कॉची गुणनफल

गणित में, विशेष रूप से गणितीय विश्लेषण में, कॉची उत्पाद दो श्रृंखलाओं (गणित) का असतत कनवल्शन है। इसका नाम फ्रांसीसी गणितज्ञ ऑगस्टिन-लुई कॉची के नाम पर रखा गया है।

परिभाषाएँ

कॉची उत्पाद अनंत श्रृंखला पर लागू हो सकता है या पावर श्रृंखला। जब लोग इसे सीमित अनुक्रमों पर लागू करते हैं या परिमित श्रृंखला, जिसे केवल गैर-शून्य गुणांकों की एक सीमित संख्या के साथ श्रृंखला के उत्पाद के एक विशेष मामले के रूप में देखा जा सकता है (देखें कन्वोल्यूशन#असतत कन्वोल्यूशन)।

कन्वर्जेंस (गणित) मुद्दों पर #कन्वर्जेंस और मर्टेंस प्रमेय में चर्चा की गई है।

दो अनंत श्रृंखलाओं का कॉची उत्पाद

होने देना ${\textstyle \sum _{i=0}^{\infty }a_{i}}$ और ${\textstyle \sum _{j=0}^{\infty }b_{j}}$ जटिल पदों वाली दो अनंत श्रृंखलाएँ हों। इन दो अनंत श्रृंखलाओं के कॉची उत्पाद को असतत कनवल्शन द्वारा निम्नानुसार परिभाषित किया गया है:

$\left(\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}\right)\cdot \left(\sum _{j=0}^{\infty }b_{j}\right)=\sum _{k=0}^{\infty }c_{k}$ कहाँ $c_{k}=\sum _{l=0}^{k}a_{l}b_{k-l}$.

दो पावर श्रृंखला का कॉची उत्पाद

निम्नलिखित दो शक्ति श्रृंखलाओं पर विचार करें

$\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}x^{i}$ और $\sum _{j=0}^{\infty }b_{j}x^{j}$

जटिल गुणांकों के साथ $\{a_{i}\}$ और $\{b_{j}\}$. इन दो शक्ति श्रृंखलाओं के कॉची उत्पाद को असतत कनवल्शन द्वारा निम्नानुसार परिभाषित किया गया है:

$\left(\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}x^{i}\right)\cdot \left(\sum _{j=0}^{\infty }b_{j}x^{j}\right)=\sum _{k=0}^{\infty }c_{k}x^{k}$ कहाँ $c_{k}=\sum _{l=0}^{k}a_{l}b_{k-l}$.

अभिसरण और मर्टेंस प्रमेय

Not to be confused with Mertens' theorems concerning distribution of prime numbers.

होने देना (a_n)_n≥0 और (b_n)_n≥0 वास्तविक या जटिल अनुक्रम हों। यह फ्रांज मर्टेंस द्वारा सिद्ध किया गया था कि, यदि श्रृंखला ${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}}$ अभिसरण श्रृंखला को A और ${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }b_{n}}$ में एकत्रित हो जाता है B, और उनमें से कम से कम एक पूर्ण अभिसरण, फिर उनका कॉची उत्पाद अभिसरण होता है AB. प्रमेय अभी भी बानाच बीजगणित में मान्य है (निम्नलिखित प्रमाण की पहली पंक्ति देखें)।

दोनों श्रृंखलाओं का अभिसरण होना पर्याप्त नहीं है; यदि दोनों अनुक्रम सशर्त अभिसरण हैं, तो कॉची उत्पाद को दो श्रृंखलाओं के उत्पाद की ओर अभिसरण नहीं करना पड़ता है, जैसा कि निम्नलिखित उदाहरण से पता चलता है:

उदाहरण

दो वैकल्पिक श्रृंखलाओं पर विचार करें

$$a_{n}=b_{n}={\frac {(-1)^{n}}{\sqrt {n+1}}}\,,$$

जो केवल सशर्त रूप से अभिसरण हैं (पूर्ण मूल्यों की श्रृंखला का विचलन प्रत्यक्ष तुलना परीक्षण और हार्मोनिक श्रृंखला (गणित) के विचलन से होता है)। उनके कॉची उत्पाद की शर्तें दी गई हैं

$$c_{n}=\sum _{k=0}^{n}{\frac {(-1)^{k}}{\sqrt {k+1}}}\cdot {\frac {(-1)^{n-k}}{\sqrt {n-k+1}}}=(-1)^{n}\sum _{k=0}^{n}{\frac {1}{\sqrt {(k+1)(n-k+1)}}}$$

प्रत्येक पूर्णांक के लिए n ≥ 0. चूंकि प्रत्येक के लिए k ∈ {0, 1, ..., n} हमारे पास असमानताएं हैं k + 1 ≤ n + 1 और n – k</