषण में संभावना-अनुपात परीक्षण होता है। यह यादृच्छिक आव्यूह के वर्णक्रमीय सिद्धांत और बहुआयामी बायेसियन विश्लेषण में भी उत्पन्न होता है। रेले लुप्तप्राय एमआईएमओ तार रहित चैनलों के प्रदर्शन का विश्लेषण करते समय तार रहित संचार में भी इसका सामना करना पड़ता है।

संभाव्यता घनत्व फलन

विशार्ट-लागुएरे समुच्चय का स्पेक्ट्रल घनत्व आयामों के साथ (8, 15) के चित्र 1 का पुनर्निर्माण .

विशार्ट वितरण को इसके संभाव्यता घनत्व फलन द्वारा निम्नानुसार वर्णित किया जा सकता है:

माना कि X यादृच्छिक चर का एक p × p सममित आव्यूह है जो धनात्मक अर्ध-निश्चित है। माना कि V आकार का एक p × p सममित धनात्मक निश्चित आव्यूह है।

यदि n ≥ p, X का विशार्ट वितरण स्वतंत्रता की n कोटि के साथ है तब इसमें संभाव्यता घनत्व फलन है:

$f_{\mathbf {X} }(\mathbf {X} )={\frac {1}{2^{np/2}\left|{\mathbf {V} }\right|^{n/2}\Gamma _{p}\left({\frac {n}{2}}\right)}}{\left|\mathbf {X} \right|}^{(n-p-1)/2}e^{-{\frac {1}{2}}\operatorname {tr} ({\mathbf {V} }^{-1}\mathbf {X} )}$

जहां $\left|{\mathbf {X} }\right|$ का निर्धारक $\mathbf {X}$ है और Γ_p बहुचर गामा फलन है जिसे परिभाषित किया गया है: