वर्सोर

This article is about the quaternions of norm one. For other uses, see वर्सोर (disambiguation).

गणित में, एक छंद आदर्श (गणित) एक (एक यूनिट (रिंग थ्योरी) चार का समुदाय) का चतुर्भुज है। यह शब्द लैटिन वर्सारे = प्रत्यय -या के साथ क्रिया से संज्ञा बनाने के लिए लिया गया है (अर्थात वर्सर = टर्नर)। इसे विलियम रोवन हैमिल्टन ने अपने चतुष्कोणीय सिद्धांत के संदर्भ में पेश किया था।

प्रत्येक श्लोक का रूप है

$q=\exp(a\mathbf {r} )=\cos a+\mathbf {r} \sin a,\quad \mathbf {r} ^{2}=-1,\quad a\in [0,\pi ],$

जहां आर² = -1 स्थिति का अर्थ है कि r एक इकाई-लम्बाई सदिश चतुर्भुज है (या यह कि r का पहला घटक शून्य है, और r के अंतिम तीन घटक 3 आयामों में एक इकाई सदिश हैं)। संबंधित त्रि-आयामी स्थान | 3-आयामी रोटेशन में अक्ष-कोण प्रतिनिधित्व में अक्ष r के बारे में कोण 2a है। यदि a = π/2 (एक समकोण), फिर $q=\mathbf {r}$, और परिणामी इकाई वेक्टर को एक सही छंद कहा जाता है।

चतुष्कोण गुणन के साथ छंदों का संग्रह एक समूह (गणित) बनाता है, और छंदों का सेट 4-आयामी चतुष्कोणीय बीजगणित में एक 3-क्षेत्र है।

== 3- और 2-गोले == पर प्रस्तुति

File:Spherical triangle.svg

चाप AB + चाप BC = चाप AC

हैमिल्टन ने प्रतीक Uq द्वारा चतुष्कोण q के छंद को निरूपित किया। वह तब ध्रुवीय अपघटन#चतुर्धातुक समूह अपघटन में सामान्य चतुष्कोण प्रदर्शित करने में सक्षम था

क्यू = टीक्यू यूक्यू,

जहां Tq 'q का मानदंड है। छंद का मानदंड हमेशा एक के बराबर होता है; इसलिए वे एच में इकाई 3-क्षेत्र पर कब्जा कर लेते हैं। छंदों के उदाहरणों में चतुष्कोणीय समूह के आठ तत्व शामिल हैं। विशेष रूप से शास्त्रीय हैमिल्टनियन चतुष्कोण # समकोण छंद हैं, जिनका समकोण | कोण π/2 है। इन छंदों में शून्य स्केलर भाग होता है, और इसी तरह लंबाई एक (यूनिट वैक्टर) के यूक्लिडियन वेक्टर होते हैं। दाहिने छंद चतुष्कोणीय बीजगणित में -1|के वर्गमूलों का गोला #1|का चतुर्भुज#वर्गमूल बनाते हैं। जनरेटर i, j, और k राइट वर्सर्स के उदाहरण हैं, साथ ही साथ उनके योगात्मक व्युत्क्रम भी। अन्य छंदों में चौबीस हर्विट्ज़ चतुष्कोण शामिल हैं जिनका मानक 1 है और 24-सेल पॉलीकोरोन के शीर्ष बनाते हैं। हैमिल्टन ने चतुष्कोण को दो सदिशों के भागफल के रूप में परिभाषित किया। एक छंद को दो इकाई सदिशों के भागफल के रूप में परिभाषित किया जा सकता है। किसी भी स्थिर समतल (ज्यामिति) के लिए Π में स्थित दो इकाई सदिशों का भागफल केवल उन दोनों के बीच के कोण (निर्देशित) पर निर्भर करता है, वही a जैसा कि इकाई सदिश-कोण प्रतिनिधित्व में ऊपर समझाया गया है। इसलिए संबंधित छंदों को निर्देशित चाप (ज्यामिति) के रूप में समझना स्वाभाविक हो सकता है जो इकाई सदिशों के युग्मों को जोड़ते हैं और इकाई गोले के साथ Π के प्रतिच्छेदन द्वारा गठित एक बड़े वृत्त पर स्थित होते हैं, जहाँ समतल Π मूल बिंदु से होकर गुजरता है। समान दिशा और लंबाई के चाप (या, समान, चाप (ज्यामिति) # कांति में एक वृत्त के चाप की लंबाई) तुल्यता संबंध हैं, अर्थात एक ही छंद को परिभाषित करते हैं।

इस तरह का एक चाप, हालांकि त्रि-आयामी अंतरिक्ष में झूठ बोल रहा है, एक बिंदु के घूर्णन के पथ का प्रतिनिधित्व नहीं करता है जैसा कि सैंडविच वाले उत्पाद के साथ छंद के साथ वर्णित है। वास्तव में, यह चतुष्कोणों पर छंद की बाईं गुणन क्रिया का प्रतिनिधित्व करता है जो विमान Π और 3-वैक्टरों के संबंधित महान चक्र को संरक्षित करता है। छंद द्वारा परिभाषित 3-आयामी घुमाव में चाप के अंतरित कोण का दो गुना कोण होता है, और उसी विमान को संरक्षित करता है। यह संगत सदिश r के परितः घूर्णन है, जो कि Π के लंबवत है।

हैमिल्टन तीन इकाई सदिशों पर लिखता है

$q=\beta :\alpha =OB:OA\$ और

$q'=\gamma :\beta =OC:OB$

मतलब

$q'q=\gamma :\alpha =OC:OA.$

मानदंड के चतुष्कोणों का गुणन इकाई क्षेत्र पर बड़े वृत्त चापों के (गैर-विनिमेय) जोड़ से मेल खाता है। बड़े वृत्तों का कोई भी युग्म या तो एक ही वृत्त होता है या उसके दो प्रतिच्छेदन बिंदु होते हैं। इसलिए, कोई हमेशा बिंदु बी और संबंधित वेक्टर को इनमें से किसी एक बिंदु पर स्थानांतरित कर सकता है जैसे कि दूसरी चाप की शुरुआत पहली चाप के अंत के समान होगी।

एक समीकरण

$\exp(c\mathbf {r} )\exp(a\mathbf {s} )=\exp(b\mathbf {t} )\!$

निहित रूप से दो संस्करणों के उत्पाद के लिए इकाई वेक्टर-कोण प्रतिनिधित्व को निर्दिष्ट करता है। इसका समाधान लाइ समूह सिद्धांत में सामान्य कैंपबेल-बेकर-हॉसडॉर्फ सूत्र का एक उदाहरण है। वर्सर्स द्वारा प्रतिनिधित्व किए गए 3-गोले के रूप में $\mathbb {H}$ एक 3-पैरामीटर झूठ समूह है, छंद रचनाओं के साथ अभ्यास झूठ सिद्धांत में एक कदम है। स्पष्ट रूप से छंद सदिशों के चतुष्कोणीय उपस्थान में त्रिज्या π की एक गेंद पर लागू घातीय मानचित्र (झूठे सिद्धांत) की छवि हैं।

वर्सर्स पूर्वोक्त वेक्टर आर्क्स के रूप में रचना करते हैं, और हैमिल्टन ने इस समूह (गणित) को आर्क्स के योग के रूप में संदर्भित किया है, लेकिन चतुष्कोणों के रूप में वे बस गुणा करते हैं।

अण्डाकार अंतरिक्ष की ज्यामिति को छंदों के स्थान के रूप में वर्णित किया गया है।

=== SO(3) === का प्रतिनिधित्व तीन आयामों में ओर्थोगोनल समूह, घूर्णन समूह SO(3), अक्सर आंतरिक ऑटोमोर्फिज्म के माध्यम से छंदों के साथ व्याख्या की जाती है $q\mapsto u^{-1}qu$ जहां यू एक छंद है। दरअसल, अगर

$u=\exp(ar)$ और सदिश s, r के लंबवत है,

तब

$u^{-1}su=s\cos 2a+sr\sin 2a$

गणना द्वारा। विमान $\{x+yr:(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\}\subset H$ के लिए आइसोमॉर्फिक है $\mathbb {C}$ और आंतरिक ऑटोमोर्फिज्म, कम्यूटेटिविटी द्वारा, वहां पहचान मानचित्रण को कम कर देता है। चूंकि चतुष्कोणों को दो जटिल आयामों के बीजगणित के रूप में व्याख्या किया जा सकता है, रोटेशन ग्रुप एक्शन (गणित) को विशेष एकात्मक समूह एसयू (2) के माध्यम से भी देखा जा सकता है।

एक निश्चित आर के लिए, फॉर्म के संस्करण exp(a'r) कहा पे a ∈(−π, π], सर्कल समूह के लिए एक उपसमूह आइसोमोर्फिक बनाएं। इस उपसमूह की बाईं गुणन क्रिया की कक्षाएँ 2-गोले के ऊपर एक फाइबर बंडल के तंतु हैं, जिन्हें मामले r =i में हॉफ फ़िब्रेशन के रूप में जाना जाता है; अन्य वैक्टर आइसोमॉर्फिक देते हैं, लेकिन समान फ़िब्रेशन नहीं। 2003 में डेविड डब्ल्यू ल्योंस लिखा है कि हॉफ मानचित्र के तंतु S में वृत्त हैं³ (पेज 95)। यूनिट क्वाटरनियंस पर मैपिंग के रूप में हॉफ फिब्रेशन को स्पष्ट करने के लिए ल्योंस क्वाटरनियंस का एक प्रारंभिक परिचय देता है।

चतुष्कोण गुणन के साथ बलोच क्षेत्र के घुमावों का प्रतिनिधित्व करने के लिए छंदों का उपयोग किया गया है।

अण्डाकार स्थान

छंदों की सुविधा अण्डाकार ज्यामिति को चित्रित करती है, विशेष रूप से अण्डाकार ज्यामिति#अण्डाकार अंतरिक्ष में, घुमावों का एक त्रि-आयामी क्षेत्र। छंद इस अण्डाकार स्थान के बिंदु हैं, हालांकि वे 4-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष में घुमावों को संदर्भित करते हैं। मानचित्रण दो निश्चित छंदों यू और वी को देखते हुए $q\mapsto uqv$ एक अण्डाकार गति है। यदि निश्चित छंदों में से एक 1 है, तो गति अण्डाकार स्थान का क्लिफर्ड अनुवाद है, जिसका नाम विलियम किंग्डन क्लिफोर्ड के नाम पर रखा गया है जो अंतरिक्ष के प्रस्तावक थे। छंद यू के माध्यम से एक अण्डाकार रेखा है $\{ue^{ar}:0\leq a<\pi \}.$ अंतरिक्ष में समांतरता क्लिफर्ड समांतरता द्वारा व्यक्त की जाती है। अण्डाकार अंतरिक्ष को देखने के तरीकों में से एक केली रूपांतरण का उपयोग करता है ताकि वेर्स को मैप किया जा सके $\mathbb {R} ^{3}$

अतिशयोक्तिपूर्ण छंद

एक अतिशयोक्तिपूर्ण छंद क्वाटरनियोनिक छंदों का अनिश्चितकालीन ऑर्थोगोनल समूहों का सामान्यीकरण है, जैसे लोरेंत्ज़ समूह। इसे रूप की मात्रा के रूप में परिभाषित किया गया है

$\exp(ar)=\cosh a+\mathbf {r} \sinh a$ कहाँ $\mathbf {r} ^{2}=+1.$

ऐसे तत्व मीट्रिक हस्ताक्षर के बीजगणित में उत्पन्न होते हैं, उदाहरण के लिए