समूह विस्तार

गणित में, एक समूह विस्तार एक विशेष सामान्य उपसमूह और भागफल समूह के संदर्भ में एक समूह (गणित) का वर्णन करने का एक सामान्य साधन है। अगर $Q$ और $N$ दो समूह हैं, फिर $G$ का विस्तार है $Q$ द्वारा $N$ अगर कोई छोटा सटीक क्रम है

$1\to N\;{\overset {\iota }{\to }}\;G\;{\overset {\pi }{\to }}\;Q\to 1.$

अगर $G$ का विस्तार है $Q$ द्वारा $N$, तब $G$ एक समूह है, $\iota (N)$ का सामान्य उपसमूह है $G$ और भागफल समूह $G/\iota (N)$ समूह के लिए समरूप है $Q$. समूह एक्सटेंशन विस्तार समस्या के संदर्भ में उत्पन्न होते हैं, जहां समूह $Q$ और $N$ ज्ञात हैं और के गुण $G$ निर्धारित किया जाना है। ध्यान दें कि वाक्यांश$G$ का विस्तार है $N$ द्वारा $Q$कुछ द्वारा प्रयोग भी किया जाता है। चूंकि कोई परिमित समूह $G$ एक अधिकतम सामान्य उपसमूह रखता है $N$ सरल समूह कारक समूह के साथ $G/N$, सभी परिमित समूहों को परिमित सरल समूहों के साथ विस्तार की एक श्रृंखला के रूप में बनाया जा सकता है। यह तथ्य परिमित सरल समूहों के वर्गीकरण को पूरा करने के लिए एक प्रेरणा थी।

उपसमूह होने पर एक एक्सटेंशन को केंद्रीय एक्सटेंशन कहा जाता है $N$ के समूह के मध्य में स्थित है $G$.

सामान्य रूप में एक्सटेंशन

एक विस्तार, समूहों का प्रत्यक्ष उत्पाद, तत्काल स्पष्ट है। अगर किसी की आवश्यकता है $G$ और $Q$ एबेलियन समूह होने के लिए, फिर एक्सटेंशन के आइसोमोर्फिज्म वर्गों का सेट $Q$ किसी दिए गए (एबेलियन) समूह द्वारा $N$ वास्तव में एक समूह है, जो कि समरूपी है

$\operatorname {Ext} _{\mathbb {Z} }^{1}(Q,N);$

सी एफ Ext functor. एक्सटेंशन के कई अन्य सामान्य वर्ग ज्ञात हैं लेकिन कोई सिद्धांत मौजूद नहीं है जो एक समय में सभी संभावित एक्सटेंशन का इलाज करता हो। समूह विस्तार को आमतौर पर एक कठिन समस्या के रूप में वर्णित किया जाता है; इसे विस्तार समस्या कहा जाता है।

कुछ उदाहरणों पर विचार करने के लिए, यदि $G=K\times H$, तब $G$ दोनों का विस्तार है $H$ और $K$. अधिक सामान्यतः, यदि $G$ का अर्धप्रत्यक्ष उत्पाद है $K$ और $H$, के रूप में लिखा गया है $G=K\rtimes H$, तब $G$ का विस्तार है $H$ द्वारा $K$, इसलिए पुष्पांजलि उत्पाद जैसे उत्पाद एक्सटेंशन के और उदाहरण प्रदान करते हैं।

विस्तार समस्या

किस समूह का प्रश्न $G$ के विस्तार हैं $H$ द्वारा $N$ विस्तार समस्या कहा जाता है, और उन्नीसवीं शताब्दी के उत्तरार्ध से इसका गहन अध्ययन किया गया है। इसकी प्रेरणा के रूप में, विचार करें कि एक परिमित समूह की रचना श्रृंखला उपसमूहों का एक परिमित अनुक्रम है $\{A_{i}\}$, जहां प्रत्येक $\{A_{i+1}\}$ का विस्तार है $\{A_{i}\}$ किसी साधारण समूह द्वारा। परिमित सरल समूहों का वर्गीकरण हमें परिमित सरल समूहों की पूरी सूची देता है; इसलिए विस्तार की समस्या का समाधान हमें सामान्य रूप से सभी परिमित समूहों के निर्माण और वर्गीकरण के लिए पर्याप्त जानकारी देगा।

एक्सटेंशन का वर्गीकरण

विस्तार समस्या को हल करना H के सभी विस्तारों को K द्वारा वर्गीकृत करने जैसा है; या अधिक व्यावहारिक रूप से, गणितीय वस्तुओं के संदर्भ में ऐसे सभी विस्तारों को व्यक्त करके जिन्हें समझना और गणना करना आसान है। सामान्य तौर पर, यह समस्या बहुत कठिन है, और सभी सबसे उपयोगी परिणाम एक्सटेंशन को वर्गीकृत करते हैं जो कुछ अतिरिक्त शर्तों को पूरा करते हैं।

आकृति 1

यह जानना महत्वपूर्ण है कि दो एक्सटेंशन कब समतुल्य या सर्वांगसम होते हैं। हम कहते हैं कि एक्सटेंशन

$1\to K{\stackrel {i}{{}\to {}}}G{\stackrel {\pi }{{}\to {}}}H\to 1$ और

$1\to K{\stackrel {i'}{{}\to {}}}G'{\stackrel {\pi '}{{}\to {}}}H\to 1$

समतुल्य (या सर्वांगसम) हैं यदि कोई समूह समरूपता मौजूद है $T:G\to G'$ चित्र 1 का आरेख क्रमविनिमेय बनाना। वास्तव में एक समूह समरूपता होना पर्याप्त है; आरेख, मानचित्र की कल्पित क्रमविनिमेयता के कारण $T$ छोटे पांच लेम्मा द्वारा एक समरूपता होने के लिए मजबूर किया जाता है।

चेतावनी

ऐसा हो सकता है कि एक्सटेंशन $1\to K\to G\to H\to 1$ और $1\to K\to G^{\prime }\to H\to 1$ असमान हैं लेकिन G और G' समूह के रूप में तुल्याकारी हैं। उदाहरण के लिए, हैं $8$ द्वारा क्लेन चार-समूह के असमान विस्तार $\mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$, लेकिन समूह समरूपता तक, क्रम के केवल चार समूह हैं $8$ आदेश का एक सामान्य उपसमूह युक्त $2$ क्लेन चार-समूह के भागफल समूह आइसोमॉर्फिक के साथ।

तुच्छ विस्तार

एक तुच्छ विस्तार एक विस्तार है

$1\to K\to G\to H\to 1$

जो विस्तार के बराबर है

$1\to K\to K\times H\to H\to 1$

जहां बाएँ और दाएँ तीर क्रमशः प्रत्येक कारक का समावेश और प्रक्षेपण हैं $K\times H$