विल्सन लूप

क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत में, विल्सन लूप बंद लूप (टोपोलॉजी) के आसपास गेज चर के समानांतर परिवहन से उत्पन्न होने वाले गेज सिद्धांत ऑपरेटरों का परिचय हैं। वह सिद्धांत की सभी गेज जानकारी को एन्कोड करते हैं, जिससे गेज सिद्धांतों और क्वांटम गुरुत्व में लूप प्रतिनिधित्व के निर्माण की अनुमति मिलती है जो इन लूपों के संदर्भ में गेज सिद्धांत का पूरी तरह से वर्णन करता है। शुद्ध गेज सिद्धांत में वह रंग कारावास के लिए ऑर्डर ऑपरेटरों की भूमिका निभाते हैं, जहां वह उस चीज़ को पूरा करते हैं जिसे क्षेत्र नियम के रूप में जाना जाता है। मूल रूप से 1974 में केनेथ जी. विल्सन द्वारा तैयार किए गए, इनका उपयोग लिंक और प्लैकेट के निर्माण के लिए किया गया था जो जाली गेज सिद्धांत में मूलभूत पैरामीटर हैं।^[1] विल्सन लूप्स लूप ऑपरेटर (भौतिकी) के व्यापक वर्ग में आते हैं, कुछ अन्य उल्लेखनीय उदाहरण हैं 'टी हूफ्ट लूप्स, जो विल्सन लूप्स के लिए चुंबकीय दोहरे हैं, और पॉलाकोव लूप्स, जो विल्सन लूप्स का थर्मल संस्करण हैं।

परिभाषा

एक प्रमुख बंडल पर एक कनेक्शन

P

स्पेसटाइम के साथ

M

प्रत्येक बिंदु पर स्पर्शरेखा स्थान को भिन्न करता है

x_{p}

फाइबर के साथ

G_{p}

एक ऊर्ध्वाधर उपस्थान में

V_{p}

और एक क्षैतिज उपस्थान

H_{p}

. स्पेसटाइम पर वक्रों को मुख्य बंडल में वक्रों तक ऊपर उठाया जाता है जिनके स्पर्शरेखा सदिश क्षैतिज उपस्थान में स्थित होते हैं

गेज सिद्धांत में विल्सन लूप्स को ठीक से परिभाषित करने के लिए गेज सिद्धांतों के गेज सिद्धांत (गणित) पर विचार करने की आवश्यकता है।^[2] यहां प्रत्येक बिंदु के लिए $d$ -आयामी अंतरिक्ष समय $M$ गेज समूह की एक प्रति है $G$ जिसे फ़ाइबर बंडल के फ़ाइबर के रूप में जाना जाता है। इन फाइबर बंडलों को प्रमुख बंडल कहा जाता है। स्थानीय रूप से परिणामी स्थान जैसा दिखता है $\mathbb {R} ^{d}\times G$ चूँकि विश्व स्तर पर इसमें कुछ मुड़ी हुई संरचना हो सकती है, जो इस बात पर निर्भर करता है कि विभिन्न रेशे एक साथ कैसे चिपके हुए हैं।

विल्सन रेखाएँ जिस समस्या का समाधान करती हैं वह यह है कि दो भिन्न-भिन्न स्पेसटाइम बिंदुओं पर तंतुओं पर बिंदुओं की तुलना कैसे की जाए। यह सामान्य सापेक्षता में समानांतर परिवहन के अनुरूप है जो विभिन्न बिंदुओं पर स्पर्शरेखा स्थानों में रहने वाले स्पर्शरेखा वैक्टर की तुलना करता है। प्रमुख बंडलों के लिए एक कनेक्शन (गणित) की प्रारंभआत के माध्यम से विभिन्न फाइबर बिंदुओं की तुलना करने का एक प्राकृतिक विधि है, जो एक गेज फ़ील्ड प्रारंभ करने के सामान्तर है। ऐसा इसलिए है क्योंकि कनेक्शन मुख्य बंडल के स्पर्शरेखा स्थान को दो उप-स्थानों में भिन्न करने का एक विधि है, जिन्हें ऊर्ध्वाधर और क्षैतिज बंडल और क्षैतिज उप-स्थान के रूप में जाना जाता है।^[3] पूर्व में फाइबर की ओर संकेत करने वाले सभी वैक्टर सम्मिलित हैं $G$ जबकि उत्तरार्द्ध में सदिश होते हैं जो फाइबर के लंबवत होते हैं। यह विभिन्न स्पेसटाइम बिंदुओं पर फाइबर मानों की तुलना उन्हें मुख्य बंडल में वक्रों से जोड़कर करने की अनुमति देता है, जिनके स्पर्शरेखा वैक्टर सदैव क्षैतिज उपस्थान में रहते हैं, इसलिए वक्र सदैव किसी भी दिए गए फाइबर के लंबवत होता है।

यदि प्रारंभिक फाइबर समन्वय पर है $x_{i}$ पहचान के प्रारंभिक बिंदु के साथ $g_{i}=e$ , फिर यह देखने के लिए कि किसी अन्य स्पेसटाइम समन्वय में जाने पर यह कैसे बदलता है $x_{f}$ , किसी को कुछ स्पेसटाइम वक्र पर विचार करने की आवश्यकता है $\gamma :[0,1]\rightarrow M$ मध्य में $x_{i}$ और $x_{f}$ . मुख्य बंडल में संगत वक्र, जिसे एह्रेसमैन कनेक्शन के रूप में जाना जाता है $\gamma (t)$ , वक्र है ${\tilde {\gamma }}(t)$ ऐसा है कि ${\tilde {\gamma }}(0)=g_{i}$ और यह कि इसके स्पर्शरेखा सदिश सदैव क्षैतिज उपस्थान में स्थित होते हैं। गेज सिद्धांत के फाइबर बंडल सूत्रीकरण से पता चलता है कि लाई बीजगणित|लाई-बीजगणित गेज क्षेत्र को महत्व देता है $A_{\mu }(x)=A_{\mu }^{a}(x)T^{a}$ उस कनेक्शन के समतुल्य है जो क्षैतिज उपस्थान को परिभाषित करता है, इसलिए यह क्षैतिज लिफ्ट के लिए एक अंतर समीकरण की ओर ले जाता है

i{\frac {dg(t)}{dt}}=A_{\mu }(x){\frac {dx^{\mu }}{dt}}g(t).

इसका एक अनोखा औपचारिक समाधान है जिसे दो बिंदुओं के मध्य विल्सन रेखा कहा जाता है

g_{f}(t_{f})=W[x_{i},x_{f}]={\mathcal {P}}\exp {\bigg (}i\int _{x_{i}}^{x_{f}}A_{\mu }dx^{\mu }{\bigg )},

कहाँ ${\mathcal {P}}$ पथ क्रम|पाथ-ऑर्डरिंग ऑपरेटर है, जो एबेलियन समूह सिद्धांतों के लिए अनावश्यक है। पहचान के अतिरिक्त कुछ प्रारंभिक फाइबर बिंदु पर प्रारंभ होने वाली क्षैतिज लिफ्ट को केवल मूल क्षैतिज लिफ्ट के प्रारंभिक तत्व द्वारा गुणा की आवश्यकता होती है। अधिक सामान्यतः, यह माना जाता है कि यदि ${\tilde {\gamma }}'(0)={\tilde {\gamma }}(0)g$ तब ${\tilde {\gamma }}'(t)={\tilde {\gamma }}(t)g$ सभी के लिए $t\geq 0$ .