भागफल वलय

अंगूठी सिद्धांत में, अमूर्त बीजगणित की एक शाखा, एक भागफल वलय, जिसे कारक वलय, अंतर वलय के रूप में भी जाना जाता है या अवशिष्ट वर्ग वलय, समूह सिद्धांत में भागफल समूह और रेखीय बीजगणित में भागफल स्थान (रैखिक बीजगणित) के समान एक निर्माण है। यह [[भागफल (सार्वभौमिक बीजगणित)]] का एक विशिष्ट उदाहरण है, जैसा कि सार्वभौमिक बीजगणित की सामान्य सेटिंग से देखा जाता है। एक अंगूठी से शुरू (गणित) R और एक दो तरफा आदर्श I में R, एक नया वलय, भागफल वलय R / I, निर्मित होता है, जिसके अवयव सहसमुच्चय होते हैं I में R विशेष के अधीन + और ⋅ संचालन। (केवल अंश स्लैश / भागफल रिंग नोटेशन में प्रयोग किया जाता है, क्षैतिज अंश बार नहीं।)

भागफल के छल्ले एक अभिन्न डोमेन के साथ-साथ एक अंगूठी के स्थानीयकरण द्वारा प्राप्त उद्धरण के अधिक सामान्य छल्ले से तथाकथित भागफल क्षेत्र, या अंशों के क्षेत्र से अलग हैं।

औपचारिक भागफल वलय निर्माण

एक अंगूठी दी $R$ और एक दोतरफा आदर्श $I$ में $R$, हम एक तुल्यता संबंध को परिभाषित कर सकते हैं $\sim$ पर $R$ निम्नलिखित नुसार:

$a\sim b$ अगर और केवल अगर $a-b$ में है $I$.

आदर्श गुणों का उपयोग करके, यह जाँचना कठिन नहीं है $\sim$ एक संगति संबंध है। यदि $a\sim b$, हम कहते हैं $a$ और $b$ सर्वांगसम आदर्श हैं (अंगूठी सिद्धांत) $I$. तत्व का समतुल्य वर्ग $a$ में $R$ द्वारा दिया गया है

$[a]=a+I:=\{a+r:r\in I\}$.

इस तुल्यता वर्ग को कभी-कभी इस रूप में भी लिखा जाता है $a{\bmod {I}}$ का अवशेष वर्ग कहा जाता है $a$ मापांक $I$.

ऐसे सभी तुल्यता वर्गों के समुच्चय को द्वारा निरूपित किया जाता है $R/I$; यह एक वलय, कारक वलय या भागफल वलय बन जाता है $R$ मापांक $I$, अगर कोई परिभाषित करता है

• $(a+I)+(b+I)=(a+b)+I$;
• $(a+I)(b+I)=(ab)+I$.

(यहाँ किसी को यह जाँचना है कि ये परिभाषाएँ अच्छी तरह से परिभाषित हैं। सहसमुच्चय और भागफल समूह की तुलना करें।) का शून्य-तत्व $R/I$ है ${\bar {0}}=(0+I)=I$, और गुणक तत्समक है ${\bar {1}}=(1+I)$.

वो नक्शा $p$ से $R$ को $R/I$ द्वारा परिभाषित $p(a)=a+I$ एक विशेषण वलय समरूपता है, जिसे कभी-कभी प्राकृतिक भागफल मानचित्र या विहित समरूपता कहा जाता है।

उदाहरण

• भागफल की अंगूठी R / {0} प्राकृतिक रूप से R के लिए आइसोमॉर्फिक है, और R / R शून्य वलय {0} है, क्योंकि, हमारी परिभाषा के अनुसार, R में किसी भी r के लिए, हमारे पास वह है [r] = r + "R" := {r + b : b ∈ "R"}}, जो स्वयं R के बराबर है। यह अंगूठे के नियम के साथ फिट बैठता है कि आदर्श I जितना बड़ा होगा, भागफल की अंगूठी उतनी ही छोटी होगी R / I. यदि I, R की एक उचित गुणजावली है, अर्थात, I ≠ R, तब R / I शून्य वलय नहीं है।
• पूर्णांक Z के वलय और सम संख्याओं के आदर्श पर विचार करें, जिसे 2Z द्वारा निरूपित किया जाता है। फिर भागफल बजता है Z / 2Z में केवल दो तत्व होते हैं, कोसेट 0+2Z सम संख्या और सहसमुच्चय से मिलकर बनता है 1+2Z विषम संख्या से मिलकर; परिभाषा लागू करना, [z] = z + 2Z := {z + 2y: 2y ∈ 2Z}, जहाँ 2Z सम संख्याओं की गुणजावली है। यह स्वाभाविक रूप से परिमित क्षेत्र के लिए दो तत्वों के साथ आइसोमोर्फिक है, एफ₂. सहज रूप से: यदि आप सभी सम संख्याओं को 0 मानते हैं, तो प्रत्येक पूर्णांक या तो 0 है (यदि यह सम है) या 1 (यदि यह विषम है और इसलिए एक सम संख्या से 1 से भिन्न है)। भागफल वलय में मॉड्यूलर अंकगणित अनिवार्य रूप से अंकगणित है Z / nZ (जिसमें n अवयव हैं)।
• अब वास्तविक संख्या गुणांक, 'आर' [एक्स], और आदर्श के साथ चर एक्स में बहुपदों की अंगूठी पर विचार करें I = (X² + 1) बहुपद के सभी गुणकों से मिलकर X² + 1. भागफल की अंगूठी R[X] / (X² + 1) जटिल संख्या C के क्षेत्र के लिए स्वाभाविक रूप से आइसोमोर्फिक है, जिसमें वर्ग [X] काल्पनिक इकाई i की भूमिका निभा रहा है। कारण यह है कि हमने मजबूर किया X² + 1 = 0, अर्थात। X² = −1, जो i की परिभाषित संपत्ति है।
• पिछले उदाहरण का सामान्यीकरण करते हुए, भागफल वलयों का उपयोग अक्सर फील्ड एक्सटेंशन के निर्माण के लिए किया जाता है। मान लीजिए K कुछ क्षेत्र (गणित) है और f K [X] में एक अलघुकरणीय बहुपद है। तब L = K[X] / (f) एक ऐसा क्षेत्र है जिसका K पर न्यूनतम बहुपद (क्षेत्र सिद्धांत) f है, जिसमें K के साथ-साथ एक तत्व भी है x = X + (f).
• पिछले उदाहरण का एक महत्वपूर्ण उदाहरण परिमित क्षेत्रों का निर्माण है। उदाहरण के लिए क्षेत्र पर विचार करें F₃ = Z / 3Z तीन तत्वों के साथ। बहुपद f(X) = X² + 1 F के ऊपर अलघुकरणीय है₃ (क्योंकि इसकी कोई जड़ नहीं है), और हम भागफल वलय का निर्माण कर सकते हैं F₃[X] / (f). यह एक ऐसा क्षेत्र है 3² = 9 तत्वों, एफ द्वारा निरूपित₉. अन्य परिमित क्षेत्रों का निर्माण इसी तरह से किया जा सकता है।
• बीजीय विविधता के निर्देशांक वलय बीजगणितीय ज्यामिति में भागफल वलय के महत्वपूर्ण उदाहरण हैं। एक साधारण मामले के रूप में, वास्तविक विविधता पर विचार करें V = {(x, y) | x² = y³ } वास्तविक तल R के उपसमुच्चय के रूप में^{2</उप>। V पर परिभाषित वास्तविक-मूल्यवान बहुपद फलनों के वलय को भागफल वलय से पहचाना जा सकता है R[X,Y] / (X2 − Y3), और यह V का कोऑर्डिनेट रिंग है। वैरायटी V की अब इसकी कोऑर्डिनेट रिंग का अध्ययन करके जांच की जाती है।}
• मान लीजिए एम एक सी है^∞- कई गुना, और p, M का एक बिंदु है। वलय पर विचार करें R = C^∞(M) सभी सी^∞-Functions को M पर परिभाषित किया गया है और I को उन कार्यों से मिलकर R में आदर्श माना जाता है जो p के कुछ पड़ोस (गणित) U में समान रूप से शून्य हैं (जहाँ U f पर निर्भर हो सकता है)। फिर भागफल बजता है R / I, C का रोगाणु (गणित) का वलय है^∞-M पर p पर कार्य करता है।
• अति वास्तविक संख्या *'R' के परिमित तत्वों के वलय F पर विचार करें। इसमें सभी अतिवास्तविक संख्याएँ होती हैं जो एक मानक वास्तविक से एक अपरिमेय राशि से भिन्न होती हैं, या समतुल्य: सभी अतिवास्तविक संख्याएँ x जिसके लिए एक मानक पूर्णांक n होता है −n < x < n मौजूद। *'R' में सभी अपरिमेय संख्याओं का सेट I, 0 के साथ, F में एक आदर्श है, और भागफल वलय F / I वास्तविक संख्या R के लिए आइसोमोर्फिक है। आइसोमोर्फिज्म F के प्रत्येक तत्व x को x के मानक भाग फ़ंक्शन से जोड़कर प्रेरित किया जाता है, अर्थात अद्वितीय वास्तविक संख्या जो से भिन्न होती है x एक अपरिमेय द्वारा। वास्तव में, एक ही परिणाम प्राप्त होता है, अर्थात् आर, यदि कोई परिमित हाइपररेशनल्स (यानी hyperinteger की एक जोड़ी का अनुपात) के रिंग एफ से शुरू होता है, तो वास्तविक संख्याओं का निर्माण देखें।

जटिल विमान का परिवर्तन

भागफल R[X] / (X), R[X] / (X + 1), और R[X] / (X − 1) सभी आर के लिए आइसोमोर्फिक हैं और पहले थोड़ा ब्याज प्राप्त करते हैं। लेकिन ध्यान दें R[X] / (X²) को ज्यामितीय बीजगणित में दोहरी संख्या वाला तल कहा जाता है। इसमें R[X] के एक तत्व को X द्वारा घटाने के बाद अवशेष के रूप में केवल रैखिक द्विपद होते हैं।². जब भी बीजगणित में एक वास्तविक रेखा और एक nilpotent होता है, तो एक जटिल विमान की यह भिन्नता उप-लजेब्रा के रूप में उत्पन्न होती है।

इसके अलावा, अंगूठी भागफल R[X] / (X² − 1) में विभाजित होता है R[X] / (X + 1) और R[X] / (X − 1), इसलिए इस वलय को अक्सर बीजगणित के प्रत्यक्ष योग के रूप में देखा जाता है R ⊕ R. फिर भी, जटिल संख्याओं पर भिन्नता z = x + y j का सुझाव j द्वारा रूट के रूप में दिया गया है X² − 1, i की तुलना में रूट के रूप में X² + 1 = 0. विभाजित-जटिल संख्याओं का यह तल प्रत्यक्ष योग को सामान्य करता है R ⊕ R आधार प्रदान करके {1, j} 2-स्पेस के लिए जहां बीजगणित की पहचान शून्य से इकाई दूरी पर है। इस आधार पर एक इकाई अतिपरवलय की तुलना जटिल तल के इकाई वृत्त से की जा सकती है।

चतुष्कोण और विविधता

मान लीजिए एक्स और वाई दो हैं, गैर-कम्यूटिंग, अनिश्चित (चर) एस और मुक्त बीजगणित बनाते हैं R⟨X, Y⟩. फिर 1843 के हैमिल्टन के चतुष्कोणों को इस रूप में ढाला जा सकता है

$\mathbf {R} \langle X,Y\rangle /(X^{2}+1,Y^{2}+1,XY+YX).$

अगर Y² − 1 का स्थानापन्न किया जाता है Y² + 1, तो एक विभाजित-चतुर्भुजों की अंगूठी प्राप्त करता है। विरोधी विनिमेय संपत्ति YX = −XY का अर्थ है कि XY का वर्ग है

(XY)(XY) = X(YX)Y = −X(XY)Y = −(XX)(YY) = −(−1)(+1) = +1।

दोनों द्विघात द्विपदों में प्लस के लिए माइनस को प्रतिस्थापित करने से भी विभाजन-चतुर्भुज बनते हैं।

तीन प्रकार के द्विभाजनों को तीन अनिश्चित 'आर' के साथ मुक्त बीजगणित के उपयोग से भागफल के रूप में भी लिखा जा सकता है।⟨X, Y, Z⟩ और उपयुक्त आदर्शों का निर्माण करना।

गुण

स्पष्ट रूप से, यदि R एक क्रमविनिमेय वलय है, तो ऐसा ही है R / I; हालाँकि, इसका विलोम सामान्य रूप से सत्य नहीं है।

प्राकृतिक भागफल मानचित्र p में इसकी गिरी (बीजगणित) के रूप में I है; चूंकि प्रत्येक रिंग होमोमोर्फिज्म का कर्नेल एक दो-तरफा आदर्श है, इसलिए हम कह सकते हैं कि दो-तरफा आदर्श वास्तव में रिंग होमोमोर्फिज्म के कर्नेल हैं।

रिंग होमोमोर्फिम्स, कर्नेल और कोशेंट रिंग्स के बीच घनिष्ठ संबंध को संक्षेप में प्रस्तुत किया जा सकता है: रिंग होमोमोर्फिज्म को परिभाषित किया गया है R / I अनिवार्य रूप से R पर परिभाषित वलय समरूपता के समान हैं जो I पर लुप्त हो जाते हैं (अर्थात शून्य हैं)। अधिक सटीक रूप से, R में दो तरफा आदर्श I और एक वलय समरूपता दी गई है। f : R → S जिसकी गिरी में I होता है, ठीक एक वलय समरूपता मौजूद होती है g : R / I → S साथ gp = f (जहाँ p प्राकृतिक भागफल मानचित्र है)। यहाँ मानचित्र g सुपरिभाषित नियम द्वारा दिया गया है g([a]) = f(a) सभी के लिए आर में। वास्तव में, इस सार्वभौमिक संपत्ति का उपयोग भागफल के छल्ले और उनके प्राकृतिक भागफल मानचित्रों को परिभाषित करने के लिए किया जा सकता है।

उपरोक्त के परिणामस्वरूप, मौलिक कथन प्राप्त होता है: प्रत्येक रिंग समरूपता f : R → S भागफल वलय के बीच एक वलय समरूपता को प्रेरित करता है R / ker(f) और छवि im(f). (यह भी देखें: समरूपता पर मौलिक प्रमेय।)

आर और के आदर्श R / I निकटता से संबंधित हैं: प्राकृतिक भागफल नक्शा आर के दो तरफा आदर्शों के बीच एक आक्षेप प्रदान करता है जिसमें I और दो तरफा आदर्श शामिल हैं I R / I (बाएं और दाएं आदर्शों के लिए भी यही सच है)। दो तरफा आदर्श के बीच यह संबंध संगत भागफल के छल्ले के बीच एक रिश्ते तक फैला हुआ है: यदि एम आर में दो तरफा आदर्श है जिसमें मैं शामिल हूं, और हम लिखते हैं M / I इसी आदर्श के लिए R / I (अर्थात M / I = p(M)), भागफल बजता है R / M और (R / I) / (M / I) स्वाभाविक रूप से (अच्छी तरह से परिभाषित!) मैपिंग के माध्यम से आइसोमॉर्फिक हैं a + M ↦ (a + I) + M / I.

क्रमविनिमेय बीजगणित और बीजगणितीय ज्यामिति में निम्नलिखित तथ्य उपयोगी सिद्ध होते हैं: R ≠ {0} क्रमविनिमेय, R / I एक क्षेत्र (गणित) है यदि और केवल यदि I अधिकतम आदर्श है, जबकि R / I एक अभिन्न डोमेन है अगर और केवल अगर I एक प्रमुख आदर्श है। इसी तरह के कई कथन आदर्श I के गुणों को भागफल वलय के गुणों से संबंधित करते हैं R / I.

चीनी शेष प्रमेय में कहा गया है कि, यदि आदर्श I जोड़ीदार कोप्राइम #सामान्यीकरण आदर्श I का प्रतिच्छेदन (या समतुल्य, उत्पाद) है₁, ..., मैं_k, फिर भागफल की अंगूठी R / I भागफल के छल्लों के गुणनफल के लिए समरूप है R / I_n, n = 1, ..., k.

एक अंगूठी पर बीजगणित के लिए

क्रमविनिमेय वलय R के ऊपर एक साहचर्य बीजगणित A स्वयं एक वलय है। यदि I A में एक आदर्श है (R-गुणन के तहत बंद), तो A/I को R के ऊपर एक बीजगणित की संरचना विरासत में मिली है और यह 'भागफल बीजगणित' है।

यह भी देखें

• एसोसिएटेड ग्रेडेड रिंग
• अवशेष क्षेत्र
• गोल्डी की प्रमेय
• भागफल मॉड्यूल

आगे के संदर्भ

• एफ. काश (1978) मोडुलन अंड रिंग, डीएआर वालेस द्वारा अनुवादित (1982) मॉड्यूल्स एंड रिंग्स, अकादमिक प्रेस, पृष्ठ 33।
• नील एच. मैककॉय (1948) रिंग्स एंड आइडियल्स, §13 रेसिड्यू क्लास रिंग्स, पेज 61, कैरस मैथमेटिकल मोनोग्राफ्स #8, अमेरिका का गणितीय संघ
• Joseph Rotman (1998). गाल्वा थ्योरी (दूसरा संस्करण). Springer. pp. 21–3. ISBN 0-387-98541-7. }
• बी.एल. वैन डेर वेर्डन (1970) बीजगणित, फ्रेड ब्लम और जॉन आर शुलेनबर्गर द्वारा अनुवादित, फ्रेडरिक उंगर प्रकाशन, न्यूयॉर्क। अध्याय 3.5 देखें, आदर्श। अवशेष वर्ग के छल्ले, पृष्ठ 47-51।

बाहरी संबंध

• "Quotient ring", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Ideals and factor rings from John Beachy's Abstract Algebra Online