बीटा फलन

This article is about यूलर बीटा फंक्शन. For other uses, see बीटा फलन (disambiguation).

File:Beta function contour plot.png

बीटा फ़ंक्शन का समोच्च वर्ग

File:Beta Function plotted in the complex plane in three dimensions with Mathematica 13.1's ComplexPlot3D.svg

बीटा फ़ंक्शन को गणित 13.1 के साथ तीन आयामों में जटिल विमान में वर्गीकरण किया गया

गणित में, बीटा फलन, जिसे यूलर अभिन्न भी कहा जाता है, यह एक विशेष फलन होता है जो गामा फलन और द्विपद गुणांक से निकटता से संबंधित होता है। इसे अभिन्न द्वारा परिभाषित किया जाता है

$\mathrm {B} (z_{1},z_{2})=\int _{0}^{1}t^{z_{1}-1}(1-t)^{z_{2}-1}\,dt$

सम्मिश्र संख्या इनपुट के लिए

$z_{1},z_{2}$ ऐसा है कि $\Re (z_{1}),\Re (z_{2})>0$.

बीटा फलन का अध्ययन लियोनहार्ड यूलर और एड्रियन मैरी लीजेंड्रे द्वारा किया गया था और इसे जैक्स फिलिप मैरी बिनेट द्वारा इसका नाम दिया गया था, इसका प्रतीक Β एक ग्रीक वर्णमाला का बीटा (अक्षर) है।

गुण

बीटा फलन सममित फलन होता है, जिसका अर्थ है $\mathrm {B} (z_{1},z_{2})=\mathrm {B} (z_{2},z_{1})$ सभी इनपुट के लिए $z_{1}$ और $z_{2}$. बीटा फलन का प्रमुख गुण गामा फलन से घनिष्ठ संबंध है:

$\mathrm {B} (z_{1},z_{2})={\frac {\Gamma (z_{1})\,\Gamma (z_{2})}{\Gamma (z_{1}+z_{2})}}.$

इसका एक प्रमाण नीचे दिया गया है

बीटा फलन द्विपद गुणांक से निकटता से संबंधित होता है। जब m (या n, समरूपता द्वारा) एक धनात्मक पूर्णांक है, यह गामा फलन की परिभाषा से अनुसरण करता है Γ वह

$\mathrm {B} (m,n)={\frac {(m-1)!\,(n-1)!}{(m+n-1)!}}={\frac {m+n}{mn}}{\Bigg /}{\binom {m+n}{m}}.$

गामा फलन से संबंध

संबंध की एक सरल व्युत्पत्ति $\mathrm {B} (z_{1},z_{2})={\frac {\Gamma (z_{1})\,\Gamma (z_{2})}{\Gamma (z_{1}+z_{2})}}$ एमिल आर्टिन की पुस्तक द गामा फंक्शन, पृष्ठ 18-19 में प्राप्त किया जा सकता है। इस संबंध को प्राप्त करने के लिए, उत्पाद को इस प्रकार लिखते है

${\begin{aligned}\Gamma (z_{1})\Gamma (z_{2})&=\int _{u=0}^{\infty }\ e^{-u}u^{z_{1}-1}\,du\cdot \int _{v=0}^{\infty }\ e^{-v}v^{z_{2}-1}\,dv\\[6pt]&=\int _{v=0}^{\infty }\int _{u=0}^{\infty }\ e^{-u-v}u^{z_{1}-1}v^{z_{2}-1}\,du\,dv.\end{aligned}}$

u = st और v = s(1 − t), क्योंकि u + v = s और u / (u+v) = t, हमारे पास इसके लिए एकीकरण की सीमाएं है s 0 से ∞ तक है और एकीकरण की सीमाएँ है t 0 से 1 है। इस प्रकार उत्पादन होता है

$\begin{array}{rl}\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}(z_1)\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}(z_2)& ={\int <!--\; \int \; -->}_{s=0}^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\int <!--\; \int \; -->}_{t=0}^1{e}^{-<!--\; -\; -->s}{(st)}^{z_1-<!--\; -\; -->1}{(s(1-<!--\; -\; -->t))}^{z_2-<!--\; -\; -->1}sdtds\\ & ={\int <!--\; \int \; -->}_{s=0}^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{e}^{-<!--\; -\; -->s}{s}^{z_1+z_2-<!--\; -\; -->1}ds\cdot <!--\; \cdot \; -->{\int <!--\; \int \; -->}_{t=0}^1{t}^{z_1-<!--\; -\; -->1}{(1-<!--\; -\; -->t)}^{}\end{array}$