बेसेल बहुपद

गणित में, बेसेल बहुपद बहुपदों का एक ओर्थोगोनल बहुपद अनुक्रम हैं। कई अलग-अलग लेकिन सूक्ष्मता से संबंधित परिभाषाएँ हैं। गणितज्ञों द्वारा समर्थित परिभाषा श्रृंखला द्वारा दी गई है

$y_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}{\frac {(n+k)!}{(n-k)!k!}}\,\left({\frac {x}{2}}\right)^{k}.$

इलेक्ट्रिकल इंजीनियरों द्वारा समर्थित एक अन्य परिभाषा को कभी-कभी रिवर्स बेसेल बहुपद के रूप में जाना जाता है

$\theta _{n}(x)=x^{n}\,y_{n}(1/x)=\sum _{k=0}^{n}{\frac {(n+k)!}{(n-k)!k!}}\,{\frac {x^{n-k}}{2^{k}}}.$

दूसरी परिभाषा के गुणांक पहले के समान हैं लेकिन विपरीत क्रम में हैं। उदाहरण के लिए, तृतीय-डिग्री बेसेल बहुपद है

$y_{3}(x)=15x^{3}+15x^{2}+6x+1$

जबकि थर्ड-डिग्री रिवर्स बेसेल बहुपद है

$\theta _{3}(x)=x^{3}+6x^{2}+15x+15.$

बेसल फिल्टर के डिजाइन में रिवर्स बेसेल बहुपद का उपयोग किया जाता है।

गुण

बेसेल कार्यों के संदर्भ में परिभाषा

बेसेल बहुपद को बेसेल फलनों का उपयोग करके भी परिभाषित किया जा सकता है जिससे बहुपद को अपना नाम मिलता है।

$y_{n}(x)=\,x^{n}\theta _{n}(1/x)\,$

$y_{n}(x)={\sqrt {\frac {2}{\pi x}}}\,e^{1/x}K_{n+{\frac {1}{2}}}(1/x)$

$\theta _{n}(x)={\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\,x^{n+1/2}e^{x}K_{n+{\frac {1}{2}}}(x)$

जहां K_n(x) एक बेसेल फलन है संशोधित बेसेल फलन:आईसीई.बी1.2सी के.सीई.बी1, y_n(x) साधारण बहुपद है, और θ_n(x) विपरीत बहुपद है . उदाहरण के लिए:

$y_{3}(x)=15x^{3}+15x^{2}+6x+1={\sqrt {\frac {2}{\pi x}}}\,e^{1/x}K_{3+{\frac {1}{2}}}(1/x)$

हाइपरजियोमेट्रिक फ़ंक्शन के रूप में परिभाषा

बेसेल बहुपद को एक मिश्रित अतिज्यामितीय फलन के रूप में भी परिभाषित किया जा सकता है

$y_n(x)={}_2{F}_0(-<!--\; -\; -->n,n+1;;-<!--\; -\; -->x/2)={\left(\frac{2}{x}\right)}^{-<!--\; -\; -->n}U(-<!--\; -\; -->n,-<!--\; -\; -->2n,$