अक्षीय सदिश

तार का एक पाश (काला), जिसमें I धारा प्रवाहित होती है, एक चुंबकीय क्षेत्र B (नीला) बनाता है। यदि तार की स्थिति और धारा डैश रेखा द्वारा सूचित समतल में परावर्तित होती है, तो इससे उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र परावर्तित नहीं होगा: इसके अतिरिक्त, यहपरावर्तित और उत्क्रमित होगा। तार में किसी भी बिंदु पर स्थिति और धारा "वास्तविक" सदिश हैं, लेकिन चुंबकीय क्षेत्र B एक छद्म सदिश है।

भौतिकी और गणित में, एक छद्म सदिश (या अक्षीय सदिश) एक राशि है जो कई स्थितियों में एक सदिश के जैसा व्यवहार करती है, लेकिन इसकी दिशा तब अनुरूप नहीं होती है जब वस्तु को घूर्णन, स्थानांतरण, परावर्तन, आदि द्वारा दृढ़ता से रूपांतरित कर दिया जाता है। ऐसा तब भी हो सकता है जब समष्टि का अभिविन्यास बदल दिया जाता है। उदाहरण के लिए, कोणीय संवेग एक छद्मसदिश है क्योंकि इसे अधिकतर एक सदिश के रूप में वर्णित किया जाता है, लेकिन केवल संदर्भ की स्थिति को बदलने (और स्थिति सदिश को बदलने) से, कोणीय संवेग 'सदिश' दिशा को उत्क्रमित कर सकता है। यह दिशा उत्क्रमण वास्तविक सदिश के साथ नहीं होना चाहिए।

तीन आयामों में, एक बिंदु पर एक ध्रुवीय सदिश क्षेत्र का कर्ल और दो ध्रुवीय सदिशों का सदिश गुणनफल छद्मसदिश हैं।

छद्मसदिश का एक उदाहरण एक अभिविन्यस्त समतल का अभिलम्ब है। एक अभिविन्यस्त समतल को दो गैर-समानांतर सदिशों, a और b द्वारा परिभाषित किया जा सकता है, जो समतल को स्पैन करते हैं। सदिश a × b समतल के लिए एक अभिलम्ब है (दो अभिलम्ब हैं, प्रत्येक तरफ एक - दाहिने हाथ का नियम यह निर्धारित करेगा कि कौन सा), और एक छद्मसदिश है। कंप्यूटर ग्राफ़िक्स में इसके परिणाम होते हैं, जहां सतही अभिलंबों का रूपांतरण करते समय इस पर विचार करना पड़ता है।

भौतिकी में कई राशियाँ ध्रुवीय सदिशों के बजाय छद्मसदिश के रूप में व्यवहार करती हैं, जिनमें चुंबकीय क्षेत्र और कोणीय वेग सम्मिलित हैं। गणित में, तीन-आयामों में, छद्मसदिश बायवेक्टर के बराबर होते हैं, जिससे छद्मसदिश के रूपांतरण नियम प्राप्त किए जा सकते हैं। अधिक आम तौर पर n-विमीय ज्यामितीय बीजगणित में छद्मसदिश विमा n − 1 के साथ बीजगणित के अवयव होते हैं, जिसे ⋀ⁿ⁻¹'R'ⁿ लिखा जाता है। लेबल "छद्म" को छद्मअदिश और छद्मप्रदिश के लिए और अधिक व्यापकीकृत किया जा सकता है, जो दोनों एक वास्तविक अदिश या प्रदिश की तुलना में अनुचित घूर्णनों के अंतर्गत एक अतिरिक्त चिन्ह फ्लिप प्राप्त करते हैं।

भौतिक उदाहरण

छद्मसदिशों के भौतिक उदाहरणों में टॉर्कः ,कोणीय वेग, कोणीय संवेग,चुंबकीय क्षेत्र,और चुंबकीय द्विध्रुवीय क्षण।

पर्यवेक्षक से दूर जाने वाली बाईं ओर कार के प्रत्येक पहिये में बाईं ओर इंगित करने वाला एक कोणीय गति छद्मसदिश होता है। कार की दर्पण छवि के लिए भी यही सच है। तथ्य यह है कि तीर एक-दूसरे की दर्पण छवियां होने के बजाय एक ही दिशा में इंगित करते हैं, यह दर्शाता है कि वे छद्मसदिश हैं।

छद्मसदिश कोणीय गति पर विचार करें L = Σ(r × p). कार में ड्राइविंग करते समय, और आगे देखते हुए, प्रत्येक पहिये में बाईं ओर इंगित करने वाला एक कोणीय गति सदिश होता है। यदि दुनिया एक दर्पण में प्रतिबिंबित होती है जो कार के बाएं और दाएं तरफ स्विच करती है, तो इस कोणीय गति सदिश का परावर्तन (एक साधारण सदिश के रूप में देखा जाता है) दाईं ओर इंगित करता है, लेकिन पहिया का वास्तविक कोणीय गति सदिश (जो है) अभी भी परावर्तन में आगे की ओर मुड़ना) अभी भी बाईं ओर इंगित करता है, एक छद्मसदिश के परावर्तन में अतिरिक्त संकेत फ्लिप के अनुरूप।

भौतिकी में समरूपता को समझने में ध्रुवीय वैक्टर और छद्मसदिश के बीच अंतर महत्वपूर्ण हो जाता है। में एक विद्युत धारा पाश पर विचार करें z = 0 वह समतल जो पाश के अंदर z दिशा में उन्मुख एक चुंबकीय क्षेत्र उत्पन्न करता है। यह प्रणाली इस विमान के माध्यम से दर्पण परावर्तन के तहत सममित (अपरिवर्तनीय) है, परावर्तन द्वारा चुंबकीय क्षेत्र अपरिवर्तित है। लेकिन उस तल के माध्यम से चुंबकीय क्षेत्र को एक सदिश के रूप में प्रतिबिंबित करने से इसके उलट होने की उम्मीद की जाएगी; इस अपेक्षा को यह समझकर ठीक किया जाता है कि चुंबकीय क्षेत्र एक छद्मसदिश है, जिसमें अतिरिक्त संकेत फ्लिप इसे अपरिवर्तित छोड़ देता है।

भौतिकी में, छद्मसदिश आम तौर पर दो ध्रुवीय वैक्टरों के सदिश गुणनफल या ध्रुवीय सदिश क्षेत्र के कर्ल (गणित) को लेने का परिणाम होते हैं। सदिश गुणनफल और कर्ल को परंपरा के अनुसार, दाहिने हाथ के नियम के अनुसार परिभाषित किया गया है, लेकिन इसे बाएं हाथ के नियम के संदर्भ में भी उतनी ही आसानी से परिभाषित किया जा सकता था। भौतिकी का संपूर्ण निकाय जो (दाएँ हाथ के) छद्मसदिशों और दाएँ हाथ के नियम से संबंधित है, बिना किसी समस्या के (बाएँ हाथ के) छद्मसदिशों और बाएँ हाथ के नियम का उपयोग करके प्रतिस्थापित किया जा सकता है। इस प्रकार परिभाषित (बाएं) छद्मसदिश दाएं हाथ के नियम द्वारा परिभाषित दिशा में विपरीत होंगे।

जबकि भौतिकी में सदिश संबंधों को समन्वय-मुक्त तरीके से व्यक्त किया जा सकता है, वैक्टर और छद्मसदिश को संख्यात्मक मात्रा के रूप में व्यक्त करने के लिए एक समन्वय प्रणाली की आवश्यकता होती है। सदिशों को संख्याओं के क्रमित त्रिक के रूप में दर्शाया जाता है: उदाहरण के लिए $\mathbf {a} =(a_{x},a_{y},a_{z})$, और छद्मसदिशों को इस रूप में भी दर्शाया गया है। बाएं और दाएं हाथ के समन्वय प्रणालियों के बीच रूपांतरण करते समय, छद्मसदिशों का प्रतिनिधित्व वैक्टर के रूप में परिवर्तित नहीं होता है, और उन्हें सदिश प्रतिनिधित्व के रूप में मानने से गलत संकेत परिवर्तन हो जाएगा, इसलिए इस बात का ध्यान रखना होगा कि कौन से ऑर्डर किए गए ट्रिपल वैक्टर का प्रतिनिधित्व करते हैं, और जो छद्मसदिशों का प्रतिनिधित्व करते हैं। यह समस्या मौजूद नहीं है यदि दो वैक्टरों के सदिश गुणनफल को दो वैक्टरों के बाहरी उत्पाद द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है, जो एक बायसदिश उत्पन्न करता है जो 2 रैंक टेंसर है और 3×3 मैट्रिक्स द्वारा दर्शाया जाता है। 2-टेंसर का यह प्रतिनिधित्व किन्हीं दो समन्वय प्रणालियों के बीच, उनकी सहजता से स्वतंत्र रूप से, सही ढंग से रूपांतरित होता है।

विवरण

See also: Covariance and contravariance of vectors and Euclidean vector

भौतिकी में एक सदिश की परिभाषा (ध्रुवीय सदिश और स्यूडोसदिश दोनों सहित) सदिश की गणितीय परिभाषा (अर्थात्, एक अमूर्त सदिश स्थल का कोई भी तत्व) की तुलना में अधिक विशिष्ट है। भौतिकी की परिभाषा के तहत, एक सदिश में टुपल होना आवश्यक है जो एक घूर्णन (गणित) के तहत एक निश्चित तरीके से बदलता है: विशेष रूप से, यदि ब्रह्मांड में सब कुछ घुमाया जाता, तो सदिश बिल्कुल उसी तरह से घूमता। (इस चर्चा में समन्वय प्रणाली तय की गई है; दूसरे शब्दों में यह सक्रिय और निष्क्रिय परिवर्तन का परिप्रेक्ष्य है।) गणितीय रूप से, यदि ब्रह्मांड में सब कुछ एक रोटेशन मैट्रिक्स आर द्वारा वर्णित रोटेशन से गुजरता है, तो एक विस्थापन सदिश 'x' है में परिवर्तित हो गया x′ = Rx, तो किसी भी सदिश v को इसी तरह से रूपांतरित किया जाना चाहिए v′ = Rv. यह महत्वपूर्ण आवश्यकता ही एक सदिश (जो उदाहरण के लिए, वेग के x-, y- और z-घटकों से बना हो सकता है) को भौतिक मात्राओं के किसी भी अन्य त्रिक (उदाहरण के लिए, लंबाई, चौड़ाई और ऊंचाई) से अलग करती है। एक आयताकार बॉक्स के तीन घटकों को सदिश के तीन घटकों पर विचार नहीं किया जा सकता है, क्योंकि बॉक्स को घुमाने से ये तीन घटक उचित रूप से परिवर्तित नहीं होते हैं।)

(विभेदक ज्यामिति की भाषा में, यह आवश्यकता एक सदिश को सहप्रसरण का टेंसर और रैंक एक के वैक्टर के कॉन्ट्रावेरिएंस को परिभाषित करने के बराबर है। इस अधिक सामान्य ढांचे में, उच्च रैंक टेंसर में मनमाने ढंग से कई और मिश्रित सहसंयोजक और कॉन्ट्रावेरिएंट रैंक भी हो सकते हैं। एक ही समय, आइंस्टीन सारांश सम्मेलन के भीतर ऊंचे और निचले सूचकांकों द्वारा दर्शाया गया है।

सामान्य मैट्रिक्स गुणन ऑपरेटर के तहत पंक्ति और स्तंभ वैक्टर का एक बुनियादी और ठोस उदाहरण है: एक क्रम में वे डॉट उत्पाद प्राप्त करते हैं, जो सिर्फ एक अदिश है और इस तरह एक रैंक शून्य टेंसर है, जबकि दूसरे में वे डायडिक उत्पन्न करते हैं उत्पाद, जो एक मैट्रिक्स है जो एक रैंक दो मिश्रित टेंसर का प्रतिनिधित्व करता है, जिसमें एक कंट्रावेरिएंट और एक सहसंयोजक सूचकांक होता है। इस प्रकार, मानक मैट्रिक्स बीजगणित की गैर-अनुवर्तनीयता का उपयोग सहसंयोजक और विरोधाभासी वैक्टर के बीच अंतर का ट्रैक रखने के लिए किया जा सकता है। वास्तव में, अधिक औपचारिक और सामान्यीकृत टेंसर नोटेशन के आने से पहले बहीखाता पद्धति इसी प्रकार की जाती थी। यह अभी भी स्वयं प्रकट होता है कि व्यावहारिक हेरफेर के लिए सामान्य टेंसर रिक्त स्थान के आधार वैक्टर को कैसे प्रदर्शित किया जाता है।)

अब तक की चर्चा केवल उचित घूर्णन, यानी एक अक्ष के चारों ओर घूर्णन से संबंधित है। हालाँकि, कोई अनुचित घुमाव पर भी विचार कर सकता है, यानी दर्पण-परावर्तन के बाद संभवतः उचित घुमाव। (अनुचित घूर्णन का एक उदाहरण 3-आयामी अंतरिक्ष में एक बिंदु के माध्यम से व्युत्क्रमण है।) मान लीजिए कि ब्रह्मांड में हर चीज अनुचित घूर्णन मैट्रिक्स आर द्वारा वर्णित एक अनुचित घूर्णन से गुजरती है, जिससे एक स्थिति सदिश 'x' में बदल जाता है। x′ = Rx. यदि सदिश v एक ध्रुवीय सदिश है, तो इसे रूपांतरित किया जाएगा v′ = Rv. यदि यह एक छद्मसदिश है, तो इसे रूपांतरित किया जाएगा v′ = −Rv.

ध्रुवीय सदिशों और छद्मसदिशों के लिए परिवर्तन नियमों को संक्षिप्त रूप से इस प्रकार बताया जा सकता है

${\begin{aligned}\mathbf {v} '&=R\mathbf {v} &&{\text{(polar vector)}}\\\mathbf {v} '&=(\det R)(R\mathbf {v} )&&{\text{(pseudovector)}}\end{aligned}}$

जहां प्रतीक ऊपर वर्णित अनुसार हैं, और रोटेशन मैट्रिक्स आर या तो उचित या अनुचित हो सकता है। प्रतीक det निर्धारक को दर्शाता है; यह सूत्र काम करता है क्योंकि उचित और अनुचित रोटेशन मैट्रिक्स के निर्धारक क्रमशः +1 और -1 हैं।

जोड़, घटाव, अदिश गुणन के अंतर्गत व्यवहार

मान लीजिए वी₁ और वी₂ ज्ञात छद्मसदिश हैं, और वी₃ उनके योग के रूप में परिभाषित किया गया है, v₃ = v₁ + v₂. यदि ब्रह्मांड एक घूर्णन मैट्रिक्स आर द्वारा रूपांतरित होता है, तो 'v'₃ में परिवर्तित हो जाता है

${\begin{aligned}\mathbf {v_{3}} '=\mathbf {v_{1}} '+\mathbf {v_{2}} '&=(\det R)(R\mathbf {v_{1}} )+(\det R)(R\mathbf {v_{2}} )\\&=(\det R)(R(\mathbf {v_{1}} +\mathbf {v_{2}} ))=(\det R)(R\mathbf {v_{3}} ).\end{aligned}}$

तो वि₃ एक छद्मसदिश भी है. इसी प्रकार कोई यह दिखा सकता है कि दो छद्मसदिशों के बीच का अंतर एक छद्मसदिश है, कि दो ध्रुवीय वैक्टरों का योग या अंतर एक ध्रुवीय सदिश है, कि एक ध्रुवीय सदिश को किसी भी वास्तविक संख्या से गुणा करने पर एक और ध्रुवीय सदिश प्राप्त होता है, और एक छद्मसदिश को किसी भी वास्तविक संख्या से गुणा करने पर एक ध्रुवीय सदिश प्राप्त होता है। संख्या एक और छद्मसदिश उत्पन्न करती है।

दूसरी ओर, मान लीजिए वी₁ एक ध्रुवीय सदिश के रूप में जाना जाता है, वी₂ एक छद्मसदिश के रूप में जाना जाता है, और वी₃ उनके योग के रूप में परिभाषित किया गया है, v₃ = v₁ + v₂. यदि ब्रह्माण्ड एक अनुचित घूर्णन मैट्रिक्स R द्वारा रूपांतरित होता है, तो 'v'₃ में परिवर्तित हो जाता है

$\mathbf {v_{3}} '=\mathbf {v_{1}} '+\mathbf {v_{2}} '=(R\mathbf {v_{1}} )+(\det R)(R\mathbf {v_{2}} )=R(\mathbf {v_{1}} +(\det R)\mathbf {v_{2}} ).$

इसलिए, वी₃ न तो ध्रुवीय सदिश है और न ही छद्मसदिश (हालांकि भौतिकी की परिभाषा के अनुसार यह अभी भी एक सदिश है)। अनुचित घुमाव के लिए, वी₃ सामान्यतः समान परिमाण भी नहीं रखता:

$|{\mathbf{v}}_{\mathbf{3}}|=|$