गणनीय समुच्चय

गणित में, समुच्चय (गणित) गणनीय है यदि परिमित समुच्चय है या इसे प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय के साथ पत्राचार में बनाया जा सकता है। समान रूप से, समुच्चय गणनीय होता है यदि उसमें से प्राकृतिक संख्याओं में कोई विशेषण फलन उपस्थित हो; इसका आशय यह है कि समुच्चय में प्रत्येक तत्व अद्वितीय प्राकृतिक संख्या से जुड़ा हो सकता है, या समुच्चय के तत्वों को समय में गिना जा सकता है, चूँकि तत्वों की अनंत संख्या के कारण गिनती कभी अंत नहीं हो सकती है।

अधिक तकनीकी शब्दों में, गणनीय विकल्प के सिद्धांत को मानते हुए, समुच्चय गणनीय है यदि इसकी प्रमुखता (समुच्चय के तत्वों की संख्या) प्राकृतिक संख्याओं से अधिक नहीं है। गणनीय समुच्चय जो परिमित नहीं है, 'गणनीय अनंत' कहा जाता है।

इस अवधारणा का श्रेय जॉर्ज कैंटर को दिया जाता है, जिन्होंने अनगिनत समुच्चय के अस्तित्व को सिद्ध किया, ऐसे समुच्चय जो गिनने योग्य नहीं हैं; उदाहरण के लिए वास्तविक संख्याओं का समुच्चय आदि।

शब्दावली पर एक नोट

यद्यपि यहां परिभाषित गणनीय और गणनीय अनंत शब्द काफी सामान्य हैं, लेकिन शब्दावली सार्वभौमिक नहीं है। एक वैकल्पिक शैली में गणनीय का उपयोग उस अर्थ के लिए किया जाता है जिसे यहां गणनीय रूप से अनंत कहा जाता है, और अधिक से अधिक गणनीय का उपयोग उस अर्थ के लिए किया जाता है जिसे यहां गणनीय कहा जाता है। अस्पष्टता से बचने के लिए, व्यक्ति अपने आप को अधिकतम गणनीय और गणनीय अनंत शब्दों तक सीमित कर सकता है, हालाँकि संक्षेपण के संबंध में यह दोनों दुनियाओं में सबसे खराब है। पाठक को सलाह दी जाती है कि साहित्य में गणनीय शब्द का सामना करते समय उपयोग में आने वाली परिभाषा की जांच करें।

गिनती योग्य शर्तें और संख्यात्मक का भी उपयोग किया जा सकता है, उदा. क्रमशः गणनीय और गणनीय अनंत का जिक्र करते हुए, लेकिन चूँकि परिभाषाएँ अलग-अलग होती हैं, इसलिए पाठक को एक बार फिर उपयोग में आने वाली परिभाषा की जाँच करने की सलाह दी जाती है।

परिभाषा

एक सेट $S$ गणनीय है यदि:

• इसकी प्रमुखता $|S|$ से कम या बराबर है $\aleph _{0}$ (aleph-अशक्त), प्राकृतिक संख्याओं के सेट की कार्डिनैलिटी $\mathbb {N}$.* से एक इंजेक्शन फ़ंक्शन मौजूद है $S$ को $\mathbb {N}$.
• $S$ खाली है या वहां से कोई विशेषण फलन मौजूद है $\mathbb {N}$ को $S$.* के बीच एक विशेषण मानचित्रण मौजूद है $S$ और का एक उपसमुच्चय $\mathbb {N}$.
• $S$ या तो परिमित समुच्चय है ($|S|<\aleph _{0}$) या गणनीय रूप से अनंत।ये सभी परिभाषाएँ समतुल्य हैं।

एक सेट $S$ गणनीय रूप से अनंत सेट है यदि:

• इसकी प्रमुखता $|S|$ बिलकुल है $\aleph _{0}$.* एक विशेषण और विशेषण (और इसलिए आक्षेप) के बीच मानचित्रण है $S$ और $\mathbb {N}$.
• $S$ के साथ एक-एक पत्राचार|एक-से-एक पत्राचार है $\mathbb {N}$.
• के तत्व $S$ अनंत क्रम में व्यवस्थित किया जा सकता है $a_{0},a_{1},a_{2},\ldots$, कहाँ $a_{i}$ से भिन्न है $a_{j}$ के लिए $i\neq j$ और प्रत्येक तत्व $S$ सूचीबद्ध है।

एक समुच्चय बेशुमार है यदि वह गणनीय नहीं है, अर्थात उसकी प्रमुखता इससे अधिक है $\aleph _{0}$.

इतिहास

1874 में, जॉर्ज कैंटर के पहले सेट सिद्धांत लेख में, कैंटर ने साबित किया कि वास्तविक संख्याओं का सेट बेशुमार है, इस प्रकार यह दर्शाता है कि सभी अनंत सेट गणनीय नहीं हैं। 1878 में, उन्होंने कार्डिनैलिटी को परिभाषित करने और तुलना करने के लिए एक-से-एक पत्राचार का उपयोग किया। 1883 में, उन्होंने अपनी अनंत क्रमसूचक संख्या के साथ प्राकृतिक संख्याओं का विस्तार किया, और अलग-अलग अनंत कार्डिनलिटी वाले अनंत सेटों का उत्पादन करने के लिए क्रमसूचकों के सेट का उपयोग किया।

परिचय

एक सेट (गणित) तत्वों का एक संग्रह है, और इसे कई तरीकों से वर्णित किया जा सकता है। एक तरीका बस इसके सभी तत्वों को सूचीबद्ध करना है; उदाहरण के लिए, पूर्णांक 3, 4 और 5 से युक्त समुच्चय को दर्शाया जा सकता है $\{3,4,5\}$, जिसे रोस्टर फॉर्म कहा जाता है। हालाँकि, यह केवल छोटे सेटों के लिए प्रभावी है; बड़े सेटों के लिए, यह समय लेने वाला और त्रुटि-प्रवण होगा। हर एक तत्व को सूचीबद्ध करने के बजाय, कभी-कभी किसी सेट में प्रारंभिक तत्व और अंतिम तत्व के बीच कई तत्वों को दर्शाने के लिए एक दीर्घवृत्त (...) का उपयोग किया जाता है, यदि लेखक का मानना ​​​​है कि पाठक आसानी से अनुमान लगा सकता है कि ... क्या दर्शाता है; उदाहरण के लिए, $\{1,2,3,\dots ,100\}$ संभवतः 1 से 100 तक पूर्णांकों के समुच्चय को दर्शाता है। हालाँकि, इस मामले में भी, सभी तत्वों को सूचीबद्ध करना अभी भी संभव है, क्योंकि समुच्चय में तत्वों की संख्या सीमित है। यदि हम समुच्चय के तत्वों को 1, 2, इत्यादि तक क्रमांकित करते हैं $n$, यह हमें आकार के सेट की सामान्य परिभाषा देता है $n$.

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पूर्णांक से सम संख्याओं तक विशेषण मानचित्रण

कुछ समुच्चय अनंत हैं; इन सेटों में इससे भी अधिक है $n$ तत्व कहाँ $n$ कोई पूर्णांक है जिसे निर्दिष्ट किया जा सकता है। (कोई फर्क नहीं पड़ता कि निर्दिष्ट पूर्णांक कितना बड़ा है $n$ है, जैसे $n=10^{1000}$, अनंत समुच्चय से अधिक है $n$ तत्व।) उदाहरण के लिए, प्राकृतिक संख्याओं का सेट, द्वारा निरूपित $\{0,1,2,3,4,5,\dots \}$, में अनंत रूप से कई तत्व हैं, और हम इसका आकार देने के लिए किसी प्राकृतिक संख्या का उपयोग नहीं कर सकते हैं। समुच्चयों को अलग-अलग वर्गों में विभाजित करना स्वाभाविक लग सकता है: एक तत्व वाले सभी समुच्चयों को एक साथ रखें; सभी सेट जिनमें दो तत्व एक साथ हैं; ...; अंत में, सभी अनंत सेटों को एक साथ रखें और उन्हें समान आकार का मानें। यह दृश्य अनगिनत अनंत सेटों के लिए अच्छा काम करता है और जॉर्ज कैंटर के काम से पहले यह प्रचलित धारणा थी। उदाहरण के लिए, अपरिमित रूप से अनेक विषम पूर्णांक, अपरिमित रूप से अनेक सम पूर्णांक और कुल मिलाकर अपरिमित रूप से अनेक पूर्णांक होते हैं। हम इन सभी सेटों को एक ही आकार का मान सकते हैं क्योंकि हम चीजों को इस तरह व्यवस्थित कर सकते हैं कि, प्रत्येक पूर्णांक के लिए, एक अलग सम पूर्णांक हो:

$$\ldots \,-\!2\!\rightarrow \!-\!4,\,-\!1\!\rightarrow \!-\!2,\,0\!\rightarrow \!0,\,1\!\rightarrow \!2,\,2\!\rightarrow \!4\,\cdots$$

या, अधिक सामान्यतः, $n\rightarrow 2n$ (तस्वीर देखने)। हमने यहां जो किया है वह पूर्णांकों और सम पूर्णांकों को एक-से-एक पत्राचार (या आक्षेप) में व्यवस्थित करना है, जो एक फ़ंक्शन (गणित) है जो दो सेटों के बीच मैप करता है जैसे कि प्रत्येक सेट का प्रत्येक तत्व एक ही तत्व से मेल खाता है दूसरे सेट में. आकार, कार्डिनलिटी की यह गणितीय धारणा यह है कि दो सेट एक ही आकार के होते हैं यदि और केवल तभी जब उनके बीच कोई आपत्ति हो। हम उन सभी सेटों को अनंत कहते हैं जो पूर्णांकों के साथ एक-से-एक पत्राचार में हैं और कहते हैं कि उनमें कार्डिनैलिटी है $\aleph _{0}$.

जॉर्ज कैंटर ने दिखाया कि सभी अनंत सेट गणनीय रूप से अनंत नहीं हैं। उदाहरण के लिए, वास्तविक संख्याओं को प्राकृतिक संख्याओं (गैर-नकारात्मक पूर्णांक) के साथ एक-से-एक पत्राचार में नहीं रखा जा सकता है। वास्तविक संख्याओं के समुच्चय में प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय की तुलना में अधिक प्रमुखता होती है और इसे बेशुमार कहा जाता है।

औपचारिक सिंहावलोकन

परिभाषा के अनुसार, एक सेट $S$ यदि बीच में कोई आपत्ति मौजूद है तो गणनीय है $S$ और प्राकृतिक संख्याओं का एक उपसमुच्चय $\mathbb {N} =\{0,1,2,\dots \}$. उदाहरण के लिए, पत्राचार को परिभाषित करें

$$a\leftrightarrow 1,\ b\leftrightarrow 2,\ c\leftrightarrow 3$$

चूँकि प्रत्येक तत्व $S=\{a,b,c\}$ के ठीक एक तत्व के साथ जोड़ा गया है $\{1,2,3\}$, और इसके विपरीत, यह एक आक्षेप को परिभाषित करता है, और उसे दिखाता है $S$ गणनीय ह