कॉची गुणनफल

गणित में, विशेषकर गणितीय विश्लेषण में, कॉची गुणनफल दो अनंत श्रेणियों का असतत सवलन है। इसका नाम फ्रांसीसी गणितज्ञ ऑगस्टिन-लुई कॉची के नाम पर रखा गया है।

परिभाषाएँ

कॉची गुणनफल अनंत श्रेणी या पावर श्रेणी पर लागू हो सकता है। जब लोग इसे परिमित अनुक्रमों या परिमित श्रेणी पर लागू करते हैं, तो इसे केवल गैर-शून्य गुणांकों की एक सीमित संख्या के साथ श्रेणी के गुणनफल के एक विशेष मामले के रूप में देखा जा सकता है (अलग-अलग सवलन देखें)।

अभिसरण विषयों पर अगले भाग में चर्चा की गई है।

दो अपरिमित श्रेणियों का कॉची गुणनफल

मान लीजिये ${\textstyle \sum _{i=0}^{\infty }a_{i}}$ और ${\textstyle \sum _{j=0}^{\infty }b_{j}}$ जटिल पदों वाली दो अनंत श्रृंखलाएँ हों। इन दो अनंत श्रेणियों के कॉची गुणनफल को असतत सवलन द्वारा निम्नानुसार परिभाषित किया गया है:

$\left(\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}\right)\cdot \left(\sum _{j=0}^{\infty }b_{j}\right)=\sum _{k=0}^{\infty }c_{k}$ कहाँ $c_{k}=\sum _{l=0}^{k}a_{l}b_{k-l}$.

द्वि घात श्रेणी का कॉची गुणनफल

निम्नलिखित द्वि घात श्रेणियों पर विचार करें

$\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}x^{i}$ और $\sum _{j=0}^{\infty }b_{j}x^{j}$

जटिल गुणांकों के साथ $\{a_{i}\}$ और $\{b_{j}\}$. इन द्वि घात श्रेणियों के कॉची गुणनफल को असतत सवलन द्वारा निम्नानुसार परिभाषित किया गया है:

$\left(\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}x^{i}\right)\cdot \left(\sum _{j=0}^{\infty }b_{j}x^{j}\right)=\sum _{k=0}^{\infty }c_{k}x^{k}$ कहाँ $c_{k}=\sum _{l=0}^{k}a_{l}b_{k-l}$.

अभिसरण और मर्टेंस प्रमेय

Not to be confused with मर्टेंस प्रमेय अभाज्य संख्याओं के वितरण से संबंधित.

मान लीजिए (a_n)_n≥0 और (b_n)_n≥0 वास्तविक या जटिल अनुक्रम हैं। यह फ्रांज मर्टेंस द्वारा सिद्ध किया गया था कि, यदि श्रेणी ${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}}$ A में परिवर्तित हो जाती है और ${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }b_{n}}$ B में परिवर्तित हो जाता है, और उनमें से कम से कम एक पूर्ण रूप से परिवर्तित हो जाता है, फिर उनका कॉची गुणनफल AB में परिवर्तित हो जाता है। प्रमेय अभी भी बानाच बीजगणित में मान्य है (निम्नलिखित प्रमाण की पहली पंक्ति देखें)।

यह दोनों श्रेणियों का अभिसरण होने के लिए पर्याप्त नहीं है; यदि दोनों अनुक्रम सशर्त रूप से अभिसरण हैं, तो कॉची गुणनफल को दो श्रेणियों के गुणनफल की ओर अभिसरण करने की आवश्यकता नहीं है, जैसा कि निम्नलिखित उदाहरण से पता चलता है:

उदाहरण

दो वैकल्पिक श्रेणियों पर विचार करें

$$a_{n}=b_{n}={\frac {(-1)^{n}}{\sqrt {n+1}}}\,,$$

जो केवल सशर्त रूप से अभिसरण हैं (पूर्ण मूल्यों की श्रेणी का विचलन प्रत्यक्ष तुलना परीक्षण और हार्मोनिक श्रेणी (गणित) के विचलन से होता है)। उनके कॉची गुणनफल की शर्तें दी गई हैं

$$c_{n}=\sum _{k=0}^{n}{\frac {(-1)^{k}}{\sqrt {k+1}}}\cdot {\frac {(-1)^{n-k}}{\sqrt {n-k+1}}}=(-1)^{n}\sum _{k=0}^{n}{\frac {1}{\sqrt {(k+1)(n-k+1)}}}$$

प्रत्येक पूर्णांक n ≥ 0 के लिए। चूँकि प्रत्येक k ∈ {0, 1, ..., n} के लिए, हमारे पास असमानताएँ k + 1 ≤ n + 1और n – k + 1 ≤ n + 1 हैं, यह निम्न के लिए अनुसरण करता है हर में वर्गमूल कि √(k + 1)(n − k + 1) ≤ n +1 इसलिए, क्योंकि n + 1 योग हैं,

$$|c_{n}|\geq \sum _{k=0}^{n}{\frac {1}{n+1}}=1$$

प्रत्येक पूर्णांक n ≥ 0 के लिए। इसलिए, c_n, n → ∞ के रूप में शून्य में परिवर्तित नहीं होता है, इसलिए (c_n)_n≥0 की श्रेणी परीक्षण शब्द से भिन्न होती है।

मर्टेंस प्रमेय का प्रमाण

सरलता के लिए, हम इसे जटिल संख्याओं के लिए सिद्ध करेंगे। हालाँक