विक रोटेशन

भौतिकी में, विक रोटेशन, इतालवी भौतिक विज्ञानी जियान कार्लो विक के नाम पर, यूक्लिडियन अंतरिक्ष में संबंधित समस्या के समाधान से मिंकोव्स्की अंतरिक्ष में गणितीय समस्या का समाधान खोजने का तरीका है जो काल्पनिक-संख्या चर को प्रतिस्थापित करता है। वास्तविक संख्या चर के लिए। इस परिवर्तन का उपयोग क्वांटम यांत्रिकी और अन्य क्षेत्रों में समस्याओं का समाधान खोजने के लिए भी किया जाता है।

भौतिकी में, विक रोटेशन, इतालवी भौतिक विज्ञानी जियान कार्लो विक के नाम पर, यूक्लिडियन अंतरिक्ष में संबंधित समस्या के

सिंहावलोकन

विक रोटेशन अवलोकन से प्रेरित है कि मिन्कोव्स्की मीट्रिक प्राकृतिक इकाइयों में (मीट्रिक हस्ताक्षर के साथ (−1, +1, +1, +1) सम्मेलन)

$ds^{2}=-\left(dt^{2}\right)+dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}$

और चार आयामी यूक्लिडियन मीट्रिक

$ds^{2}=d\tau ^{2}+dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}$

समतुल्य हैं यदि कोई समन्वय की अनुमति देता है t काल्पनिक संख्या मान लेने के लिए। मिन्कोव्स्की मीट्रिक यूक्लिडियन बन जाता है जब t काल्पनिक संख्या तक सीमित है, और इसके विपरीत। निर्देशांक के साथ मिन्कोव्स्की अंतरिक्ष में व्यक्त की गई समस्या को लेना x, y, z, t, और प्रतिस्थापन t = −iτ कभी-कभी वास्तविक यूक्लिडियन निर्देशांक में समस्या उत्पन्न होती है x, y, z, τ जिसे हल करना आसान है। यह समाधान तब रिवर्स प्रतिस्थापन के तहत मूल समस्या का समाधान प्राप्त कर सकता है।

सांख्यिकीय और क्वांटम यांत्रिकी

विक रोटेशन व्युत्क्रम तापमान को बदलकर सांख्यिकीय यांत्रिकी को क्वांटम यांत्रिकी से जोड़ता है $1/(k_{\text{B}}T)$ काल्पनिक समय के साथ $it/\hbar$. तापमान पर लयबद्ध दोलक के बड़े संग्रह पर विचार करें T. ऊर्जा के साथ किसी दिए गए दोलक को खोजने की सापेक्ष संभावना E है $\exp(-E/k_{\text{B}}T)$, कहाँ k_B बोल्ट्जमान स्थिरांक है। अवलोकनीय का औसत मूल्य Q सामान्य स्थिरांक तक है,

$\sum _{j}Q_{j}e^{-{\frac {E_{j}}{k_{\text{B}}T}}},$

जहां j सभी राज्यों में चलता है, $Q_{j}$ का मूल्य है Q में j-वें राज्य, और $E_{j}$ की ऊर्जा है j-वीं अवस्था। अब समय के लिए विकसित होने वाले आधार राज्यों की क्वांटम सुपरइम्पोजिशन में क्वांटम हार्मोनिक ऑसिलेटर पर विचार करें t हैमिल्टनियन के तहत H. ऊर्जा के साथ आधार अवस्था का सापेक्ष चरण परिवर्तन E है $\exp(-Eit/\hbar ),$ कहाँ $\hbar$ प्लैंक नियतांक को घटाया जाता है। संभाव्यता आयाम कि राज्यों की समान (समान भारित) सुपरपोजिशन

$|\psi \rangle =\sum _{j}|j\rangle$

एक मनमाने सुपरपोजिशन के लिए विकसित होता है

$|Q\rangle =\sum _{j}Q_{j}|j\rangle$

एक सामान्य स्थिरांक तक है,

$\left\langle Q\left|e^{-{\frac {iHt}{\hbar }}}\right|\psi \right\rangle =\sum _{j}Q_{j}e^{-{\frac {E_{j}it}{\hbar }}}\langle j|j\rangle =\sum _{j}Q_{j}e^{-{\frac {E_{j}it}{\hbar }}}.$

स्टैटिक्स और डायनेमिक्स

विक रोटेशन स्टैटिक्स समस्याओं से संबंधित है n डायनेमिक्स समस्याओं के लिए आयाम n − 1 आयाम, समय के आयाम के लिए अंतरिक्ष के आयाम का व्यापार। साधारण उदाहरण जहां n = 2 गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र में निश्चित समापन बिंदुओं वाला लटकता हुआ स्प्रिंग है। वसंत का आकार वक्र है y(x). वसंत संतुलन में है जब इस वक्र से जुड़ी ऊर्जा महत्वपूर्ण बिंदु (एक चरम) पर है; यह महत्वपूर्ण बिंदु आमतौर पर न्यूनतम होता है, इसलिए इस विचार को आमतौर पर कम से कम ऊर्जा का सिद्धांत कहा जाता है। ऊर्जा की गणना करने के लिए, हम अंतरिक्ष में ऊर्जा स्थानिक घनत्व को एकीकृत करते हैं:

$E=\int _{x}\left[k\left({\frac {dy(x)}{dx}}\right)^{2}+V{\big (}y(x){\big )}\right]dx,$

कहाँ k वसंत स्थिरांक है, और V(y(x)) गुरुत्वाकर्षण क्षमता है।

संबंधित गतिकी समस्या ऊपर की ओर फेंकी गई चट्टान की है। चट्टान जिस मार्ग का अनुसरण करती है, वह वह है जो क्रिया (भौतिकी) को बढ़ाता है; पहले की तरह, यह चरम सीमा आमतौर पर न्यूनतम है, इसलिए इसे कम से कम कार्रवाई का सिद्धांत कहा जाता है। कार्रवाई Lagrangian यांत्रिकी का समय अभिन्न अंग है:

$S={\int <!--\; \int \; -->}_t[m{(\frac{dy(}{}}^{}$