गणित में, एडमंड लागुएरे (1834-1886) के नाम पर लैगुएरे बहुपद, लैगुएरे के अंतर समीकरण के समाधान हैं:
x y ″ + ( 1 − x ) y ′ + n y = 0 , y = y ( x ) {\displaystyle xy''+(1-x)y'+ny=0,y=y(x)}
जो एक द्वितीय कोटि का रेखीय अवकल समीकरण है। इस समीकरण का केवल एकवचन समाधान है यदि
n एक गैर-ऋणात्मक पूर्णांक है।
कभी-कभी लैगुएरे बहुपद नाम का उपयोग समाधान के लिए किया जाता है
x y ″ + ( α + 1 − x ) y ′ + n y = 0 . {\displaystyle xy''+(\alpha +1-x)y'+ny=0~.}
कहाँ
n अभी भी एक गैर-ऋणात्मक पूर्णांक है।
फिर उन्हें सामान्यीकृत लैगुएरे बहुपद भी नाम दिया गया है, जैसा कि यहां किया जाएगा (वैकल्पिक रूप से जुड़े लैगुएरे बहुपद या, शायद ही कभी, सोनिन बहुपद, उनके आविष्कारक के बाद
[1] निकोलाई याकोवलेविच सोनिन )।
अधिक आम तौर पर, लैगुएरे फ़ंक्शन एक समाधान होता है जब n आवश्यक रूप से एक गैर-ऋणात्मक पूर्णांक नहीं है।
लैगुएरे बहुपदों का उपयोग गॉसियन चतुर्भुज के रूप में संख्यात्मक रूप से पूर्णांकों की गणना करने के लिए किया जाता है
∫ 0 ∞ f ( x ) e − x d x . {\displaystyle \int _{0}^{\infty }f(x)e^{-x}\,dx.}
ये बहुपद, आमतौर पर निरूपित होते हैं
L 0 ,
L 1 , …, एक
बहुपद अनुक्रम है जिसे रोड्रिग्स सूत्र#रॉड्रिक्स सूत्र द्वारा परिभाषित किया जा सकता है,
L n ( x ) = e x n ! d n d x n ( e − x x n ) = 1 n ! ( d d x − 1 ) n x n , {\displaystyle L_{n}(x)={\frac {e^{x}}{n!}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\left(e^{-x}x^{n}\right)={\frac {1}{n!}}\left({\frac {d}{dx}}-1\right)^{n}x^{n},}
निम्नलिखित खंड के बंद रूप को कम करना।
वे एक आंतरिक उत्पाद के संबंध में ओर्थोगोनल बहुपद हैं
⟨ f , g ⟩ = ∫ 0 ∞ f ( x ) g ( x ) e − x d x . {\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{0}^{\infty }f(x)g(x)e^{-x}\,dx.}
लैगुएरे बहुपदों का क्रम
n ! Ln एक शेफ़र अनुक्रम है,
d d x L n = ( d d x − 1 ) L n − 1 . {\displaystyle {\frac {d}{dx}}L_{n}=\left({\frac {d}{dx}}-1\right)L_{n-1}.}
कॉम्बिनेटरिक्स में किश्ती बहुपद कमोबेश लैगुएरे बहुपद के समान हैं, चर के प्राथमिक परिवर्तन तक। आगे ट्रिकोमी-कार्लिट्ज़ बहुपद देखें।
एक-इलेक्ट्रॉन परमाणु के लिए श्रोडिंगर समीकरण के समाधान के रेडियल भाग में लैगुएरे बहुपद क्वांटम यांत्रिकी में उत्पन्न होते हैं। वे फेज स्पेस फॉर्म्युलेशन # सिंपल हार्मोनिक ऑसिलेटर में ऑसिलेटर सिस्टम के स्टैटिक विग्नर फंक्शन्स का भी वर्णन करते हैं। वे आगे मोर्स क्षमता और क्वांटम हार्मोनिक ऑसिलेटर # उदाहरण के क्वांटम यांत्रिकी में प्रवेश करते हैं: 3 डी आइसोट्रोपिक हार्मोनिक ऑसिलेटर।
भौतिक विज्ञानी कभी-कभी लैगुएरे बहुपदों के लिए एक परिभाषा का उपयोग करते हैं जो n! के गुणक द्वारा यहां उपयोग की गई परिभाषा से बड़ी होती है। (इसी तरह, कुछ भौतिक विज्ञानी तथाकथित संबंधित लैगुएरे बहुपदों की कुछ भिन्न परिभाषाओं का उपयोग कर सकते हैं।)
पहले कुछ बहुपद ये पहले कुछ लैगुएरे बहुपद हैं:
n
L n ( x ) {\displaystyle L_{n}(x)\,}
0
1 {\displaystyle 1\,}
1
− x + 1 {\displaystyle -x+1\,}
2
1 2 ( x 2 − 4 x + 2 ) {\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(x^{2}-4x+2)\,}
3
1 6 ( − x 3 + 9 x 2 − 18 x + 6 ) {\displaystyle {\tfrac {1}{6}}(-x^{3}+9x^{2}-18x+6)\,}
4
1 24 ( x 4 − 16 x 3 + 72 x 2 − 96 x + 24 ) {\displaystyle {\tfrac {1}{24}}(x^{4}-16x^{3}+72x^{2}-96x+24)\,}
5
1 120 ( − x 5 + 25 x 4 − 200 x 3 + 600 x 2 − 600 x + 120 ) {\displaystyle {\tfrac {1}{120}}(-x^{5}+25x^{4}-200x^{3}+600x^{2}-600x+120)\,}
6
1 720 ( x 6 − 36 x 5 + 450 x 4 − 2400 x 3 + 5400 x 2 − 4320 x + 720 ) {\displaystyle {\tfrac {1}{720}}(x^{6}-36x^{5}+450x^{4}-2400x^{3}+5400x^{2}-4320x+720)\,}
n
1 n ! ( ( − x ) n + n 2 ( − x ) n − 1 + ⋯ + n ( n ! ) ( − x ) + n ! ) {\displaystyle {\tfrac {1}{n!}}((-x)^{n}+n^{2}(-x)^{n-1}+\dots +n({n!})(-x)+n!)\,}
रिकर्सिव डेफिनिशन, क्लोज्ड फॉर्म और जनरेटिंग फंक्शन पहले दो बहुपदों को परिभाषित करते हुए लैगुएरे बहुपदों को पुनरावर्ती रूप से भी परिभाषित किया जा सकता है
L 0 ( x ) = 1 {\displaystyle L_{0}(x)=1} L 1 ( x ) = 1 − x {\displaystyle L_{1}(x)=1-x}
और फिर किसी भी के लिए निम्नलिखित ओर्थोगोनल बहुपद#पुनरावृत्ति संबंधों का उपयोग करना
k ≥ 1:
L k + 1 ( x ) = ( 2 k + 1 − x ) L k ( x ) − k L k − 1 ( x ) k + 1 . {\displaystyle L_{k+1}(x)={\frac {(2k+1-x)L_{k}(x)-kL_{k-1}(x)}{k+1}}.}
आगे,
x L n ′ ( x ) = n L n ( x ) − n L n − 1 ( x ) . {\displaystyle xL'_{n}(x)=nL_{n}(x)-nL_{n-1}(x).}
कुछ सीमा मान समस्याओं के समाधान में, विशेषता मान उपयोगी हो सकते हैं:
L k ( 0 ) = 1 , L k ′ ( 0 ) = − k . {\displaystyle L_{k}(0)=1,L_{k}'(0)=-k.}
बंद रूप है
L n ( x ) = ∑ k = 0 n ( n k ) ( − 1 ) k k ! x k . {\displaystyle L_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}{\frac {(-1)^{k}}{k!}}x^{k}.}
उनके लिए
जनरेटिंग फ़ंक्शन भी इसी प्रकार है,
∑ n = 0 ∞ t n L n ( x ) = 1 1 − t e − t x / ( 1 − t ) . {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }t^{n}L_{n}(x)={\frac {1}{1-t}}e^{-tx/(1-t)}.} नकारात्मक सूचकांक के बहुपदों को सकारात्मक सूचकांक वाले लोगों का उपयोग करके व्यक्त किया जा सकता है:
L − n ( x ) = e x L n − 1 ( − x ) . {\displaystyle L_{-n}(x)=e^{x}L_{n-1}(-x).}
बाइनरी फ़ंक्शंस से संबंध बाइनरी विस्तार से संबंधित कार्यों का उपयोग करके लैगुएरे बहुपदों को सेट करने की एक विधि है n {\displaystyle n}
L n ( x ) = x n n ! b ( 4 n − 1 3 , x ) . {\displaystyle L_{n}(x)={\frac {x^{n}}{n!}}b({\frac {4^{n}-1}{3}},x).}
यहाँ
b ( n , x ) = 1 x b ( n − 2 f ( n ) 2 , x ) + ( − 1 ) n b ( ⌊ 2 n − 2 f ( n ) 2 ⌋ , x ) . {\displaystyle b(n,x)={\frac {1}{x}}b({\frac {n-2^{f(n)}}{2}},x)+(-1)^{n}b(\left\lfloor {\frac {2n-2^{f(n)}}{2}}\right\rfloor ,x).}
साथ
b ( 0 , x ) = 1 {\displaystyle b(0,x)=1} .
भी
f ( 2 n + 1 ) = 0 , f ( 2 n ) = f ( n ) + 1. {\displaystyle f(2n+1)=0,f(2n)=f(n)+1.}
यहाँ
f ( n ) {\displaystyle f(n)} है
A007814 और
b ( n ) {\displaystyle b(n)} का सामान्यीकरण है
A347204 .
सामान्यीकृत लैगुएरे बहुपद मनमाना वास्तविक α के लिए अंतर समीकरण के बहुपद समाधान[2]
x y ″ + ( α + 1 − x ) y ′ + n y = 0 {\displaystyle x\,y''+\left(\alpha +1-x\right)y'+n\,y=0}
सामान्यीकृत लैगुएरे बहुपद कहलाते हैं, या संबंधित लैगुएरे बहुपद कहलाते हैं।
पहले दो बहुपदों को परिभाषित करते हुए सामान्यीकृत लेगुएरे बहुपदों को पुनरावर्ती रूप से भी परिभाषित किया जा सकता है
L 0 ( α ) ( x ) = 1 {\displaystyle L_{0}^{(\alpha )}(x)=1} L 1 ( α ) ( x ) = 1 + α − x {\displaystyle L_{1}^{(\alpha )}(x)=1+\alpha -x}
और फिर किसी भी के लिए निम्नलिखित ओर्थोगोनल बहुपद#पुनरावृत्ति संबंधों का उपयोग करना
k ≥ 1:
L k + 1 ( α ) ( x ) = ( 2 k + 1 + α − x ) L k ( α ) ( x ) − ( k + α ) L k − 1 ( α ) ( x ) k + 1 . {\displaystyle L_{k+1}^{(\alpha )}(x)={\frac {(2k+1+\alpha -x)L_{k}^{(\alpha )}(x)-(k+\alpha )L_{k-1}^{(\alpha )}(x)}{k+1}}.}
सरल लैगुएरे बहुपद विशेष मामले हैं
α = 0 सामान्यीकृत लैगुएरे बहुपद:
L n ( 0 ) ( x ) = L n ( x ) . {\displaystyle L_{n}^{(0)}(x)=L_{n}(x).}
उनके लिए रोड्रिग्स सूत्र है
L n ( α ) ( x ) = x − α e x n ! d n d x n ( e − x x n + α ) = x − α n ! ( d d x − 1 ) n x n + α . {\displaystyle L_{n}^{(\alpha )}(x)={x^{-\alpha }e^{x} \over n!}{d^{n} \over dx^{n}}\left(e^{-x}x^{n+\alpha }\right)={\frac {x^{-\alpha }}{n!}}\left({\frac {d}{dx}}-1\right)^{n}x^{n+\alpha }.}
उनके लिए जनरेटिंग फंक्शन है
∑ n = 0 ∞ t n L n ( α ) ( x ) = 1 ( 1 − t ) α + 1 e − t x / ( 1 − t ) . {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }t^{n}L_{n}^{(\alpha )}(x)={\frac {1}{(1-t)^{\alpha +1}}}e^{-tx/(1-t)}.} === सामान्यीकृत लैगुएरे बहुपद === के स्पष्ट उदाहरण और गुण
लैगुएरे फ़ंक्शंस को संगम हाइपरज्यामितीय समारोह और कुमेर के परिवर्तन के रूप में परिभाषित किया गया है[3] L n ( α ) ( x ) := ( n + α n ) M ( − n , α + 1 , x ) . {\displaystyle L_{n}^{(\alpha )}(x):={n+\alpha \choose n}M(-n,\alpha +1,x).} ( n + α n ) {\textstyle {n+\alpha \choose n}} द्विपद गुणांक है। कब n एक पूर्णांक है जो फ़ंक्शन डिग्री के बहुपद तक कम हो जाता है n . इसकी वैकल्पिक अभिव्यक्ति है[4] L n ( α ) ( x ) = ( − 1 ) n n ! U ( − n , α + 1 , x ) {\displaystyle L_{n}^{(\alpha )}(x)={\frac {(-1)^{n}}{n!}}U(-n,\alpha +1,x)}
डिग्री के इन सामान्यीकृत लैगुएरे बहुपदों के लिए बंद रूप n है[5] L n ( α ) ( x ) = ∑ i = 0 n ( − 1 ) i ( n + α n − i ) x i i ! {\displaystyle L_{n}^{(\alpha )}(x)=\sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}{n+\alpha \choose n-i}{\frac {x^{i}}{i!}}}
लैगुएरे बहुपदों में एक विभेदक संकारक प्रतिनिधित्व होता है, जो बहुत निकट से संबंधित हर्मिट बहुपदों की तरह होता है। अर्थात्, चलो D = d d x {\displaystyle D={\frac {d}{dx}}} M = q x D 2 + ( α + 1 ) D {\displaystyle M=qxD^{2}+(\alpha +1)D} exp ( − t M ) x n = ( − 1 ) n q n t n n ! L n ( α ) ( x q t ) {\displaystyle \exp(-tM)x^{n}=(-1)^{n}q^{n}t^{n}n!L_{n}^{(\alpha )}\left({\frac {x}{qt}}\right)}
पहले कुछ सामान्यीकृत लागुएरे बहुपद हैं: L 0 ( α ) ( x ) = 1 L 1 ( α ) ( x ) = − x + ( α + 1 ) L 2 ( α ) ( x ) = x 2 2 − ( α + 2 ) x + ( α + 1 ) ( α + 2 ) 2 L 3 ( α ) ( x ) = − x 3 6 + ( α + 3 ) x 2 2 − ( α + 2 ) ( α + 3 ) x 2 + ( α + 1 ) ( α + 2 ) ( α + 3 ) 6 {\displaystyle {\begin{aligned}L_{0}^{(\alpha )}(x)&=1\\L_{1}^{(\alpha )}(x)&=-x+(\alpha +1)\\L_{2}^{(\alpha )}(x)&={\frac {x^{2}}{2}}-(\alpha +2)x+{\frac {(\alpha +1)(\alpha +2)}{2}}\\L_{3}^{(\alpha )}(x)&={\frac {-x^{3}}{6}}+{\frac {(\alpha +3)x^{2}}{2}}-{\frac {(\alpha +2)(\alpha +3)x}{2}}+{\frac {(\alpha +1)(\alpha +2)(\alpha +3)}{6}}\end{aligned}}}
अग्रणी पद का गुणांक है (−1)n n ! ;
स्थिर पद, जिसका मान 0 है, है L n ( α ) ( 0 ) = ( n + α n ) = Γ ( n + α + 1 ) n ! Γ ( α + 1 ) ; {\displaystyle L_{n}^{(\alpha )}(0)={n+\alpha \choose n}={\frac {\Gamma (n+\alpha +1)}{n!\,\Gamma (\alpha +1)}};}
अगर α n (α) में n वास्तविक संख्या है, एक फ़ंक्शन का सख्ती से सकारात्मक रूट (ध्यान दें कि ( ( − 1 ) n − i L n − i ( α ) ) i = 0 n {\displaystyle \left((-1)^{n-i}L_{n-i}^{(\alpha )}\right)_{i=0}^{n}} अंतराल (गणित) में हैं ( 0 , n + α + ( n − 1 ) n + α ] . {\displaystyle \left(0,n+\alpha +(n-1){\sqrt {n+\alpha }}\,\right].} [citation needed
बड़े के लिए बहुपदों का स्पर्शोन्मुख व्यवहार n , लेकिन तय है α और x > 0[6] [7] L n ( α ) ( x ) = n α 2 − 1 4 π e x 2 x α 2 + 1 4 sin ( 2 n x − π 2 ( α − 1 2 ) ) + O ( n α 2 − 3 4 ) , L n ( α ) ( − x ) = ( n + 1 ) α 2 − 1 4 2 π e − x / 2 x α 2 + 1 4 e 2 x ( n + 1 ) ⋅ ( 1 + O ( 1 n + 1 ) ) , {\displaystyle {\begin{aligned}&L_{n}^{(\alpha )}(x)={\frac {n^{{\frac {\alpha }{2}}-{\frac {1}{4}}}}{\sqrt {\pi }}}{\frac {e^{\frac {x}{2}}}{x^{{\frac {\alpha }{2}}+{\frac {1}{4}}}}}\sin \left(2{\sqrt {nx}}-{\frac {\pi }{2}}\left(\alpha -{\frac {1}{2}}\right)\right)+O\left(n^{{\frac {\alpha }{2}}-{\frac {3}{4}}}\right),\\[6pt]&L_{n}^{(\alpha )}(-x)={\frac {(n+1)^{{\frac {\alpha }{2}}-{\frac {1}{4}}}}{2{\sqrt {\pi }}}}{\frac {e^{-x/2}}{x^{{\frac {\alpha }{2}}+{\frac {1}{4}}}}}e^{2{\sqrt {x(n+1)}}}\cdot \left(1+O\left({\frac {1}{\sqrt {n+1}}}\right)\right),\end{aligned}}} L n ( α ) ( x n ) n α ≈ e x / 2 n ⋅ J α ( 2 x ) x α , {\displaystyle {\frac {L_{n}^{(\alpha )}\left({\frac {x}{n}}\right)}{n^{\alpha }}}\approx e^{x/2n}\cdot {\frac {J_{\alpha }\left(2{\sqrt {x}}\right)}{{\sqrt {x}}^{\alpha }}},} J α {\displaystyle J_{\alpha }} === एक समोच्च अभिन्न === के रूप में
ऊपर निर्दिष्ट जनरेटिंग फ़ंक्शन को देखते हुए, बहुपदों को समोच्च अभिन्न के रूप में व्यक्त किया जा सकता है
L n ( α ) ( x ) = 1 2 π i ∮ C e − x t / ( 1 − t ) ( 1 − t ) α + 1 t n + 1 d t , {\displaystyle L_{n}^{(\alpha )}(x)={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}{\frac {e^{-xt/(1-t)}}{(1-t)^{\alpha +1}\,t^{n+1}}}\;dt,}
जहां समोच्च 1 पर आवश्यक विलक्षणता को बंद किए बिना एक वामावर्त दिशा में एक बार मूल को घेरता है
पुनरावृत्ति संबंध लागुएरे बहुपदों के लिए अतिरिक्त सूत्र:[8]
L n ( α + β + 1 ) ( x + y ) = ∑ i = 0 n L i ( α ) ( x ) L n − i ( β ) ( y ) . {\displaystyle L_{n}^{(\alpha +\beta +1)}(x+y)=\sum _{i=0}^{n}L_{i}^{(\alpha )}(x)L_{n-i}^{(\beta )}(y).}
लैगुएरे के बहुपद पुनरावर्तन संबंधों को संतुष्ट करते हैं
L n ( α ) ( x ) = ∑ i = 0 n L n − i ( α + i ) ( y ) ( y − x ) i i ! , {\displaystyle L_{n}^{(\alpha )}(x)=\sum _{i=0}^{n}L_{n-i}^{(\alpha +i)}(y){\frac {(y-x)^{i}}{i!}},}
विशेष रूप से
L n ( α + 1 ) ( x ) = ∑ i = 0 n L i ( α ) ( x ) {\displaystyle L_{n}^{(\alpha +1)}(x)=\sum _{i=0}^{n}L_{i}^{(\alpha )}(x)}
और
L n ( α ) ( x ) = ∑ i = 0 n ( α − β + n − i − 1 n − i ) L i ( β ) ( x ) , {\displaystyle L_{n}^{(\alpha )}(x)=\sum _{i=0}^{n}{\alpha -\beta +n-i-1 \choose n-i}L_{i}^{(\beta )}(x),}
या
L n ( α ) ( x ) = ∑ i = 0 n ( α − β + n n − i ) L i ( β − i ) ( x ) ; {\displaystyle L_{n}^{(\alpha )}(x)=\sum _{i=0}^{n}{\alpha -\beta +n \choose n-i}L_{i}^{(\beta -i)}(x);}
इसके अतिरिक्त
L n ( α ) ( x ) − ∑ j = 0 Δ − 1 ( n + α n − j ) ( − 1 ) j x j j ! = ( − 1 ) Δ x Δ ( Δ − 1 ) ! ∑ i = 0 n − Δ ( n + α n − Δ − i ) ( n − i ) ( n i ) L i ( α + Δ ) ( x ) = ( − 1 ) Δ x Δ ( Δ − 1 ) ! ∑ i = 0 n − Δ ( n + α − i − 1 n − Δ − i ) ( n − i ) ( n i ) L i ( n + α + Δ − i ) ( x ) {\displaystyle {\begin{aligned}L_{n}^{(\alpha )}(x)-\sum _{j=0}^{\Delta -1}{n+\alpha \choose n-j}(-1)^{j}{\frac {x^{j}}{j!}}&=(-1)^{\Delta }{\frac {x^{\Delta }}{(\Delta -1)!}}\sum _{i=0}^{n-\Delta }{\frac {n+\alpha \choose n-\Delta -i}{(n-i){n \choose i}}}L_{i}^{(\alpha +\Delta )}(x)\\[6pt]&=(-1)^{\Delta }{\frac {x^{\Delta }}{(\Delta -1)!}}\sum _{i=0}^{n-\Delta }{\frac {n+\alpha -i-1 \choose n-\Delta -i}{(n-i){n \choose i}}}L_{i}^{(n+\alpha +\Delta -i)}(x)\end{aligned}}}
उनका उपयोग चार 3-बिंदु-नियमों को प्राप्त करने के लिए किया जा सकता है
L n ( α ) ( x ) = L n ( α + 1 ) ( x ) − L n − 1 ( α + 1 ) ( x ) = ∑ j = 0 k ( k j ) L n − j ( α + k ) ( x ) , n L n ( α ) ( x ) = ( n + α ) L n − 1 ( α ) ( x ) − x L n − 1 ( α + 1 ) ( x ) , or x k k ! L n ( α ) ( x ) = ∑ i = 0 k ( − 1 ) i ( n + i i ) ( n + α k − i ) L n + i ( α − k ) ( x ) , n L n ( α + 1 ) ( x ) = ( n − x ) L n − 1 ( α + 1 ) ( x ) + ( n + α )
संयुक्त रूप से वे इसे अतिरिक्त, उपयोगी पुनरावर्तन संबंध देते हैं
L n ( α ) ( x ) = ( 2 + α − 1 − x n ) L n − 1 ( α ) ( x ) − ( 1 + α − 1 n ) L n − 2 ( α ) ( x ) = α + 1 − x n L n − 1 ( α + 1 ) ( x ) − x n L n − 2 ( α + 2 ) ( x ) {\displaystyle {\begin{aligned}L_{n}^{(\alpha )}(x)&=\left(2+{\frac {\alpha -1-x}{n}}\right)L_{n-1}^{(\alpha )}(x)-\left(1+{\frac {\alpha -1}{n}}\right)L_{n-2}^{(\alpha )}(x)\\[10pt]&={\frac {\alpha +1-x}{n}}L_{n-1}^{(\alpha +1)}(x)-{\frac {x}{n}}L_{n-2}^{(\alpha +2)}(x)\end{aligned}}}
तब से
L n ( α ) ( x ) {\displaystyle L_{n}^{(\alpha )}(x)} डिग्री का एक मोनिक बहुपद है
n {\displaystyle n} में
α {\displaystyle \alpha } ,
आंशिक अंश अपघटन है
n ! L n ( α ) ( x ) ( α + 1 ) n = 1 − ∑ j = 1 n ( − 1 ) j j α + j ( n j ) L n ( − j ) ( x ) = 1 − ∑ j = 1 n x j α + j L n − j ( j ) ( x ) ( j − 1 ) ! = 1 − x ∑ i = 1 n L n − i ( − α ) ( x ) L i − 1 ( α + 1 ) ( − x ) α + i . {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {n!\,L_{n}^{(\alpha )}(x)}{(\alpha +1)_{n}}}&=1-\sum _{j=1}^{n}(-1)^{j}{\frac {j}{\alpha +j}}{n \choose j}L_{n}^{(-j)}(x)\\&=1-\sum _{j=1}^{n}{\frac {x^{j}}{\alpha +j}}\,\,{\frac {L_{n-j}^{(j)}(x)}{(j-1)!}}\\&=1-x\sum _{i=1}^{n}{\frac {L_{n-i}^{(-\alpha )}(x)L_{i-1}^{(\alpha +1)}(-x)}{\alpha +i}}.\end{aligned}}}
दूसरी समानता निम्नलिखित पहचान द्वारा अनुसरण करती है, जो पूर्णांक i और के लिए मान्य है
n और की अभिव्यक्ति से तत्काल
L n ( α ) ( x ) {\displaystyle L_{n}^{(\alpha )}(x)} चार्लीयर बहुपद ों के संदर्भ में:
( − x ) i i ! L n ( i − n ) ( x ) = ( − x ) n n ! L i ( n − i ) ( x ) . {\displaystyle {\frac {(-x)^{i}}{i!}}L_{n}^{(i-n)}(x)={\frac {(-x)^{n}}{n!}}L_{i}^{(n-i)}(x).}
तीसरी समानता के लिए इस खंड की चौथी और पाँचवीं सर्वसमिकाएँ लागू करें।
सामान्यीकृत लैगुएरे बहुपदों के डेरिवेटिव्स एक सामान्यीकृत लैगुएरे बहुपद के घात श्रेणी निरूपण में अंतर करना k बार की ओर जाता है
d k d x k L n ( α ) ( x ) = { ( − 1 ) k L n − k ( α + k ) ( x ) if k ≤ n , 0 otherwise. {\displaystyle {\frac {d^{k}}{dx^{k}}}L_{n}^{(\alpha )}(x)={\begin{cases}(-1)^{k}L_{n-k}^{(\alpha +k)}(x)&{\text{if }}k\leq n,\\0&{\text{otherwise.}}\end{cases}}}
यह एक विशेष मामले की ओर इशारा करता है (
α = 0) उपरोक्त सूत्र का: पूर्णांक के लिए
α = k सामान्यीकृत बहुपद लिखा जा सकता है
L n ( k ) ( x ) = ( − 1 ) k d k L n + k ( x ) d x k , {\displaystyle L_{n}^{(k)}(x)=(-1)^{k}{\frac {d^{k}L_{n+k}(x)}{dx^{k}}},}
द्वारा पारी
k कभी-कभी व्युत्पन्न के लिए सामान्य कोष्ठक संकेतन के साथ भ्रम पैदा करता है।
इसके अलावा, निम्नलिखित समीकरण रखती है:
1 k ! d k d x k x α L n ( α ) ( x ) = ( n + α k ) x α − k L n ( α − k ) ( x ) , {\displaystyle {\frac {1}{k!}}{\frac {d^{k}}{dx^{k}}}x^{\alpha }L_{n}^{(\alpha )}(x)={n+\alpha \choose k}x^{\alpha -k}L_{n}^{(\alpha -k)}(x),}
जो एंटीडेरिवेटिव#एकीकरण की तकनीक|कॉची के सूत्र के साथ सामान्यीकरण करता है
L n ( α ′ ) ( x ) = ( α ′ − α ) ( α ′ + n α ′ − α ) ∫ 0 x t α ( x − t ) α ′ − α − 1 x α ′ L n ( α ) ( t ) d t . {\displaystyle L_{n}^{(\alpha ')}(x)=(\alpha '-\alpha ){\alpha '+n \choose \alpha '-\alpha }\int _{0}^{x}{\frac {t^{\alpha }(x-t)^{\alpha '-\alpha -1}}{x^{\alpha '}}}L_{n}^{(\alpha )}(t)\,dt.}
दूसरे चर के संबंध में व्युत्पन्न
α का रूप है,
[9] d d α L n ( α ) ( x ) = ∑ i = 0 n − 1 L i ( α ) ( x ) n − i . {\displaystyle {\frac {d}{d\alpha }}L_{n}^{(\alpha )}(x)=\sum _{i=0}^{n-1}{\frac {L_{i}^{(\alpha )}(x)}{n-i}}.}
यह नीचे समोच्च अभिन्न प्रतिनिधित्व से स्पष्ट है।
सामान्यीकृत लैगुएरे बहुपद अवकल समीकरण का पालन करते हैं
x L n ( α ) ′ ′ ( x ) + ( α + 1 − x ) L n ( α ) ′ ( x ) + n L n ( α ) ( x ) = 0 , {\displaystyle xL_{n}^{(\alpha )\prime \prime }(x)+(\alpha +1-x)L_{n}^{(\alpha )\prime }(x)+nL_{n}^{(\alpha )}(x)=0,}
जिसकी तुलना सामान्य लैगुएरे बहुपद के k वें व्युत्पन्न द्वारा पालन किए गए समीकरण से की जा सकती है,
x L n [ k ] ′ ′ ( x ) + ( k + 1 − x ) L n [ k ] ′ ( x ) + ( n − k ) L n [ k ] ( x ) = 0 , {\displaystyle xL_{n}^{[k]\prime \prime }(x)+(k+1-x)L_{n}^{[k]\prime }(x)+(n-k)L_{n}^{[k]}(x)=0,}
कहाँ
L n [ k ] ( x ) ≡ d k L n ( x ) d x k {\displaystyle L_{n}^{[k]}(x)\equiv {\frac {d^{k}L_{n}(x)}{dx^{k}}}} केवल इस समीकरण के लिए।
Sturm-Liouville सिद्धांत में|Sturm-Liouville फॉर्म का डिफरेंशियल इक्वेशन है
− ( x α + 1 e − x ⋅ L n ( α ) ( x ) ′ ) ′ = n ⋅ x α e − x ⋅ L n ( α ) ( x ) , {\displaystyle -\left(x^{\alpha +1}e^{-x}\cdot L_{n}^{(\alpha )}(x)^{\prime }\right)'=n\cdot x^{\alpha }e^{-x}\cdot L_{n}^{(\alpha )}(x),}
जो दर्शाता है
L (α) n eigenvalue के लिए एक eigenvector है
n .
सामान्यीकृत Laguerre बहुपद ओर्थोगोनल ओवर हैं [0, ∞) भार समारोह के साथ माप के संबंध में xα e −x [10]
∫ 0 ∞ x α e − x L n ( α ) ( x ) L m ( α ) ( x ) d x = Γ ( n + α + 1 ) n ! δ n , m , {\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{\alpha }e^{-x}L_{n}^{(\alpha )}(x)L_{m}^{(\alpha )}(x)dx={\frac {\Gamma (n+\alpha +1)}{n!}}\delta _{n,m},}
जो इस प्रकार है
∫ 0 ∞ x α ′ − 1 e − x L n ( α ) ( x ) d x = ( α − α ′ + n n ) Γ ( α ′ ) . {\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{\alpha '-1}e^{-x}L_{n}^{(\alpha )}(x)dx={\alpha -\alpha '+n \choose n}\Gamma (\alpha ').}
अगर
Γ ( x , α + 1 , 1 ) {\displaystyle \Gamma (x,\alpha +1,1)} गामा वितरण को दर्शाता है तो ऑर्थोगोनलिटी रिलेशन को इस रूप में लिखा जा सकता है
∫ 0 ∞ L n ( α ) ( x ) L m ( α ) ( x ) Γ ( x , α + 1 , 1 ) d x = ( n + α n ) δ n , m , {\displaystyle \int _{0}^{\infty }L_{n}^{(\alpha )}(x)L_{m}^{(\alpha )}(x)\Gamma (x,\alpha +1,1)dx={n+\alpha \choose n}\delta _{n,m},}
संबंधित, सममित कर्नेल बहुपद का प्रतिनिधित्व है (क्रिस्टोफ़ेल-डार्बौक्स सूत्र)
[citation needed
K n ( α ) ( x , y ) := 1 Γ ( α + 1 ) ∑ i = 0 n L i ( α ) ( x ) L i ( α ) ( y ) ( α + i i ) = 1 Γ ( α + 1 ) L n ( α ) ( x ) L n + 1 ( α ) ( y ) − L n + 1 ( α ) ( x ) L n ( α ) ( y ) x − y n + 1 ( n + α n ) = 1 Γ ( α + 1 ) ∑ i = 0 n x i i ! L n − i ( α + i ) ( x ) L n − i ( α + i + 1 ) ( y ) ( α + n n ) ( n i ) ; {\displaystyle {\begin{aligned}K_{n}^{(\alpha )}(x,y)&:={\frac {1}{\Gamma (\alpha +1)}}\sum _{i=0}^{n}{\frac {L_{i}^{(\alpha )}(x)L_{i}^{(\alpha )}(y)}{\alpha +i \choose i}}\\[4pt]&={\frac {1}{\Gamma (\alpha +1)}}{\frac {L_{n}^{(\alpha )}(x)L_{n+1}^{(\alpha )}(y)-L_{n+1}^{(\alpha )}(x)L_{n}^{(\alpha )}(y)}{{\frac {x-y}{n+1}}{n+\alpha \choose n}}}\\[4pt]&={\frac {1}{\Gamma (\alpha +1)}}\sum _{i=0}^{n}{\frac {x^{i}}{i!}}{\frac {L_{n-i}^{(\alpha +i)}(x)L_{n-i}^{(\alpha +i+1)}(y)}{{\alpha +n \choose n}{n \choose i}}};\end{aligned}}}
रिकर्सिवली
K n ( α ) ( x , y ) = y α + 1 K n − 1 ( α + 1 ) ( x , y ) + 1 Γ ( α + 1 ) L n ( α + 1 ) ( x ) L n ( α ) ( y ) ( α + n n ) . {\displaystyle K_{n}^{(\alpha )}(x,y)={\frac {y}{\alpha +1}}K_{n-1}^{(\alpha +1)}(x,y)+{\frac {1}{\Gamma (\alpha +1)}}{\frac {L_{n}^{(\alpha +1)}(x)L_{n}^{(\alpha )}(y)}{\alpha +n \choose n}}.}
इसके अतिरिक्त,
[clarification needed
y α e − y K n ( α ) ( ⋅ , y ) → δ ( y − ⋅ ) . {\displaystyle y^{\alpha }e^{-y}K_{n}^{(\alpha )}(\cdot ,y)\to \delta (y-\cdot ).}
तुरान की असमानताएँ यहाँ प्राप्त की जा सकती हैं, जो कि है
L n ( α ) ( x ) 2 − L n − 1 ( α ) ( x ) L n + 1 ( α ) ( x ) = ∑ k = 0 n − 1 ( α + n − 1 n − k ) n ( n k ) L k ( α − 1 ) ( x ) 2 > 0. {\displaystyle L_{n}^{(\alpha )}(x)^{2}-L_{n-1}^{(\alpha )}(x)L_{n+1}^{(\alpha )}(x)=\sum _{k=0}^{n-1}{\frac {\alpha +n-1 \choose n-k}{n{n \choose k}}}L_{k}^{(\alpha -1)}(x)^{2}>0.}
हाइड्रोजन परमाणु # वेवफंक्शन के
क्वांटम यांत्रिकी उपचार में निम्नलिखित
अभिन्न की आवश्यकता है,
∫ 0 ∞ x α + 1 e − x [ L n ( α ) ( x ) ] 2 d x = ( n + α ) ! n ! ( 2 n + α + 1 ) . {\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{\alpha +1}e^{-x}\left[L_{n}^{(\alpha )}(x)\right]^{2}dx={\frac {(n+\alpha )!}{n!}}(2n+\alpha +1).}
श्रृंखला विस्तार एक समारोह में (औपचारिक) श्रृंखला विस्तार होने दें
f ( x ) = ∑ i = 0 ∞ f i ( α ) L i ( α ) ( x ) . {\displaystyle f(x)=\sum _{i=0}^{\infty }f_{i}^{(\alpha )}L_{i}^{(\alpha )}(x).}
तब
f i ( α ) = ∫ 0 ∞ L i ( α ) ( x ) ( i + α i ) ⋅ x α e − x Γ ( α + 1 ) ⋅ f ( x ) d x . {\displaystyle f_{i}^{(\alpha )}=\int _{0}^{\infty }{\frac {L_{i}^{(\alpha )}(x)}{i+\alpha \choose i}}\cdot {\frac {x^{\alpha }e^{-x}}{\Gamma (\alpha +1)}}\cdot f(x)\,dx.}
श्रृंखला संबद्ध
हिल्बर्ट अंतरिक्ष में अभिसरित होती है
L 2 [0, ∞)अगर और केवल अगर
‖ f ‖ L 2 2 := ∫ 0 ∞ x α e − x Γ ( α + 1 ) | f ( x ) | 2 d x = ∑ i = 0 ∞ ( i + α i ) | f i ( α ) | 2 < ∞ . {\displaystyle \|f\|_{L^{2}}^{2}:=\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{\alpha }e^{-x}}{\Gamma (\alpha +1)}}|f(x)|^{2}\,dx=\sum _{i=0}^{\infty }{i+\alpha \choose i}|f_{i}^{(\alpha )}|^{2}<\infty .}
विस्तार के और उदाहरण एकपदीय के रूप में प्रतिनिधित्व किया जाता है
x n n ! = ∑ i = 0 n ( − 1 ) i ( n + α n − i ) L i ( α ) ( x ) , {\displaystyle {\frac {x^{n}}{n!}}=\sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}{n+\alpha \choose n-i}L_{i}^{(\alpha )}(x),}
जबकि द्विपद गुणांक में पैरामीट्रिजेशन होता है
( n + x n ) = ∑ i = 0 n α i i ! L n − i ( x + i ) ( α ) . {\displaystyle {n+x \choose n}=\sum _{i=0}^{n}{\frac {\alpha ^{i}}{i!}}L_{n-i}^{(x+i)}(\alpha ).}
यह सीधे की ओर जाता है
e − γ x = ∑ i = 0 ∞ γ i ( 1 + γ ) i + α + 1 L i ( α ) ( x ) convergent iff ℜ ( γ ) > − 1 2 {\displaystyle e^{-\gamma x}=\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {\gamma ^{i}}{(1+\gamma )^{i+\alpha +1}}}L_{i}^{(\alpha )}(x)\qquad {\text{convergent iff }}\Re (\gamma )>-{\tfrac {1}{2}}}
घातीय समारोह के लिए। अपूर्ण गामा फ़ंक्शन का प्रतिनिधित्व होता है
Γ ( α , x ) = x α e − x ∑ i = 0 ∞ L i ( α ) ( x ) 1 + i ( ℜ ( α ) > − 1 , x > 0 ) . {\displaystyle \Gamma (\alpha ,x)=x^{\alpha }e^{-x}\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {L_{i}^{(\alpha )}(x)}{1+i}}\qquad \left(\Re (\alpha )>-1,x>0\right).}
क्वांटम यांत्रिकी में क्वांटम यांत्रिकी में हाइड्रोजन जैसे परमाणु के लिए श्रोडिंगर समीकरण गोलाकार निर्देशांक में चरों को अलग करके बिल्कुल हल करने योग्य है। वेव फ़ंक्शन का रेडियल भाग एक (सामान्यीकृत) लैगुएरे बहुपद है।[11] [12]
आर्थर एर्डेली|एर्डेली निम्नलिखित दो गुणन प्रमेय देते हैं [13]
t n + 1 + α e ( 1 − t ) z L n ( α ) ( z t ) = ∑ k = n ∞ ( k n ) ( 1 − 1 t ) k − n L k ( α ) ( z ) , e ( 1 − t ) z L n ( α ) ( z t ) = ∑ k = 0 ∞ ( 1 − t ) k z k k ! L n ( α + k ) ( z ) . {\displaystyle {\begin{aligned}&t^{n+1+\alpha }e^{(1-t)z}L_{n}^{(\alpha )}(zt)=\sum _{k=n}^{\infty }{k \choose n}\left(1-{\frac {1}{t}}\right)^{k-n}L_{k}^{(\alpha )}(z),\\[6pt]&e^{(1-t)z}L_{n}^{(\alpha )}(zt)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(1-t)^{k}z^{k}}{k!}}L_{n}^{(\alpha +k)}(z).\end{aligned}}}
हर्मिट बहुपदों से संबंध सामान्यीकृत लैगुएरे बहुपद हर्मिट बहुपदों से संबंधित हैं:
H 2 n ( x ) = ( − 1 ) n 2 2 n n ! L n ( − 1 / 2 ) ( x 2 ) H 2 n + 1 ( x ) = ( − 1 ) n 2 2 n + 1 n ! x L n ( 1 / 2 ) ( x 2 ) {\displaystyle {\begin{aligned}H_{2n}(x)&=(-1)^{n}2^{2n}n!L_{n}^{(-1/2)}(x^{2})\\[4pt]H_{2n+1}(x)&=(-1)^{n}2^{2n+1}n!xL_{n}^{(1/2)}(x^{2})\end{aligned}}}
जहां
H n x ) भार फलन पर आधारित हर्मिट बहुपद हैं
exp(−x 2 ) , तथाकथित भौतिक विज्ञानी का संस्करण।
इस वजह से, क्वांटम हार्मोनिक ऑसिलेटर के उपचार में सामान्यीकृत लैगुएरे बहुपद उत्पन्न होते हैं।
Laguerre बहुपदों को हाइपरज्यामितीय कार्यों के संदर्भ में परिभाषित किया जा सकता है, विशेष रूप से संगम हाइपरज्यामितीय कार्यों के रूप में
L n ( α ) ( x ) = ( n + α n ) M ( − n , α + 1 , x ) = ( α + 1 ) n n ! 1 F 1 ( − n , α + 1 , x ) {\displaystyle L_{n}^{(\alpha )}(x)={n+\alpha \choose n}M(-n,\alpha +1,x)={\frac {(\alpha +1)_{n}}{n!}}\,_{1}F_{1}(-n,\alpha +1,x)}
कहाँ
( a ) n {\displaystyle (a)_{n}} Pochhammer प्रतीक है (जो इस मामले में बढ़ते फैक्टोरियल का प्रतिनिधित्व करता है)।
हार्डी-हिल फॉर्मूला सामान्यीकृत लैगुएरे बहुपद हार्डी-हिल सूत्र को संतुष्ट करते हैं[14] [15]
∑ n = 0 ∞ n ! Γ ( α + 1 ) Γ ( n + α + 1 ) L n ( α ) ( x ) L n ( α ) ( y ) t n = 1 ( 1 − t ) α + 1 e − ( x + y ) t / ( 1 − t ) 0 F 1 ( ; α + 1 ; x y t ( 1 − t ) 2 ) , {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {n!\,\Gamma \left(\alpha +1\right)}{\Gamma \left(n+\alpha +1\right)}}L_{n}^{(\alpha )}(x)L_{n}^{(\alpha )}(y)t^{n}={\frac {1}{(1-t)^{\alpha +1}}}e^{-(x+y)t/(1-t)}\,_{0}F_{1}\left(;\alpha +1;{\frac {xyt}{(1-t)^{2}}}\right),}
जहां बाईं ओर की श्रंखला के लिए अभिसरित होती है
α > − 1 {\displaystyle \alpha >-1} और
| t | < 1 {\displaystyle |t|<1} . पहचान का उपयोग करना
0 F 1 ( ; α + 1 ; z ) = Γ ( α + 1 ) z − α / 2 I α ( 2 z ) , {\displaystyle \,_{0}F_{1}(;\alpha +1;z)=\,\Gamma (\alpha +1)z^{-\alpha /2}I_{\alpha }\left(2{\sqrt {z}}\right),}
(सामान्यीकृत हाइपरजियोमेट्रिक फ़ंक्शन # श्रृंखला 0F1 देखें), इसे इस रूप में भी लिखा जा सकता है
∑ n = 0 ∞ n ! Γ ( 1 + α + n ) L n ( α ) ( x ) L n ( α ) ( y ) t n = 1 ( x y t ) α / 2 ( 1 − t ) e − ( x + y ) t / ( 1 − t ) I α ( 2 x y t 1 − t ) . {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {n!}{\Gamma (1+\alpha +n)}}L_{n}^{(\alpha )}(x)L_{n}^{(\alpha )}(y)t^{n}={\frac {1}{(xyt)^{\alpha /2}(1-t)}}e^{-(x+y)t/(1-t)}I_{\alpha }\left({\frac {2{\sqrt {xyt}}}{1-t}}\right).}
यह सूत्र हर्मिट बहुपदों के लिए
मेहलर कर्नेल का एक सामान्यीकरण है, जिसे ऊपर दिए गए लैगुएरे और हर्मिट बहुपदों के बीच संबंधों का उपयोग करके इससे पुनर्प्राप्त किया जा सकता है।
भौतिक विज्ञानी स्केलिंग कन्वेंशन हाइड्रोजन परमाणु ऑर्बिटल्स के लिए क्वांटम वेवफंक्शन का वर्णन करने के लिए सामान्यीकृत लैगुएरे बहुपदों का उपयोग किया जाता है। इस विषय पर परिचयात्मक साहित्य में,[16] [17] [18] [19]
L n ( α ) ( x ) = Γ ( α + n + 1 ) Γ ( α + 1 ) n ! 1 F 1 ( − n ; α + 1 ; x ) , {\displaystyle L_{n}^{(\alpha )}(x)={\frac {\Gamma (\alpha +n+1)}{\Gamma (\alpha +1)n!}}\,_{1}F_{1}(-n;\alpha +1;x),}
कहाँ
1 F 1 ( a ; b ; x ) {\displaystyle \,_{1}F_{1}(a;b;x)} मिला हुआ हाइपरज्यामितीय कार्य है।
भौतिक विज्ञानी साहित्य में, जैसे
[18] इसके बजाय सामान्यीकृत लैगुएरे बहुपदों को इस रूप में परिभाषित किया गया है
L ¯ n ( α ) ( x ) = [ Γ ( α + n + 1 ) ] 2 Γ ( α + 1 ) n ! 1 F 1 ( − n ; α + 1 ; x ) . {\displaystyle {\bar {L}}_{n}^{(\alpha )}(x)={\frac {\left[\Gamma (\alpha +n+1)\right]^{2}}{\Gamma (\alpha +1)n!}}\,_{1}F_{1}(-n;\alpha +1;x).}
भौतिक विज्ञानी संस्करण द्वारा मानक संस्करण से संबंधित है
L ¯ n ( α ) ( x ) = ( n + α ) ! L n ( α ) ( x ) . {\displaystyle {\bar {L}}_{n}^{(\alpha )}(x)=(n+\alpha )!L_{n}^{(\alpha )}(x).}
भौतिक विज्ञान के साहित्य में एक और परिपाटी का प्रयोग किया जाता है, हालांकि इसकी आवृत्ति कम होती है। इस परिपाटी के तहत लैगुएरे बहुपदों को दिया जाता है
[20] [21] [22]
L ~ n ( α ) ( x ) = ( − 1 ) α L ¯ n − α ( α ) . {\displaystyle {\tilde {L}}_{n}^{(\alpha )}(x)=(-1)^{\alpha }{\bar {L}}_{n-\alpha }^{(\alpha )}.}
यह भी देखें ओर्थोगोनल बहुपद
रोड्रिग्स का सूत्र
एंजेलस्कु बहुपद
बेसेल बहुपद डेनिस्युक बहुपद
अनुप्रस्थ मोड , वेवगाइड या लेजर बीम प्रोफाइल के भीतर क्षेत्र की तीव्रता का वर्णन करने के लिए लैगुएरे बहुपदों का एक महत्वपूर्ण अनुप्रयोग।टिप्पणियाँ
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↑ A&S equation (22.12.6), p. 785
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बाहरी संबंध 
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