चार-वेग

भौतिकी में, विशेष रूप से विशेष सापेक्षता और सामान्य सापेक्षता में, चार-वेग चार-आयामी अंतरिक्ष-समय में एक चार-वेक्टर है। यह गति के सापेक्षवादी समकक्ष का प्रतिनिधित्व करता है, जो अंतरिक्ष में एक त्रि-आयामी वेक्टर है।

भौतिक घटना (सापेक्षता) समय और स्थान में गणितीय बिंदुओं के अनुरूप है, उन सभी का सेट एक साथ भौतिक चार-आयामी अंतरिक्ष-समय का गणितीय मॉडल बनाता है। किसी वस्तु का इतिहास स्पेसटाइम में एक वक्र का पता लगाता है, जिसे उसकी विश्व रेखा कहा जाता है। यदि वस्तु का विशेष आपेक्षिकता में द्रव्यमान है, ताकि उसकी गति आवश्यक रूप से प्रकाश की गति से कम हो, तो विश्व रेखा वस्तु के उचित समय के अनुसार पैरामीट्रिजेशन (ज्यामिति) हो सकती है। चार-वेग वक्र के साथ उचित समय के संबंध में चार-स्थिति के परिवर्तन की दर है। वेग, इसके विपरीत, वस्तु के (त्रि-आयामी) स्थान में स्थिति के परिवर्तन की दर है, जैसा पर्यवेक्षक द्वारा देखा गया है, पर्यवेक्षक के समय के संबंध में।

किसी वस्तु के चार-वेग के मैग्नीट्यूड_(गणित)#स्यूडो-यूक्लिडियन_स्पेस का मान, यानी मीट्रिक टेन्सर (सामान्य_सापेक्षता) लगाने से प्राप्त मात्रा g चार-वेग के लिए U, वह है ||U||² = U ⋅ U = g_μνU^νU^μ, हमेशा बराबर होता है ±c², कहाँ c प्रकाश की गति है। प्लस या माइनस साइन लागू होता है या नहीं यह मीट्रिक हस्ताक्षर के चुनाव पर निर्भर करता है। किसी वस्तु के आराम के लिए उसका चार-वेग उस समय की दिशा के समानांतर होता है जिसके साथ समन्वय होता है U⁰ = c. एक चार-वेग इस प्रकार एक विश्व रेखा के लिए सामान्यीकृत भविष्य-निर्देशित समय-समान स्पर्शरेखा सदिश है, और एक प्रतिपरिवर्तक सदिश है। हालांकि यह एक सदिश है, दो चार-वेगों को जोड़ने से एक चार-वेग नहीं मिलता है: चार-वेगों का स्थान अपने आप में एक सदिश स्थान नहीं है।

वेग

त्रि-आयामी अंतरिक्ष (एक जड़त्वीय फ्रेम में) में किसी वस्तु का मार्ग तीन स्थानिक समन्वय कार्यों x के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता हैⁱ(t) समय t का, जहाँ i एक अनुक्रमणिका अंकन है जो मान 1, 2, 3 लेता है।

तीन निर्देशांक 3डी स्थिति वेक्टर बनाते हैं, जिसे कॉलम वेक्टर के रूप में लिखा जाता है

${\vec {x}}(t)={\begin{bmatrix}x^{1}(t)\\x^{2}(t)\\x^{3}(t)\end{bmatrix}}\,.$

वेग के घटक ${\vec {u}}$ (वक्र की स्पर्शरेखा) विश्व रेखा के किसी भी बिंदु पर हैं

${\vec {u}}={\begin{bmatrix}u^{1}\\u^{2}\\u^{3}\end{bmatrix}}={d{\vec {x}} \over dt}={\begin{bmatrix}{\tfrac {dx^{1}}{dt}}\\{\tfrac {dx^{2}}{dt}}\\{\tfrac {dx^{3}}{dt}}\end{bmatrix}}.$

प्रत्येक घटक बस लिखा है

$u^{i}={dx^{i} \over dt}$

सापेक्षता का सिद्धांत

आइंस्टीन के सापेक्षता के सिद्धांत में, संदर्भ के एक विशेष फ्रेम के सापेक्ष चलने वाली वस्तु का मार्ग चार समन्वय कार्यों x द्वारा परिभाषित किया गया है^μ(τ), जहां μ एक स्पेसटाइम इंडेक्स है जो टाइमलाइक घटक के लिए मान 0 लेता है, और स्पेसलाइक निर्देशांक के लिए 1, 2, 3 लेता है। शून्यांक घटक को समय निर्देशांक को c से गुणा करके परिभाषित किया जाता है,

$x^{0}=ct\,,$ प्रत्येक फ़ंक्शन एक पैरामीटर τ पर निर्भर करता है जिसे इसका उचित समय कहा जाता है। स्तंभ सदिश के रूप में,

$\mathbf {x} ={\begin{bmatrix}x^{0}(\tau )\\x^{1}(\tau )\\x^{2}(\tau )\\x^{3}(\tau )\\\end{bmatrix}}\,.$

समय फैलाव

समय फैलाव से, निर्देशांक समय t और उचित समय τ में एक फलन के अंतर से संबंधित हैं

$dt=\gamma (u)d\tau$

जहां लोरेंत्ज़ कारक,

$\gamma (u)={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}}}}\,,$

3डी वेलोसिटी वेक्टर के नॉर्म (गणित)#यूक्लिडियन नॉर्म यू का एक फंक्शन है ${\vec {u}}$:

$u=\|\ {\vec {u}}\ \|={\sqrt {\left(u^{1}\right)^{2}+\left(u^{2}\right)^{2}+\left(u^{3}\right)^{2}}}\,.$

चतुर्भुज की परिभाषा

चार-वेग एक समयबद्ध वक्र विश्व रेखा का स्पर्शरेखा चार-वेक्टर है। चतुर्भुज $\mathbf {U}$ विश्व रेखा के किसी भी बिंदु पर $\mathbf {X} (\tau )$ परिभाषित किया जाता है:

$\mathbf {U} ={\frac {d\mathbf {X} }{d\tau }}$

कहाँ $\mathbf {X}$ चार स्थिति है और $\tau$ उचित समय है। किसी वस्तु के उचित समय का उपयोग करते हुए यहां परिभाषित चार-वेग द्रव्यमान रहित वस्तुओं जैसे कि प्रकाश की गति से यात्रा करने वाले फोटॉन के लिए विश्व रेखाओं के लिए मौजूद नहीं है; न ही इसे अन्य सी ह्युंग विश्व रेखाओं के लिए परिभाषित किया गया है, जहां स्पर्शरेखा वेक्टर spacelike है।

चार-वेग के घटक

समय t और निर्देशांक समय x के बीच संबंध⁰ द्वारा परिभाषित किया गया है

$x^{0}=ct.$

उचित समय τ के संबंध में इसकी व्युत्पत्ति लेते हुए, हम U पाते हैं^μ वेग घटक μ = 0 के लिए:

$U^0=\frac{d{x}^0}{d\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}=\frac{d(ct)}{d\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}=c\frac{}{}$