आंशिक अंश अपघटन

बीजगणित में, आंशिक अंश अपघटन या तर्कसंगत अंश का आंशिक अंश विस्तार (अर्थात, अंश (गणित) जैसे कि अंश और भाजक दोनों बहुपद हैं) संचालन है जिसमें अंश को बहुपद के योग और सरल भाजक के साथ एक या अधिक भिन्न के रूप में व्यक्त किया जाता है (संभवतः शून्य)।

आंशिक अंश अपघटन का महत्व इस तथ्य में निहित है कि यह तर्कसंगत कार्य के साथ विभिन्न संगणनाओं के लिए एल्गोरिदम प्रदान करता है, जिसमें एंटीडेरिवेटिव्स की स्पष्ट गणना टेलर श्रृंखला विस्तार, व्युत्क्रम Z-रूपांतरण, और व्युत्क्रम लाप्लास रूपांतरण सम्मिलित है। इस अवधारणा की खोज स्वतंत्र रूप से 1702 में जोहान बर्नौली और गॉटफ्रीड लीबनिज दोनों ने की थी।

प्रतीकों में, फार्म के तर्कसंगत अंश का आंशिक अंश अपघटन ${\textstyle {\frac {f(x)}{g(x)}},}$ जहाँ पर f और g बहुपद हैं, इसकी अभिव्यक्ति है

$${\frac {f(x)}{g(x)}}=p(x)+\sum _{j}{\frac {f_{j}(x)}{g_{j}(x)}}$$

जहाँ

p(x) बहुपद है, और, प्रत्येक के लिए j, भाजक g_j (x) अलघुकरणीय बहुपद का घातांक है (जो धनात्मक अंशों के बहुपदों में गुणनखंडनीय नहीं है), और अंश f_j (x) इस अलघुकरणीय बहुपद की घात से छोटी कोटि का बहुपद है।

जब स्पष्ट संगणना सम्मिलित होती है, तो मोटे अपघटन को अधिकांशतः पसंद किया जाता है, जिसमें परिणाम के विवरण में अलघुकरणीय बहुपद को वर्ग-मुक्त बहुपद द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है। यह बहुत सरल-से-गणना वर्ग-मुक्त गुणनखंडन द्वारा बहुपद गुणनखंडन को परिवर्तित करने की अनुमति देता है। यह अधिकांश अनुप्रयोगों के लिए पर्याप्त है, और इनपुट बहुपद के गुणांक पूर्णांक या परिमेय संख्या होने पर अपरिमेय संख्या को प्रस्तुत करने से बचता है।

मूल सिद्धांत

माना

$$R(x)={\frac {F}{G}}$$

एक परिमेय भिन्न हो, जहाँ F और G एक क्षेत्र में अनिश्चित (चर) x में अविभाज्य बहुपद हैं। निम्नलिखित कमी चरणों को आगमनात्मक रूप से प्रयुक्त करके आंशिक अंश का अस्तित्व सिद्ध किया जा सकता है।

बहुपद भाग

ऐसे दो बहुपद E और F₁ का अस्तित्व है कि

$${\frac {F}{G}}=E+{\frac {F_{1}}{G}},$$

और

$$\deg F_{1}<\deg G,$$

जहाँ $\deg P$ बहुपद P के बहुपद की डिग्री को दर्शाता है

यह F द्वारा G बहुपदों के यूक्लिडियन विभाजन से तुरंत परिणामित होता है, जो E और F₁ के अस्तित्व की पुष्टि करता है, जैसे कि $F=EG+F_{1}$ और $\deg F_{1}<\deg G.$

यह अगले चरणों में मान लेने की अनुमति देता है कि $\deg F<\deg G.$

भाजक के गुणनखंड

यदि $\deg F<\deg G,$ और

$$G=G_{1}G_{2},$$

जहाँ पर G₁ और G₂ कोप्राइम बहुपद हैं, तो बहुपद का अस्तित्व है जैसे कि

$${\frac {F}{G}}={\frac {F_{1}}{G_{1}}}+{\frac {F_{2}}{G_{2}}},$$

और

$$\deg F_{1}<\deg G_{1}\quad {\text{and}}\quad \deg F_{2}<\deg G_{2}.$$

इसे इस प्रकार सिद्ध किया जा सकता है। बेज़ाउट की पहचान बहुपदों C और D के अस्तित्व पर जोर देती है जैसे कि

$$CG_{1}+DG_{2}=1$$

(परिकल्पना द्वारा 1, G₁ और G₂ का बहुपद महत्तम समापवर्तक है)

माना $DF=G_{1}Q+F_{1}$ साथ $\deg F_{1}<\deg G_{1}$ के बहुपदों DF द्वारा $G_{1}.$ का यूक्लिडियन विभाजन हो, सेटिंग $F_{2}=CF+QG_{2},$ मिलता है

$${\begin{aligned}{\frac {F}{G}}&={\frac {F(CG_{1}+DG_{2})}{G_{1}G_{2}}}={\frac {DF}{G_{1}}}+{\frac {CF}{G_{2}}}\\&={\frac {F_{1}+G_{1}Q}{G_{1}}}+{\frac {F_{2}-G_{2}Q}{G_{2}}}\\&={\frac {F_{1}}{G_{1}}}+{\frac {F_{2}}{G_{2}}}.\end{aligned}}$$

यह दिखाना शेष है $\deg F_{2}<\deg G_{2}.$ भिन्नों के अंतिम योग को सामान्य भाजक में कम करके, प्राप्त करता है

$F=F_{2}G_{1}+F_{1}G_{2},$

और इस तरह

$${\begin{aligned}\deg F_{2}&=\deg(F-F_{1}G_{2})-\deg G_{1}\leq \max(\deg F,\deg(F_{1}G_{2}))-\deg G_{1}\\&<\max(\deg G,\deg(G_{1}G_{2}))-\deg G_{1}=\deg G_{2}\end{aligned}}$$

भाजक में शक्तियाँ

पूर्ववर्ती अपघटन का उपयोग करके किसी को ${\frac {F}{G^{k}}},$ के साथ $\deg F<\deg G^{k}=k\deg G,$रूप के अंश मिलते हैं, ${\frac {F}{G^{k}}},$ साथ $\deg F<\deg G^{k}=k\deg G,$ जहाँ G अलघुकरणीय बहुपद है। अगर k > 1, कोई और विघटित कर सकता है, इसका उपयोग करके अलघुकरणीय बहुपद वर्ग-मुक्त बहुपद है, अर्थात $1$ बहुपद और उसके व्युत्पन्न का सबसे बड़ा सामान्य भाजक है। अगर $G'$, G का व्युत्पन्न है, बेज़ाउट की पहचान बहुपद C और D प्रदान करती है जैसे कि $CG+DG'=1$ और इस तरह $F=FCG+FDG'.$ का यूक्लिडियन विभाजन $FDG'$ द्वारा $G$ बहुपद देता है $H_{k}$ और $Q$ जैसे कि $FDG'=QG+H_{k}$ और $\deg H_{k}<\deg G.$ सेटिंग $F_{k-1}=FC+Q,$ मिलता है

$${\frac {F}{G^{k}}}={\frac {H_{k}}{G^{k}}}+{\frac {F_{k-1}}{G^{k-1}}},$$

साथ $\deg H_{k}<\deg G.$ के साथ

इस प्रक्रिया के साथ पुनरावृति करना ${\frac {F_{k-1}}{G^{k-1}}}$ की जगह ${\frac {F}{G^{k}}}$ अंततः निम्नलिखित प्रमेय की ओर जाता है।

कथन

Theorem — माना f और g एक क्षेत्र पर शून्येतर बहुपद हो K. लिखें g विशिष्ट अलघुकरणीय बहुपदों की घातों के उत्पाद के रूप में :

$$g=\prod _{i=1}^{k}p_{i}^{n_{i}}.$$

(अद्वितीय) बहुपद हैं b और a_ij के साथ deg a_ij < deg p_i जैसे कि

$${\frac {f}{g}}=b+\sum _{i=1}^{k}\sum _{j=1}^{n_{i}}{\frac {a_{ij}}{p_{i}^{j}}}.$$

यदि deg f < deg g, तब b = 0.

विशिष्टता इस प्रकार सिद्ध की जा सकती है। माना d = max(1 + deg f, deg g). सभी एक साथ, b और यह a_ij के d गुणांक हैं। अपघटन का आकार d से कम डिग्री के गुणांक वैक्टर से बहुपद f तक रैखिक मानचित्र को परिभाषित करता है। अस्तित्व प्रमाण का अर्थ है कि यह मानचित्र आच्छादक है। चूंकि दो वेक्टर रिक्त स्थान समान आयाम हैं, नक्शा भी इंजेक्शन है, जिसका अर्थ अपघटन की विशिष्टता है। वैसे, यह प्रमाण रैखिक बीजगणित के माध्यम से अपघटन की गणना के लिए एल्गोरिथ्म को प्रेरित करता है।

अगर K जटिल संख्याओं का क्षेत्र है, बीजगणित के मौलिक प्रमेय का अर्थ है कि सभी p_i डिग्री है, और सभी अंश $a_{ij}$ स्थिरांक हैं। जब K वास्तविक संख्या का क्षेत्र है, इनमें से कुछ p_i द्विघात हो सकता है, इसलिए, आंशिक अंश अपघटन में, द्विघात बहुपदों की घातों द्वारा रैखिक बहुपदों का भागफल भी हो सकता है।

पिछले प्रमेय में, अलग-अलग अलघुकरणीय बहुपदों को युग्मवार कोप्राइम बहुपदों द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है जो उनके व्युत्पन्न के साथ सहअभाज्य हैं। उदाहरण के लिए, p_i g के वर्ग मुक्त गुणनखंड के कारक हो सकते हैं। जब K परिमेय संख्याओं का क्षेत्र है, जैसा कि सामान्यतः कंप्यूटर बीजगणित में होता है, तो यह आंशिक अंश अपघटन की गणना के लिए सबसे बड़े सामान्य विभाजक संगणना द्वारा गुणनखंड को परिवर्तित करने की अनुमति देता है।

प्रतीकात्मक एकीकरण के लिए आवेदन

प्रतीकात्मक एकीकरण के प्रयोजन के लिए, पूर्ववर्ती परिणाम में परिष्कृत किया जा सकता है

{math_theorem|name=Theorem|Let f and g be nonzero polynomials over a field K. Write g as a product of powers of pairwise coprime polynomials which have no multiple root in an algebraically closed field:

$$g=\prod _{i=1}^{k}p_{i}^{n_{i}}.$$

There are (unique) polynomials b and c_ij with deg c_ij < deg p_i such that

$${\frac {f}{g}}=b+\sum _{i=1}^{k}\sum _{j=2}^{n_{i}}\left({\frac {c_{ij}}{p_{i}^{j-1}}}\right)'+\sum _{i=1}^{k}{\frac {c_{i1}}{p_{i}}}.$$

where $X'$ denotes the derivative of $X.$}}

यह अंतिम योग के एकीकरण के लिए तर्कसंगत फ़ंक्शन के एंटीडेरिवेटिव की गणना को कम करता है, जिसे लॉगरिदमिक भाग कहा जाता है, क्योंकि इसका एंटीडेरिवेटिव लॉगरिदम का रैखिक संयोजन है।

प्रमेय में अपघटन की गणना करने के लिए विभिन्न तरीके हैं। सरल विधि को चार्ल्स हर्मिट की विधि कहा जाता है। सबसे पहले, b की गणना तुरंत f के यूक्लिडियन डिवीजन द्वारा g द्वारा की जाती है, उस स्थिति को कम करते हुए जहाँ deg(f) < deg(g) होता है। अगला, कोई जानता है डिग्री (सी_ij) <आप (पी_i), तो कोई प्रत्येक सी लिख सकता है_ijअज्ञात गुणांक वाले बहुपद के रूप में। प्रमेय में अंशों के योग को सामान्य भाजक में कम करना, और दो अंशों में x की प्रत्येक शक्ति के गुणांक को बराबर करना, रैखिक समीकरणों की प्रणाली प्राप्त करता है जिसे अज्ञात गुणांकों के लिए वांछित (अद्वितीय) मान प्राप्त करने के लिए हल किया जा सकता है। .

प्रक्रिया

दो बहुपद दिए गए हैं $P(x)$ और $Q(x)=(x-\alpha _{1})(x-\alpha _{2})\cdots (x-\alpha _{n})$, जहां α_i अलग-अलग स्थिरांक हैं और deg P < n, आंशिक अंशों के लिए स्पष्ट अभिव्यक्तियाँ मान कर प्राप्त की जा सकती हैं

$${\frac {P(x)}{Q(x)}}={\frac {c_{1}}{x-\alpha _{1}}}+{\frac {c_{2}}{x-\alpha _{2}}}+\cdots +{\frac {c_{n}}{x-\alpha _{n}}}$$

और सी के लिए हल करना_i स्थिरांक, प्रतिस्थापन द्वारा, x की घात वाले पदों के गुणांकों की बराबरी करके, या अन्यथा। (यह अनिर्धारित गुणांक की विधि का एक प्रकार है। समीकरण के दोनों पक्षों को क्यू (एक्स) से गुणा करने के बाद, समीकरण का एक पक्ष विशिष्ट बहुपद है, और दूसरी तरफ अनिर्धारित गुणांक वाला बहुपद है। समानता है केवल तभी संभव है जब x की समान शक्तियों के गुणांक समान हों। इससे n अज्ञात में n समीकरण प्राप्त होते हैं, c_k.)

अधिक प्रत्यक्ष संगणना, जो लैग्रेंज इंटरपोलेशन से दृढ़ता से संबंधित है, में लेखन सम्मिलित है

$${\frac {P(x)}{Q(x)}}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {P(\alpha _{i})}{Q'(\alpha _{i})}}{\frac {1}{(x-\alpha _{i})}}$$

जहाँ $Q'$ बहुपद का व्युत्पन्न है $Q$. के गुणांक ${\tfrac {1}{x-\alpha _{j}}}$ f/g का अवशेष (जटिल विश्लेषण) कहा जाता है।

यह दृष्टिकोण कई अन्य मामलों के लिए जिम्मेदार नहीं है, लेकिन तदनुसार संशोधित किया जा सकता है:

• अगर $\deg P\geq \deg Q,$ फिर बहुपद लंबे विभाजन का उपयोग करते हुए, क्यू द्वारा पी की बहुपद # विभाज्यता को निष्पादित करना आवश्यक है P(x) = E(x) Q(x) + R(x) साथ deg R < n. Q(x) से भाग देने पर यह मिलता है
  $${\frac {P(x)}{Q(x)}}=E(x)+{\frac {R(x)}{Q(x)}},$$
  और फिर शेष अंश के लिए आंशिक अंशों की तलाश करें (जो परिभाषा के अनुसार संतुष्ट करता है deg R < deg Q).
• यदि क्यू (एक्स) में ऐसे कारक सम्मिलित हैं जो दिए गए क्षेत्र में अपरिवर्तनीय हैं, तो भाजक में ऐसे कारक एफ (एक्स) के साथ प्रत्येक आंशिक अंश के अंश एन (एक्स) को बहुपद के रूप में मांगा जाना चाहिए deg N < deg F, स्थिर के बजाय। उदाहरण के लिए, R पर निम्नलिखित अपघटन लें:
  $${\frac {x^{2}+1}{(x+2)(x-1)\color {Blue}(x^{2}+x+1)}}={\frac {a}{x+2}}+{\frac {b}{x-1}}+{\frac {\color {OliveGreen}cx+d}{\color {Blue}x^{2}+x+1}}.$$
• कल्पना करना Q(x) = (x − α)^r S(x) और S(α) ≠ 0, वह है α की जड़ है Q(x) बहुलता का (गणित)#बहुपद के मूल का गुणन r. आंशिक अंश अपघटन में, r की पहली शक्तियाँ (x − α) आंशिक भिन्नों के हर के रूप में घटित होगा (संभवतः शून्य अंश के साथ)। उदाहरण के लिए, यदि S(x) = 1 आंशिक अंश अपघटन का रूप है
  $${\frac {P(x)}{Q(x)}}={\frac {P(x)}{(x-\alpha )^{r}}}={\frac {c_{1}}{x-\alpha }}+{\frac {c_{2}}{(x-\alpha )^{2}}}+\cdots +{\frac {c_{r}}{(x-\alpha )^{r}}}.$$

चित्रण

इस प्रक्रिया के उदाहरण आवेदन में, (3x + 5)/(1 − 2x)² रूप में विघटित किया जा सकता है

$${\frac {3x+5}{(1-2x)^{2}}}={\frac {A}{(1-2x)^{2}}}+{\frac {B}{(1-2x)}}.$$

समाशोधन भाजक यह दर्शाता है 3x + 5 = A + B(1 − 2x). की शक्तियों के गुणांक का विस्तार और समीकरण करना x देता है

5 = A + B and 3x = −2Bx

के लिए रैखिक समीकरणों की इस प्रणाली को हल करना A और B पैदावार A = 13/2 and B = −3/2. इस तरह,

$${\frac {3x+5}{(1-2x)^{2}}}={\frac {13/2}{(1-2x)^{2}}}+{\frac {-3/2}{(1-2x)}}.$$

अवशेष विधि

See also: Heaviside cover-up method

सम्मिश्र संख्याओं में, मान लीजिए कि f(x) परिमेय उचित भिन्न है, और इसे विघटित किया जा सकता है

$$f(x)=\sum _{i}\left({\frac {a_{i1}}{x-x_{i}}}+{\frac {a_{i2}}{(x-x_{i})^{2}}}+\cdots +{\frac {a_{ik_{i}}}{(x-x_{i})^{k_{i}}}}\right).$$

माना

$$g_{ij}(x)=(x-x_{i})^{j-1}f(x),$$

फिर लॉरेंट श्रृंखला # Uniqueness के अनुसार, a_ij पद का गुणांक है (x − x_i)⁻¹ जी के लॉरेंट विस्तार में_ij(x) बिंदु x के बारे में_i, यानी, इसका अवशेष (जटिल विश्लेषण)

$$a_{ij}=\operatorname {Res} (g_{ij},x_{i}).$$

यह सीधे सूत्र द्वारा दिया गया है

$$a_{ij}={\frac {1}{(k_{i}-j)!}}\lim _{x\to x_{i}}{\frac {d^{k_{i}-j}}{dx^{k_{i}-j}}}\left((x-x_{i})^{k_{i}}f(x)\right),$$

या विशेष मामले में जब x_i सरल जड़ है,

$$a_{i1}={\frac {P(x_{i})}{Q'(x_{i})}},$$

कब

$$f(x)={\frac {P(x)}{Q(x)}}.$$

वास्तविक से अधिक

आंशिक अंशों का उपयोग वास्तविक संख्या में किया जाता है। तर्कसंगत कार्यों के वास्तविक-मूल्यवान प्रतिपक्षी को खोजने के लिए वास्तविक-चर अभिन्न कलन। वास्तविक तर्कसंगत कार्यों के आंशिक अंश अपघटन का उपयोग उनके व्युत्क्रम लाप्लास रूपांतरणों को खोजने के लिए भी किया जाता है। वास्तविक पर आंशिक अंश अपघटन के अनुप्रयोगों के लिए, देखें

• ऊपर प्रतीकात्मक एकीकरण के लिए आवेदन
• लाप्लास में आंशिक अंश रूपांतरित होते हैं

सामान्य परिणाम

मान लीजिए f(x) वास्तविक संख्याओं पर कोई परिमेय फलन है। दूसरे शब्दों में, मान लीजिए कि वास्तविक बहुपद फलन p(x) और q(x) ≠ 0 मौजूद हैं, जैसे कि

$$f(x)={\frac {p(x)}{q(x)}}$$

क्यू(एक्स) के अग्रणी गुणांक द्वारा अंश और हर दोनों को विभाजित करके, हम व्यापकता के नुकसान के बिना मान सकते हैं कि क्यू(एक्स) एकात्मक बहुपद है। बीजगणित के मौलिक प्रमेय से हम लिख सकते हैं

$$q(x)=(x-a_{1})^{j_{1}}\cdots (x-a_{m})^{j_{m}}(x^{2}+b_{1}x+c_{1})^{k_{1}}\cdots (x^{2}+b_{n}x+c_{n})^{k_{n}}$$

जहाँ एक₁,..., ए_m, बी₁,..., बी_n, सी₁,..., सी_n b के साथ वास्तविक संख्याएँ हैं_i² − 4c_i <0, और जे₁,..., जे_m, क₁,..., क_n सकारात्मक पूर्णांक हैं। शर्तें (एक्स - ए_i) q(x) के रैखिक कारक हैं जो q(x) की वास्तविक जड़ों और शर्तों (x_i² + बी_iएक्स + सी_i) q(x) के अलघुकरणीय द्विघात कारक हैं जो q(x) की जटिल संख्या संयुग्मी जड़ों के जोड़े के अनुरूप हैं।

तब f(x) का आंशिक अंश अपघटन निम्न है:

$$f(x)={\frac {p(x)}{q(x)}}=P(x)+\sum _{i=1}^{m}\sum _{r=1}^{j_{i}}{\frac {A_{ir}}{(x-a_{i})^{r}}}+\sum _{i=1}^{n}\sum _{r=1}^{k_{i}}{\frac {B_{ir}x+C_{ir}}{(x^{2}+b_{i}x+c_{i})^{r}}}$$

यहाँ, P(x) एक (संभवतः शून्य) बहुपद है, और A_ir, बी_ir, और सी_ir वास्तविक स्थिरांक हैं। स्थिरांकों को खोजने के कई तरीके हैं।

सामान्य भाजक q(x) से गुणा करना सबसे सरल तरीका है। इसके बाद हम बहुपदों का समीकरण प्राप्त करते हैं जिसका बायाँ पक्ष केवल p(x) है और जिसके दाएँ पक्ष में गुणांक हैं जो स्थिरांक A के रैखिक व्यंजक हैं।_ir, बी_ir, और सी_ir. चूंकि दो बहुपद समान हैं यदि और केवल यदि उनके संगत गुणांक समान हैं, तो हम समान पदों के गुणांकों की बराबरी कर सकते हैं। इस तरह, रैखिक समीकरणों की प्रणाली प्राप्त होती है जिसका हमेशा अनूठा समाधान होता है। यह समाधान रैखिक बीजगणित के किसी भी मानक तरीके का उपयोग करके पाया जा सकता है। यह सीमा (गणित) के साथ भी पाया जा सकता है (देखें #उदाहरण 5 (सीमा विधि))।

उदाहरण

उदाहरण 1

$$f(x)={\frac {1}{x^{2}+2x-3}}$$

यहाँ, भाजक दो अलग-अलग रैखिक कारकों में विभाजित होता है:

$$q(x)=x^{2}+2x-3=(x+3)(x-1)$$

इसलिए हमारे पास आंशिक अंश अपघटन है

$$f(x)={\frac {1}{x^{2}+2x-3}}={\frac {A}{x+3}}+{\frac {B}{x-1}}$$

बायीं ओर के हर से गुणा करने पर बहुपद सर्वसमिका प्राप्त होती है

$$1=A(x-1)+B(x+3)$$

इस समीकरण में x = −3 को प्रतिस्थापित करने पर A = −1/4 प्राप्त होता है, और x = 1 को प्रतिस्थापित करने पर B = 1/4 प्राप्त होता है, ताकि

$$f(x)={\frac {1}{x^{2}+2x-3}}={\frac {1}{4}}\left({\frac {-1}{x+3}}+{\frac {1}{x-1}}\right)$$

उदाहरण 2

$$f(x)={\frac {x^{3}+16}{x^{3}-4x^{2}+8x}}$$

बहुपद लंबे विभाजन के बाद, हमारे पास है

$$f(x)=1+{\frac {4x^{2}-8x+16}{x^{3}-4x^{2}+8x}}=1+{\frac {4x^{2}-8x+16}{x(x^{2}-4x+8)}}$$

कारक एक्स² − 4x + 8 अपने विविक्तकर के रूप में वास्तविक से कम नहीं किया जा सकता है (−4)² − 4×8 = −16 नकारात्मक है। इस प्रकार वास्तविक पर आंशिक अंश अपघटन का आकार होता है

$${\frac {4x^{2}-8x+16}{x(x^{2}-4x+8)}}={\frac {A}{x}}+{\frac {Bx+C}{x^{2}-4x+8}}$$

x से गुणा करना³ − 4x² + 8x, हमारे पास बहुपद सर्वसमिका है

$$4x^{2}-8x+16=A\left(x^{2}-4x+8\right)+\left(Bx+C\right)x$$

x = 0 लेने पर, हम देखते हैं कि 16 = 8A, इसलिए A = 2. x की तुलना करने पर² गुणांक, हम देखते हैं कि 4 = A + B = 2 + B, इसलिए B = 2। रैखिक गुणांकों की तुलना करने पर, हम देखते हैं कि −8 = −4A + C = −8 + C, इसलिए C = 0। कुल मिलाकर,

$$f(x)=1+2\left({\frac {1}{x}}+{\frac {x}{x^{2}-4x+8}}\right)$$

जटिल संख्याओं का उपयोग करके अंश को पूरी तरह से विघटित किया जा सकता है। बीजगणित के मौलिक प्रमेय के अनुसार डिग्री एन के प्रत्येक जटिल बहुपद में एन (जटिल) जड़ें होती हैं (जिनमें से कुछ को दोहराया जा सकता है)। दूसरे अंश को विघटित किया जा सकता है:

$${\frac {x}{x^{2}-4x+8}}={\frac {D}{x-(2+2i)}}+{\frac {E}{x-(2-2i)}}$$

हर से गुणा करने पर मिलता है:

$$x=D(x-(2-2i))+E(x-(2+2i))$$

के गुणांकों की बराबरी करना x और स्थिर (के संबंध में x) इस समीकरण के दोनों पक्षों के गुणांक, हमें दो रैखिक समीकरणों की प्रणाली मिलती है D और E, जिसका समाधान है

$$D={\frac {1+i}{2i}}={\frac {1-i}{2}},\qquad E={\frac {1-i}{-2i}}={\frac {1+i}{2}}.$$

इस प्रकार हमारे पास पूर्ण अपघटन है:

$$f(x)={\frac {x^{3}+16}{x^{3}-4x^{2}+8x}}=1+{\frac {2}{x}}+{\frac {1-i}{x-(2+2i)}}+{\frac {1+i}{x-(2-2i)}}$$

कोई सीधे गणना भी कर सकता है A, D और E अवशेष विधि के साथ (नीचे उदाहरण 4 भी देखें)।

उदाहरण 3

यह उदाहरण लगभग सभी तरकीबें दिखाता है जिनका हमें उपयोग करने की आवश्यकता हो सकती है, कंप्यूटर बीजगणित प्रणाली से परामर्श करने से कम।

$$f(x)={\frac {x^{9}-2x^{6}+2x^{5}-7x^{4}+13x^{3}-11x^{2}+12x-4}{x^{7}-3x^{6}+5x^{5}-7x^{4}+7x^{3}-5x^{2}+3x-1}}$$

बहुपद दीर्घ विभाजन और बहुपद गुणनखंडन के बाद हर, हमारे पास है

$$f(x)=x^{2}+3x+4+{\frac {2x^{6}-4x^{5}+5x^{4}-3x^{3}+x^{2}+3x}{(x-1)^{3}(x^{2}+1)^{2}}}$$

आंशिक अंश अपघटन रूप लेता है

$${\frac {2x^{6}-4x^{5}+5x^{4}-3x^{3}+x^{2}+3x}{(x-1)^{3}(x^{2}+1)^{2}}}={\frac {A}{x-1}}+{\frac {B}{(x-1)^{2}}}+{\frac {C}{(x-1)^{3}}}+{\frac {Dx+E}{x^{2}+1}}+{\frac {Fx+G}{(x^{2}+1)^{2}}}.$$

बायीं ओर के हर से गुणा करने पर हमें बहुपद सर्वसमिका प्राप्त होती है

$${\begin{aligned}&2x^{6}-4x^{5}+5x^{4}-3x^{3}+x^{2}+3x\\[4pt]={}&A\left(x-1\right)^{2}\left(x^{2}+1\right)^{2}+B\left(x-1\right)\left(x^{2}+1\right)^{2}+C\left(x^{2}+1\right)^{2}+\left(Dx+E\right)\left(x-1\right)^{3}\left(x^{2}+1\right)+\left(Fx+G\right)\left(x-1\right)^{3}\end{aligned}}$$

अब हम गुणांकों की गणना करने के लिए x के विभिन्न मानों का उपयोग करते हैं:

$${\begin{cases}4=4C&x=1\\2+2i=(Fi+G)(2+2i)&x=i\\0=A-B+C-E-G&x=0\end{cases}}$$

इसका समाधान हमारे पास है:

$${\begin{cases}C=1\\F=0,G=1\\E=A-B\end{cases}}$$

इन मानों का उपयोग करके हम लिख सकते हैं:

$${\begin{aligned}&2x^{6}-4x^{5}+5x^{4}-3x^{3}+x^{2}+3x\\[4pt]={}&A\left(x-1\right)^{2}\left(x^{2}+1\right)^{2}+B\left(x-1\right)\left(x^{2}+1\right)^{2}+\left(x^{2}+1\right)^{2}+\left(Dx+\left(A-B\right)\right)\left(x-1\right)^{3}\left(x^{2}+1\right)+\left(x-1\right)^{3}\\[4pt]={}&\left(A+D\right)x^{6}+\left(-A-3D\right)x^{5}+\left(2B+4D+1\right)x^{4}+\left(-2B-4D+1\right)x^{3}+\left(-A+2B+3D-1\right)x^{2}+\left(A-2B-D+3\right)x\end{aligned}}$$

हम x के गुणांकों की तुलना करते हैं⁶ और x⁵ दोनों तरफ और हमारे पास:

$${\begin{cases}A+D=2\\-A-3D=-4\end{cases}}\quad \Rightarrow \quad A=D=1.$$

इसलिए:

$$2x^{6}-4x^{5}+5x^{4}-3x^{3}+x^{2}+3x=2x^{6}-4x^{5}+(2B+5)x^{4}+(-2B-3)x^{3}+(2B+1)x^{2}+(-2B+3)x$$

जो हमें B = 0 देता है। इस प्रकार आंशिक अंश अपघटन द्वारा दिया जाता है:

$$f(x)=x^{2}+3x+4+{\frac {1}{(x-1)}}+{\frac {1}{(x-1)^{3}}}+{\frac {x+1}{x^{2}+1}}+{\frac {1}{(x^{2}+1)^{2}}}.$$

वैकल्पिक रूप से, विस्तार करने के बजाय, कुछ डेरिवेटिव्स की गणना करने वाले गुणांक पर अन्य रैखिक निर्भरता प्राप्त कर सकते हैं $x=1,\imath$ उपरोक्त बहुपद पहचान में। (इसके लिए, याद रखें कि x = a का अवकलज (x - a)^mp(x) गायब हो जाता है यदि m > 1 और m = 1 के लिए सिर्फ p(a) है।) उदाहरण के लिए x = 1 पर पहला व्युत्पन्न देता है

$$2\cdot 6-4\cdot 5+5\cdot 4-3\cdot 3+2+3=A\cdot (0+0)+B\cdot (4+0)+8+D\cdot 0$$

यानी 8 = 4B + 8 तो B = 0।

उदाहरण 4 (अवशेष विधि)

$$f(z)={\frac {z^{2}-5}{(z^{2}-1)(z^{2}+1)}}={\frac {z^{2}-5}{(z+1)(z-1)(z+i)(z-i)}}$$

इस प्रकार, f(z) को परिमेय कार्यों में विघटित किया जा सकता है जिनके हर z+1, z−1, z+i, z−i हैं। चूँकि प्रत्येक पद की घात एक है, −1, 1, −i और i सरल ध्रुव हैं।

इसलिए, प्रत्येक ध्रुव से जुड़े अवशेष, द्वारा दिए गए हैं

$${\frac {P(z_{i})}{Q'(z_{i})}}={\frac {z_{i}^{2}-5}{4z_{i}^{3}}},$$

हैं

$$1,-1,{\tfrac {3i}{2}},-{\tfrac {3i}{2}},$$

क्रमशः, और

$$f(z)={\frac {1}{z+1}}-{\frac {1}{z-1}}+{\frac {3i}{2}}{\frac {1}{z+i}}-{\frac {3i}{2}}{\frac {1}{z-i}}.$$

उदाहरण 5 (सीमा विधि)

आंशिक अंश अपघटन खोजने के लिए सीमा (गणित) का उपयोग किया जा सकता है। निम्नलिखित उदाहरण पर विचार करें:

$${\frac {1}{x^{3}-1}}$$

सबसे पहले, भाजक का गुणनखंड करें जो अपघटन को निर्धारित करता है:

$${\frac {1}{x^{3}-1}}={\frac {1}{(x-1)(x^{2}+x+1)}}={\frac {A}{x-1}}+{\frac {Bx+C}{x^{2}+x+1}}.$$

से गुणा करना $x-1$, और जब सीमा ले रहा है $x\to 1$, हम पाते हैं

$$\lim _{x\to 1}\left((x-1)\left({\frac {A}{x-1}}+{\frac {Bx+C}{x^{2}+x+1}}\right)\right)=\lim _{x\to 1}A+\lim _{x\to 1}{\frac {(x-1)(Bx+C)}{x^{2}+x+1}}=A.$$

वहीं दूसरी ओर,

$$\lim _{x\to 1}{\frac {(x-1)}{(x-1)(x^{2}+x+1)}}=\lim _{x\to 1}{\frac {1}{x^{2}+x+1}}={\frac {1}{3}},$$

और इस तरह:

$$A={\frac {1}{3}}.$$

से गुणा करना x और जब सीमा ले रहा है $x\to \infty$, अपने पास

$$\lim _{x\to \infty }x\left({\frac {A}{x-1}}+{\frac {Bx+C}{x^{2}+x+1}}\right)=\lim _{x\to \infty }{\frac {Ax}{x-1}}+\lim _{x\to \infty }{\frac {Bx^{2}+Cx}{x^{2}+x+1}}=A+B,$$

और

$$\lim _{x\to \infty }{\frac {x}{(x-1)(x^{2}+x+1)}}=0.$$

यह संकेत करता है A + B = 0 इसलिए $B=-{\frac {1}{3}}$.

के लिए x = 0, हम पाते हैं $-1=-A+C,$ और इस तरह $C=-{\tfrac {2}{3}}$.

सब कुछ एक साथ रखकर, हम अपघटन प्राप्त करते हैं

$${\frac {1}{x^{3}-1}}={\frac {1}{3}}\left({\frac {1}{x-1}}+{\frac {-x-2}{x^{2}+x+1}}\right).$$

उदाहरण 6 (अभिन्न)

मान लीजिए हमारे पास अनिश्चितकालीन अभिन्न है:

$$\int {\frac {x^{4}+x^{3}+x^{2}+1}{x^{2}+x-2}}\,dx$$

अपघटन करने से पहले, यह स्पष्ट है कि हमें बहुपद लंबे विभाजन और भाजक का गुणनखंडन करना चाहिए। ऐसा करने का परिणाम होगा:

$$\int \left(x^{2}+3+{\frac {-3x+7}{(x+2)(x-1)}}\right)dx$$

इस पर, अब हम आंशिक अंश अपघटन कर सकते हैं।

$$\int \left(x^{2}+3+{\frac {-3x+7}{(x+2)(x-1)}}\right)dx=\int \left(x^{2}+3+{\frac {A}{(x+2)}}+{\frac {B}{(x-1)}}\right)dx$$

इसलिए:

$$A(x-1)+B(x+2)=-3x+7$$

. हमारे मानों को प्रतिस्थापित करने पर, इस मामले में, जहाँ x=1 को B के लिए हल करना है और x=-2 को A के लिए हल करना है, हम इसका परिणाम प्राप्त करेंगे:

$$A={\frac {-13}{3}}\ ,B={\frac {4}{3}}$$

यह सब वापस हमारे अभिन्न अंग में प्लग करने से हमें उत्तर खोजने की अनुमति मिलती है:

$$\int \left(x^{2}+3+{\frac {-13/3}{(x+2)}}+{\frac {4/3}{(x-1)}}\right)\,dx={\frac {x^{3}}{3}}\ +3x-{\frac {13}{3}}\ln(|x+2|)+{\frac {4}{3}}\ln(|x-1|)+C$$

टेलर बहुपद की भूमिका

परिमेय फलन का आंशिक अंश अपघटन टेलर के प्रमेय से निम्नानुसार संबंधित हो सकता है। माना

$$P(x),Q(x),A_{1}(x),\ldots ,A_{r}(x)$$

वास्तविक या जटिल बहुपद हो ये मान लीजिए

$$Q=\prod _{j=1}^{r}(x-\lambda _{j})^{\nu _{j}},$$

संतुष्ट

$$\deg A_{1}<\nu _{1},\ldots ,\deg A_{r}<\nu _{r},\quad {\text{and}}\quad \deg(P)<\deg(Q)=\sum _{j=1}^{r}\nu _{j}.$$

परिभाषित भी करें

$$Q_{i}=\prod _{j\neq i}(x-\lambda _{j})^{\nu _{j}}={\frac {Q}{(x-\lambda _{i})^{\nu _{i}}}},\qquad 1\leqslant i\leqslant r.$$

तो हमारे पास हैं

$${\frac {P}{Q}}=\sum _{j=1}^{r}{\frac {A_{j}}{(x-\lambda _{j})^{\nu _{j}}}}$$

यदि, और केवल यदि, प्रत्येक बहुपद $A_{i}(x)$ का टेलर बहुपद है ${\tfrac {P}{Q_{i}}}$ आदेश की $\nu _{i}-1$ बिंदु पर $\lambda _{i}$:

$$A_{i}(x):=\sum _{k=0}^{\nu _{i}-1}{\frac {1}{k!}}\left({\frac {P}{Q_{i}}}\right)^{(k)}(\lambda _{i})\ (x-\lambda _{i})^{k}.$$

टेलर का प्रमेय (वास्तविक या जटिल मामले में) तब आंशिक अंश अपघटन के अस्तित्व और विशिष्टता का प्रमाण प्रदान करता है, और गुणांकों का लक्षण वर्णन करता है।

प्रमाण का रेखाचित्र

उपरोक्त आंशिक अंश अपघटन का अर्थ है, प्रत्येक 1 ≤ i ≤ r के लिए, बहुपद विस्तार

$${\frac {P}{Q_{i}}}=A_{i}+O((x-\lambda _{i})^{\nu _{i}}),\qquad {\text{for }}x\to \lambda _{i},$$

इसलिए $A_{i}$ का टेलर बहुपद है ${\tfrac {P}{Q_{i}}}$, क्रम के बहुपद विस्तार की एकता के कारण $\nu _{i}-1$, और धारणा से $\deg A_{i}<\nu _{i}$.

इसके विपरीत, यदि $A_{i}$ टेलर बहुपद हैं, प्रत्येक पर उपरोक्त विस्तार $\lambda _{i}$ पकड़ो, इसलिए हमारे पास भी है

$$P-Q_{i}A_{i}=O((x-\lambda _{i})^{\nu _{i}}),\qquad {\text{for }}x\to \lambda _{i},$$

जिसका अर्थ है कि बहुपद $P-Q_{i}A_{i}$ से विभाज्य है $(x-\lambda _{i})^{\nu _{i}}.$

के लिए $j\neq i,Q_{j}A_{j}$ से विभाज्य भी है $(x-\lambda _{i})^{\nu _{i}}$, इसलिए

$$P-\sum _{j=1}^{r}Q_{j}A_{j}$$

से विभाज्य है $Q$. तब से

$$\deg \left(P-\sum _{j=1}^{r}Q_{j}A_{j}\right)<\deg(Q)$$

हमारे पास है

$$P-\sum _{j=1}^{r}Q_{j}A_{j}=0,$$

और हम आंशिक अंश अपघटन को विभाजित करके पाते हैं $Q$.

पूर्णांकों के अंश

आंशिक अंशों के विचार को अन्य अभिन्न डोमेनों के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है, जैसे कि पूर्णांकों की अंगूठी जहां अभाज्य संख्याएँ अलघुकरणीय भाजक की भूमिका लेती हैं। उदाहरण के लिए:

$${\frac {1}{18}}={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{3^{2}}}.$$

संदर्भ

• Rao, K. R.; Ahmed, N. (1968). "Recursive techniques for obtaining the partial fraction expansion of a rational function". IEEE Trans. Educ. 11 (2): 152–154. doi:10.1109/TE.1968.4320370.
• Henrici, Peter (1971). "An algorithm for the incomplete decomposition of a rational function into partial fractions". Z. Angew. Math. Phys. 22 (4): 751–755. doi:10.1007/BF01587772. S2CID 120554693.
• Chang, Feng-Cheng (1973). "Recursive formulas for the partial fraction expansion of a rational function with multiple poles". Proc. IEEE. 61 (8): 1139–1140. doi:10.1109/PROC.1973.9216.
• Kung, H. T.; Tong, D. M. (1977). "Fast Algorithms for Partial Fraction Decomposition". SIAM Journal on Computing. 6 (3): 582. doi:10.1137/0206042. S2CID 5857432.
• Eustice, Dan; Klamkin, M. S. (1979). "On the coefficients of a partial fraction decomposition". American Mathematical Monthly. Vol. 86, no. 6. pp. 478–480. JSTOR 2320421.
• Mahoney, J. J.; Sivazlian, B. D. (1983). "Partial fractions expansion: a review of computational methodology and efficiency". J. Comput. Appl. Math. 9 (3): 247–269. doi:10.1016/0377-0427(83)90018-3.
• Miller, Charles D.; Lial, Margaret L.; Schneider, David I. (1990). Fundamentals of College Algebra (3rd ed.). Addison-Wesley Educational Publishers, Inc. pp. 364–370. ISBN 0-673-38638-4.
• Westreich, David (1991). "partial fraction expansion without derivative evaluation". IEEE Trans. Circ. Syst. 38 (6): 658–660. doi:10.1109/31.81863.
• Kudryavtsev, L. D. (2001) [1994], "Undetermined coefficients, method of", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
• Velleman, Daniel J. (2002). "Partial fractions, binomial coefficients and the integral of an odd power of sec theta". Amer. Math. Monthly. 109 (8): 746–749. doi:10.2307/3072399. JSTOR 3072399.
• Slota, Damian; Witula, Roman (2005). "Three brick method of the partial fraction decomposition of some type of rational expression". Computational Science – ICCS 2005. Lect. Not. Computer Sci. Vol. 33516. pp. 659–662. doi:10.1007/11428862_89. ISBN 978-3-540-26044-8.
• Kung, Sidney H. (2006). "Partial fraction decomposition by division". Coll. Math. J. 37 (2): 132–134. doi:10.2307/27646303. JSTOR 27646303.
• Witula, Roman; Slota, Damian (2008). "Partial fractions decompositions of some rational functions". Appl. Math. Comput. 197: 328–336. doi:10.1016/j.amc.2007.07.048. MR 2396331.

बाहरी कड़ियाँ

• Weisstein, Eric W. "Partial Fraction Decomposition". MathWorld.
• Blake, Sam. "Step-by-Step Partial Fractions".
• Make partial fraction decompositions with Scilab.