बीटा फलन

This article is about the Euler beta function. For other uses, see बीटा फलन (disambiguation).

Contour plot of the beta function

Beta function plotted in the complex plane in three dimensions with Mathematica 13.1's ComplexPlot3D

का कॉम्प्लेक्सप्लॉट3डी|थंब|बीटा फ़ंक्शन जटिल विमान में गणित 13.1 के कॉम्प्लेक्सप्लॉट3डी के साथ तीन आयामों में प्लॉट किया गया]]गणित में, बीटा फ़ंक्शन, जिसे पहली तरह का यूलर इंटीग्रल (बहुविकल्पी) भी कहा जाता है, एक विशेष फ़ंक्शन है जो गामा फ़ंक्शन और द्विपद गुणांक से निकटता से संबंधित है। इसे अभिन्न द्वारा परिभाषित किया गया है

$\mathrm {B} (z_{1},z_{2})=\int _{0}^{1}t^{z_{1}-1}(1-t)^{z_{2}-1}\,dt$

सम्मिश्र संख्या इनपुट के लिए

$z_{1},z_{2}$ ऐसा है कि $\Re (z_{1}),\Re (z_{2})>0$.

बीटा फ़ंक्शन का अध्ययन लियोनहार्ड यूलर और एड्रियन मैरी लीजेंड्रे द्वारा किया गया था और इसे जैक्स फिलिप मैरी बिनेट द्वारा इसका नाम दिया गया था; इसका प्रतीक Β एक ग्रीक वर्णमाला का कैपिटल बीटा (अक्षर) है।

गुण

बीटा फ़ंक्शन सममित फ़ंक्शन है, जिसका अर्थ है $\mathrm {B} (z_{1},z_{2})=\mathrm {B} (z_{2},z_{1})$ सभी इनपुट के लिए $z_{1}$ और $z_{2}$. बीटा फ़ंक्शन की एक प्रमुख संपत्ति गामा फ़ंक्शन से इसका घनिष्ठ संबंध है:

$\mathrm {B} (z_{1},z_{2})={\frac {\Gamma (z_{1})\,\Gamma (z_{2})}{\Gamma (z_{1}+z_{2})}}.$

इसका एक प्रमाण नीचे दिया गया है § Relationship to the gamma function.

बीटा फ़ंक्शन भी द्विपद गुणांक से निकटता से संबंधित है। कब m (या n, समरूपता द्वारा) एक सकारात्मक पूर्णांक है, यह गामा फ़ंक्शन की परिभाषा से अनुसरण करता है Γ वह

$\mathrm {B} (m,n)={\frac {(m-1)!\,(n-1)!}{(m+n-1)!}}={\frac {m+n}{mn}}{\Bigg /}{\binom {m+n}{m}}.$

गामा फ़ंक्शन से संबंध

संबंध की एक सरल व्युत्पत्ति $\mathrm {B} (z_{1},z_{2})={\frac {\Gamma (z_{1})\,\Gamma (z_{2})}{\Gamma (z_{1}+z_{2})}}$ एमिल आर्टिन|एमिल आर्टिन की पुस्तक द गामा फंक्शन, पृष्ठ 18-19 में पाया जा सकता है। इस संबंध को प्राप्त करने के लिए, दो फैक्टोरियल के उत्पाद को इस प्रकार लिखें

${\begin{aligned}\Gamma (z_{1})\Gamma (z_{2})&=\int _{u=0}^{\infty }\ e^{-u}u^{z_{1}-1}\,du\cdot \int _{v=0}^{\infty }\ e^{-v}v^{z_{2}-1}\,dv\\[6pt]&=\int _{v=0}^{\infty }\int _{u=0}^{\infty }\ e^{-u-v}u^{z_{1}-1}v^{z_{2}-1}\,du\,dv.\end{aligned}}$

द्वारा चर बदलना u = st और v = s(1 − t), क्योंकि u + v = s और u / (u+v) = t, हमारे पास इसके लिए एकीकरण की सीमाएं हैं s 0 से ∞ तक हैं और एकीकरण की सीमाएँ हैं t 0 से 1 हैं। इस प्रकार उत्पादन होता है

${\begin{aligned}\Gamma (z_{1})\Gamma (z_{2})&=\int _{s=0}^{\infty }\int _{t=0}^{1}e^{-s}(st)^{z_{1}-1}(s(1-t))^{z_{2}-1}s\,dt\,ds\\[6pt]&=\int _{s=0}^{\infty }e^{-s}s^{z_{1}+z_{2}-1}\,ds\cdot \int _{t=0}^{1}t^{z_{1}-1}(1-t)^{z_{2}-1}\,dt\\&=\Gamma (z_{1}+z_{2})\cdot \mathrm {B} (z_{1},z_{2}).\end{aligned}}$

द्वारा दोनों पक्षों को विभाजित करना $\Gamma (z_{1}+z_{2})$ वांछित परिणाम देता है.

बताई गई पहचान को कनवल्शन#एकीकरण के लिए पहचान के एक विशेष मामले के रूप में देखा जा सकता है। ले रहा

${\begin{aligned}f(u)&:=e^{-u}u^{z_{1}-1}1_{\mathbb {R} _{+}}\\g(u)&:=e^{-u}u^{z_{2}-1}1_{\mathbb {R} _{+}},\end{aligned}}$

किसी के पास:

$\Gamma (z_{1})\Gamma (z_{2})=\int _{\mathbb {R} }f(u)\,du\cdot \int _{\mathbb {R} }g(u)\,du=\int _{\mathbb {R} }(f*g)(u)\,du=\mathrm {B} (z_{1},z_{2})\,\Gamma (z_{1}+z_{2}).$

व्युत्पन्न

अपने पास

${\frac {\partial }{\partial z_{1}}}\mathrm {B} (z_{1},z_{2})=\mathrm {B} (z_{1},z_{2})\left({\frac {\Gamma '(z_{1})}{\Gamma (z_{1})}}-{\frac {\Gamma '(z_{1}+z_{2})}{\Gamma (z_{1}+z_{2})}}\right)=\mathrm {B} (z_{1},z_{2}){\big (}\psi (z_{1})-\psi (z_{1}+z_{2}){\big )},$

${\frac {\partial }{\partial z_{m}}}\mathrm {B} (z_{1},z_{2},\dots ,z_{n})=\mathrm {B} (z_{1},z_{2},\dots ,z_{n})\left(\psi (z_{m})-\psi \left(\sum _{k=1}^{n}z_{k}\right)\right),\quad 1\leq m\leq n,$

कहाँ $\psi (z)$ बहुविवाह फलन को दर्शाता है।

अनुमान

स्टर्लिंग का सन्निकटन स्पर्शोन्मुख सूत्र देता है

$\mathrm {B} (x,y)\sim {\sqrt {2\pi }}{\frac {x^{x-1/2}y^{y-1/2}}{({x+y})^{x+y-1/2}}}$

बड़े के लिए x और बड़ा y.

यदि दूसरी ओर x बड़ा है और y तो निश्चित है

$\mathrm {B} (x,y)\sim \Gamma (y)\,x^{-y}.$

अन्य पहचान और सूत्र

बीटा फ़ंक्शन को परिभाषित करने वाले इंटीग्रल को निम्नलिखित सहित विभिन्न तरीकों से फिर से लिखा जा सकता है:

${\begin{aligned}\mathrm {B} (z_{1},z_{2})&=2\int _{0}^{\pi /2}(\sin \theta )^{2z_{1}-1}(\cos \theta )^{2z_{2}-1}\,d\theta ,\\[6pt]&=\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{z_{1}-1}}{(1+t)^{z_{1}+z_{2}}}}\,dt,\\[6pt]&=n\int _{0}^{1}t^{nz_{1}-1}(1-t^{n})^{z_{2}-1}\,dt,\\&=(1-a)^{z_{2}}\int _{0}^{1}{\frac {(1-t)^{z_{1}-1}t^{z_{2}-1}}{(1-at)^{z_{1}+z_{2}}}}dt\qquad {\text{for any }}a\in \mathbb {R} _{\leq 1},\end{aligned}}$

जहां दूसरी से आखिरी पहचान में n कोई धनात्मक वास्तविक संख्या है. कोई व्यक्ति प्रतिस्थापन द्वारा पहले अभिन्न से दूसरे में जा सकता है $t=\tan ^{2}(\theta )$.

बीटा फ़ंक्शन को अनंत योग के रूप में लिखा जा सकता है

$\mathrm {B} (x,y)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(1-x)_{n}}{(y+n)\,n!}}$ : (कहाँ $(x)_{n}$ गिरता और बढ़ता फैक्टोरियल है)

और एक अनंत उत्पाद के रूप में

$\mathrm {B} (x,y)={\frac {x+y}{xy}}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\dfrac {xy}{n(x+y+n)}}\right)^{-1}.$

बीटा फ़ंक्शन द्विपद गुणांकों के लिए संबंधित पहचानों के अनुरूप कई पहचानों को संतुष्ट करता है, जिसमें पास्कल की पहचान का एक संस्करण भी शामिल है

$\mathrm {B} (x,y)=\mathrm {B} (x,y+1)+\mathrm {B} (x+1,y)$

और एक निर्देशांक पर एक सरल पुनरावृत्ति:

$\mathrm {B} (x+1,y)=\mathrm {B} (x,y)\cdot {\dfrac {x}{x+y}},\quad \mathrm {B} (x,y+1)=\mathrm {B} (x,y)\cdot {\dfrac {y}{x+y}}.$

बीटा फ़ंक्शन के सकारात्मक पूर्णांक मान भी 2D फ़ंक्शन के आंशिक व्युत्पन्न हैं: सभी गैर-नकारात्मक पूर्णांकों के लिए $m$ और $n$,

$\mathrm {B} (m+1,n+1)={\frac {\partial ^{m+n}h}{\partial a^{m}\,\partial b^{n}}}(0,0),$

कहाँ

$h(a,b)={\frac {e^{a}-e^{b}}{a-b}}.$

उपरोक्त पास्कल-जैसी पहचान का तात्पर्य है कि यह फ़ंक्शन प्रथम-क्रम आंशिक अंतर समीकरण का समाधान है

$h=h_{a}+h_{b}.$

के लिए $x,y\geq 1$, बीटा फ़ंक्शन को काट दिया गया पावर फ़ंक्शन को शामिल करने वाले कनवल्शन के संदर्भ में लिखा जा सकता है $t\mapsto t_{+}^{x}$:

$\mathrm {B} (x,y)\cdot \left(t\mapsto t_{+}^{x+y-1}\right)={\Big (}t\mapsto t_{+}^{x-1}{\Big )}*{\Big (}t\mapsto t_{+}^{y-1}{\Big )}$

विशेष बिंदुओं पर मूल्यांकन काफी सरल हो सकता है; उदाहरण के लिए,

$\mathrm {B} (1,x)={\dfrac {1}{x}}$

और

$\mathrm {B} (x,1-x)={\dfrac {\pi }{\sin(\pi x)}},\qquad x\not \in \mathbb {Z}$

ले कर $x={\frac {1}{2}}$ इस अंतिम सूत्र में, यह उसका अनुसरण करता है $\Gamma (1/2)={\sqrt {\pi }}$. बीटा फ़ंक्शंस के उत्पाद के लिए इसे द्विचर पहचान में सामान्यीकृत करने से यह होता है:

$\mathrm {B} (x,y)\cdot \mathrm {B} (x+y,1-y)={\frac {\pi }{x\sin(\pi y)}}.$

बीटा फ़ंक्शन के लिए यूलर के इंटीग्रल को पोचहैमर समोच्च पर एक इंटीग्रल में परिवर्तित किया जा सकता है C जैसा

$\left(1-e^{2\pi i\alpha }\right)\left(1-e^{2\pi i\beta }\right)\mathrm {B} (\alpha ,\beta )=\int _{C}t^{\alpha -1}(1-t)^{\beta -1}\,dt.$

यह पोचहैमर समोच्च अभिन्न अंग सभी मूल्यों के लिए अभिसरण करता है α और β और इस प्रकार बीटा फ़ंक्शन की विश्लेषणात्मक निरंतरता मिलती है।

जिस तरह पूर्णांकों के लिए गामा फ़ंक्शन कारख़ाने का का वर्णन करता है, बीटा फ़ंक्शन सूचकांकों को समायोजित करने के बाद एक द्विपद गुणांक को परिभाषित कर सकता है:

${\binom {n}{k}}={\frac {1}{(n+1)\,\mathrm {B} (n-k+1,k+1)}}.$

इसके अलावा, पूर्णांक के लिए n, Β के निरंतर मानों के लिए एक बंद रूप इंटरपोलेशन फ़ंक्शन देने के लिए गुणनखंडन किया जा सकता है k:

${\binom {n}{k}}=(-1)^{n}\,n!\cdot {\frac {\sin(\pi k)}{\pi \displaystyle \prod _{i=0}^{n}(k-i)}}.$

पारस्परिक बीटा फ़ंक्शन

पारस्परिक बीटा फ़ंक्शन प्रपत्र के बारे में विशेष फ़ंक्शन है

$f(x,y)={\frac {1}{\mathrm {B} (x,y)}}$

दिलचस्प बात यह है कि, उनके अभिन्न निरूपण त्रिकोणमितीय कार्यों के निश्चित अभिन्न अंग के रूप में इसकी शक्ति के उत्पाद के साथ निकटता से संबंधित हैं और त्रिकोणमितीय पहचान की सूची # एकाधिक-कोण सूत्र | एकाधिक-कोण: :$\int _{0}^{\pi }\sin ^{x-1}\theta \sin y\theta ~d\theta ={\frac {\pi \sin {\frac {y\pi }{2}}}{2^{x-1}x\mathrm {B} \left({\frac {x+y+1}{2}},{\frac {x-y+1}{2}}\right)}}$

$\int _{0}^{\pi }\sin ^{x-1}\theta \cos y\theta ~d\theta ={\frac {\pi \cos {\frac {y\pi }{2}}}{2^{x-1}x\mathrm {B} \left({\frac {x+y+1}{2}},{\frac {x-y+1}{2}}\right)}}$

$\int _{0}^{\pi }\cos ^{x-1}\theta \sin y\theta ~d\theta ={\frac {\pi \cos {\frac {y\pi }{2}}}{2^{x-1}x\mathrm {B} \left({\frac {x+y+1}{2}},{\frac {x-y+1}{2}}\right)}}$

$\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\cos ^{x-1}\theta \cos y\theta ~d\theta ={\frac {\pi }{2^{x}x\mathrm {B} \left({\frac {x+y+1}{2}},{\frac {x-y+1}{2}}\right)}}$

अपूर्ण बीटा फ़ंक्शन

अपूर्ण बीटा फ़ंक्शन, बीटा फ़ंक्शन का सामान्यीकरण, के रूप में परिभाषित किया गया है

$\mathrm {B} (x;\,a,b)=\int _{0}^{x}t^{a-1}\,(1-t)^{b-1}\,dt.$

के लिए x = 1, अपूर्ण बीटा फ़ंक्शन पूर्ण बीटा फ़ंक्शन के साथ मेल खाता है। दोनों कार्यों के बीच का संबंध गामा फ़ंक्शन और उसके सामान्यीकरण के बीच अधूरा गामा फ़ंक्शन जैसा है। सकारात्मक पूर्णांक ए और बी के लिए, अपूर्ण बीटा फ़ंक्शन तर्कसंगत गुणांक के साथ डिग्री ए + बी - 1 का बहुपद होगा।

'नियमित अपूर्ण बीटा फ़ंक्शन' (या संक्षेप में 'नियमित बीटा फ़ंक्शन') को अपूर्ण बीटा फ़ंक्शन और पूर्ण बीटा फ़ंक्शन के संदर्भ में परिभाषित किया गया है:

$I_{x}(a,b)={\frac {\mathrm {B} (x;\,a,b)}{\mathrm {B} (a,b)}}.$

नियमित अपूर्ण बीटा फ़ंक्शन बीटा वितरण का संचयी वितरण फ़ंक्शन है, और संचयी वितरण फ़ंक्शन से संबंधित है $F(k;\,n,p)$ एक यादृच्छिक चर का X एकल सफलता की संभावना के साथ द्विपद वितरण का पालन करना p और बर्नौली परीक्षणों की संख्या n:

$F(k;\,n,p)=\Pr \left(X\leq k\right)=I_{1-p}(n-k,k+1)=1-I_{p}(k+1,n-k).$

गुण

$\mathrm {B} (\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots \alpha _{n})={\frac {\Gamma (\alpha _{1})\,\Gamma (\alpha _{2})\cdots \Gamma (\alpha _{n})}{\Gamma (\alpha _{1}+\alpha _{2}+\cdots +\alpha _{n})}}.$