मुक्त कण

भौतिकी में, मुक्त कण एक ऐसा कण होता है, जो किसी अर्थ में, किसी बाहरी बल से बंधा नहीं होता है, या समतुल्य रूप से उस क्षेत्र में नहीं होता है जहां इसकी संभावित ऊर्जा भिन्न होती हैl चिरसम्मत भौतिकी में, इसका अर्थ है कि कण एक क्षेत्र-मुक्त स्थान में उपलब्ध है। क्वांटम यांत्रिकी में, इसका मतलब है कि कण एक समान क्षमता के क्षेत्र में है, सामान्यतः रुचि के क्षेत्र में शून्य पर सेट होता है क्योंकि क्षमता को स्थान में किसी भी बिंदु पर मनमाने ढंग से शून्य पर सेट किया जा सकता है।

प्राचीन मुक्त कण

प्राचीन मुक्त कण की विशेषता एक निश्चित वेग v है। संवेग द्वारा दिया जाता है

$$\mathbf {p} =m\mathbf {v}$$

और गतिज ऊर्जा (कुल ऊर्जा के बराबर) द्वारा

$$E={\frac {1}{2}}mv^{2}={\frac {p^{2}}{2m}}$$

जहाँ m कण का द्रव्यमान है और 'v' कण का सदिश वेग है।

क्वांटम मुक्त कण

File:Propagation of a de broglie wave.svg

1d में पदार्थ तरंग का प्रसार - जटिल संख्या आयाम का वास्तविक भाग नीला है, काल्पनिक भाग हरा है। किसी दिए गए बिंदु x पर कण को ​​​​खोजने की संभावना (रंग अपारदर्शिता (प्रकाशिकी) के रूप में दिखाई गई) एक तरंग की तरह फैली हुई है, कण की कोई निश्चित स्थिति नहीं है। जैसा कि आयाम शून्य से ऊपर बढ़ता है, वक्रता कम हो जाती है, इसलिए फिर से घट जाती है, और इसके विपरीत - परिणाम एक वैकल्पिक आयाम होता है: एक लहर। शीर्ष: हवाई जहाज की लहर। नीचे: वेव पैकेट ।

गणितीय विवरण

Main articles: श्रोडिंजर समीकरण and पदार्थ तरंग

द्रव्यमान वाला एक मुक्त कण $m$ गैर-सापेक्षवादी क्वांटम यांत्रिकी में मुक्त श्रोडिंगर समीकरण द्वारा वर्णित है:

$$-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\ \psi (\mathbf {r} ,t)=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\psi (\mathbf {r} ,t)$$

जहाँ ψ स्थिति 'r' और समय t पर कण का तरंग फलन है। कोणीय आवृत्ति ω या ऊर्जा E पर संवेग 'p' या तरंग सदिश 'k' वाले कण का समाधान सम्मिश्र संख्या समतल तरंग द्वारा दिया जाता है:

$$\psi (\mathbf {r} ,t)=Ae^{i(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t)}=Ae^{i(\mathbf {p} \cdot \mathbf {r} -Et)/\hbar }$$

आयाम A के साथ और इसके लिए प्रतिबंधित:

a. यदि कण में द्रव्यमान है $m$: ${\textstyle \omega ={\frac {\hbar k^{2}}{2m}}}$ (या उसके बराबर ${\textstyle E={\frac {p^{2}}{2m}}}$).

b. यदि कण द्रव्यमान रहित कण है: $\omega =kc$

आइगेनवैल्यू स्पेक्ट्रम असीम रूप से पतित होता है क्योंकि प्रत्येक आइगेनवैल्यू E> 0 के लिए अलग-अलग दिशाओं के अनुरूप अनंत संख्या में ईजेनफंक्शन होते हैं। $\mathbf {p}$. डी ब्रोगली संबंध: $\mathbf {p} =\hbar \mathbf {k}$, $E=\hbar \omega$ लागू करें। चूँकि स्थितिज ऊर्जा (कहा गया है) शून्य है, कुल ऊर्जा E गतिज ऊर्जा के बराबर है, जिसका चिरसम्मत भौतिकी के समान रूप है:

$$E=T\,\rightarrow \,{\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}=\hbar \omega$$

मुक्त या बाध्य सभी क्वांटम कणों के लिए, हाइजेनबर्ग अनिश्चितता सिद्धांत ${\textstyle \Delta p_{x}\Delta x\geq {\frac {\hbar }{2}}}$ लागू करें। यह स्पष्ट है कि चूंकि समतल तरंग का निश्चित संवेग (निश्चित ऊर्जा) होता है, इसलिए पूरे स्थानस्थान में कण के स्थान को खोजने की संभावना समान और नगण्य होती है। दूसरे शब्दों में, यूक्लिडियन स्पेस में तरंग सामान्य नहीं है, ये स्थिर राज्य भौतिक वसूली योग्य राज्यों के अनुरूप नहीं हो सकते हैं।

माप और गणना

प्रायिकता घनत्व फ़ंक्शन का अभिन्न अंग

$$\rho (\mathbf {r} ,t)=\psi ^{*}(\mathbf {r} ,t)\psi (\mathbf {r} ,t)=|\psi (\mathbf {r} ,t)|^{2}$$

जहां * जटिल संयुग्म को दर्शाता है, सभी स्थान में खोजने की संभावना है, जो कण मौजूद होने पर एकता होनी चाहिए:

$$\int _{\mathrm {all\,space} }|\psi (\mathbf {r} ,t)|^{2}d^{3}\mathbf {r} =1$$

तरंग क्रिया के लिए यह सामान्यीकरण की स्थिति है। वेवफंक्शन प्लेन वेव के लिए सामान्य नहीं है, लेकिन वेव पैकेट के लिए है।

File:Quantum mechanics travelling wavefunctions.svg

वेवपैकेट स्थानीयकरण की बढ़ती मात्रा, जिसका अर्थ है कि कण अधिक स्थानीय हो जाता है।

File:Perfect localization.svg

सीमा ħ → 0, में, कण की स्थिति और गति बिल्कुल ज्ञात हो जाती है।

एक आयाम में एक स्पिन -0 कण के लिए तरंग फ़ंक्शन की व्याख्या। दिखाए गए वेवफंक्शन निरंतर, परिमित, एकल-मूल्यवान और सामान्यीकृत हैं। कणों का रंग अपारदर्शिता ( %) एक्स-एक्सिस पर बिंदुओं पर कण को खोजने की संभावना घनत्व (जो %में माप सकती है) से मेल खाती है।

फूरियर अपघटन

फ्री पार्टिकल वेव फंक्शन को मोमेंटम ईजेनफंक्शन के सुपरपोजिशन द्वारा दर्शाया जा सकता है, जिसमें प्रारंभिक वेवफंक्शन के फूरियर रूपांतरण द्वारा दिए गए गुणांक होते हैं:

$$\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}(\mathbf{r},t)=\frac{1}{{(\sqrt{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}})}^3}{\int <!--\; \int \; -->}_{\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathbf{k}\mathrm{s}}$$