विक रोटेशन

भौतिकी में, विक रोटेशन, इतालवी भौतिक विज्ञान जियान कार्लो विक के नाम पर, यूक्लिडियन अंतरिक्ष में संबंधित समस्या के समाधान से मिंकोव्स्की अंतरिक्ष में गणितीय समस्या का समाधान खोजने का विधि है जो काल्पनिक-संख्या चर को प्रतिस्थापित करता है। वास्तविक संख्या चर के लिए। इस परिवर्तन का उपयोग क्वांटम यांत्रिकी और अन्य अवस्थाओं में समस्याओं का समाधान खोजने के लिए भी किया जाता है।

सिंहावलोकन

विक रोटेशन अवलोकन से प्रेरित है कि मिन्कोव्स्की मीट्रिक प्राकृतिक इकाइयों में (मीट्रिक हस्ताक्षर के साथ (−1, +1, +1, +1) सम्मेलन)

$ds^{2}=-\left(dt^{2}\right)+dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}$

और चार आयामी यूक्लिडियन मीट्रिक

$ds^{2}=d\tau ^{2}+dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}$

समतुल्य हैं यदि कोई समन्वय t को काल्पनिक संख्या मान लेने के लिए की अनुमति देता है। मिन्कोव्स्की मीट्रिक यूक्लिडियन बन जाता है जब t काल्पनिक संख्या तक सीमित है, और इसके विपरीत। निर्देशांक x, y, z, t, और t = -iτ को प्रतिस्थापित करने के साथ मिन्कोस्की स्थान में व्यक्त की गई समस्या को लेने से कभी-कभी वास्तविक यूक्लिडियन निर्देशांक x, y, z, τ में एक समस्या उत्पन्न होती है जिसे हल करना आसान होता है। यह समाधान तब रिवर्स प्रतिस्थापन के अनुसार मूल समस्या का समाधान प्राप्त कर सकता है।

सांख्यिकीय और क्वांटम यांत्रिकी

विक रोटेशन व्युत्क्रम तापमान $1/(k_{\text{B}}T)$ को काल्पनिक समय $it/\hbar$ से बदलकर सांख्यिकीय यांत्रिकी को क्वांटम यांत्रिकी से जोड़ता है। तापमान T पर लयबद्ध दोलक के बड़े संग्रह पर विचार करें। ऊर्जा E के साथ किसी दिए गए दोलक को खोजने की सापेक्ष संभावना $\exp(-E/k_{\text{B}}T)$ है, जहाँ k_B बोल्ट्जमान स्थिरांक है। अवलोकनीय का औसत मूल्य Q सामान्य स्थिरांक तक है,

$\sum _{j}Q_{j}e^{-{\frac {E_{j}}{k_{\text{B}}T}}},$

जहां j सभी अवस्थाओं में चलता है, $Q_{j}$, j-वें अवस्था में Q का मान है, और $E_{j}$, j-वीं अवस्था की ऊर्जा है। अब हैमिल्टनियन H के अनुसार समय t के लिए विकसित होने वाले आधार अवस्थाओं की क्वांटम सुपरइम्पोजिशन में क्वांटम हार्मोनिक ऑसिलेटर पर विचार करें। ऊर्जा E के साथ आधार अवस्था का सापेक्ष चरण परिवर्तन $\exp(-Eit/\hbar ),$ है जहाँ $\hbar$ प्लैंक नियतांक को घटाया जाता है।

संभाव्यता आयाम कि अवस्थाओं की समान (समान भारित) अधिस्थापन

$|\psi \rangle =\sum _{j}|j\rangle$

एक इच्छानुसार अधिस्थापन के लिए विकसित होता है

$|Q\rangle =\sum _{j}Q_{j}|j\rangle$

एक सामान्य स्थिरांक तक है,

$\left\langle Q\left|e^{-{\frac {iHt}{\hbar }}}\right|\psi \right\rangle =\sum _{j}Q_{j}e^{-{\frac {E_{j}it}{\hbar }}}\langle j|j\rangle =\sum _{j}Q_{j}e^{-{\frac {E_{j}it}{\hbar }}}.$

स्टैटिक्स और डायनेमिक्स

विक रोटेशन n आयामों में स्टैटिक्स समस्याओं को n − 1 आयामों में डायनेमिक्स समस्याओं से संबंधित करता है, समय के एक आयाम के लिए अंतरिक्ष के एक आयाम का व्यापार करता है। साधारण उदाहरण जहां n = 2 गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र में निश्चित समापन बिंदुओं वाला लटकता हुआ स्प्रिंग है। स्प्रिंग का आकार वक्र y(x) है। स्प्रिंग संतुलन में है जब इस वक्र से जुड़ी ऊर्जा महत्वपूर्ण बिंदु (एक चरम) पर है; यह महत्वपूर्ण बिंदु सामान्यतः न्यूनतम होता है, इसलिए इस विचार को सामान्यतः कम से कम ऊर्जा का सिद्धांत कहा जाता है। ऊर्जा की गणना करने के लिए, हम अंतरिक्ष में ऊर्जा स्थानिक घनत्व को एकीकृत करते हैं:

$E=\int _{x}\left[k\left({\frac {dy(x)}{dx}}\right)^{2}+V{\big (}y(x){\big )}\right]dx,$

जहाँ k स्प्रिंग स्थिरांक है, और V(y(x)) गुरुत्वाकर्षण क्षमता है।

संबंधित गतिकी समस्या ऊपर की ओर फेंकी गई चट्टान की है। चट्टान जिस मार्ग का अनुसरण करती है, वो वह है जो क्रिया (भौतिकी) को बढ़ाता है; पहले की तरह, यह चरम सीमा सामान्यतः न्यूनतम है, इसलिए इसे "न्यूनतम क्रिया का सिद्धांत" कहा जाता है। क्रिया लैग्रेंजियन यांत्रिकी का समय अभिन्न अंग है:

$S={\int <!--\; \int \; -->}_t[m{(\frac{dy(t)}{}}^{}$