अनुक्रम सीमा

For सामान्य गणितीय अवधारणा, see सीमा (गणित).

नियमित एन-पक्षीय बहुभुजों के परिधि द्वारा दिए गए अनुक्रम जो यूनिट सर्कल को घेरते हैं, सर्कल के परिधि के बराबर सीमा होती है, अर्थात $2\pi r$. अन्तर्लिखित बहुभुजों के लिए संबंधित अनुक्रम की एक ही सीमा है।

n	n sin(1/n)
1	0.841471
2	0.958851
...
10	0.998334
...
100	0.999983

सकारात्मक पूर्णांक के रूप में $n$ बड़ा हो जाता है, मूल्य $n\cdot \sin \left({\tfrac {1}{n}}\right)$ के निकट हो जाता है $1$. हम कहते हैं कि अनुक्रम की सीमा $n\cdot \sin \left({\tfrac {1}{n}}\right)$ बराबरी $1$.

गणित में, एक अनुक्रम की सीमा वह मान है जो किसी अनुक्रम के पदों की ओर प्रवृत्त होता है, और प्रायः इसका उपयोग करके निरूपित किया जाता है $\lim$ प्रतीक (जैसे, $\lim _{n\to \infty }a_{n}$). यदि ऐसी सीमा सम्मलित है, तो अनुक्रम को अभिसरण कहा जाता है। एक क्रम जो अभिसरण नहीं करता है उसे अपसारी कहा जाता है। एक अनुक्रम की सीमा को मौलिक धारणा कहा जाता है जिस पर संपूर्ण गणितीय विश्लेषण अंततः टिका होता है।

सीमाओं को किसी भी मीट्रिक स्थान या संस्थानिक स्थान में परिभाषित किया जा सकता है, लेकिन प्रायः वास्तविक संख्या में पहली बार सामना किया जाता है।

इतिहास

एलिया के यूनानी दार्शनिक ज़ेनो के विरोधाभासों को सूत्रबद्ध करने के लिए प्रसिद्ध हैं।

ल्यूसिपस, डेमोक्रिटस, एंटिफॉन (व्यक्ति), कनिडस के यूडोक्सस और आर्किमिडीज ने थकावट की विधि विकसित की, जो एक क्षेत्र या मात्रा निर्धारित करने के लिए सन्निकटन के अनंत अनुक्रम का उपयोग करता है। आर्किमिडीज योग करने में सफल रहे जिसे अब ज्यामितीय श्रृंखला कहा जाता है।

ग्रेगोइरे डी सेंट-विन्सेंट ने अपने काम ओपस जियोमीट्रिक श्रंखला (1647) में एक ज्यामितीय श्रृंखला की सीमा (टर्मिनस) की पहली परिभाषा दी: "एक प्रगति का टर्मिनस श्रृंखला का अंत है, जो कोई भी प्रगति तक नहीं पहुंच सकता है, भले ही वह अनंत में जारी हो, लेकिन जिस तक वह एक दिए गए खंड की तुलना में अधिक निकट पहुंच सकती है।" आइजैक न्यूटन ने अनंत श्रृंखला के साथ विश्लेषण (1669 में लिखा गया, पांडुलिपि में परिचालित, 1711 में प्रकाशित), प्रवाह और अनंत श्रृंखला की विधि (1671 में लिखा गया, 1736 में अंग्रेजी अनुवाद में प्रकाशित, लैटिन मूल बहुत बाद में प्रकाशित) पर अपने कार्यों में श्रृंखला से निपटा। और ट्रैक्टेटस डी क्वाडराटुरा कर्वारम (1693 में लिखा गया, 1704 में उनके परिशिष्ट के रूप में प्रकाशित)। बाद के काम में, न्यूटन (x + o)n के द्विपद विस्तार पर विचार करता है, जिसे वह तब सीमा के रूप में लेते हुए रैखिक करता है, जब 0 की ओर जाता है।

18वीं दशक में, लियोनहार्ड यूलर जैसे गणितज्ञ सही समय पर रुक कर कुछ भिन्न श्रृंखलाओं का योग करने में सफल रहे; जब तक इसकी गणना की जा सकती है, तब तक उन्हें इस बात की ज्यादा चिंता नहीं थी कि कोई सीमा सम्मलित है या नहीं। दशक के अंत में, जोसेफ लुइस लाग्रेंज ने अपने थ्योरी डेस फोंक्शन्स एनालिटिक्स (1797) में कहा कि कठोरता की कमी ने कलन में और विकास को रोक दिया। कार्ल फ्रेडरिक गॉस ने अतिज्यामितीय श्रृंखला (1813) के अपने तसवीर का ख़ाका में पहली बार उन स्थितियों की जांच की जिसके अंतर्गत एक श्रृंखला एक सीमा तक परिवर्तित हो गई।

एक सीमा की आधुनिक परिभाषा (किसी भी ε के लिए एक अनुक्रमणिका N सम्मलित है जिससे...) बर्नार्ड बोलजानो (डेर बिनोमिशे लेहर्सत्ज़, प्राग 1816, जो उस समय बहुत कम ध्यान दिया गया था) और 1870 के दशक में कार्ल वीयरस्ट्रास द्वारा दिया गया था। .

वास्तविक संख्या

File:Converging Sequence example.svg

एक अभिसरण अनुक्रम का प्लॉट {a_n} नीले रंग में दिखाया गया है। यहाँ, कोई यह देख सकता है कि अनुक्रम 0 की सीमा में परिवर्तित हो रहा है क्योंकि n बढ़ता है।

वास्तविक संख्या में, एक संख्या $L$ अनुक्रम $(x_{n})$, की सीमा है, यदि अनुक्रम में संख्याएँ $L$, और किसी अन्य संख्या के लिए नहीं।

उदाहरण

See also: सीमाओं की सूची

• यदि निरंतर c के लिए $x_{n}=c$ , तो $x_{n}\to c$.
• यदि $x_{n}={\frac {1}{n}}$, तो $x_{n}\to 0$.*यदि $x_{n}={\frac {1}{n}}$ जब $n$ सम है, और $x_{n}={\frac {1}{n^{2}}}$ जब $n$ विषम है, तो $x_{n}\to 0$. (यह तथ्य कि $x_{n+1}>x_{n}$ जब भी $n$ विषम है अप्रासंगिक है।)
• किसी भी वास्तविक संख्या को देखते हुए, कोई आसानी से एक अनुक्रम का निर्माण कर सकता है जो उस संख्या में दशमलव सन्निकटन लेकर परिवर्तित हो जाता है। उदाहरण के लिए, अनुक्रम $0.3,0.33,0.333,0.3333,\dots$ $1/3$ में परिवर्तित होता है। ध्यान दें कि दशमलव प्रतिनिधित्व $0.3333\dots$ पिछले क्रम की सीमा है, जिसे परिभाषित किया गया है
  $$0.3333...:=\lim _{n\to \infty }\sum _{k=1}^{n}{\frac {3}{10^{k}}}$$
• किसी क्रम की सीमा का पता लगाना हमेशा स्पष्ट नहीं होता है। दो उदाहरण हैं $\lim _{n\to \infty }\left(1+{\tfrac {1}{n}}\right)^{n}$ (जिसकी सीमा संख्या e है) और अंकगणितीय-ज्यामितीय माध्य है। ऐसी सीमाओं की स्थापना में निचोड़ प्रमेय प्रायः उपयोगी होता है।

परिभाषा

हम $x$ को अनुक्रम की सीमा $(x_{n})$, कहते हैं, जिसे लिखा गया है

$x_{n}\to x$, या

$\lim _{n\to \infty }x_{n}=x$,

यदि निम्न स्थिति होती है:

प्रत्येक वास्तविक संख्या के $\varepsilon >0$ के लिए, एक प्राकृतिक संख्या लिए $N$ उपस्तिथ होती है, जैसे कि प्रत्येक प्राकृतिक संख्या के लिए $n\geq N$, हमारे पास है $|x_{n}-x|<\varepsilon$.

दूसरे शब्दों में, निकटता के सभी उपाय के लिए $\varepsilon$,