तरंग संकुल

"Wave train" redirects here. For the mathematics concept, see Periodic travelling wave.

Not to be confused with Wave group.

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फैलाव के बिना एक तरंग पैकेट (वास्तविक या काल्पनिक भाग)

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फैलाव के साथ एक तरंग पैकेट

भौतिकी में, एक वेव पैकेट (या वेव ट्रेन) स्थानीय तरंग क्रिया का एक छोटा फट या वेव लिफ़ाफ़ा है जो एक इकाई के रूप में यात्रा करता है। एक तरंग पैकेट का विश्लेषण किया जा सकता है, या विभिन्न तरंगों के घटक साइनसोइडल तरंगों के एक अनंत सेट से संश्लेषित किया जा सकता है, चरणों और आयामों के साथ, जैसे कि वे केवल अंतरिक्ष के एक छोटे से क्षेत्र में रचनात्मक रूप से हस्तक्षेप करते हैं, और विनाशकारी रूप से कहीं और।

प्रत्येक घटक तरंग फ़ंक्शन, और इसलिए तरंग पैकेट, तरंग समीकरण के समाधान हैं। तरंग समीकरण के आधार पर, तरंग पैकेट की प्रोफ़ाइल स्थिर रह सकती है (कोई फैलाव (पानी की लहरें नहीं), चित्र देखें) या प्रसार के दौरान यह (फैलाव) बदल सकता है।

क्वांटम यांत्रिकी तरंग पैकेट को एक विशेष महत्व देती है; इसे प्रायिकता आयाम के रूप में व्याख्यायित किया जाता है, इसका मानक वर्ग संभाव्यता घनत्व का वर्णन करता है कि किसी विशेष अवस्था में एक कण या कण को ​​​​दी गई स्थिति या गति के लिए मापा जाएगा। लहर समीकरण इस मामले में श्रोडिंगर समीकरण है, और इसके आवेदन के माध्यम से शास्त्रीय यांत्रिकी में हैमिल्टनियन यांत्रिकी औपचारिकता की प्रक्रिया के समान क्वांटम मैकेनिकल सिस्टम के समय के विकास को कम करना संभव है। श्रोडिंगर समीकरण के समाधान के फैलाव चरित्र ने श्रोडिंगर समीकरण को खारिज करने में #ऐतिहासिक पृष्ठभूमि और विकास | श्रोडिंगर की मूल व्याख्या, और बोर्न नियम को स्वीकार करने में महत्वपूर्ण भूमिका निभाई है।

लहर के समन्वय प्रतिनिधित्व में (जैसे कार्टेशियन समन्वय प्रणाली), भौतिक वस्तु की स्थानीय संभावना की स्थिति पैकेट समाधान की स्थिति से निर्दिष्ट होती है। इसके अलावा, स्थानिक तरंग पैकेट जितना संकरा होता है, और इसलिए तरंग पैकेट की स्थिति जितनी बेहतर होती है, तरंग के संवेग में प्रसार उतना ही बड़ा होता है। स्थिति में प्रसार और गति में प्रसार के बीच यह व्यापार-बंद वर्नर हाइजेनबर्ग अनिश्चितता सिद्धांत की एक विशेषता है, और नीचे सचित्र किया जाएगा।

ऐतिहासिक पृष्ठभूमि

1900 की शुरुआत में, यह स्पष्ट हो गया कि क्लासिकल यांत्रिकी में कुछ बड़ी कमियां थीं। आइजैक न्यूटन ने मूल रूप से इस विचार को प्रस्तावित किया था कि प्रकाश असतत पैकेट में आता है, जिसे उन्होंने कॉर्पसकल कहा था, लेकिन कई प्रकाश घटनाओं के तरंग-समान व्यवहार ने वैज्ञानिकों को विद्युत चुंबकत्व के तरंग विवरण का पक्ष लेने के लिए प्रेरित किया। यह 1930 के दशक तक नहीं था कि प्रकाश की कण प्रकृति को वास्तव में भौतिकी में व्यापक रूप से स्वीकार किया जाने लगा। क्वांटम यांत्रिकी का विकास – और भ्रमित करने वाले प्रायोगिक परिणामों की व्याख्या करने में इसकी सफलता – इस स्वीकृति के मूल में था। इस प्रकार, क्वांटम यांत्रिकी के निर्माण में बुनियादी अवधारणाओं में से एक यह है कि प्रकाश असतत बंडलों में आता है जिसे फोटॉन कहा जाता है। एक फोटॉन की ऊर्जा इसकी आवृत्ति का एक कार्य है,

$$E=h\nu .$$

फोटॉन की ऊर्जा प्लैंक स्थिरांक के गुणनफल के बराबर होती है, h, और इसकी आवृत्ति, ν. इसने शास्त्रीय भौतिकी में एक समस्या का समाधान किया, जिसे पराबैंगनी तबाही कहा जाता है।

20वीं शताब्दी के दौरान क्वांटम यांत्रिकी के विचारों का विकास जारी रहा। जो चित्र विकसित किया गया था वह एक कणीय दुनिया का था, जिसमें सभी घटनाएं और पदार्थ असतत कणों से बने और परस्पर क्रिया करते थे; हालाँकि, इन कणों को प्रायिकता तरंग द्वारा वर्णित किया गया था। इन संभाव्यता आयामों की गणना के लिए इंटरैक्शन, स्थान और सभी भौतिकी को कम किया जाएगा।

दुनिया की कण-जैसी प्रकृति की एक सदी से अधिक प्रयोग द्वारा पुष्टि की गई है, जबकि तरंग जैसी घटना को क्वांटम कणों के तरंग पैकेट पहलू के परिणाम के रूप में चित्रित किया जा सकता है (तरंग-कण द्वैत देखें)। संपूरकता के सिद्धांत के अनुसार, तरंग-जैसी और कण-जैसी विशेषताएं कभी भी एक ही समय में, यानी एक ही प्रयोग में प्रकट नहीं होती हैं; हालाँकि, अफशर प्रयोग और इसके आसपास की जीवंत चर्चा देखें।

मूल व्यवहार

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एक केंद्रित संभावित दीवार में आवधिक क्वांटम टनलिंग का अनुभव करने वाले एक अनंत संभावित अच्छी तरह से फंसे एक प्रारंभिक गॉसियन राज्य की स्थिति अंतरिक्ष संभावना घनत्व।

गैर-फैलाने वाला

फैलाव के बिना प्रसार के एक उदाहरण के रूप में, क्लासिकल भौतिकी से निम्न तरंग समीकरण के तरंग समाधान पर विचार करें

$${\partial ^{2}u \over \partial t^{2}}=c^{2}\,\nabla ^{2}u,$$

कहाँ c किसी दिए गए माध्यम में तरंग के प्रसार की गति है।

भौतिकी समय परिपाटी का उपयोग करते हुए, e^−iωt, तरंग समीकरण के समतल-तरंग समाधान हैं

$$u(\mathbf {x} ,t)=e^{i{(\mathbf {k\cdot x} }-\omega t)},$$

कहाँ

$$\omega ^{2}=|\mathbf {k} |^{2}c^{2},$$

और $|\mathbf {k} |^{2}=k_{x}^{2}+k_{y}^{2}+k_{z}^{2}.$ के बीच यह संबंध ω और k मान्य होना चाहिए ताकि समतल तरंग तरंग समीकरण का हल हो। इसे फैलाव संबंध कहा जाता है।

सरल बनाने के लिए, केवल एक आयाम में फैलने वाली तरंगों पर विचार करें (तीन आयामों तक विस्तार सीधा है)। तब सामान्य समाधान है

$$u(x,t)=Ae^{i(kx-\omega t)}+Be^{-i(kx+\omega t)},$$

जिसमें हम ले सकते हैं ω = kc. पहला शब्द सकारात्मक में फैलने वाली लहर का प्रतिनिधित्व करता है x-direction चूंकि यह एक कार्य है x − ct केवल; दूसरा कार्यकाल, का एक कार्य है x + ct, ऋणात्मक में प्रसारित होने वाली तरंग का प्रतिनिधित्व करता है x-direction.

एक तरंग पैकेट एक स्थानीय गड़बड़ी है जो कई अलग-अलग तरंग रूपों के योग से उत्पन्न होती है। यदि पैकेट दृढ़ता से स्थानीयकृत है, तो स्थानीयकरण के क्षेत्र में रचनात्मक सुपरपोजिशन और क्षेत्र के बाहर विनाशकारी सुपरपोजिशन की अनुमति देने के लिए अधिक आवृत्तियों की आवश्यकता होती है। मूल समाधानों से एक आयाम में, तरंग पैकेट के एक सामान्य रूप को व्यक्त किया जा सकता है

$$u(x,t)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\,\infty }A(k)~e^{i(kx-\omega (k)t)}\,dk.$$

जैसा कि प्लेन-वेव मामले में वेव पैकेट दाईं ओर जाता है ω(k) = kc, तब से u(x, t) = F(x − ct), और के लिए बाईं ओर ω(k) = −kc, तब से u(x, t) = F(x + ct).

कारण 1⁄√2π फूरियर रूपांतरण कन्वेंशन से आता है। आयाम A(k) में समतल-तरंग समाधानों के रैखिक सुपरपोजिशन के गुणांक होते हैं। बदले में इन गुणांकों को एक कार्य के रूप में व्यक्त किया जा सकता है u(x, t) पर मूल्यांकन किया गया t = 0 उपरोक्त फूरियर रूपांतरण संबंध को उल्टा करके:

$$A(k)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\,\infty }u(x,0)~e^{-ikx}\,dx.$$

उदाहरण के लिए, चुनना

$$u(x,0)=e^{-x^{2}+ik_{0}x},$$

हमने प्राप्त

$$A(k)={\frac {1}{\sqrt {2}}}e^{-{\frac {(k-k_{0})^{2}}{4}}},$$

और अंत में

$${\begin{aligned}u(x,t)&=e^{-(x-ct)^{2}+ik_{0}(x-ct)}\\&=e^{-(x-ct)^{2}}\left[\cos \left(2\pi {\frac {x-ct}{\lambda }}\right)+i\sin \left(2\pi {\frac {x-ct}{\lambda }}\right)\right].\end{aligned}}$$

उपरोक्त एनीमेशन में इस तरंग पैकेट के वास्तविक या काल्पनिक भाग का नॉनडिस्पर्सिव प्रसार प्रस्तुत किया गया है।

फैलानेवाला

स्थान स्थान प्रायिकता घनत्व प्रारंभिक रूप से एक गाऊसी अवस्था में मुक्त स्थान में न्यूनतम अनिश्चित, स्थिर गति पर एक आयाम में गतिमान है।इसके विपरीत, प्रसार के एक उदाहरण के रूप में, अब फैलाव (प्रकाशिकी) के साथ, इसके बजाय श्रोडिंगर समीकरण के समाधान पर विचार करें (गैर-आयामी 2Δx, m, और ħ एक के बराबर सेट),

$$i{\partial \psi \over \partial t}=-{\frac {1}{2}}{\nabla ^{2}\psi },$$

फैलाव संबंध उत्पन्न करना

$$\omega ={\frac {1}{2}}|\mathbf {k} |^{2}.$$

एक बार फिर, एक आयाम पर ध्यान केंद्रित करते हुए, श्रोडिंगर समीकरण का समाधान प्रारंभिक स्थिति को संतुष्ट करता है ${\textstyle \psi (x,0)={\sqrt[{4}]{2/\pi }}\exp \left({-x^{2}+ik_{0}x}\right)}$, मूल स्थान पर अंतरिक्ष में स्थानीयकृत एक तरंग पैकेट का प्रतिनिधित्व करते हुए देखा जाता है

$${\begin{aligned}\psi (x,t)&={\frac {\sqrt[{4}]{2/\pi }}{\sqrt {1+2it}}}e^{-{\frac {1}{4}}k_{0}^{2}}~e^{-{\frac {1}{1+2it}}\left(x-{\frac {ik_{0}}{2}}\right)^{2}}\\&={\frac {\sqrt[{4}]{2/\pi }}{\sqrt {1+2it}}}e^{-{\frac {1}{1+4t^{2}}}(x-k_{0}t)^{2}}~e^{i{\frac {1}{1+4t^{2}}}\left((k_{0}+2tx)x-{\frac {1}{2}}tk_{0}^{2}\right)}~.\end{aligned}}$$

संभाव्यता घनत्व को देखकर इस तरंग पैकेट के फैलाव वाले व्यवहार का आभास प्राप्त होता है:

$$|\psi (x,t)|^{2}={\frac {\sqrt {2/\pi }}{\sqrt {1+4t^{2}}}}~e^{-{\frac {2(x-k_{0}t)^{2}}{1+4t^{2}}}}~.$$

यह स्पष्ट है कि निरंतर समूह वेग के साथ चलते हुए यह फैलाव तरंग पैकेट है k_o, तेजी से डेलोकलाइज़ हो रहा है: इसमें गाऊसी समारोह समय के साथ बढ़ता जा रहा है √ 1 + 4t² → 2t, तो अंततः यह अंतरिक्ष के असीमित क्षेत्र में फैल जाता है। गति प्रोफ़ाइल A(k) अपरिवर्तनीय रहता है। प्रायिकता धारा है

$$j=\rho v={\frac {1}{2i}}(\psi ^{*}\nabla \psi -\psi \nabla \psi ^{*})=\rho \left(k_{0}+{\frac {4t(x-k_{0}t)}{1+4t^{2}}}\right).$$

क्वांटम यांत्रिकी में गाऊसी तरंग पैकेट

File:Wavepacket1.gif

1डी समतल तरंगों (नीला) का अध्यारोपण जो एक क्वांटम गॉसियन तरंग पैकेट (लाल) बनाता है जो फैलते समय दाईं ओर फैलता है। नीले बिंदु प्रत्येक समतल तरंग के चरण वेग का अनुसरण करते हैं जबकि लाल रेखा केंद्रीय समूह वेग का अनुसरण करती है।

File:Gaussian wavepacket tunneling in potential well.gif

एक केंद्रित संभावित दीवार में आवधिक क्वांटम टनलिंग का अनुभव करने वाले एक अनंत संभावित अच्छी तरह से फंस गए प्रारंभिक गॉसियन राज्य की स्थिति अंतरिक्ष संभावना घनत्व।

File:Wavepacket-a2k4-en.gif

1डी गॉसियन वेव पैकेट, जटिल विमान में दिखाया गया है a=2 और k=4

उपरोक्त फैलाने वाला गॉसियन वेव पैकेट, असामान्य और केवल मूल पर केंद्रित है, इसके बजाय, पर t=0, अब 3डी में लिखा जा सकता है, अब मानक इकाइयों में:

$$\psi (\mathbf {r} ,0)=e^{-\mathbf {r} \cdot \mathbf {r} /2a},$$

कहाँ a एक धनात्मक वास्तविक संख्या है, तरंग पैकेट की चौड़ाई का वर्ग,

$$a=2\langle \mathbf {r} \cdot \mathbf {r} \rangle /3\langle 1\rangle =2(\Delta x)^{2}.$$

तरंग संख्या के संदर्भ में फूरियर रूपांतरण भी गॉसियन है, t=0, के-वेक्टर, (उलटा चौड़ाई के साथ,

$$1/a=2\langle \mathbf {k} \cdot \mathbf {k} \rangle /3\langle 1\rangle =2(\Delta p_{x}/\hbar )^{2},$$

ताकि

$$\Delta x\Delta p_{x}=\hbar /2,$$

यानी, यह अनिश्चितता के संबंध को संतृप्त करता है),

$$\psi (\mathbf {k} ,0)=(2\pi a)^{3/2}e^{-a\mathbf {k} \cdot \mathbf {k} /2}.$$

प्रत्येक अलग तरंग केवल समय में चरण-घूर्णन करती है, ताकि समय पर निर्भर फूरियर-रूपांतरित समाधान हो

${\begin{aligned}\Psi (\mathbf {k} ,t)&=(2\pi a)^{3/2}e^{-a\mathbf {k} \cdot \mathbf {k} /2}e^{-iEt/\hbar }\\&=(2\pi a)^{3/2}e^{-a\mathbf {k} \cdot \mathbf {k} /2-i(\hbar ^{2}\mathbf {k} \cdot \mathbf {k} /2m)t/\hbar }\\&=(2\pi a)^{3/2}e^{-(a+i\hbar t/m)\mathbf {k} \cdot \mathbf {k} /2}.\end{aligned}}$

उलटा फूरियर रूपांतरण अभी भी गॉसियन है, लेकिन अब पैरामीटर है a जटिल हो गया है, और एक समग्र सामान्यीकरण कारक है।

$\Psi (\mathbf {r} ,t)=\left({a \over a+i\hbar t/m}\right)^{3/2}e^{-{\mathbf {r} \cdot \mathbf {r} \over 2(a+i\hbar t/m)}}.$

का अभिन्न अंग Ψ सभी जगह अपरिवर्तनीय है, क्योंकि यह आंतरिक उत्पाद है Ψ शून्य ऊर्जा की स्थिति के साथ, जो अनंत तरंग दैर्ध्य वाली एक तरंग है, जो अंतरिक्ष का एक निरंतर कार्य है। किसी भी स्वदेशी के लिए η(x), आंतरिक उत्पाद,

$$\langle \eta |\psi \rangle =\int \eta (\mathbf {r} )\psi (\mathbf {r} )d^{3}\mathbf {r} ,$$

केवल समय में सरल तरीके से परिवर्तन होता है: इसका चरण ऊर्जा द्वारा निर्धारित आवृत्ति के साथ घूमता है η. कब η में शून्य ऊर्जा होती है, अनंत तरंग दैर्ध्य तरंग की तरह, यह बिल्कुल भी नहीं बदलती है।

अभिन्न ∫ |Ψ|²d³r भी अपरिवर्तनीय है, जो प्रायिकता के संरक्षण का कथन है। स्पष्ट रूप से,

$P(r)=|\Psi |^{2}=\Psi ^{*}\Psi =\left({a \over {\sqrt {a^{2}+(\hbar t/m)^{2}}}}\right)^{3}~e^{-{a\,\mathbf {r} \cdot \mathbf {r} \over a^{2}+(\hbar t/m)^{2}}},$

जिसमें √a की चौड़ाई है P(r) पर t = 0; r मूल बिंदु से दूरी है; कण की गति शून्य है; और समय मूल t = 0 मनमाने ढंग से चुना जा सकता है।

गॉसियन की चौड़ाई दिलचस्प मात्रा है जिसे संभाव्यता घनत्व से पढ़ा जा सकता है, |Ψ|²,

$${\sqrt {a^{2}+(\hbar t/m)^{2} \over a}}.$$

यह चौड़ाई अंततः समय के साथ रैखिक रूप से बढ़ती है, जैसे ħt/(m√a), वेव-पैकेट प्रसार का संकेत देता है। उदाहरण के लिए, यदि एक इलेक्ट्रॉन तरंग पैकेट प्रारंभ में परमाणु आयामों के क्षेत्र में स्थानीयकृत होता है (अर्थात, 10⁻¹⁰ मी) तो पैकेट की चौड़ाई लगभग दोगुनी हो जाती है 10⁻¹⁶ एस। स्पष्ट रूप से, कण तरंग पैकेट वास्तव में बहुत तेज़ी से फैलते हैं (मुक्त स्थान में): उदाहरण के लिए, के बाद 1 ms, चौड़ाई लगभग एक किलोमीटर हो गई होगी।

यह रैखिक वृद्धि (समय-अपरिवर्तनीय) गति अनिश्चितता का प्रतिबिंब है: तरंग पैकेट एक संकीर्ण तक ही सीमित है Δx = √a/2, और इसलिए एक गति है जो अनिश्चित है (अनिश्चितता सिद्धांत के अनुसार) राशि से ħ/√2a, के वेग में फैलाव ħ/m√2a, और इस प्रकार भविष्य की स्थिति में ħt /m√2a. अनिश्चितता का संबंध तब एक सख्त असमानता है, वास्तव में संतृप्ति से बहुत दूर! प्रारंभिक अनिश्चितता ΔxΔp = ħ/2 अब के गुणक से बढ़ गया है ħt/ma (बड़े के लिए t).

हवादार लहर ट्रेन

उपरोक्त गाऊसी तरंग पैकेट के विपरीत, यह देखा गया है वह एक विशेष लहर हवादार कार्यों के आधार पर कार्य, अपने आकार को बनाए रखते हुए, लिफाफे के फैलाव के बिना स्वतंत्र रूप से प्रचार करता है। यह एक बल क्षेत्र की अनुपस्थिति में बिना रुके गति करता है: ψ = Ai(B(x − B³t²)) exp(iB³t(x − 2B³t²/3)). (सरलता के लिए, ħ = 1, m = 1/2, और B एक स्थिरांक है, cf. अआयामीकरण।)

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के लिए समय विकास का छोटा दृश्य फेज स्पेस में हवादार फ्रंट। (एनिमेट करने के लिए क्लिक करें।)

फिर भी, इस बल-मुक्त स्थिति में एरेनफेस्ट के प्रमेय के साथ कोई असंगति नहीं है, क्योंकि राज्य गैर-सामान्यीकरण योग्य है और एक अपरिभाषित (अनंत) है। ⟨x⟩ हमेशा के लिए। (इस हद तक कि इसे परिभाषित किया जा सकता है, ⟨p⟩ = 0 सभी समय के लिए, सामने के स्पष्ट त्वरण के बावजूद।)

चरण स्थान में, यह इस वेवट्रेन की शुद्ध अवस्था विग्नर क्वासिप्रोबेबिलिटी डिस्ट्रीब्यूशन में स्पष्ट है, जिसका x और p में आकार समय बढ़ने के साथ अपरिवर्तनीय है, लेकिन जिनकी विशेषताएं परबोलस को तेज करने में दाईं ओर बढ़ती हैं B(x − B³t²) + (p/B − tB²)² = 0,

$$W(x,p;t)=W(x-B^{3}t^{2},p-B^{3}t;0)={1 \over 2^{1/3}\pi B}~\mathrm {Ai} \left(2^{2/3}\left(Bx+{p^{2} \over B^{2}}-2Bpt\right)\right).$$

सभी को एकीकृत करके प्राप्त संवेग वितरण पर ध्यान दें x स्थिर है। चूँकि यह विग्नर क्वासिप्रोबेबिलिटी डिस्ट्रीब्यूशन # गणितीय गुण है, यह स्पष्ट है कि तरंग कार्य स्वयं सामान्य नहीं है।

2018 में, इज़राइली, जर्मन और अमेरिकी विश्वविद्यालयों के शोधकर्ताओं के सहयोग से हवादार तरंग पैकेटों को गति देने के क्यूबिक चरण का पहला प्रायोगिक अवलोकन प्राप्त किया गया था।

मुक्त प्रचारक

गाऊसी तरंग पैकेट समाधान की संकीर्ण-चौड़ाई सीमा पर चर्चा की गई मुक्त प्रचारक # मुक्त कण और हार्मोनिक ऑसीलेटर का प्रचारकर्ता है K. अन्य अंतर समीकरणों के लिए, इसे आमतौर पर ग्रीन का कार्य कहा जाता है, लेकिन क्वांटम यांत्रिकी में फूरियर रूपांतरण के समय के लिए ग्रीन के कार्य का नाम आरक्षित करना पारंपरिक है K.

सरलता के लिए एक आयाम पर लौटना, m और ħ को एक के बराबर सेट करते हुए, जब a अपरिमित मात्रा है ε, गॉसियन प्रारंभिक स्थिति, को पुनर्विभाजित किया गया ताकि इसका अभिन्न एक हो,

$$\psi _{0}(x)={1 \over {\sqrt {2\pi \varepsilon }}}e^{-{x^{2} \over 2\varepsilon }}\,$$

एक डायराक डेल्टा फ़ंक्शन # बन जाता है, δ(x), ताकि इसका समय विकास हो,

$$K_{t}(x)={1 \over {\sqrt {2\pi (it+\varepsilon )}}}e^{-x^{2} \over 2it+\varepsilon }\,$$

प्रचारक देता है।

ध्यान दें कि एक बहुत ही संकीर्ण प्रारंभिक तरंग पैकेट तुरन्त असीम रूप से चौड़ा हो जाता है, लेकिन एक चरण के साथ जो x के बड़े मूल्यों पर अधिक तेजी से दोलनशील होता है। यह अजीब लग सकता है - समाधान एक बिंदु पर स्थानीय होने से बाद के समय में हर जगह होने के लिए जाता है, लेकिन यह एक स्थानीयकृत कण के विशाल अनिश्चितता सिद्धांत का प्रतिबिंब है, जैसा कि ऊपर बताया गया है।

आगे ध्यान दें कि तरंग फ़ंक्शन का मानदंड अनंत है, जो कि सही भी है, क्योंकि डिराक डेल्टा समारोह का वर्ग उसी तरह भिन्न होता है।

शामिल करने वाला कारक ε एक अतिसूक्ष्म मात्रा है जो यह सुनिश्चित करने के लिए है कि इंटीग्रल ओवर हो K अच्छी तरह से परिभाषित हैं। उस सीमा में ε → 0, K विशुद्ध रूप से दोलनशील हो जाता है, और का अभिन्न अंग बन जाता है K बिल्कुल अभिसारी नहीं हैं। इस खंड के शेष भाग में, इसे शून्य पर सेट किया जाएगा, लेकिन मध्यवर्ती राज्यों पर सभी एकीकरणों को अच्छी तरह से परिभाषित करने के लिए, सीमा ε→0 को केवल अंतिम स्थिति की गणना के बाद ही लिया जाना है।

प्रोपेगेटर समय टी पर बिंदु x तक पहुंचने के लिए आयाम है, जब मूल बिंदु x = 0 पर शुरू होता है। अनुवाद व्युत्क्रम द्वारा, बिंदु y पर शुरू होने पर बिंदु x तक पहुँचने के लिए आयाम एक ही कार्य है, केवल अब अनुवादित,

$$K_{t}(x,y)=K_{t}(x-y)={1 \over {\sqrt {2\pi it}}}e^{i(x-y)^{2} \over 2t}\,.$$

सीमा में जब टी छोटा होता है, प्रचारक डेल्टा फ़ंक्शन में जाता है

$$\lim _{t\to 0}K_{t}(x-y)=\delta (x-y)~,$$

लेकिन केवल वितरण (गणित) के अर्थ में: इस मात्रा का अभिन्न अंग एक मनमाने ढंग से विभेदित परीक्षण फ़ंक्शन से गुणा करके परीक्षण फ़ंक्शन का मान शून्य पर देता है।

इसे देखने के लिए, ध्यान दें कि के सभी स्थान पर समाकल K हमेशा 1 के बराबर होता है,

$$\int K_{t}(x)dx=1\,,$$

चूँकि यह समाकल एकसमान तरंग फलन के साथ K का आंतरिक-उत्पाद है। लेकिन एक्सपोनेंट में चरण कारक मूल को छोड़कर हर जगह एक गैर-स्थानिक स्थानिक व्युत्पन्न होता है, और इसलिए जब समय छोटा होता है तो एक बिंदु पर तेजी से चरण रद्दीकरण होते हैं। यह सख्ती से सच है जब सीमा ε→0 को बिल्कुल अंत में लिया जाता है।

तो प्रसार कर्नेल एक डेल्टा फ़ंक्शन का (भविष्य) समय विकास है, और यह निरंतर है, एक अर्थ में: यह छोटे समय में प्रारंभिक डेल्टा फ़ंक्शन में जाता है। यदि प्रारंभिक तरंग फ़ंक्शन स्थिति में एक असीम रूप से संकीर्ण स्पाइक है y,

$$\psi _{0}(x)=\delta (x-y)\,,$$

यह दोलनशील तरंग बन जाती है,

$$\psi _{t}(x)={1 \over {\sqrt {2\pi it}}}e^{i(x-y)^{2}/2t}\,.$$

अब, चूँकि प्रत्येक फलन को इस तरह के संकीर्ण स्पाइक्स के भारित योग के रूप में लिखा जा सकता है,

$$\psi _{0}(x)=\int \psi _{0}(y)\delta (x-y)dy\,,$$

हर समारोह का समय विकास ψ₀ इस प्रचार कर्नेल द्वारा निर्धारित किया जाता है K,

$\psi _{t}(x)=\int \psi _{0}(y){1 \over {\sqrt {2\pi it}}}e^{i(x-y)^{2}/2t}dy\,.$

इस प्रकार, यह मौलिक समाधान या सामान्य समाधान को व्यक्त करने का एक औपचारिक तरीका है। इस व्यंजक की व्याख्या यह है कि किसी बिंदु पर पाए जाने वाले कण का आयाम x समय पर t वह आयाम है जिस पर यह शुरू हुआ था y, उस आयाम का गुना जिससे वह गया था y को x, सभी संभावित शुरुआती बिंदुओं का योग। दूसरे शब्दों में, यह कर्नेल का कनवल्शन है K मनमानी प्रारंभिक स्थिति के साथ ψ₀,

$$\psi _{t}=K*\psi _{0}\,.$$

चूंकि आयाम से यात्रा करने के लिए x को y कुछ समय के बाद t+t' दो चरणों में माना जा सकता है, प्रचारक रचना पहचान का पालन करता है,

$$\int K(x-y;t)K(y-z;t')dy=K(x-z;t+t')~,$$

जिसकी व्याख्या इस प्रकार की जा सकती है: जिस आयाम से यात्रा करनी है x को z समय के भीतर t+t' से यात्रा करने के लिए आयाम का योग है x को y समय के भीतर t, से यात्रा करने के लिए आयाम से गुणा y को z समय के भीतर t', सभी संभावित मध्यवर्ती राज्यों y पर अभिव्यक्त किया। यह एक मनमाना क्वांटम प्रणाली की एक संपत्ति है, और समय को कई खंडों में विभाजित करके, यह समय के विकास को पथ अभिन्न सूत्रीकरण के रूप में व्यक्त करने की अनुमति देता है।

प्रसार के लिए विश्लेषणात्मक निरंतरता

See also: Heat equation § Fundamental solutions, and Heat kernel

क्वांटम यांत्रिकी में तरंग पैकेटों का प्रसार प्रसार में संभाव्यता घनत्व के प्रसार से सीधे संबंधित है। एक कण के लिए जो यादृच्छिक चलता है, किसी भी बिंदु पर संभाव्यता घनत्व समारोह प्रसार समीकरण को संतुष्ट करता है (ऊष्मा समीकरण भी देखें),

$${\partial \over \partial t}\rho ={1 \over 2}{\partial ^{2} \over \partial x^{2}}\rho ~,$$

जहां 2 का कारक, जिसे समय या स्थान को फिर से स्केल करके हटाया जा सकता है, केवल सुविधा के लिए है।

इस समीकरण का एक समाधान प्रसार गॉसियन है,

$$\rho _{t}(x)={1 \over {\sqrt {2\pi t}}}e^{-x^{2} \over 2t}~,$$

और, ρ के अभिन्न अंग के बाद से_tस्थिर है जबकि चौड़ाई कम समय में संकीर्ण होती जा रही है, यह फ़ंक्शन टी = 0 पर डेल्टा फ़ंक्शन तक पहुंचता है,

$$\lim _{t\to 0}\rho _{t}(x)=\delta (x)$$

फिर से केवल वितरण के अर्थ में, ताकि

$$\lim _{t\to 0}\int _{x}f(x)\rho _{t}(x)=f(0)$$

किसी भी सुचारू परीक्षण कार्य के लिए f.

प्रसार गाऊसी प्रसार समीकरण के लिए प्रसार कर्नेल है और यह कनवल्शन आइडेंटिटी का पालन करता है,

$$K_{t+t'}=K_{t}*K_{t'}\,,$$

जो प्रसार को पथ अभिन्न के रूप में व्यक्त करने की अनुमति देता है। प्रचारक एक ऑपरेटर का घातीय है H,

$$K_{t}(x)=e^{-tH}\,,$$

जोकि अतिसूक्ष्म प्रसार संचालक है,

$$H=-{\nabla ^{2} \over 2}\,.$$

एक मैट्रिक्स में दो सूचकांक होते हैं, जो निरंतर स्थान में इसे एक कार्य बनाते हैं x और x'। इस मामले में, अनुवाद अपरिवर्तनीयता के कारण, मैट्रिक्स तत्व K केवल स्थिति के अंतर पर निर्भर करता है, और संकेतन का एक सुविधाजनक दुरुपयोग ऑपरेटर, मैट्रिक्स तत्वों और अंतर के कार्य को उसी नाम से संदर्भित करना है:

$$K_{t}(x,x')=K_{t}(x-x')\,.$$

अनुवाद आक्रमण का अर्थ है कि निरंतर मैट्रिक्स गुणन,

$$C(x,x'')=\int _{x'}A(x,x')B(x',x'')\,,$$

अनिवार्य रूप से कनवल्शन है,

$$C(\Delta )=C(x-x'')=\int _{x'}A(x-x')B(x'-x'')=\int _{y}A(\Delta -y)B(y)\,.$$

एक्सपोनेंशियल को टीएस की एक सीमा पर परिभाषित किया जा सकता है जिसमें जटिल मान शामिल हैं, जब तक प्रसार कर्नेल पर इंटीग्रल अभिसरण रहते हैं,

$$K_{z}(x)=e^{-zH}\,.$$

जब तक का असली हिस्सा z सकारात्मक है, के बड़े मूल्यों के लिए x, K तेजी से घट रहा है, और इंटीग्रल खत्म हो गया है K वास्तव में बिल्कुल अभिसारी हैं।

के लिए इस अभिव्यक्ति की सीमा z शुद्ध काल्पनिक अक्ष के निकट आने वाला उपरोक्त श्रोडिंगर प्रचारक का सामना करना पड़ा,

$$K_{t}^{\rm {Schr}}=K_{it+\varepsilon }=e^{-(it+\varepsilon )H}\,,$$

जो गौसियनों के उपरोक्त समय के विकास को दर्शाता है।

घातांक, या पथ एकीकरण की मौलिक पहचान से,

$$K_{z}*K_{z'}=K_{z+z'}\,$$

सभी जटिल जेड मूल्यों के लिए धारण करता है, जहां इंटीग्रल बिल्कुल अभिसरण होते हैं ताकि ऑपरेटरों को अच्छी तरह से परिभाषित किया जा सके।

इस प्रकार, गॉसियन का क्वांटम विकास, जो जटिल प्रसार कर्नेल K है,

$$\psi _{0}(x)=K_{a}(x)=K_{a}*\delta (x)\,$$

समय विकसित राज्य के बराबर है,

$$\psi _{t}=K_{it}*K_{a}=K_{a+it}\,.$$

यह जटिल गाऊसी समाधानों के उपरोक्त विसरित रूप को दिखाता है,

$$\psi _{t}(x)={1 \over {\sqrt {2\pi (a+it)}}}e^{-{x^{2} \over 2(a+it)}}\,.$$

यह भी देखें

• लहर
• लहर प्रसार
• फूरियर विश्लेषण
• समूह वेग
• चरण वेग
• मुक्त कण
• सुसंगत राज्य
• तरंग
• तरंगिका
• पदार्थ तरंग
• पल्स (सिग्नल प्रोसेसिंग)
• नाड़ी (भौतिकी)
• श्रोडिंगर समीकरण
• क्वांटम यांत्रिकी का परिचय
• सॉलिटन

संदर्भ

• Einstein, Albert (1905), "Über einen die Erzeugung und Verwandlung des Lichtes betreffenden heuristischen Gesichtspunkt (On a Heuristic Viewpoint Concerning the Production and Transformation of Light)" (PDF), Annalen der Physik, 17 (6): 132–148, Bibcode:1905AnP...322..132E, doi:10.1002/andp.19053220607 This annus mirabilis paper on the photoelectric effect was received by Annalen der Physik 18 March 1905.
• Schiff, Leonard I. (1968), Quantum mechanics (third ed.), London: McGraw-Hill
• Joy Manners (2000), Quantum Physics: An Introduction, CRC Press, pp. 53–56, ISBN 978-0-7503-0720-8
• Pauli, Wolfgang (2000), Wave Mechanics: Volume 5 of Pauli Lectures on Physics, Books on Physics, Dover Publications, ISBN 978-0-486-41462-1
• Abers, E.; Pearson, Ed (2004), Quantum Mechanics, Addison Wesley, Prentice-Hall Inc., ISBN 978-0-13-146100-0
• Richard Fitzpatrick, Oscillations and Waves
• Berry, M. V.; Balazs, N. L. (1979), "Nonspreading wave packets", Am J Phys, 47 (3): 264–267, Bibcode:1979AmJPh..47..264B, doi:10.1119/1.11855
• Jackson, J. D. (1975), Classical Electrodynamics (2nd ed.), New York: John Wiley & Sons, Inc., ISBN 978-0-471-43132-9
• Feynman, R. P.; Hibbs, A. R. (1965), Quantum Mechanics and Path Integrals, New York: McGraw-Hill, ISBN 978-0-07-020650-2 (Dover, 2010, ISBN 0-486-47722-3.)
• Wheeler, Nicholas (2004), Remarks concerning the Energetics of a Gaussian wavepacket (PDF)

बाहरी संबंध

• File:Wikiversity logo 2017.svg Learning materials related to wave packet motion at Wikiversity
• File:Wiktionary-logo-en-v2.svg The dictionary definition of wave packet at Wiktionary
• 1d Wave packet plot in Google
• 1d Wave train and probability density plot in Google
• 2d Wave packet plot in Google
• 2d Wave train plot in Google
• 2d probability density plot in Google
• Quantum physics online : Interactive simulation of a free wavepacket
• Web-Schrödinger: Interactive 2D wave packet dynamics simulation
• A simulation of a wave package in 2D (According to FOURIER-Synthesis in 2D)
• Curtright, T.L., Time-dependent Wigner Functions