अक्षीय सदिश

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तार का एक पाश (काला), जिसमें I धारा प्रवाहित होती है, एक चुंबकीय क्षेत्र B (नीला) बनाता है। यदि तार की स्थिति और धारा असतत रेखा द्वारा सूचित समतल में परावर्तित होती है, तो इससे उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र परावर्तित नहीं होगा: इसके अतिरिक्त, यहपरावर्तित और उत्क्रमित होगा। तार में किसी भी बिंदु पर स्थिति और धारा "वास्तविक" सदिश हैं, लेकिन चुंबकीय क्षेत्र B एक छद्म सदिश है।

भौतिकी और गणित में, एक छद्म सदिश (या अक्षीय सदिश) एक राशि है जो कई स्थितियों में एक सदिश के जैसा व्यवहार करती है, लेकिन इसकी दिशा तब अनुरूप नहीं होती है जब वस्तु को घूर्णन, स्थानांतरण, परावर्तन, आदि द्वारा दृढ़ता से रूपांतरित कर दिया जाता है। ऐसा तब भी हो सकता है जब समष्टि का अभिविन्यास बदल दिया जाता है। उदाहरण के लिए, कोणीय संवेग एक छद्मसदिश है क्योंकि इसे अधिकतर एक सदिश के रूप में वर्णित किया जाता है, लेकिन केवल संदर्भ की स्थिति को बदलने (और स्थिति सदिश को बदलने) से, कोणीय संवेग 'सदिश' दिशा को उत्क्रमित कर सकता है। यह दिशा उत्क्रमण वास्तविक सदिश के साथ नहीं होना चाहिए।

तीन आयामों में, एक बिंदु पर एक ध्रुवीय सदिश क्षेत्र का कर्ल और दो ध्रुवीय सदिशों का सदिश गुणनफल छद्मसदिश है।

छद्मसदिश का एक उदाहरण एक अभिविन्यस्त समतल का अभिलम्ब है। एक अभिविन्यस्त समतल को दो गैर-समानांतर सदिशों, a और b द्वारा परिभाषित किया जा सकता है, जो समतल को स्पैन (विस्तृति) करते हैं। सदिश a × b समतल के लिए एक अभिलम्ब है (दो अभिलम्ब हैं, प्रत्येक तरफ एक- दाहिने हाथ का नियम यह निर्धारित करेगा कि कौन सा), और एक छद्मसदिश है। कंप्यूटर ग्राफ़िक्स में इसके परिणाम होते हैं, जहां सतही अभिलंबों का रूपांतरण करते समय इस पर विचार करना पड़ता है।

भौतिकी में कई राशियाँ ध्रुवीय सदिशों के बजाय छद्मसदिश के रूप में व्यवहार करती हैं, जिनमें चुंबकीय क्षेत्र और कोणीय वेग सम्मिलित हैं। गणित में, तीन-आयामों में, छद्मसदिश द्विसदिश के तुल्य होते हैं, जिससे छद्मसदिशों के रूपांतरण नियम प्राप्त किए जा सकते हैं। अधिक आम तौर पर n-विमीय ज्यामितीय बीजगणित में छद्मसदिश विमा n − 1 के साथ बीजगणित के अवयव होते हैं, जिसे ⋀ⁿ⁻¹'R'ⁿ लिखा जाता है। लेबल "छद्म" को छद्मअदिश और छद्मप्रदिश के लिए और अधिक व्यापकीकृत किया जा सकता है, जो दोनों एक वास्तविक अदिश या प्रदिश की तुलना में अनुचित घूर्णनों के अंतर्गत एक अतिरिक्त चिन्ह फ्लिप प्राप्त करते हैं।

भौतिक उदाहरण

छद्मसदिशों के भौतिक उदाहरणों में बलाघूर्ण,कोणीय वेग, कोणीय संवेग,चुंबकीय क्षेत्र,और चुंबकीय द्विध्रुवी आघूर्ण सम्मिलित हैं |

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ड्राइविंग से दूर जाने वाली बाईं ओर कार के प्रत्येक पहिये में बाईं ओर संकेत करने वाला एक कोणीय संवेग छद्मसदिश होता है। कार के दर्पण प्रतिबिंब के लिए भी यही सच है। तथ्य यह है कि तीर एक-दूसरे के दर्पण प्रतिबिंब होने के बजाय एक ही दिशा में संकेत करते हैं, यह दर्शाता है कि वे छद्मसदिश हैं।

छद्मसदिश कोणीय संवेग L = Σ(r × p) पर विचार करें। कार में ड्राइविंग करते समय, और आगे देखते हुए, प्रत्येक पहिये में बाईं ओर संकेतन करने वाला एक कोणीय संवेग सदिश होता है। यदि दुनिया एक दर्पण में परावर्तित होती है जो कार के बाएं और दाएं तरफ स्विच करती है, तो इस कोणीय संवेग "सदिश" का "परावर्तन" (एक साधारण सदिश के रूप में देखा जाता है) दाईं ओर संकेत करता है, लेकिन पहिए का वास्तविक कोणीय संवेग सदिश (जो अभी भी परावर्तन में आगे की ओर मुड़ रहा है) अभी भी बाईं ओर संकेत करता है, जो एक छद्मसदिश के परावर्तन में अतिरिक्त चिन्ह फ्लिप के अनुरूप है।

भौतिकी तंत्रों के समाधान पर सममिति के प्रभाव को समझने में ध्रुवीय सदिश और छद्मसदिश के मध्य अंतर महत्वपूर्ण हो जाता है। z = 0 समतल में एक विद्युत धारा पाश पर विचार करें, जो पाश के भीतर z दिशा में अभिविन्यस्त एक चुंबकीय क्षेत्र उत्पन्न करता है। यह तंत्र इस समतल के माध्यम से दर्पण परावर्तन के अंतर्गत सममित (निश्चर) है, परावर्तन द्वारा चुंबकीय क्षेत्र अपरिवर्तित है। लेकिन उस समतल के माध्यम से चुंबकीय क्षेत्र को एक सदिश के रूप में परावर्तित करने से इसके उत्क्रम होने की अपेक्षा की जाएगी; इस अपेक्षा को यह समझकर ठीक किया जाता है कि चुंबकीय क्षेत्र एक छद्मसदिश है, जिसमें अतिरिक्त चिन्ह फ्लिप इसे अपरिवर्तित छोड़ देता है।

भौतिकी में, छद्मसदिश आम तौर पर दो ध्रुवीय सदिशों के सदिश गुणनफल या ध्रुवीय सदिश क्षेत्र के कर्ल को लेने के परिणाम होते हैं। सदिश गुणनफल और कर्ल को कन्वेंशन के अनुसार, दाहिने हाथ के नियम के अनुसार परिभाषित किया गया है, लेकिन इसे बाएं हाथ के नियम के पदों में भी उतनी ही आसानी से परिभाषित किया जा सकता था। भौतिकी का संपूर्ण निकाय जो (दाएँ हाथ के) छद्मसदिशों और दाएँ हाथ के नियम से संबंधित है, बिना किसी समस्या के (बाएँ हाथ के) छद्मसदिशों और बाएँ हाथ के नियम का उपयोग करके प्रतिस्थापन किया जा सकता है। इस प्रकार परिभाषित (बाएं) छद्मसदिश दाएं हाथ के नियम द्वारा परिभाषित दिशा में विपरीत होते हैं।

जबकि भौतिकी में सदिश संबंधों को निर्देशांक-मुक्त तरीकों से व्यक्त किया जा सकता है, सदिश और छद्मसदिश को संख्यात्मक राशियों के रूप में व्यक्त करने के लिए एक निर्देशांक पद्धति की आवश्यकता होती है। सदिशों को संख्याओं के क्रमित त्रिक के रूप में दर्शाया जाता है: उदाहरण के लिए $\mathbf {a} =(a_{x},a_{y},a_{z})$, और छद्मसदिशों को इस रूप में भी दर्शाया गया है। बाएं और दाएं हाथ की निर्देशांक पद्धतियों के मध्य रूपांतरण करते समय, छद्मसदिशों का निरूपण सदिशों के रूप में रूपांतरित नहीं होता है| यह समस्या उपस्थित नहीं है यदि दो सदिशों के सदिश गुणनफल को दो सदिशों के बाह्य गुणनफल द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है, जो एक द्विसदिश उत्पन्न करता है जो 2 कोटि प्रदिश है और 3×3 मैट्रिक्स द्वारा दर्शाया जाता है। 2-प्रदिश का यह निरूपण किन्हीं दो निर्देशांक पद्धतियों के मध्य, उनकी सहजता से स्वतंत्र रूप से, सही ढंग से रूपांतरित होता है।

विवरण

See also: सदिशों और यूक्लिडियन सदिशों का सहप्रसरण और प्रतिपरिवर्त and यूक्लिडियन सदिश

भौतिकी में "सदिश" की परिभाषा (ध्रुवीय सदिश और छद्मसदिश दोनों सहित) "सदिश" (अर्थात्, अमूर्त सदिश समष्टि का कोई भी अवयव) की गणितीय परिभाषा से अधिक विशिष्ट है। भौतिकी की परिभाषा के अंतर्गत, एक "सदिश" में ऐसे घटकों की आवश्यकता होती है जो उचित घूर्णन के अंतर्गत एक निश्चित तरीके से "रूपांतरित" होते हैं: विशेष रूप से, यदि ब्रह्मांड में सब कुछ घूर्णित किया जाए, तो सदिश बिल्कुल उसी प्रकार से घूर्णित होते हैं। (इस परिचर्चा में निर्देशांक पद्धति निर्धारित की गई है; दूसरे शब्दों में यह सक्रिय रूपांतरणों का परिप्रेक्ष्य है।) गणितीय रूप से, यदि ब्रह्मांड में सब कुछ एक घूर्णन मैट्रिक्स R द्वारा वर्णित घूर्णन से गुजरता है, ताकि एक विस्थापन सदिश x x′ = Rx में रूपांतरित हो जाए, तो किसी भी "सदिश" v को इसी प्रकार v′ = Rv में रूपांतरित किया जाना चाहिए। यह महत्वपूर्ण आवश्यकता ही एक सदिश (जो उदाहरण के लिए, वेग के x-, y- और z-घटकों से बना हो सकता है) को भौतिक राशियों के किसी भी अन्य त्रिक से अलग करती है (उदाहरण के लिए, एक आयताकार बॉक्स की लंबाई, चौड़ाई और ऊंचाई को सदिश के तीन घटक नहीं माने जा सकते हैं, क्योंकि बॉक्स को घुमाने से ये तीन घटक उचित रूप से रूपांतरित नहीं होते हैं।)

(अवकल ज्यामिति की भाषा में, यह आवश्यकता एक सदिश को सहप्रसरण का प्रदिश और कोटि एक के सदिश के प्रतिपरिवर्त को परिभाषित करने के तुल्य है। इस अधिक सामान्य फ्रेमवर्क में, उच्च कोटि प्रदिशों में स्वेच्छतः से कई और मिश्रित सहपरिवर्ती और प्रतिपरिवर्त कोटि भी हो सकते हैं, जो आइंस्टीन संकलन प्रथा (कन्वेंशन) के भीतर उन्नत और कम सूचकांकों द्वारा दर्शाए जाते हैं।

सामान्य मैट्रिक्स गुणन संकारक के अंतर्गत पंक्ति और स्तंभ सदिशों के मूल और ठोस उदाहरण हैं: एक अनुक्रम में वे अदिश गुणनफल प्राप्त करते हैं, जो सिर्फ एक अदिश राशि है और इस प्रकार एक कोटि शून्य प्रदिश है, जबकि दूसरे में वे द्वैयकीय गुणनफल प्राप्त करते हैं, जिसमें एक प्रतिपरिवर्त और एक सहपरिवर्ती सूचकांक होता है। इस प्रकार, मानक मैट्रिक्स बीजगणित की गैर-क्रमविनिमेयता का उपयोग सहपरिवर्ती और प्रतिपरिवर्ती सदिशों के मध्य भिन्नता का अनुरेख रखने के लिए किया जा सकता है। वास्तव में, अधिक औपचारिक और व्यापकीकृत प्रदिश संकेतन के आने से पहले बहीखाता पद्धति इसी प्रकार की जाती थी। यह अभी भी स्वयं प्रकट होता है कि व्यावहारिक प्रहस्तन के लिए सामान्य प्रदिश समष्‍टि के मूल सदिश को कैसे प्रदर्शित किया जाता है।)

अब तक की परिचर्चा केवल उचित घूर्णन, यानी एक अक्ष के चारों ओर घूर्णन से संबंधित है। हालाँकि, कोई अनुचित घूर्णन पर भी विचार कर सकता है, अर्थात दर्पण-परावर्तन के बाद संभवतः उचित घूर्णन होता है। (अनुचित घूर्णन का एक उदाहरण 3-विमीय समष्टि में एक बिंदु के माध्यम से व्युत्क्रमण है।) मान लीजिए कि ब्रह्मांड में हर चीज अनुचित घूर्णन मैट्रिक्स R द्वारा वर्णित एक अनुचित घूर्णन से गुजरती है, जिससे एक स्थिति सदिश x x′ = Rx में रूपांतरित हो जाता है। यदि सदिश v एक ध्रुवीय सदिश है, तो इसे v′ = Rv में रूपांतरित कर दिया जाता है। यदि यह एक छद्मसदिश है, तो इसे v′ = −Rv में रूपांतरित कर दिया जाता है।

ध्रुवीय सदिशों और छद्मसदिशों के लिए रूपांतरण नियमों को संक्षिप्त रूप से इस प्रकार बताया जा सकता है

${\begin{aligned}\mathbf {v} '&=R\mathbf {v} &&{\text{(polar vector)}}\\\mathbf {v} '&=(\det R)(R\mathbf {v} )&&{\text{(pseudovector)}}\end{aligned}}$

जहां प्रतीक ऊपर वर्णित अनुसार हैं, और घूर्णन मैट्रिक्स R या तो उचित या अनुचित हो सकते हैं। प्रतीक det सारणिक (डिटर्मिनेंट) को दर्शाता है; यह सूत्र काम करता है क्योंकि उचित और अनुचित घूर्णन मैट्रिक्स के सारणिक क्रमशः +1 और -1 हैं।

योग, व्यवकलन, अदिश गुणन के अंतर्गत व्यवहार

मान लीजिए v₁ और v₂ ज्ञात छद्मसदिश हैं, और v₃ को उनके योग के रूप में परिभाषित किया गया है, v₃ = v₁ + v₂ | यदि ब्रह्मांड को घूर्णन मैट्रिक्स R द्वारा रूपांतरित किया जाता है, तो v₃ को रूपांतरित किया जाता है

${\begin{aligned}\mathbf {v_{3}} '=\mathbf {v_{1}} '+\mathbf {v_{2}} '&=(\det R)(R\mathbf {v_{1}} )+(\det R)(R\mathbf {v_{2}} )\\&=(\det R)(R(\mathbf {v_{1}} +\mathbf {v_{2}} ))=(\det R)(R\mathbf {v_{3}} ).\end{aligned}}$

तो v₃ एक छद्मसदिश भी है| इसी प्रकार कोई यह दिखा सकता है कि दो छद्मसदिशों के मध्य का अंतर एक छद्मसदिश है, कि दो ध्रुवीय सदिशों का योग या अंतर एक ध्रुवीय सदिश है, कि एक ध्रुवीय सदिश को किसी भी वास्तविक संख्या से गुणा करने पर एक और ध्रुवीय सदिश प्राप्त होता है, और एक छद्मसदिश को किसी भी वास्तविक संख्या से गुणा करने पर एक अन्य छद्मसदिश प्राप्त होता है।

दूसरी ओर, मान लीजिए कि v₁ को एक ध्रुवीय सदिश के रूप में जाना जाता है, v₂ को एक छद्मसदिश के रूप में जाना जाता है, और v₃ को उनके योग के रूप में परिभाषित किया गया है, v₃ = v₁ + v₂ | यदि ब्रह्माण्ड एक अनुचित घूर्णन मैट्रिक्स R द्वारा रूपांतरित होता है, तो v₃ में रूपांतरित होता है

$\mathbf {v_{3}} '=\mathbf {v_{1}} '+\mathbf {v_{2}} '=(R\mathbf {v_{1}} )+(\det R)(R\mathbf {v_{2}} )=R(\mathbf {v_{1}} +(\det R)\mathbf {v_{2}} ).$

इसलिए, v₃ न तो एक ध्रुवीय सदिश है और न ही छद्मसदिश है (हालांकि भौतिकी की परिभाषा के अनुसार यह अभी भी एक सदिश है)। अनुचित घूर्णन के लिए, v₃ सामान्यतः समान परिमाण भी नहीं रखता: