अवकल संकारक

एनुलस (गणित) पर परिभाषित हार्मोनिक फलन । हार्मोनिक फलन वास्तव में वे फलन हैं जोकी लाप्लास ऑपरेटर के कर्नेल (रैखिक बीजगणित) में स्थित हैं, जो महत्वपूर्ण अंतर ऑपरेटर है।

गणित में, डिफरेंशियल ऑपरेटर ऑपरेटर (गणित) है जिसे व्युत्पन्न ऑपरेटर के फलन के रूप में परिभाषित किया गया है। सर्व प्रथम , अंकन के स्तिथियों में, विभेदीकरण को अमूर्त ऑपरेशन के रूप में मानना ​​सहायक होता है जोकी फलन (गणित) को स्वीकार करता है और अन्य फलन (कंप्यूटर विज्ञान में उच्च-क्रम फलन की शैली में) लौटाता है।

इस प्रकार से यह आलेख मुख्य रूप से रैखिक मानचित्र अंतर ऑपरेटरों पर विचार करता है, जो सबसे सामान्य प्रकार हैं। चूंकि , गैर-रेखीय अंतर ऑपरेटर भी उपस्तिथ किये गये हैं, जैसे कि श्वार्ज़ियन व्युत्पन्न आदि ।

परिभाषा

एक अऋणात्मक पूर्णांक m दिया गया है, क्रम-$m$ लीनियर डिफरेंशियल ऑपरेटर मानचित्र $P$ है कार्य स्थान ${\mathcal {F}}_{1}$ से किसी अन्य फलन स्थान ${\mathcal {F}}_{2}$ पर जिसे इस प्रकार लिखा जा सकता है:

$$P=\sum _{|\alpha |\leq m}a_{\alpha }(x)D^{\alpha }\ ,$$

जहाँ $\alpha =(\alpha _{1},\alpha _{2},\cdots ,\alpha _{n})$ गैर-ऋणात्मक पूर्णांक $|\alpha |=\alpha _{1}+\alpha _{2}+\cdots +\alpha _{n}$ का बहु-सूचकांक है, , और प्रत्येक के लिए $\alpha$, $a_{\alpha }(x)$ एन-डायमेंशनल स्पेस में कुछ खुले डोमेन पर फलन है। परिचालक $D^{\alpha }$ के रूप में व्याख्या की गई है

$$D^{\alpha }={\frac {\partial ^{|\alpha |}}{\partial x_{1}^{\alpha _{1}}\partial x_{2}^{\alpha _{2}}\cdots \partial x_{n}^{\alpha _{n}}}}$$

इस प्रकार समारोह के लिए $f\in {\mathcal {F}}_{1}$:

$$Pf=\sum _{|\alpha |\leq m}a_{\alpha }(x){\frac {\partial ^{|\alpha |}f}{\partial x_{1}^{\alpha _{1}}\partial x_{2}^{\alpha _{2}}\cdots \partial x_{n}^{\alpha _{n}}}}$$

अंकन $D^{\alpha }$ दूसरे व्युत्पन्न की समरूपता के कारण उचित है (अर्थात , भेदभाव के क्रम से स्वतंत्र)।

D को वेरिएबल से प्रतिस्थापित करने पर बहुपद p प्राप्त होता है $\xi$ में P को P का 'कुल प्रतीक' कहा जाता है; अर्थात , उपरोक्त P का कुल प्रतीक है:

$$p(x,\xi )=\sum _{|\alpha |\leq m}a_{\alpha }(x)\xi ^{\alpha }$$

जहाँ $\xi ^{\alpha }=\xi _{1}^{\alpha _{1}}\cdots \xi _{n}^{\alpha _{n}}.$ प्रतीक का उच्चतम सजातीय घटक, अर्थात्,

$\sigma (x,\xi )=\sum _{|\alpha |=m}a_{\alpha }(x)\xi ^{\alpha }$

को P का मुख्य प्रतीक कहा जाता है। जबकि कुल प्रतीक को आंतरिक रूप से परिभाषित नहीं किया गया है, मुख्य प्रतीक को आंतरिक रूप से परिभाषित किया गया है (अर्थात, यह कोटैंजेंट बंडल पर एक फलन है)।

अधिक सामान्यतः मान लीजिए कि E और F मैनिफोल्ड X पर वेक्टर बंडल हैं। फिर रैखिक ऑपरेटर

$P:C^{\infty }(E)\to C^{\infty }(F)$

क्रम का डिफरेंशियल ऑपरेटर $k$ है यदि, X पर स्थानीय निर्देशांक में, हमारे पास है

$Pu(x)=\underset{|\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}|=}{\sum <!--\; \sum \; -->}$