अदिश वक्रता

रीमैनियन ज्यामिति के गणितीय क्षेत्र में, अदिश वक्रता या रिक्की अदिश रीमैनियन मैनिफोल्ड की वक्रता का एक माप है। रीमैनियन मैनिफोल्ड के प्रत्येक बिंदु पर यह उस बिंदु के निकट मीट्रिक की ज्यामिति द्वारा निर्धारित एक वास्तविक संख्या निर्दिष्ट करता है। इसे मीट्रिक घटकों के आंशिक व्युत्पन्न के संदर्भ में एक सम्मिश्र स्पष्ट सूत्र द्वारा परिभाषित किया गया है, चूंकि यह असीम रूप से छोटी जियोडेसिक गेंदों की मात्रा की विशेषता भी है। इस प्रकार सतहों की अवकल ज्यामिति के संदर्भ में अदिश वक्रता गॉसियन वक्रता से दोगुनी होती है और पूरी तरह से सतह की वक्रता को दर्शाती है। चूंकि, उच्च आयामों में अदिश वक्रता रीमैन वक्रता टेंसर के केवल एक विशेष भाग का प्रतिनिधित्व करती है।

आंशिक व्युत्पन्न के माध्यम से अदिश वक्रता की परिभाषा स्यूडो -रिमानियन मैनिफोल्ड्स की अधिक सामान्य सेटिंग में भी मान्य होता है। यह सामान्य सापेक्षता में महत्वपूर्ण होता है, जहां लोरेंट्ज़ियन मीट्रिक की अदिश वक्रता आइंस्टीन क्षेत्र समीकरणों में प्रमुख शब्दों में से एक है। इसके अतिरिक्त यह अदिश वक्रता आइंस्टीन-हिल्बर्ट क्रिया के लिए लैग्रेंजियन क्षेत्र सिद्धांत है, जिसके यूलर-लैग्रेंज समीकरण निर्वात में आइंस्टीन क्षेत्र समीकरण हैं।

धनात्मक अदिश वक्रता के साथ रीमैनियन मेट्रिक्स की ज्यामिति का व्यापक रूप से अध्ययन किया गया है। इस प्रकार गैर-कॉम्पैक्ट स्थानों पर यह 1970 के दशक में रिचर्ड स्कोन और शिंग-तुंग याउ द्वारा सिद्ध किए गए धनात्मक द्रव्यमान प्रमेय का संदर्भ है और इसके तुरंत बाद एडवर्ड विटेन द्वारा विभिन्न तकनीकों के साथ पुन: प्रस्तुत किया गया है। इस प्रकार स्कोएन और याउ और स्वतंत्र रूप से मिखाइल ग्रोमोव गणितज्ञ और ब्लेन लॉसन ने धनात्मक अदिश वक्रता के मेट्रिक्स का समर्थन करने वाले बंद मैनिफोल्ड्स की टोपोलॉजी पर कई मौलिक परिणाम विकसित किए है। उनके परिणामों के संयोजन में, ग्रिगोरी पेरेलमैन द्वारा 2003 में सर्जरी के साथ रिक्की प्रवाह के निर्माण ने त्रि-आयामी स्थिति में इन टोपोलॉजी का संपूर्ण लक्षण का वर्णन प्रदान किया गया है।

परिभाषा

एक रीमैनियन मीट्रिक दिया गया g, अदिश वक्रता S सामान्यता R या Sc को मीट्रिक के संबंध में रिक्की वक्रता टेंसर के ट्रेस (रैखिक बीजगणित) के रूप में परिभाषित किया गया जाता है

$S=\operatorname {tr} _{g}\operatorname {Ric} .$

अदिश वक्रता की गणना सीधे रिक्की वक्रता से नहीं की जा सकती है क्योंकि रिक्की वक्रता एक (0,2) टेंसर क्षेत्र है इस प्रकार ट्रेस लेने के लिए मीट्रिक का उपयोग इंडेक्स को बढ़ाने के लिए (1,1) टेंसर फ़ील्ड प्राप्त करने के लिए किया जाना चाहिए। स्थानीय निर्देशांक के संदर्भ में कोई भीआइंस्टीन संकेतन कन्वेंशन का उपयोग करके लिख सकता है कि:

$S=g^{ij}R_{ij}$

जहाँ R_ij = Ric(∂_i, ∂_j) समन्वय आधार में रिक्की टेंसर के घटक होते है और जहाँ g^ij मीट्रिक टेंसर घटक हैं, अर्थात मीट्रिक घटकों के व्युत्क्रमणीय मैट्रिक्स के घटक g_ij = g(∂_i, ∂_j). रिक्की वक्रता अनुभागीय वक्रता के योग के आधार पर अदिश वक्रता को इस प्रकार व्यक्त करना संभव होता है

$S(p)=\sum _{i\neq j}\operatorname {sec} (e_{i},e_{j})$

जहाँ सेक अनुभागीय वक्रता को दर्शाता है और e₁, ..., e_n p पर कोई ऑर्थोनॉर्मल फ्रेम है। इसी तरह के तर्क के अनुसार, अदिश वक्रता रीमैनियन मैनिफोल्ड्स की वक्रता के निशान से दोगुनी होती है। वैकल्पिक रूप से, क्रिस्टोफ़ेल प्रतीकों के संदर्भ में रिक्की वक्रता की समन्वय आधारित परिभाषा को देखते हुए अदिश वक्रता को इस प्रकार व्यक्त करना संभव होता है,

$S=g^{\mu \nu }\left({\Gamma ^{\lambda }}_{\mu \nu ,\lambda }-{\Gamma ^{\lambda }}_{\mu \lambda ,\nu }+{\Gamma ^{\sigma }}_{\mu \nu }{\Gamma ^{\lambda }}_{\lambda \sigma }-{\Gamma ^{\sigma }}_{\mu \lambda }{\Gamma ^{\lambda }}_{\nu \sigma }\right)$

जहाँ ${\Gamma ^{\mu }}_{\nu \lambda }$ मीट्रिक के क्रिस्टोफ़ेल प्रतीक हैं और ${\Gamma ^{\mu }}_{\nu \lambda ,\sigma }$ का आंशिक व्युत्पन्न ${\Gamma ^{\mu }}_{\nu \lambda }$ है और σ-समन्वय दिशा में है।

उपरोक्त परिभाषाएँ स्यूडो -रिमानियन मीट्रिक के लिए समान रूप से मान्य होती है। लोरेंत्ज़ियन मेट्रिक्स की विशेष स्थिति सामान्य सापेक्षता के गणितीय सिद्धांत में महत्वपूर्ण होती है, जहां अदिश वक्रता और रिक्की वक्रता आइंस्टीन क्षेत्र समीकरण में मौलिक शब्द के रूप में है।

चूंकि, रीमैन वक्रता टेंसर या रिक्की टेंसर के विपरीत अदिश वक्रता को एक यादृच्छिक एफ़िन कनेक्शन के लिए परिभाषित नहीं किया जा सकता है, क्योंकि इस कारण से (0,2) टेंसर फ़ील्ड का ट्रेस खराब परिभाषित है। चूंकि, अदिश वक्रता के अन्य सामान्यीकरण भी होते हैं, जिनमें फिन्सलर ज्यामिति भी सम्मिलित है।

पारंपरिक संकेतन

टेंसर इंडेक्स नोटेशन के संदर्भ में, अक्षर का उपयोग करना आम है R तीन अलग-अलग चीजों का प्रतिनिधित्व करने के लिए:

1. रीमैन वक्रता टेंसर: R_ijk^l या R_ijkl
2. रिक्की टेंसर: R_ij
3. अदिश वक्रता: R

फिर इन तीनों को उनके सूचकांकों की संख्या के आधार पर एक दूसरे से अलग किया जाता है: रीमैन टेंसर में चार सूचकांक होते हैं, रिक्की टेंसर में दो सूचकांक होते हैं, और रिक्की अदिश में शून्य सूचकांक होते हैं। अदिश वक्रता के लिए उपयोग किए जाने वाले अन्य संकेतन में सम्मिलित हैं scal, κ, K, r, s या S, और τ.

जो लोग इंडेक्स नोटेशन का उपयोग नहीं करते हैं वे सामान्यता पूर्ण रीमैन वक्रता टेंसर के लिए आर आरक्षित करते हैं। वैकल्पिक रूप से, समन्वय-मुक्त संकेतन में कोई रीमैन टेंसर के लिए रीम, रिक्की टेंसर के लिए रिक और अदिश वक्रता के लिए आर का उपयोग कर सकता है।

इसके बजाय कुछ लेखक रिक्की वक्रता और अदिश वक्रता को सामान्यीकरण कारक के साथ परिभाषित करते हैं, ताकि

$R_{ij}={\frac {1}{n-1}}g^{kl}R_{kijl}{\text{ and }}R={\frac {1}{n}}g^{ij}R_{ij}.$

इस तरह के विकल्प का उद्देश्य यह है कि रिक्की और अदिश वक्रताएं अनुभागीय वक्रता के औसत मान (योग के बजाय) बन जाएं।

बुनियादी गुण

यह एक मौलिक तथ्य है कि आइसोमेट्री के तहत अदिश वक्रता अपरिवर्तनीय है। सटीक होने के लिए, यदि f एक अंतरिक्ष से भिन्नता है M एक स्थान के लिए N, बाद वाला एक (स्यूडो -)रीमैनियन मीट्रिक से सुसज्जित है g, फिर पुलबैक (अंतर ज्यामिति) का अदिश वक्रता M की अदिश वक्रता की संरचना के बराबर है g मानचित्र के साथ f. यह इस दावे के बराबर है कि अदिश वक्रता ज्यामितीय रूप से अच्छी तरह से परिभाषित है, समन्वय चार्ट या स्थानीय फ्रेम के किसी भी विकल्प से स्वतंत्र है। अधिक सामान्यतः, जैसा कि समरूपता की भाषा में कहा जा सकता है, एक स्थिर कारक द्वारा मीट्रिक को स्केल करने का प्रभाव c व्युत्क्रम कारक द्वारा अदिश वक्रता को मापना है c⁻¹.

इसके अलावा, अदिश वक्रता (सामान्यीकरण कारक की मनमानी पसंद तक) मीट्रिक का एकमात्र समन्वय-स्वतंत्र कार्य है, जो सामान्य निर्देशांक के केंद्र में मूल्यांकन किया गया है, मीट्रिक के डेरिवेटिव में एक बहुपद है और उपरोक्त स्केलिंग है संपत्ति। यह वर्मील प्रमेय का एक सूत्रीकरण है।

बियान्ची पहचान

बियांची पहचान के प्रत्यक्ष परिणाम के रूप में, किसी भी (स्यूडो -)रिमानियन मीट्रिक में वह गुण होता है जो

${\frac {1}{2}}\nabla _{i}R=g^{jk}\nabla _{j}R_{ki}.$

इस पहचान को अनुबंधित बियांची पहचान कहा जाता है। इसका, लगभग तात्कालिक परिणाम के रूप में, शूर का लेम्मा (रिमानियन ज्यामिति) बताता है कि यदि रिक्की टेंसर बिंदुवार मीट्रिक का एक गुणक है, तो मीट्रिक आइंस्टीन मैनिफोल्ड होना चाहिए (जब तक कि आयाम दो न हो)। इसके अलावा, यह कहता है कि (दो आयामों को छोड़कर) एक मीट्रिक आइंस्टीन है यदि और केवल यदि रिक्की टेंसर और अदिश वक्रता संबंधित हैं

$R_{ij}={\frac {1}{n}}Rg_{ij},$

जहाँ n आयाम को दर्शाता है.