वर्ग आव्युह

File:Arbitrary square matrix.gif

क्रम 4 का एक वर्ग मैट्रिक्स। प्रविष्टियाँ $a_{ii}$ एक वर्ग मैट्रिक्स का मुख्य विकर्ण बनाएं। उदाहरण के लिए, उपरोक्त 4×4 मैट्रिक्स के मुख्य विकर्ण में तत्व शामिल हैं a₁₁ = 9, a₂₂ = 11, a₃₃ = 4, a₄₄ = 10.

गणित में, एक वर्ग मैट्रिक्स एक मैट्रिक्स (गणित) है जिसमें समान संख्या में पंक्तियाँ और स्तंभ होते हैं। एक n-by-n मैट्रिक्स को क्रम के वर्ग मैट्रिक्स के रूप में जाना जाता है $n$. समान क्रम के किन्हीं दो वर्ग आव्यूहों को जोड़ा और गुणा किया जा सकता है।

वर्ग मैट्रिक्स का उपयोग अक्सर सरल रैखिक परिवर्तनों, जैसे कि कतरनी मानचित्रण या रोटेशन (गणित) को दर्शाने के लिए किया जाता है। उदाहरण के लिए, यदि $R$ एक वर्गाकार मैट्रिक्स है जो एक घूर्णन (रोटेशन मैट्रिक्स) का प्रतिनिधित्व करता है और $\mathbf {v}$ एक स्तंभ वेक्टर है जो अंतरिक्ष में एक बिंदु की स्थिति (वेक्टर) का वर्णन करता है, उत्पाद $R\mathbf {v}$ उस घूर्णन के बाद उस बिंदु की स्थिति का वर्णन करने वाला एक और कॉलम वेक्टर उत्पन्न होता है। अगर $\mathbf {v}$ एक पंक्ति वेक्टर है, वही परिवर्तन का उपयोग करके प्राप्त किया जा सकता है $\mathbf {v} R^{\mathsf {T}}$, कहाँ $R^{\mathsf {T}}$ का स्थानांतरण है $R$.

मुख्य विकर्ण

Main article: Main diagonal

प्रविष्टियाँ $a_{ii}$ (i = 1, …, n) एक वर्ग मैट्रिक्स का मुख्य विकर्ण बनाता है। वे काल्पनिक रेखा पर स्थित हैं जो मैट्रिक्स के ऊपरी बाएँ कोने से निचले दाएँ कोने तक चलती है। उदाहरण के लिए, उपरोक्त 4×4 मैट्रिक्स के मुख्य विकर्ण में तत्व शामिल हैं a₁₁ = 9, a₂₂ = 11, a₃₃ = 4, a₄₄ = 10.

एक वर्ग मैट्रिक्स के शीर्ष दाएं से निचले बाएं कोने तक के विकर्ण को प्रतिविकर्ण या प्रतिविकर्ण कहा जाता है।

विशेष प्रकार

Name	Example with n = 3
Diagonal matrix	${\begin{bmatrix}a_{11}&0&0\\0&a_{22}&0\\0&0&a_{33}\end{bmatrix}}$
Lower triangular matrix	${\begin{bmatrix}a_{11}&0&0\\a_{21}&a_{22}&0\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{bmatrix}}$
Upper triangular matrix	${\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\0&a_{22}&a_{23}\\0&0&a_{33}\end{bmatrix}}$

विकर्ण या त्रिकोणीय मैट्रिक्स

यदि मुख्य विकर्ण के बाहर सभी प्रविष्टियाँ शून्य हैं, $A$ विकर्ण मैट्रिक्स कहा जाता है। यदि केवल मुख्य विकर्ण के ऊपर (या नीचे) सभी प्रविष्टियाँ शून्य हैं, $A$ ऊपरी (या निचला) त्रिकोणीय मैट्रिक्स कहा जाता है।

पहचान मैट्रिक्स

पहचान मैट्रिक्स $I_{n}$ आकार का $n$ है $n\times n$ मैट्रिक्स जिसमें मुख्य विकर्ण पर सभी तत्व 1 के बराबर हैं और अन्य सभी तत्व 0 के बराबर हैं, उदाहरण के लिए

$I_{1}={\begin{bmatrix}1\end{bmatrix}},\ I_{2}={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}},\ \ldots ,\ I_{n}={\begin{bmatrix}1&0&\cdots &0\\0&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &1\end{bmatrix}}.$

यह क्रम का एक वर्ग मैट्रिक्स है $n$, और एक विशेष प्रकार का विकर्ण मैट्रिक्स भी। इसे पहचान मैट्रिक्स कहा जाता है क्योंकि इसके साथ गुणा करने पर मैट्रिक्स अपरिवर्तित रहता है:

AI_n = I_mA = A किसी भी एम-बाय-एन मैट्रिक्स के लिए $A$.

उलटा मैट्रिक्स और इसका व्युत्क्रम

एक वर्ग मैट्रिक्स $A$ यदि कोई मैट्रिक्स मौजूद है तो इसे व्युत्क्रमणीय मैट्रिक्स या गैर-एकवचन कहा जाता है $B$ ऐसा है कि

$AB=BA=I_{n}.$

अगर $B$ मौजूद है, यह अद्वितीय है और इसे व्युत्क्रम मैट्रिक्स कहा जाता है $A$, निरूपित $A^{-1}$.

सममित या तिरछा-सममित मैट्रिक्स

एक वर्ग मैट्रिक्स $A$ यह इसके स्थानान्तरण के बराबर है, अर्थात, $A^{\mathsf {T}}=A$, एक सममित मैट्रिक्स है. यदि इसके बजाय $A^{\mathsf {T}}=-A$, तब $A$ तिरछा-सममित मैट्रिक्स कहा जाता है।

एक जटिल वर्ग मैट्रिक्स के लिए $A$, अक्सर ट्रांसपोज़ का उपयुक्त एनालॉग संयुग्म स्थानांतरण होता है $A^{*}$, के जटिल संयुग्म के स्थानान्तरण के रूप में परिभाषित किया गया है $A$. एक जटिल वर्ग मैट्रिक्स $A$ संतुष्टि देने वाला $A^{*}=A$ हर्मिटियन मैट्रिक्स कहा जाता है। यदि इसके बजाय $A^{*}=-A$, तब $A$ तिरछा-हर्मिटियन मैट्रिक्स कहा जाता है।

वर्णक्रमीय प्रमेय के अनुसार, वास्तविक सममित (या जटिल हर्मिटियन) आव्यूहों में एक ऑर्थोगोनल (या एकात्मक) अपना आधार होता है; यानी, प्रत्येक वेक्टर eigenvectors के रैखिक संयोजन के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। दोनों ही मामलों में, सभी eigenvalues ​​​​वास्तविक हैं।

निश्चित मैट्रिक्स

Positive definite	Indefinite
${\begin{bmatrix}1/4&0\\0&1\\\end{bmatrix}}$	${\begin{bmatrix}1/4&0\\0&-1/4\end{bmatrix}}$
Q(x,y) = 1/4 x2 + y2	Q(x,y) = 1/4 x2 − 1/4 y2
File:Ellipse in coordinate system with semi-axes labelled.svg Points such that Q(x, y) = 1 (Ellipse).	File:Hyperbola2 SVG.svg Points such that Q(x, y) = 1 (Hyperbola).

एक सममित n×n-मैट्रिक्स को सकारात्मक-निश्चित मैट्रिक्स कहा जाता है | सकारात्मक-निश्चित (क्रमशः नकारात्मक-निश्चित; अनिश्चितकालीन), यदि सभी गैर-शून्य वैक्टर के लिए $x\in \mathbb {R} ^{n}$ संबंधित द्विघात रूप दिया गया है

<उद्धरण in=द्विघात रूप>Q('x') = 'x'^टीए'एक्स'</उद्धरण>

केवल सकारात्मक मान लेता है (क्रमशः केवल नकारात्मक मान; कुछ नकारात्मक और कुछ सकारात्मक दोनों)। यदि द्विघात रूप केवल गैर-नकारात्मक (क्रमशः केवल गैर-सकारात्मक) मान लेता है, तो सममित मैट्रिक्स को सकारात्मक-अर्ध-निश्चित (क्रमशः नकारात्मक-अर्ध-निश्चित) कहा जाता है; इसलिए मैट्रिक्स निश्चित रूप से अनिश्चित है जब यह न तो सकारात्मक-अर्ध-निश्चित है और न ही नकारात्मक-अर्ध-निश्चित है।

एक सममित मैट्रिक्स सकारात्मक-निश्चित है यदि और केवल तभी जब इसके सभी स्वदेशी मान सकारात्मक हों। दाईं ओर की तालिका 2×2 मैट्रिक्स के लिए दो संभावनाएं दिखाती है।

इसके बजाय इनपुट के रूप में दो अलग-अलग वैक्टरों को अनुमति देने से ए से जुड़ा द्विरेखीय रूप प्राप्त होता है:

बी_A(एक्स, वाई) = एक्स^टीए'य'.

ओर्थोगोनल मैट्रिक्स

एक ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स वास्तविक संख्या प्रविष्टियों वाला एक मैट्रिक्स (गणित)#स्क्वायर मैट्रिक्स है, जिसके कॉलम और पंक्तियाँ ऑर्थोगोनल इकाई वेक्टर (यानी, लंबनात्मकता वैक्टर) हैं। समान रूप से, एक मैट्रिक्स ए ऑर्थोगोनल है यदि इसका स्थानान्तरण इसके व्युत्क्रम मैट्रिक्स के बराबर है:

$A^{\textsf {T}}=A^{-1},$

जिसमें शामिल है

$A^{\textsf {T}}A=AA^{\textsf {T}}=I,$

जहां I पहचान मैट्रिक्स है।

एक ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स ए आवश्यक रूप से व्युत्क्रमणीय मैट्रिक्स (व्युत्क्रम के साथ) है A⁻¹ = A^T), एकात्मक मैट्रिक्स (A⁻¹ = A*), और सामान्य मैट्रिक्स (A*A = AA*). किसी भी ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स का निर्धारक या तो +1 या -1 है। विशेष ओर्थोगोनल समूह $\operatorname {SO} (n)$ के होते हैं n × n निर्धारक +1 के साथ ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स।

ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स का जटिल संख्या एनालॉग एक एकात्मक मैट्रिक्स है।

सामान्य मैट्रिक्स

एक वास्तविक या जटिल वर्ग मैट्रिक्स $A$ यदि सामान्य मैट्रिक्स कहा जाता है $A^{*}A=AA^{*}$. यदि एक वास्तविक वर्ग मैट्रिक्स सममित, तिरछा-सममित, या ऑर्थोगोनल है, तो यह सामान्य है। यदि एक जटिल वर्ग मैट्रिक्स हर्मिटियन, स्क्यू-हर्मिटियन, या एकात्मक है, तो यह सामान्य है। सामान्य आव्यूह मुख्य रूप से रुचिकर होते हैं क्योंकि उनमें अभी सूचीबद्ध आव्यूहों के प्रकार शामिल होते हैं और वे आव्यूहों का सबसे व्यापक वर्ग बनाते हैं जिसके लिए वर्णक्रमीय प्रमेय लागू होता है।

संचालन

ट्रेस

एक मैट्रिक्स का ट्रेस, एक वर्ग मैट्रिक्स ए का tr(A) इसकी विकर्ण प्रविष्टियों का योग है। जबकि मैट्रिक्स गुणन क्रमविनिमेय नहीं है, दो मैट्रिक्स के उत्पाद का निशान कारकों के क्रम से स्वतंत्र है:

$\operatorname {tr} (AB)=\operatorname {tr} (BA).$

यह मैट्रिक्स गुणन की परिभाषा से तत्काल है:

$\operatorname {tr} (AB)=\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{n}A_{ij}B_{ji}=\operatorname {tr} (BA).$

इसके अलावा, एक मैट्रिक्स का ट्रेस उसके ट्रांसपोज़ के बराबर होता है, यानी,

$\operatorname {tr} (A)=\operatorname {tr} (A^{\mathrm {T} }).$

निर्धारक

Main article: Determinant

File:Determinant example.svg

पर एक रेखीय परिवर्तन $\mathbb {R} ^{2}$ संकेतित मैट्रिक्स द्वारा दिया गया। इस मैट्रिक्स का निर्धारक −1 है, क्योंकि दाईं ओर हरे समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल 1 है, लेकिन नक्शा अभिविन्यास (गणित) को उलट देता है, क्योंकि यह वैक्टर के वामावर्त अभिविन्यास को दक्षिणावर्त दिशा में बदल देता है।

निर्धारक $\det(A)$ या $|A|$ एक वर्ग मैट्रिक्स का $A$ मैट्रिक्स के कुछ गुणों को एन्कोड करने वाली एक संख्या है। एक मैट्रिक्स व्युत्क्रमणीय है यदि और केवल यदि इसका सारणिक अशून्य है। इसका निरपेक्ष मान क्षेत्रफल (इंच) के बराबर होता है $\mathbb {R} ^{2}$) या आयतन (इंच) $\mathbb {R} ^{3}$) इकाई वर्ग (या घन) की छवि का, जबकि इसका चिह्न संबंधित रैखिक मानचित्र के अभिविन्यास से मेल खाता है: निर्धारक सकारात्मक है यदि और केवल यदि अभिविन्यास संरक्षित है।

2×2 आव्यूहों का निर्धारक किसके द्वारा दिया जाता है?

$\det {\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}=ad-bc.$

3×3 आव्यूहों के निर्धारक में 6 पद (सरस का नियम) शामिल हैं। निर्धारकों के लिए अधिक लंबा लाइबनिज सूत्र इन दो सूत्रों को सभी आयामों के लिए सामान्यीकृत करता है। वर्ग आव्यूहों के उत्पाद का निर्धारक उनके निर्धारकों के उत्पाद के बराबर होता है:

$\det(AB)=\det(A)\cdot \det(B)$

किसी पंक्ति के गुणज को दूसरी पंक्ति में, या किसी स्तंभ के गुणज को दूसरे स्तंभ में जोड़ने से निर्धारक नहीं बदलता है। दो पंक्तियों या दो स्तंभों को आपस में बदलने से निर्धारक को -1 से गुणा करके प्रभावित किया जाता है। इन परिचालनों का उपयोग करके, किसी भी मैट्रिक्स को निचले (या ऊपरी) त्रिकोणीय मैट्रिक्स में परिवर्तित किया जा सकता है, और ऐसे मैट्रिक्स के लिए निर्धारक मुख्य विकर्ण पर प्रविष्टियों के उत्पाद के बराबर होता है; यह किसी भी मैट्रिक्स के निर्धारक की गणना करने की एक विधि प्रदान करता है। अंत में, लाप्लास विस्तार निर्धारक को लघु (रैखिक बीजगणित) के संदर्भ में व्यक्त करता है, यानी, छोटे आव्यूहों के निर्धारक। इस विस्तार का उपयोग निर्धारकों की पुनरावर्ती परिभाषा के लिए किया जा सकता है (प्रारंभिक मामले के रूप में 1×1 मैट्रिक्स का निर्धारक, जो इसकी अद्वितीय प्रविष्टि है, या यहां तक ​​​​कि 0×0 मैट्रिक्स का निर्धारक, जो 1 है) के रूप में लिया जा सकता है, जो कि हो सकता है लीबनिज सूत्र के समतुल्य माना जाता है। क्रैमर के नियम का उपयोग करके रैखिक प्रणालियों को हल करने के लिए निर्धारकों का उपयोग किया जा सकता है, जहां दो संबंधित वर्ग मैट्रिक्स के निर्धारकों का विभाजन सिस्टम के प्रत्येक चर के मूल्य के बराबर होता है।

आइजेनवैल्यू और आइजेनवेक्टर

Main article: Eigenvalues and eigenvectors

एक संख्या λ और एक गैर-शून्य वेक्टर $\mathbf {v}$ संतुष्टि देने वाला

$A\mathbf {v} =\lambda \mathbf {v}$

को eigenvalue और eigenvector कहा जाता है $A$, क्रमश। संख्या λ एक n×n-मैट्रिक्स A का एक eigenvalue है यदि और केवल यदि A − λI_n उलटा नहीं है, जो कि तार्किक तुल्यता है

$\det(A-\lambda I)=0.$

बहुपद पी_A निर्धारक के मूल्यांकन द्वारा दिए गए एक अनिश्चित (चर) एक्स में det(XI_n − A) को A का अभिलक्षणिक बहुपद कहा जाता है। यह एक बहुपद n की घात वाला एक बहुपद है। इसलिए बहुपद समीकरण p_A(λ) = 0 में अधिकतम n विभिन्न समाधान हैं, अर्थात, मैट्रिक्स के eigenvalues। भले ही A की प्रविष्टियाँ वास्तविक हों, वे जटिल हो सकती हैं। केली-हैमिल्टन प्रमेय के अनुसार, p_A(A) = 0, अर्थात्, मैट्रिक्स को अपने स्वयं के विशिष्ट बहुपद में प्रतिस्थापित करने का परिणाम शून्य मैट्रिक्स उत्पन्न करता है।

यह भी देखें

• कार्टन मैट्रिक्स

संदर्भ

• Brown, William C. (1991), Matrices and vector spaces, New York, NY: Marcel Dekker, ISBN 978-0-8247-8419-5
• Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (1985), Matrix Analysis, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-38632-6
• Mirsky, Leonid (1990), An Introduction to Linear Algebra, Courier Dover Publications, ISBN 978-0-486-66434-7

बाहरी संबंध

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