अभिन्न तत्व

क्रमविनिमेय बीजगणित में, क्रमविनिमेय वलय B के तत्व b को 'अभिन्न' A कहा जाता है, B का एक उपवलय, यदि n ≥ 1 और a _j ऐसा है

$b^{n}+a_{n-1}b^{n-1}+\cdots +a_{1}b+a_{0}=0.$

अर्थात्, b, A पर एकात्मक बहुपद का मूल है। B के तत्वों का समूह जो A पर अभिन्न है, B में A का 'इंटीग्रल क्लोजर' कहलाता है। यह B युक्त A का सबरिंग है। यदि B का प्रत्येक अवयव A पर समाकलित है,तो हम कहते हैं की B,A पर समाकलित है,या समतुल्य B,A का समाकलित विस्तार है।

यदि A,B फ़ील्ड (गणित) हैं, तो समाकलित ओवर और समाकलित विस्तार की धारणा बीजगणितीय तत्व ओवर जो क्षेत्र सिद्धांत (गणित) में बीजगणितीय विस्तार हैं (चूंकि किसी भी बहुपद की जड़ एक मोनिक बहुपद की जड़ है) .

संख्या सिद्धांत में सबसे बड़ी रुचि का मामला 'Z' पर समाकलित जटिल संख्याओं का मामला है (उदाहरण के लिए, ${\sqrt {2}}$ या $1+i$); इस संदर्भ में, अभिन्न तत्वों को आमतौर पर बीजगणितीय पूर्णांक कहा जाता है। परिमेय संख्या 'Q' के परिमित क्षेत्र विस्तार k में बीजगणितीय पूर्णांक k का एक उप-वलय बनाते हैं, जिसे k के पूर्णांकों का वलय कहा जाता है, जो बीजगणितीय संख्या सिद्धांत में अध्ययन का एक केंद्रीय उद्देश्य है।

इस लेख में, शब्द वलय (गणित) को एक गुणात्मक पहचान के साथ क्रमविनिमेय वलय के रूप में समझा जाएगा।

उदाहरण

बीजगणितीय संख्या सिद्धांत में समाकलन

इंटीग्रल क्लोजर के कई उदाहरण हैं जो बीजगणितीय संख्या सिद्धांत में पाए जा सकते हैं क्योंकि यह बीजगणितीय विस्तार के लिए पूर्णांकों की अंगूठी को परिभाषित करने के लिए मौलिक है। $K/\mathbb {Q}$ (या $L/\mathbb {Q} _{p}$).

परिमेय में पूर्णांकों का अभिन्न समापन

पूर्णांक Q के एकमात्र तत्व हैं जो Z पर अभिन्न हैं। दूसरे शब्दों में, Z, Q में Z का अभिन्न समापन है।

द्विघात विस्तार

गॉसियन पूर्णांक फॉर्म की जटिल संख्याएँ हैं $a+b{\sqrt {-1}},\,a,b\in \mathbf {Z}$, और Z पर अभिन्न हैं। $\mathbf {Z} [{\sqrt {-1}}]$ तब Z का अभिन्न समापन है $\mathbf {Q} ({\sqrt {-1}})$. आमतौर पर इस अंगूठी को निरूपित किया जाता है ${\mathcal {O}}_{\mathbb {Q} [i]}$.

Z का अभिन्न समापन $\mathbf {Q} ({\sqrt {5}})$ अंगूठी है

${\mathcal {O}}_{\mathbb {Q} [{\sqrt {5}}]}=\mathbb {Z} \!\left[{\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right]$

यह और पिछला उदाहरण द्विघात पूर्णांकों के उदाहरण हैं। एक द्विघात विस्तार का अभिन्न समापन $\mathbb {Q} ({\sqrt {d}})$ एक मनमाना तत्व के न्यूनतम बहुपद (क्षेत्र सिद्धांत) का निर्माण करके पाया जा सकता है $a+b{\sqrt {d}}$ और पूर्णांक गुणांक वाले बहुपद के लिए संख्या-सैद्धांतिक कसौटी खोजना। यह विश्लेषण द्विघात पूर्णांक # पूर्णांकों की अंगूठी का निर्धारण में पाया जा सकता है।

एकता की जड़ें

चलो ζ एकता की जड़ हो। तब साइक्लोटोमिक क्षेत्र Q(ζ) में Z का अभिन्न समापन Z[ζ] है। यह न्यूनतम बहुपद (क्षेत्र सिद्धांत) का उपयोग करके और ईसेनस्टीन की कसौटी का उपयोग करके पाया जा सकता है।

बीजगणितीय पूर्णांकों का वलय

जटिल संख्या C, या बीजगणितीय संवरण के क्षेत्र में Z का अभिन्न संवरण ${\overline {\mathbb {Q} }}$ बीजगणितीय पूर्णांकों का वलय कहा जाता है।

अन्य

किसी भी वलय में एकता, निलपोटेंट तत्वों और idempotent (रिंग थ्योरी) की जड़ें Z पर अभिन्न हैं।

ज्यामिति में इंटीग्रल क्लोजर

ज्यामिति में, इंटीग्रल क्लोजर नोथेर सामान्यीकरण लेम्मा और सामान्य योजनाओं से निकटता से संबंधित है। यह विलक्षणताओं के समाधान में पहला कदम है क्योंकि यह कोडिमेंशन 1 की विलक्षणताओं को हल करने की प्रक्रिया देता है।

• उदाहरण के लिए, का अभिन्न समापन $\mathbb {C} [x,y,z]/(xy)$ अंगूठी है $\mathbb {C} [x,z]\times \mathbb {C} [y,z]$ ज्यामितीय रूप से, पहली अंगूठी से मेल खाती है $xz$-प्लेन के साथ जुड़ा हुआ है $yz$-विमान। उनके पास एक कोडिमेंशन 1 विलक्षणता है $z$-अक्ष जहां वे प्रतिच्छेद करते हैं।
• एक परिमित समूह G समूह को एक वलय A पर क्रिया करने दें। फिर A, A पर अभिन्न है^G, G द्वारा तय किए गए तत्वों का सेट; फिक्स्ड-पॉइंट सबरिंग देखें।
• मान लें कि R एक वलय है और u एक इकाई (रिंग थ्योरी) है जिसमें R है। तब

1. में⁻¹ R का अभिन्न अंग है यदि और केवल यदि u⁻¹ ∈ आर[यू]।
2. $R[u]\cap R[u^{-1}]$ R पर अभिन्न है।
3. एक सामान्य प्रक्षेपी किस्म X के सजातीय समन्वय वलय का अभिन्न समापन वर्गों का वलय है

$\bigoplus _{n\geq 0}\operatorname {H} ^{0}(X,{\mathcal {O}}_{X}(n)).$

बीजगणित में अखंडता

• अगर ${\overline {k}}$ एक फ़ील्ड k का बीजगणितीय समापन है, तब ${\overline {k}}[x_{1},\dots ,x_{n}]$ अभिन्न है $k[x_{1},\dots ,x_{n}].$
• C((x)) के परिमित विस्तार में Cx का इंटीग्रल क्लोजर फॉर्म का है $$