शब्द बीजगणित

सार्वभौमिक बीजगणित और गणितीय लॉजिक में, शब्द बीजगणित दिए गए संकेत चिन्ह (लॉजिक) पर एक स्वतंत्र रूप से निर्मित बीजगणितीय संरचना है। उदाहरण के लिए, किसी संकेत चिन्ह (गणितीय लॉजिक) में एक एकल बाइनरी संक्रिया संचरण सम्मिलित है, चर के एक वर्ग समूह x पर बीजगणित शब्द निश्चित x द्वारा निर्मित मुक्त मैग्मा है। धारणा के लिए अन्य समानार्थक शब्द 'निश्चित मुक्त बीजगणित' और 'अराजक बीजगणित' सम्मिलित हैं। श्रेणी सिद्धांत परिप्रेक्ष्य से, एक शब्द बीजगणित एक ही संकेत चिन्ह के सभी x-निर्मित किए गए बीजगणितों की एफ-बीजगणित श्रेणी के लिए प्रारंभिक वस्तु है, और यह वस्तु, समरूपता तक अद्वितीय है, प्रारंभिक बीजगणित कहा जाता है; यह होमोमोर्फिक प्रोजेक्शन द्वारा श्रेणी में सभी बीजगणित निर्मित करता है। इसी तरह की धारणा लॉजिक में हेरब्रांड ब्रह्मांड की है, सामान्यतः इस नाम के तहत लॉजिक प्रोग्रामिंग में प्रयोग किया जाता है, जो (निश्चित स्वतंत्र रूप से) खंड (लॉजिक) के एक वर्ग समूह में स्थिरांक और फलन प्रतीकों के वर्ग समूह से प्रारम्भ होता है अर्थात्, हरब्रांड ब्रह्मांड में सभी मूलभूत शब्द सम्मिलित हैं: ऐसे शब्द जिनमें कोई चर नहीं है।

एक परमाणु सूत्र या परमाणु को सामान्यतः शब्दों के एक समूह पर लागू एक तार्किक नियम (गणितीय लॉजिक) के रूप में परिभाषित किया जाता है; मूलभूत परमाणु एक तार्किक नियम है जिसमें केवल मूलभूत शब्द दिखाई देते हैं। हेरब्रांड आधार सभी ग्राउंड परमाणुओं का वर्ग समूह है जो अपने हेरब्रांड ब्रह्मांड में खंडों और शर्तों के मूल वर्ग समूह में तार्किक नियम प्रतीकों से बनाया जा सकता है। इन दो अवधारणाओं का नाम जैक्स हर्ब्रांड के नाम पर रखा गया है।

शब्द बीजगणित भी संक्षिप्त डेटा प्रकार के शब्दार्थ में एक भूमिका निभाते हैं, जहां एक संक्षिप्त डेटा प्रकार की घोषणा एक बहु-क्रमबद्ध बीजगणितीय संरचना का संकेत चिन्ह प्रदान करती है और बीजगणित शब्द अमूर्त घोषणा का एक ठोस मॉडल है। बीजगणित का वह भेद जिसमें अक्षरों को संख्याओं का द्योतक मानकर कुछ सांकेतिक चिह्नों और निश्चित युक्तियों के द्वारा गणना की जाती है और विशेषतः निश्चित संख्याएँ आदि जानी जाती है ।

सार्वभौमिक बीजगणित

प्रकार $\tau$ फलन प्रतीकों का एक वर्ग समूह है, जिनमें से प्रत्येक में एक संबद्धता (अर्थात इनपुट की संख्या) है। किसी भी गैर-ऋणात्मक पूर्णांक के लिए $n$, माना कि $\tau _{n}$ में फलन प्रतीकों को निरूपित करें $\tau$ प्रदाता की $n$. एक स्थिरांक एरिटी 0 का एक फलन प्रतीक है।

माना कि $\tau$ एक प्रकार, और माना कि $X$ चर प्रतीकों का प्रतिनिधित्व करने वाले प्रतीकों का एक गैर-खाली वर्ग समूह बनें। (सरलता के लिए, मान लीजिए $X$ और $\tau$ असंयुक्त हैं।) फिर टर्म (लॉजिक) का वर्ग समूह $T(X)$ प्रकार का $\tau$ ऊपर $X$ सभी अच्छी तरह से निर्मित स्ट्रिंग (कंप्यूटर विज्ञान) का वर्ग समूह है जिसे चर प्रतीकों का उपयोग करके बनाया जा सकता है $X$ और $\tau$ के स्थिरांक और संचालन औपचारिक रूप से, $T(X)$ सबसे छोटा समुच्चय है कि:

• $X\cup \tau _{0}\subseteq T(X)$ - प्रत्येक चर प्रतीक से $X$ में एक पद है $T(X)$, और इसलिए प्रत्येक स्थिर प्रतीक $\tau _{0}$ से है.
• सभी के लिए $n\geq 1$ और सभी फलन प्रतीकों के लिए $f\in \tau _{n}$ और शर्तें $t_{1},...,t_{n}\in T(X)$, हमारे पास स्ट्रिंग है $f(t_{1},...,t_{n})\in T(X)$ - दिया गया $n$ शर्तें $t_{1},...,t_{n}$, एक का आवेदन $n$-समूह फलन प्रतीक $f$ उनके लिए फिर से एक शब्द का प्रतिनिधित्व करता है।

बीजगणित शब्द ${\mathcal {T}}(X)$ प्रकार का $\tau$ ऊपर $X$ संक्षेप में, प्रकार का बीजगणित है $\tau$ जो प्रत्येक अभिव्यक्ति को उसके स्ट्रिंग प्रतिनिधित्व में मैप करता है। औपचारिक रूप से, ${\mathcal {T}}(X)$ निम्नानुसंक्षिप्त परिभाषित किया गया है:

• ${\mathcal {T}}(X)$ का डोमेन $T(X)$ है.
• प्रत्येक अशक्त कार्य के लिए $f$ में $\tau _{0}$, $f^{{\mathcal {T}}(X)}()$ स्ट्रिंग के रूप में $f$ परिभाषित किया गया है.
• सभी के लिए $n\geq 1$ और प्रत्येक एन-आरी फलन के लिए $f$ में $\tau$ और तत्व $t_{1},...,t_{n}$ डोमेन में, $f^{{\mathcal {T}}(X)}(t_{1},...,t_{n})$ स्ट्रिंग के रूप में परिभाषित किया गया है $f(t_{1},...,t_{n})$.

एक शब्द बीजगणित को निश्चित मुक्त कहा जाता है क्योंकि किसी भी बीजगणित के लिए ${\mathcal {A}}$ प्रकार का $\tau$, और किसी भी फलन के लिए $g:X\to {\mathcal {A}}$, $g$ एक अद्वितीय समरूपता तक फैली हुई है $g^{\ast <!--\; \ast \; -->}:\mathcal{T}$