गणित में, एडमंड लैगुएरे (1834-1886) के नाम पर लैगुएरे बहुपद , मुख्य रूप से लैगुएरे के अंतर समीकरण के मान को प्रदर्शित करता हैं:
x y ″ + ( 1 − x ) y ′ + n y = 0 , y = y ( x ) {\displaystyle xy''+(1-x)y'+ny=0,y=y(x)} जो द्वितीय कोटि के रेखीय अवकल समीकरण को प्रदर्शित करता हैं। इस प्रकार यदि
n गैर-ऋणात्मक पूर्णांक हो तब इस समीकरण का केवल ऐकक मान होता है। कभी-कभी लैगुएरे बहुपद नाम का उपयोग मान प्राप्त करने के लिए किया जाता है
x y ″ + ( α + 1 − x ) y ′ + n y = 0 . {\displaystyle xy''+(\alpha +1-x)y'+ny=0~.} जहाँ
n गैर-ऋणात्मक पूर्णांक है।
सोनिन बहुपद उनके आविष्कार के बाद निकोलाई याकोवलेविच सोनिन का उपयोग किया था।[1]
अधिक सामान्य लैगुएरे फ़ंक्शन के कुछ मान होते है, इस प्रकार जब n आवश्यक रूप से गैर-ऋणात्मक पूर्णांक नहीं होते हैं। तब लैगुएरे बहुपदों का उपयोग गॉसियन चतुर्भुज के रूप में संख्यात्मक रूप से पूर्णांकों की गणना करने के लिए किया जाता है।
∫ 0 ∞ f ( x ) e − x d x . {\displaystyle \int _{0}^{\infty }f(x)e^{-x}\,dx.} ये बहुपद सामान्यतः
L 0 ,
L 1 , …,
बहुपद अनुक्रम द्वारा निरूपित होते हैं जिसे रॉड्रिक्स सूत्र द्वारा परिभाषित किया जा सकता है,
L n ( x ) = e x n ! d n d x n ( e − x x n ) = 1 n ! ( d d x − 1 ) n x n , {\displaystyle L_{n}(x)={\frac {e^{x}}{n!}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\left(e^{-x}x^{n}\right)={\frac {1}{n!}}\left({\frac {d}{dx}}-1\right)^{n}x^{n},} निम्नलिखित खंड के बंद प्रारूप का कम उपयोग किया जाता हैं। वे आंतरिक उत्पाद के संबंध में ओर्थोगोनल बहुपद को प्रकट करते हैं।
⟨ f , g ⟩ = ∫ 0 ∞ f ( x ) g ( x ) e − x d x . {\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{0}^{\infty }f(x)g(x)e^{-x}\,dx.} लैगुएरे बहुपदों का क्रम
n ! Ln शेफ़र अनुक्रम है,
d d x L n = ( d d x − 1 ) L n − 1 . {\displaystyle {\frac {d}{dx}}L_{n}=\left({\frac {d}{dx}}-1\right)L_{n-1}.} कॉम्बिनेटरिक्स में
किश्ती बहुपद कमोबेश लैगुएरे बहुपद के समान हैं, इस प्रकार वैरियेबल के प्राथमिक परिवर्तन तक इसे आगे के ट्रिकोमी-कार्लिट्ज़ बहुपद के रूप में उपयोग किया जाता हैं।
एक इलेक्ट्रॉन परमाणु के लिए श्रोडिंगर समीकरण के मान के रेडियल भाग में लैगुएरे बहुपद क्वांटम यांत्रिकी में उत्पन्न होते हैं। वे फेज स्पेस सूत्र साधारण हार्मोनिक ऑसिलेटर में ऑसिलेटर प्रणाली के स्टैटिक विग्नर फंक्शन्स को भी वर्णन करते हैं। इस प्रकार
मोर्स क्षमता और क्वांटम हार्मोनिक ऑसिलेटर उदाहरण के क्वांटम यांत्रिकी में प्रवेश करते हैं, जिसे 3 डी आइसोट्रोपिक हार्मोनिक ऑसिलेटर के रूप में प्रदर्शित किया जाता हैं।
भौतिक विज्ञान कभी-कभी लैगुएरे बहुपदों के लिए परिभाषा का उपयोग करते हैं जो n! के गुणक द्वारा यहां उपयोग की गई परिभाषा से बड़ी होती है। (इसी प्रकार कुछ भौतिक विज्ञान तथाकथित संबंधित लैगुएरे बहुपदों की कुछ भिन्न परिभाषाओं का उपयोग करते हैं।)
पहले कुछ बहुपद ये पहले कुछ लैगुएरे बहुपद हैं:
n
L n ( x ) {\displaystyle L_{n}(x)\,}
0
1 {\displaystyle 1\,}
1
− x + 1 {\displaystyle -x+1\,}
2
1 2 ( x 2 − 4 x + 2 ) {\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(x^{2}-4x+2)\,}
3
1 6 ( − x 3 + 9 x 2 − 18 x + 6 ) {\displaystyle {\tfrac {1}{6}}(-x^{3}+9x^{2}-18x+6)\,}
4
1 24 ( x 4 − 16 x 3 + 72 x 2 − 96 x + 24 ) {\displaystyle {\tfrac {1}{24}}(x^{4}-16x^{3}+72x^{2}-96x+24)\,}
5
1 120 ( − x 5 + 25 x 4 − 200 x 3 + 600 x 2 − 600 x + 120 ) {\displaystyle {\tfrac {1}{120}}(-x^{5}+25x^{4}-200x^{3}+600x^{2}-600x+120)\,}
6
1 720 ( x 6 − 36 x 5 + 450 x 4 − 2400 x 3 + 5400 x 2 − 4320 x + 720 ) {\displaystyle {\tfrac {1}{720}}(x^{6}-36x^{5}+450x^{4}-2400x^{3}+5400x^{2}-4320x+720)\,}
n
1 n ! ( ( − x ) n + n 2 ( − x ) n − 1 + ⋯ + n ( n ! ) ( − x ) + n ! ) {\displaystyle {\tfrac {1}{n!}}((-x)^{n}+n^{2}(-x)^{n-1}+\dots +n({n!})(-x)+n!)\,}
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पहले छह लैगुएरे बहुपद।
रिकर्सिव डेफिनिशन, क्लोज्ड फॉर्म और जनरेटिंग फंक्शन पहले दो बहुपदों को परिभाषित करते हुए लैगुएरे बहुपदों को पुनरावर्ती रूप से भी परिभाषित किया जा सकता है
L 0 ( x ) = 1 {\displaystyle L_{0}(x)=1} L 1 ( x ) = 1 − x {\displaystyle L_{1}(x)=1-x} और फिर किसी भी के लिए निम्नलिखित ओर्थोगोनल बहुपद पुनरावृत्ति संबंधों का उपयोग करना
k ≥ 1:
L k + 1 ( x ) = ( 2 k + 1 − x ) L k ( x ) − k L k − 1 ( x ) k + 1 . {\displaystyle L_{k+1}(x)={\frac {(2k+1-x)L_{k}(x)-kL_{k-1}(x)}{k+1}}.} इसी प्रकार आगे के मान इस प्रकार होंगे।
x L n ′ ( x ) = n L n ( x ) − n L n − 1 ( x ) . {\displaystyle xL'_{n}(x)=nL_{n}(x)-nL_{n-1}(x).} कुछ सीमा तक प्राप्त होने वाले मानों से उत्पन्न होने वाली समस्याओं के मान में विशेष रूप से कुछ मान उपयोगी होते हैं:
L k ( 0 ) = 1 , L k ′ ( 0 ) = − k . {\displaystyle L_{k}(0)=1,L_{k}'(0)=-k.} इस प्रकार यह क्लोज्ड प्रारूप को प्रदर्शित करते हैं।
L n ( x ) = ∑ k = 0 n ( n k ) ( − 1 ) k k ! x k . {\displaystyle L_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}{\frac {(-1)^{k}}{k!}}x^{k}.} इनके लिए
जनरेटिंग फ़ंक्शन भी इसी प्रकार है,
∑ n = 0 ∞ t n L n ( x ) = 1 1 − t e − t x / ( 1 − t ) . {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }t^{n}L_{n}(x)={\frac {1}{1-t}}e^{-tx/(1-t)}.} ऋणात्मक सूचकांक के बहुपदों को धनात्मक सूचकांक वाले लोगों का उपयोग करके व्यक्त किया जा सकता है:
L − n ( x ) = e x L n − 1 ( − x ) . {\displaystyle L_{-n}(x)=e^{x}L_{n-1}(-x).} बाइनरी फ़ंक्शंस से संबंध बाइनरी विस्तार से संबंधित कार्यों का उपयोग करके लैगुएरे बहुपदों n {\displaystyle n}
L n ( x ) = x n n ! b ( 4 n − 1 3 , x ) . {\displaystyle L_{n}(x)={\frac {x^{n}}{n!}}b({\frac {4^{n}-1}{3}},x).} यहाँ
b ( n , x ) = 1 x b ( n − 2 f ( n ) 2 , x ) + ( − 1 ) n b ( ⌊ 2 n − 2 f ( n ) 2 ⌋ , x ) . {\displaystyle b(n,x)={\frac {1}{x}}b({\frac {n-2^{f(n)}}{2}},x)+(-1)^{n}b(\left\lfloor {\frac {2n-2^{f(n)}}{2}}\right\rfloor ,x).} साथ में
b ( 0 , x ) = 1 {\displaystyle b(0,x)=1} माना जाता हैं।
f ( 2 n + 1 ) = 0 , f ( 2 n ) = f ( n ) + 1. {\displaystyle f(2n+1)=0,f(2n)=f(n)+1.} यहाँ
f ( n ) {\displaystyle f(n)} A007814 है और
b ( n ) {\displaystyle b(n)} A347204 का सामान्यीकरण है।
सामान्यीकृत लैगुएरे बहुपद वास्तविक α का मान प्राप्त करने के लिए अंतर समीकरण के बहुपद मान सेट किया जाता हैं।[2]
x y ″ + ( α + 1 − x ) y ′ + n y = 0 {\displaystyle x\,y''+\left(\alpha +1-x\right)y'+n\,y=0} सामान्यीकृत लैगुएरे बहुपद कहलाते हैं, या संबंधित लैगुएरे बहुपद कहलाते हैं।
पहले दो बहुपदों को परिभाषित करते हुए सामान्यीकृत लेगुएरे बहुपदों को पुनरावर्ती रूप से भी परिभाषित किया जा सकता है
L 0 ( α ) ( x ) = 1 {\displaystyle L_{0}^{(\alpha )}(x)=1} L 1 ( α ) ( x ) = 1 + α − x {\displaystyle L_{1}^{(\alpha )}(x)=1+\alpha -x} और फिर किसी भी के लिए निम्नलिखित ओर्थोगोनल बहुपद पुनरावृत्ति संबंधों का उपयोग करता हैं जिसके लिए
k ≥ 1 का मान सेट किया जाता हैं:
L k + 1 ( α ) ( x ) = ( 2 k + 1 + α − x ) L k ( α ) ( x ) − ( k + α ) L k − 1 ( α ) ( x ) k + 1 . {\displaystyle L_{k+1}^{(\alpha )}(x)={\frac {(2k+1+\alpha -x)L_{k}^{(\alpha )}(x)-(k+\alpha )L_{k-1}^{(\alpha )}(x)}{k+1}}.} सरल लैगुएरे बहुपद विशेष स्थितियाँ हैं जहाँ पर
α = 0 सामान्यीकृत लैगुएरे बहुपद हैं:
L n ( 0 ) ( x ) = L n ( x ) . {\displaystyle L_{n}^{(0)}(x)=L_{n}(x).} उनके लिए रोड्रिग्स सूत्र है
L n ( α ) ( x ) = x − α e x n ! d n d x n ( e − x x n + α ) = x − α n ! ( d d x − 1 ) n x n + α . {\displaystyle L_{n}^{(\alpha )}(x)={x^{-\alpha }e^{x} \over n!}{d^{n} \over dx^{n}}\left(e^{-x}x^{n+\alpha }\right)={\frac {x^{-\alpha }}{n!}}\left({\frac {d}{dx}}-1\right)^{n}x^{n+\alpha }.} उनके लिए जनरेटिंग फंक्शन है
∑ n = 0 ∞ t n L n ( α ) ( x ) = 1 ( 1 − t ) α + 1 e − t x / ( 1 − t ) . {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }t^{n}L_{n}^{(\alpha )}(x)={\frac {1}{(1-t)^{\alpha +1}}}e^{-tx/(1-t)}.} Error creating thumbnail:
पहले कुछ सामान्यीकृत लैगुएरे बहुपद, Ln (k ) (x )
सामान्यीकृत लैगुएरे बहुपद के स्पष्ट उदाहरण और गुण लैगुएरे फ़ंक्शंस को संगम हाइपरज्यामितीय फंक्शन और कुमेर के परिवर्तन के रूप में परिभाषित किया गया है[3] L n ( α ) ( x ) := ( n + α n ) M ( − n , α + 1 , x ) . {\displaystyle L_{n}^{(\alpha )}(x):={n+\alpha \choose n}M(-n,\alpha +1,x).} ( n + α n ) {\textstyle {n+\alpha \choose n}} द्विपद गुणांक है। जिसमें n पूर्णांक होते है जो फ़ंक्शन डिग्री के बहुपद n तक कम हो जाता है, इसकी वैकल्पिक अभिव्यक्ति भी की जाती है[4] L n ( α ) ( x ) = ( − 1 ) n n ! U ( − n , α + 1 , x ) {\displaystyle L_{n}^{(\alpha )}(x)={\frac {(-1)^{n}}{n!}}U(-n,\alpha +1,x)}
डिग्री के इन सामान्यीकृत लैगुएरे बहुपदों के लिए बंद रूप n है[5] L n ( α ) ( x ) = ∑ i = 0 n ( − 1 ) i ( n + α n − i ) x i i ! {\displaystyle L_{n}^{(\alpha )}(x)=\sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}{n+\alpha \choose n-i}{\frac {x^{i}}{i!}}}
लैगुएरे बहुपदों में विभेदक संकारक प्रतिनिधित्व होता है, जो बहुत निकट से संबंधित हर्मिट बहुपदों की तरह होता है। अर्थात् D = d d x {\displaystyle D={\frac {d}{dx}}} M = q x D 2 + ( α + 1 ) D {\displaystyle M=qxD^{2}+(\alpha +1)D} exp ( − t M ) x n = ( − 1 ) n q n t n n ! L n ( α ) ( x q t ) {\displaystyle \exp(-tM)x^{n}=(-1)^{n}q^{n}t^{n}n!L_{n}^{(\alpha )}\left({\frac {x}{qt}}\right)}
पहले कुछ सामान्यीकृत लैगुएरे बहुपद हैं: L 0 ( α ) ( x ) = 1 L 1 ( α ) ( x ) = − x + ( α + 1 ) L 2 ( α ) ( x ) = x 2 2 − ( α + 2 ) x + ( α + 1 ) ( α + 2 ) 2 L 3 ( α ) ( x ) = − x 3 6 + ( α + 3 ) x 2 2 − ( α + 2 ) ( α + 3 ) x 2 + ( α + 1 ) ( α + 2 ) ( α + 3 ) 6 {\displaystyle {\begin{aligned}L_{0}^{(\alpha )}(x)&=1\\L_{1}^{(\alpha )}(x)&=-x+(\alpha +1)\\L_{2}^{(\alpha )}(x)&={\frac {x^{2}}{2}}-(\alpha +2)x+{\frac {(\alpha +1)(\alpha +2)}{2}}\\L_{3}^{(\alpha )}(x)&={\frac {-x^{3}}{6}}+{\frac {(\alpha +3)x^{2}}{2}}-{\frac {(\alpha +2)(\alpha +3)x}{2}}+{\frac {(\alpha +1)(\alpha +2)(\alpha +3)}{6}}\end{aligned}}}
अग्रणी पद का गुणांक है (−1)n n ! ;
स्थिर पद, जिसका मान 0 है, है L n ( α ) ( 0 ) = ( n + α n ) = Γ ( n + α + 1 ) n ! Γ ( α + 1 ) ; {\displaystyle L_{n}^{(\alpha )}(0)={n+\alpha \choose n}={\frac {\Gamma (n+\alpha +1)}{n!\,\Gamma (\alpha +1)}};} L n ( α ) ( x ) = n α 2 − 1 4 π e x 2 x α 2 + 1 4 sin ( 2 n x − π 2 ( α − 1 2 ) ) + O ( n α 2 − 3 4 ) , L n ( α ) ( − x ) = ( n + 1 ) α 2 − 1 4 2 π e − x / 2 x α 2 + 1 4 e 2 x ( n + 1 ) ⋅ ( 1 + O ( 1 n + 1 ) ) , {\displaystyle {\begin{aligned}&L_{n}^{(\alpha )}(x)={\frac {n^{{\frac {\alpha }{2}}-{\frac {1}{4}}}}{\sqrt {\pi }}}{\frac {e^{\frac {x}{2}}}{x^{{\frac {\alpha }{2}}+{\frac {1}{4}}}}}\sin \left(2{\sqrt {nx}}-{\frac {\pi }{2}}\left(\alpha -{\frac {1}{2}}\right)\right)+O\left(n^{{\frac {\alpha }{2}}-{\frac {3}{4}}}\right),\\[6pt]&L_{n}^{(\alpha )}(-x)={\frac {(n+1)^{{\frac {\alpha }{2}}-{\frac {1}{4}}}}{2{\sqrt {\pi }}}}{\frac {e^{-x/2}}{x^{{\frac {\alpha }{2}}+{\frac {1}{4}}}}}e^{2{\sqrt {x(n+1)}}}\cdot \left(1+O\left({\frac {1}{\sqrt {n+1}}}\right)\right),\end{aligned}}}
यदि α n (α) में n वास्तविक संख्या होती हैं, फ़ंक्शन का धनात्मक रूट (ध्यान दें कि ( ( − 1 ) n − i L n − i ( α ) ) i = 0 n {\displaystyle \left((-1)^{n-i}L_{n-i}^{(\alpha )}\right)_{i=0}^{n}} अंतराल (गणित) में हैं ( 0 , n + α + ( n − 1 ) n + α ] . {\displaystyle \left(0,n+\alpha +(n-1){\sqrt {n+\alpha }}\,\right].}
इसमें से बड़े मान के लिए बहुपदों का स्पर्शोन्मुख मान n होता हैं, किन्तु α और x > 0[6] [7] L n ( α ) ( x n ) n α ≈ e x / 2 n ⋅ J α ( 2 x ) x α , {\displaystyle {\frac {L_{n}^{(\alpha )}\left({\frac {x}{n}}\right)}{n^{\alpha }}}\approx e^{x/2n}\cdot {\frac {J_{\alpha }\left(2{\sqrt {x}}\right)}{{\sqrt {x}}^{\alpha }}},} J α {\displaystyle J_{\alpha }} ऊपर निर्दिष्ट जनरेटिंग फ़ंक्शन को देखते हुए, बहुपदों को समोच्च अभिन्न के रूप में व्यक्त किया जा सकता है
L n ( α ) ( x ) = 1 2 π i ∮ C e − x t / ( 1 − t ) ( 1 − t ) α + 1 t n + 1 d t , {\displaystyle L_{n}^{(\alpha )}(x)={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}{\frac {e^{-xt/(1-t)}}{(1-t)^{\alpha +1}\,t^{n+1}}}\;dt,} जहां समोच्च 1 पर आवश्यक विलक्षणता को बंद किए बिना वामावर्त दिशा में बार मूल को घेरता है
पुनरावृत्ति संबंध लैगुएरे बहुपदों के लिए अतिरिक्त सूत्र:[8]
L n ( α + β + 1 ) ( x + y ) = ∑ i = 0 n L i ( α ) ( x ) L n − i ( β ) ( y ) . {\displaystyle L_{n}^{(\alpha +\beta +1)}(x+y)=\sum _{i=0}^{n}L_{i}^{(\alpha )}(x)L_{n-i}^{(\beta )}(y).} लैगुएरे के बहुपद पुनरावर्तन संबंधों को संतुष्ट करते हैं
L n ( α ) ( x ) = ∑ i = 0 n L n − i ( α + i ) ( y ) ( y − x ) i i ! , {\displaystyle L_{n}^{(\alpha )}(x)=\sum _{i=0}^{n}L_{n-i}^{(\alpha +i)}(y){\frac {(y-x)^{i}}{i!}},} विशेष रूप से
L n ( α + 1 ) ( x ) = ∑ i = 0 n L i ( α ) ( x ) {\displaystyle L_{n}^{(\alpha +1)}(x)=\sum _{i=0}^{n}L_{i}^{(\alpha )}(x)} और
L n ( α ) ( x ) = ∑ i = 0 n ( α − β + n − i − 1 n − i ) L i ( β ) ( x ) , {\displaystyle L_{n}^{(\alpha )}(x)=\sum _{i=0}^{n}{\alpha -\beta +n-i-1 \choose n-i}L_{i}^{(\beta )}(x),} या
L n ( α ) ( x ) = ∑ i = 0 n ( α − β + n n − i ) L i ( β − i ) ( x ) ; {\displaystyle L_{n}^{(\alpha )}(x)=\sum _{i=0}^{n}{\alpha -\beta +n \choose n-i}L_{i}^{(\beta -i)}(x);} इसके अतिरिक्त
L n ( α ) ( x ) − ∑ j = 0 Δ − 1 ( n + α n − j ) ( − 1 ) j x j j ! = ( − 1 ) Δ x Δ ( Δ − 1 ) ! ∑ i = 0 n − Δ ( n + α n − Δ − i ) ( n − i ) ( n i ) L i ( α + Δ ) ( x ) = ( − 1 ) Δ x Δ ( Δ − 1 ) ! ∑ i = 0 n − Δ ( n + α − i − 1 n − Δ − i ) ( n − i ) ( n i ) L i ( n + α + Δ − i ) ( x ) {\displaystyle {\begin{aligned}L_{n}^{(\alpha )}(x)-\sum _{j=0}^{\Delta -1}{n+\alpha \choose n-j}(-1)^{j}{\frac {x^{j}}{j!}}&=(-1)^{\Delta }{\frac {x^{\Delta }}{(\Delta -1)!}}\sum _{i=0}^{n-\Delta }{\frac {n+\alpha \choose n-\Delta -i}{(n-i){n \choose i}}}L_{i}^{(\alpha +\Delta )}(x)\\[6pt]&=(-1)^{\Delta }{\frac {x^{\Delta }}{(\Delta -1)!}}\sum _{i=0}^{n-\Delta }{\frac {n+\alpha -i-1 \choose n-\Delta -i}{(n-i){n \choose i}}}L_{i}^{(n+\alpha +\Delta -i)}(x)\end{aligned}}} उनका उपयोग चार 3-बिंदु-नियमों को प्राप्त करने के लिए किया जा सकता है
L n ( α ) ( x ) = L n ( α + 1 ) ( x ) − L n − 1 ( α + 1 ) ( x ) = ∑ j = 0 k ( k j ) L n − j ( α + k ) ( x ) , n L n ( α ) ( x ) = ( n + α ) L n − 1 ( α ) ( x ) − x L n − 1 ( α + 1 ) ( x ) , or x k k ! L n ( α ) ( x ) = ∑ i = 0 k ( − 1 ) i ( n + i i ) ( n + α k − i ) L n + i ( α − k ) ( x ) , n L n ( α + 1 ) ( x ) = ( n − x ) L n − 1 ( α + 1 ) ( x ) + ( n + α ) संयुक्त रूप से वे इसे अतिरिक्त, उपयोगी पुनरावर्तन संबंध देते हैं
L n ( α ) ( x ) = ( 2 + α − 1 − x n ) L n − 1 ( α ) ( x ) − ( 1 + α − 1 n ) L n − 2 ( α ) ( x ) = α + 1 − x n L n − 1 ( α + 1 ) ( x ) − x n L n − 2 ( α + 2 ) ( x ) {\displaystyle {\begin{aligned}L_{n}^{(\alpha )}(x)&=\left(2+{\frac {\alpha -1-x}{n}}\right)L_{n-1}^{(\alpha )}(x)-\left(1+{\frac {\alpha -1}{n}}\right)L_{n-2}^{(\alpha )}(x)\\[10pt]&={\frac {\alpha +1-x}{n}}L_{n-1}^{(\alpha +1)}(x)-{\frac {x}{n}}L_{n-2}^{(\alpha +2)}(x)\end{aligned}}} तब से
L n ( α ) ( x ) {\displaystyle L_{n}^{(\alpha )}(x)} डिग्री का मोनिक बहुपद
n {\displaystyle n} में
α {\displaystyle \alpha } हैं।
जो आंशिक अंश अपघटन है
n ! L n ( α ) ( x ) ( α + 1 ) n = 1 − ∑ j = 1 n ( − 1 ) j j α + j ( n j ) L n ( − j ) ( x ) = 1 − ∑ j = 1 n x j α + j L n − j ( j ) ( x ) ( j − 1 ) ! = 1 − x ∑ i = 1 n L n − i ( − α ) ( x ) L i − 1 ( α + 1 ) ( − x ) α + i . {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {n!\,L_{n}^{(\alpha )}(x)}{(\alpha +1)_{n}}}&=1-\sum _{j=1}^{n}(-1)^{j}{\frac {j}{\alpha +j}}{n \choose j}L_{n}^{(-j)}(x)\\&=1-\sum _{j=1}^{n}{\frac {x^{j}}{\alpha +j}}\,\,{\frac {L_{n-j}^{(j)}(x)}{(j-1)!}}\\&=1-x\sum _{i=1}^{n}{\frac {L_{n-i}^{(-\alpha )}(x)L_{i-1}^{(\alpha +1)}(-x)}{\alpha +i}}.\end{aligned}}} यहाँ पर दूसरी समानता निम्नलिखित पहचान द्वारा अनुसरण करती है, जो पूर्णांक i और
n के लिए मान्य है, और इसकी अभिव्यक्ति से तत्काल
चार्लीयर बहुपद L n ( α ) ( x ) {\displaystyle L_{n}^{(\alpha )}(x)} के संदर्भ में:
( − x ) i i ! L n ( i − n ) ( x ) = ( − x ) n n ! L i ( n − i ) ( x ) . {\displaystyle {\frac {(-x)^{i}}{i!}}L_{n}^{(i-n)}(x)={\frac {(-x)^{n}}{n!}}L_{i}^{(n-i)}(x).} तीसरी समानता के लिए इस खंड की चौथी और पाँचवीं सर्वसमिकाएँ लागू की जाती हैं।
सामान्यीकृत लैगुएरे बहुपदों के डेरिवेटिव्स सामान्यीकृत लैगुएरे बहुपद के घात श्रेणी निरूपण में अंतर करना k क्रम की ओर जाता है।
d k d x k L n ( α ) ( x ) = { ( − 1 ) k L n − k ( α + k ) ( x ) if k ≤ n , 0 otherwise. {\displaystyle {\frac {d^{k}}{dx^{k}}}L_{n}^{(\alpha )}(x)={\begin{cases}(-1)^{k}L_{n-k}^{(\alpha +k)}(x)&{\text{if }}k\leq n,\\0&{\text{otherwise.}}\end{cases}}} यह विशेष स्थितियों (
α = 0) को इंगित करता है, उपरोक्त सूत्र का: पूर्णांक के लिए
α = k सामान्यीकृत बहुपद लिखा जा सकता है
L n ( k ) ( x ) = ( − 1 ) k d k L n + k ( x ) d x k , {\displaystyle L_{n}^{(k)}(x)=(-1)^{k}{\frac {d^{k}L_{n+k}(x)}{dx^{k}}},} इस क्रम के द्वारा
k कभी-कभी व्युत्पन्न के लिए सामान्य कोष्ठक संकेतन के साथ भ्रम उत्पन्न करता है।
1 k ! d k d x k x α L n ( α ) ( x ) = ( n + α k ) x α − k L n ( α − k ) ( x ) , {\displaystyle {\frac {1}{k!}}{\frac {d^{k}}{dx^{k}}}x^{\alpha }L_{n}^{(\alpha )}(x)={n+\alpha \choose k}x^{\alpha -k}L_{n}^{(\alpha -k)}(x),} जो एंटीडेरिवेटिव एकीकरण की तकनीक या कॉची के सूत्र के साथ सामान्यीकरण करता है
L n ( α ′ ) ( x ) = ( α ′ − α ) ( α ′ + n α ′ − α ) ∫ 0 x t α ( x − t ) α ′ − α − 1 x α ′ L n ( α ) ( t ) d t . {\displaystyle L_{n}^{(\alpha ')}(x)=(\alpha '-\alpha ){\alpha '+n \choose \alpha '-\alpha }\int _{0}^{x}{\frac {t^{\alpha }(x-t)^{\alpha '-\alpha -1}}{x^{\alpha '}}}L_{n}^{(\alpha )}(t)\,dt.} दूसरे चर के संबंध में व्युत्पन्न
α का रूप है,
[9] d d α L n ( α ) ( x ) = ∑ i = 0 n − 1 L i ( α ) ( x ) n − i . {\displaystyle {\frac {d}{d\alpha }}L_{n}^{(\alpha )}(x)=\sum _{i=0}^{n-1}{\frac {L_{i}^{(\alpha )}(x)}{n-i}}.} यह नीचे समोच्च अभिन्न प्रतिनिधित्व से स्पष्ट है।
सामान्यीकृत लैगुएरे बहुपद अवकल समीकरण का पालन करते हैं
x L n ( α ) ′ ′ ( x ) + ( α + 1 − x ) L n ( α ) ′ ( x ) + n L n ( α ) ( x ) = 0 , {\displaystyle xL_{n}^{(\alpha )\prime \prime }(x)+(\alpha +1-x)L_{n}^{(\alpha )\prime }(x)+nL_{n}^{(\alpha )}(x)=0,} जिसकी तुलना सामान्य लैगुएरे बहुपद के k वें व्युत्पन्न द्वारा पालन किए गए समीकरण से की जा सकती है,
x L n [ k ] ′ ′ ( x ) + ( k + 1 − x ) L n [ k ] ′ ( x ) + ( n − k ) L n [ k ] ( x ) = 0 , {\displaystyle xL_{n}^{[k]\prime \prime }(x)+(k+1-x)L_{n}^{[k]\prime }(x)+(n-k)L_{n}^{[k]}(x)=0,} जहाँ
L n [ k ] ( x ) ≡ d k L n ( x ) d x k {\displaystyle L_{n}^{[k]}(x)\equiv {\frac {d^{k}L_{n}(x)}{dx^{k}}}} केवल इस समीकरण के लिए उपयोग की जाती हैं।
− ( x α + 1 e − x ⋅ L n ( α ) ( x ) ′ ) ′ = n ⋅ x α e − x ⋅ L n ( α ) ( x ) , {\displaystyle -\left(x^{\alpha +1}e^{-x}\cdot L_{n}^{(\alpha )}(x)^{\prime }\right)'=n\cdot x^{\alpha }e^{-x}\cdot L_{n}^{(\alpha )}(x),} जो दर्शाता
L (α) n है जिसमें आइजन मान के लिए आइजन वैक्टर
n का उपयोग करते हैं।
सामान्यीकृत लैगुएरे बहुपद ओर्थोगोनल ओवर हैं [0, ∞) भार फंक्शन के साथ माप xα e −x [10]
∫ 0 ∞ x α e − x L n ( α ) ( x ) L m ( α ) ( x ) d x = Γ ( n + α + 1 ) n ! δ n , m , {\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{\alpha }e^{-x}L_{n}^{(\alpha )}(x)L_{m}^{(\alpha )}(x)dx={\frac {\Gamma (n+\alpha +1)}{n!}}\delta _{n,m},} जो इस प्रकार है
∫ 0 ∞ x α ′ − 1 e − x L n ( α ) ( x ) d x = ( α − α ′ + n n ) Γ ( α ′ ) . {\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{\alpha '-1}e^{-x}L_{n}^{(\alpha )}(x)dx={\alpha -\alpha '+n \choose n}\Gamma (\alpha ').} यदि
Γ ( x , α + 1 , 1 ) {\displaystyle \Gamma (x,\alpha +1,1)} गामा वितरण को दर्शाता है तो ऑर्थोगोनलिटी रिलेशन को इस रूप में लिखा जा सकता है
∫ 0 ∞ L n ( α ) ( x ) L m ( α ) ( x ) Γ ( x , α + 1 , 1 ) d x = ( n + α n ) δ n , m , {\displaystyle \int _{0}^{\infty }L_{n}^{(\alpha )}(x)L_{m}^{(\alpha )}(x)\Gamma (x,\alpha +1,1)dx={n+\alpha \choose n}\delta _{n,m},} संबंधित, सममित कर्नेल बहुपद का प्रतिनिधित्व है ( जिसमें क्रिस्टोफ़ेल-डार्बौक्स सूत्र इस प्रकार हैं।)
K n ( α ) ( x , y ) := 1 Γ ( α + 1 ) ∑ i = 0 n L i ( α ) ( x ) L i ( α ) ( y ) ( α + i i ) = 1 Γ ( α + 1 ) L n ( α ) ( x ) L n + 1 ( α ) ( y ) − L n + 1 ( α ) ( x ) L n ( α ) ( y ) x − y n + 1 ( n + α n ) = 1 Γ ( α + 1 ) ∑ i = 0 n x i i ! L n − i ( α + i ) ( x ) L n − i ( α + i + 1 ) ( y ) ( α + n n ) ( n i ) ; {\displaystyle {\begin{aligned}K_{n}^{(\alpha )}(x,y)&:={\frac {1}{\Gamma (\alpha +1)}}\sum _{i=0}^{n}{\frac {L_{i}^{(\alpha )}(x)L_{i}^{(\alpha )}(y)}{\alpha +i \choose i}}\\[4pt]&={\frac {1}{\Gamma (\alpha +1)}}{\frac {L_{n}^{(\alpha )}(x)L_{n+1}^{(\alpha )}(y)-L_{n+1}^{(\alpha )}(x)L_{n}^{(\alpha )}(y)}{{\frac {x-y}{n+1}}{n+\alpha \choose n}}}\\[4pt]&={\frac {1}{\Gamma (\alpha +1)}}\sum _{i=0}^{n}{\frac {x^{i}}{i!}}{\frac {L_{n-i}^{(\alpha +i)}(x)L_{n-i}^{(\alpha +i+1)}(y)}{{\alpha +n \choose n}{n \choose i}}};\end{aligned}}} रिकर्सिवली
K n ( α ) ( x , y ) = y α + 1 K n − 1 ( α + 1 ) ( x , y ) + 1 Γ ( α + 1 ) L n ( α + 1 ) ( x ) L n ( α ) ( y ) ( α + n n ) . {\displaystyle K_{n}^{(\alpha )}(x,y)={\frac {y}{\alpha +1}}K_{n-1}^{(\alpha +1)}(x,y)+{\frac {1}{\Gamma (\alpha +1)}}{\frac {L_{n}^{(\alpha +1)}(x)L_{n}^{(\alpha )}(y)}{\alpha +n \choose n}}.} इसके अतिरिक्त,
y α e − y K n ( α ) ( ⋅ , y ) → δ ( y − ⋅ ) . {\displaystyle y^{\alpha }e^{-y}K_{n}^{(\alpha )}(\cdot ,y)\to \delta (y-\cdot ).} तुरान की असमानताएँ यहाँ प्राप्त की जा सकती हैं, जो कि है
L n ( α ) ( x ) 2 − L n − 1 ( α ) ( x ) L n + 1 ( α ) ( x ) = ∑ k = 0 n − 1 ( α + n − 1 n − k ) n ( n k ) L k ( α − 1 ) ( x ) 2 > 0. {\displaystyle L_{n}^{(\alpha )}(x)^{2}-L_{n-1}^{(\alpha )}(x)L_{n+1}^{(\alpha )}(x)=\sum _{k=0}^{n-1}{\frac {\alpha +n-1 \choose n-k}{n{n \choose k}}}L_{k}^{(\alpha -1)}(x)^{2}>0.} हाइड्रोजन परमाणु वेवफंक्शन के
क्वांटम यांत्रिकी उपचार में निम्नलिखित
अभिन्न की आवश्यकता है,
∫ 0 ∞ x α + 1 e − x [ L n ( α ) ( x ) ] 2 d x = ( n + α ) ! n ! ( 2 n + α + 1 ) . {\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{\alpha +1}e^{-x}\left[L_{n}^{(\alpha )}(x)\right]^{2}dx={\frac {(n+\alpha )!}{n!}}(2n+\alpha +1).} श्रृंखला विस्तार यहाँ फंक्शन में (औपचारिक) श्रृंखला विस्तारित होते हैं। इस प्रकार फंक्शन को नीचे दिए गए प्रारूप में प्रदर्शित किया जाता हैं।
f ( x ) = ∑ i = 0 ∞ f i ( α ) L i ( α ) ( x ) . {\displaystyle f(x)=\sum _{i=0}^{\infty }f_{i}^{(\alpha )}L_{i}^{(\alpha )}(x).} तब
f i ( α ) = ∫ 0 ∞ L i ( α ) ( x ) ( i + α i ) ⋅ x α e − x Γ ( α + 1 ) ⋅ f ( x ) d x . {\displaystyle f_{i}^{(\alpha )}=\int _{0}^{\infty }{\frac {L_{i}^{(\alpha )}(x)}{i+\alpha \choose i}}\cdot {\frac {x^{\alpha }e^{-x}}{\Gamma (\alpha +1)}}\cdot f(x)\,dx.} श्रृंखला संबद्ध
हिल्बर्ट अंतरिक्ष में अभिसरित होती है
L 2 [0, ∞)यदि और केवल यदि ‖ f ‖ L 2 2 := ∫ 0 ∞ x α e − x Γ ( α + 1 ) | f ( x ) | 2 d x = ∑ i = 0 ∞ ( i + α i ) | f i ( α ) | 2 < ∞ . {\displaystyle \|f\|_{L^{2}}^{2}:=\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{\alpha }e^{-x}}{\Gamma (\alpha +1)}}|f(x)|^{2}\,dx=\sum _{i=0}^{\infty }{i+\alpha \choose i}|f_{i}^{(\alpha )}|^{2}<\infty .} विस्तार के और उदाहरण एकपदीय के रूप में प्रतिनिधित्व किया जाता है।
x n n ! = ∑ i = 0 n ( − 1 ) i ( n + α n − i ) L i ( α ) ( x ) , {\displaystyle {\frac {x^{n}}{n!}}=\sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}{n+\alpha \choose n-i}L_{i}^{(\alpha )}(x),} जबकि द्विपद गुणांक में पैरामीट्रिजेशन होता है।
( n + x n ) = ∑ i = 0 n α i i ! L n − i ( x + i ) ( α ) . {\displaystyle {n+x \choose n}=\sum _{i=0}^{n}{\frac {\alpha ^{i}}{i!}}L_{n-i}^{(x+i)}(\alpha ).} यह सीधे दिए गए समीकरण की ओर इंगित करता है
e − γ x = ∑ i = 0 ∞ γ i ( 1 + γ ) i + α + 1 L i ( α ) ( x ) convergent iff ℜ ( γ ) > − 1 2 {\displaystyle e^{-\gamma x}=\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {\gamma ^{i}}{(1+\gamma )^{i+\alpha +1}}}L_{i}^{(\alpha )}(x)\qquad {\text{convergent iff }}\Re (\gamma )>-{\tfrac {1}{2}}} घातीय फंक्शन के लिए। अपूर्ण गामा फ़ंक्शन का प्रतिनिधित्व होता है
Γ ( α , x ) = x α e − x ∑ i = 0 ∞ L i ( α ) ( x ) 1 + i ( ℜ ( α ) > − 1 , x > 0 ) . {\displaystyle \Gamma (\alpha ,x)=x^{\alpha }e^{-x}\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {L_{i}^{(\alpha )}(x)}{1+i}}\qquad \left(\Re (\alpha )>-1,x>0\right).} क्वांटम यांत्रिकी में क्वांटम यांत्रिकी में हाइड्रोजन जैसे परमाणु के लिए श्रोडिंगर समीकरण गोलाकार निर्देशांक में वैरियेबल्स को अलग करके बिल्कुल मान करने योग्य बनाया जाता है। वेव फ़ंक्शन का रेडियल भाग (सामान्यीकृत) लैगुएरे बहुपद है।[11]
फ्रेंक-कॉन्डन सन्निकटन में वाइब्रोनिक युग्मन को लैगुएरे बहुपदों का उपयोग करके भी वर्णित किया जाता हैं।[12]
आर्थर एर्डेली|एर्डेली निम्नलिखित दो गुणन प्रमेय देते हैं [13]
t n + 1 + α e ( 1 − t ) z L n ( α ) ( z t ) = ∑ k = n ∞ ( k n ) ( 1 − 1 t ) k − n L k ( α ) ( z ) , e ( 1 − t ) z L n ( α ) ( z t ) = ∑ k = 0 ∞ ( 1 − t ) k z k k ! L n ( α + k ) ( z ) . {\displaystyle {\begin{aligned}&t^{n+1+\alpha }e^{(1-t)z}L_{n}^{(\alpha )}(zt)=\sum _{k=n}^{\infty }{k \choose n}\left(1-{\frac {1}{t}}\right)^{k-n}L_{k}^{(\alpha )}(z),\\[6pt]&e^{(1-t)z}L_{n}^{(\alpha )}(zt)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(1-t)^{k}z^{k}}{k!}}L_{n}^{(\alpha +k)}(z).\end{aligned}}} हर्मिट बहुपदों से संबंध सामान्यीकृत लैगुएरे बहुपद हर्मिट बहुपदों से संबंधित होता हैं:
H 2 n ( x ) = ( − 1 ) n 2 2 n n ! L n ( − 1 / 2 ) ( x 2 ) H 2 n + 1 ( x ) = ( − 1 ) n 2 2 n + 1 n ! x L n ( 1 / 2 ) ( x 2 ) {\displaystyle {\begin{aligned}H_{2n}(x)&=(-1)^{n}2^{2n}n!L_{n}^{(-1/2)}(x^{2})\\[4pt]H_{2n+1}(x)&=(-1)^{n}2^{2n+1}n!xL_{n}^{(1/2)}(x^{2})\end{aligned}}} जहाँ
H n x ) मुख्य फलन पर आधारित हर्मिट बहुपद हैं। इस प्रकार
exp(−x 2 ) को तथाकथित भौतिक विज्ञान का संस्करण माना जा सकता हैं।
इस कारण
क्वांटम हार्मोनिक ऑसिलेटर के उपचार में सामान्यीकृत लैगुएरे बहुपद उत्पन्न होते हैं।
लैगुएरे बहुपदों को हाइपरज्यामितीय कार्यों के संदर्भ में परिभाषित किया जा सकता है, विशेष रूप से संगम हाइपरज्यामितीय फंक्शन के रूप में प्रदर्शित करते हैं।
L n ( α ) ( x ) = ( n + α n ) M ( − n , α + 1 , x ) = ( α + 1 ) n n ! 1 F 1 ( − n , α + 1 , x ) {\displaystyle L_{n}^{(\alpha )}(x)={n+\alpha \choose n}M(-n,\alpha +1,x)={\frac {(\alpha +1)_{n}}{n!}}\,_{1}F_{1}(-n,\alpha +1,x)} जहाँ
( a ) n {\displaystyle (a)_{n}} पोश्चमर प्रतीक है (जो इस स्थिति में बढ़ते फैक्टोरियल मान का प्रतिनिधित्व करता है)।
हार्डी-हिल फॉर्मूला सामान्यीकृत लैगुएरे बहुपद हार्डी-हिल सूत्र को संतुष्ट करते हैं[14] [15]
∑ n = 0 ∞ n ! Γ ( α + 1 ) Γ ( n + α + 1 ) L n ( α ) ( x ) L n ( α ) ( y ) t n = 1 ( 1 − t ) α + 1 e − ( x + y ) t / ( 1 − t ) 0 F 1 ( ; α + 1 ; x y t ( 1 − t ) 2 ) , {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {n!\,\Gamma \left(\alpha +1\right)}{\Gamma \left(n+\alpha +1\right)}}L_{n}^{(\alpha )}(x)L_{n}^{(\alpha )}(y)t^{n}={\frac {1}{(1-t)^{\alpha +1}}}e^{-(x+y)t/(1-t)}\,_{0}F_{1}\left(;\alpha +1;{\frac {xyt}{(1-t)^{2}}}\right),} जहां बाईं ओर की श्रंखला के लिए अभिसरित होती है इस प्रकार
α > − 1 {\displaystyle \alpha >-1} और
| t | < 1 {\displaystyle |t|<1} इसके सूत्र का उपयोग करता हैं।
0 F 1 ( ; α + 1 ; z ) = Γ ( α + 1 ) z − α / 2 I α ( 2 z ) , {\displaystyle \,_{0}F_{1}(;\alpha +1;z)=\,\Gamma (\alpha +1)z^{-\alpha /2}I_{\alpha }\left(2{\sqrt {z}}\right),} (सामान्यीकृत हाइपरजियोमेट्रिक फ़ंक्शन # श्रृंखला 0F1 देखें), इसे इस रूप में भी लिखा जा सकता है
∑ n = 0 ∞ n ! Γ ( 1 + α + n ) L n ( α ) ( x ) L n ( α ) ( y ) t n = 1 ( x y t ) α / 2 ( 1 − t ) e − ( x + y ) t / ( 1 − t ) I α ( 2 x y t 1 − t ) . {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {n!}{\Gamma (1+\alpha +n)}}L_{n}^{(\alpha )}(x)L_{n}^{(\alpha )}(y)t^{n}={\frac {1}{(xyt)^{\alpha /2}(1-t)}}e^{-(x+y)t/(1-t)}I_{\alpha }\left({\frac {2{\sqrt {xyt}}}{1-t}}\right).} यह सूत्र हर्मिट बहुपदों के लिए
मेहलर कर्नेल का सामान्यीकरण है, जिसे ऊपर दिए गए लैगुएरे और हर्मिट बहुपदों के बीच संबंधों का उपयोग करके इससे पुनर्प्राप्त किया जा सकता है।
भौतिक विज्ञान स्केलिंग कन्वेंशन हाइड्रोजन परमाणु ऑर्बिटल्स के लिए क्वांटम वेवफंक्शन का वर्णन करने के लिए सामान्यीकृत लैगुएरे बहुपदों का उपयोग किया जाता है। इस विषय पर परिचयात्मक साहित्य में,[16] [17] [18] [19]
L n ( α ) ( x ) = Γ ( α + n + 1 ) Γ ( α + 1 ) n ! 1 F 1 ( − n ; α + 1 ; x ) , {\displaystyle L_{n}^{(\alpha )}(x)={\frac {\Gamma (\alpha +n+1)}{\Gamma (\alpha +1)n!}}\,_{1}F_{1}(-n;\alpha +1;x),} जहाँ
1 F 1 ( a ; b ; x ) {\displaystyle \,_{1}F_{1}(a;b;x)} मिला हुआ हाइपरज्यामितीय कार्य है।
[18]
L ¯ n ( α ) ( x ) = [ Γ ( α + n + 1 ) ] 2 Γ ( α + 1 ) n ! 1 F 1 ( − n ; α + 1 ; x ) . {\displaystyle {\bar {L}}_{n}^{(\alpha )}(x)={\frac {\left[\Gamma (\alpha +n+1)\right]^{2}}{\Gamma (\alpha +1)n!}}\,_{1}F_{1}(-n;\alpha +1;x).} भौतिक विज्ञान संस्करण द्वारा मानक संस्करण से संबंधित है
L ¯ n ( α ) ( x ) = ( n + α ) ! L n ( α ) ( x ) . {\displaystyle {\bar {L}}_{n}^{(\alpha )}(x)=(n+\alpha )!L_{n}^{(\alpha )}(x).} भौतिक विज्ञान के साहित्य में और उक्त सूत्र का प्रयोग किया जाता है, चूंकि इसकी आवृत्ति कम होती है। इस सूत्र के अनुसार लैगुएरे बहुपदों को संलग्न किया जाता है।
[20] [21] [22] L ~ n ( α ) ( x ) = ( − 1 ) α L ¯ n − α ( α ) . {\displaystyle {\tilde {L}}_{n}^{(\alpha )}(x)=(-1)^{\alpha }{\bar {L}}_{n-\alpha }^{(\alpha )}.}
यह भी देखें ओर्थोगोनल बहुपद
रोड्रिग्स का सूत्र
एंजेलस्कु बहुपद
बेसेल बहुपद डेनिस्युक बहुपद
अनुप्रस्थ मोड , वेवगाइड या लेजर बीम प्रोफाइल के भीतर क्षेत्र की तीव्रता का वर्णन करने के लिए लैगुएरे बहुपदों का महत्वपूर्ण अनुप्रयोग।टिप्पणियाँ
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बाहरी संबंध 
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