प्रवाह (गणित): Difference between revisions

Revision as of 00:42, 7 February 2023

एक लंगर के अंतर समीकरण द्वारा निर्दिष्ट चरण स्थान में प्रवाह। क्षैतिज अक्ष पर, पेंडुलम की स्थिति, और ऊर्ध्वाधर पर इसका वेग।

गणित में, प्रवाह द्रव में कणों की गति के विचार को औपचारिक रूप देता है। अभियांत्रिकी और भौतिकी सहित विज्ञान में प्रवाह सर्वव्यापी हैं। साधारण अवकल समीकरणों के अध्ययन के लिए प्रवाह की धारणा आधारभूत है। अनौपचारिक रूप से, प्रवाह को समय के साथ बिंदुओं की निरंतर गति के रूप में देखा जा सकता है। अधिक औपचारिक रूप से, प्रवाह एक समुच्चय (गणित) पर वास्तविक संख्याओं की समूह क्रिया (गणित) है।

सदिश प्रवाह का विचार, अर्थात, सदिश क्षेत्र द्वारा निर्धारित प्रवाह, अंतर सांस्थिति (टोपोलॉजी), रीमैनियन ज्यामिति और लाई समूहों के क्षेत्रों में होता है। सदिश प्रवाह के विशिष्ट उदाहरणों में जियोडेसिक प्रवाह, हैमिल्टनियन प्रवाह, रिक्की प्रवाह, माध्य वक्रता प्रवाह और एनोसोव प्रवाह शामिल हैं। यादृच्छिक चर और स्टोकेस्टिक प्रक्रियाओं की प्रणालियों के लिए प्रवाह को भी परिभाषित किया जा सकता है, और एर्गोडिक डायनेमिक सिस्टम के अध्ययन में होता है। इनमें से सबसे प्रसिद्ध शायद बरनौली प्रवाह है।

औपचारिक परिभाषा

समुच्चय $X$ पर प्रवाह $X$ वास्तविक संख्याओं के योगात्मक समूह की एक समूह क्रिया हैI अधिक स्पष्ट रूप से, प्रवाह एक प्रतिचित्रण (मैपिंग_गणित) है

\varphi :X\times \mathbb {R} \to X

ऐसा कि, सभी के लिए $x \in X$ और सभी वास्तविक संख्याएँ $s$ और $t$ ,

{\begin{aligned}&\varphi (x,0)=x;\\&\varphi (\varphi (x,t),s)=\varphi (x,s+t).\end{aligned}}

यह प्रथागत $φ t (x)$ के बदले में $φ (x, t)$ , ताकि उपरोक्त समीकरणों को व्यक्त किया जा सके $\varphi ^{0}={\text{Id}}$ (तत्समक फलन) और $\varphi ^{s}\circ \varphi ^{t}=\varphi ^{s+t}$ (समूह नियम) है। फिर, सभी के लिए $t\in \mathbb {R} ,$ मानचित्रण $\varphi ^{t}:X\to X$ व्युत्क्रम के साथ आक्षेप है $\varphi ^{-t}:X\to X.$ यह उपरोक्त परिभाषा और वास्तविक प्राचल से अनुसरण करता है $t$ कार्य पुनरावृत्ति के रूप में सामान्यीकृत कार्यात्मक शक्ति के रूप में लिया जा सकता है।

प्रवाह को साधारणतया समुच्चय पर प्रस्तुत गणितीय संरचनाओं के साथ संगत होने की आवश्यकता होती है $X$ . विशेष रूप से, अगर $X$ तब एक टोपोलॉजिकल स्पेस से समविभव है $φ$ साधारणतया निरंतर कार्य करने की आवश्यकता होती है। अगर $X$ एक अलग करने योग्य कई गुना से समविभव है, फिर $φ$ साधारणतया अलग-अलग फलन की आवश्यकता होती है। इन मामलों में प्रवाह क्रमशः होमोमोर्फिज्म और डिफियोमोर्फिज्म का एक-प्राचल समूह बनाता है।

कुछ स्थितियों में स्थानीय प्रवाहों पर भी विचार किया जा सकता है, जो केवल कुछ उपसमुच्चय में परिभाषित हैं

\mathrm {dom} (\varphi )=\{(x,t)\ |\ t\in [a_{x},b_{x}],\ a_{x}<0<b_{x},\ x\in X\}\subset X\times \mathbb {R}

φ का प्रवाह प्रभावक्षेत्र कहा जाता है। सदिश क्षेत्रों के प्रवाह के मामले में प्रायः ऐसा होता है।

वैकल्पिक अंकन

अभियांत्रिकी, भौतिकी और अंतर समीकरणों के अध्ययन सहित कई क्षेत्रों में यह बहुत आम है, एक संकेतन का उपयोग करने के लिए जो प्रवाह को अंतर्निहित बनाता है। इस प्रकार, $x (t)$ के लिए लिखा गया है $\varphi ^{t}(x_{0}),$ और कोई कह सकता है कि चर $x$ समय पर निर्भर करता है $t$ और प्रारंभिक स्थिति $x = x 0$ . उदाहरण नीचे दिए गए हैं।

सदिश क्षेत्र फ्लो कर्व्स के मामले में $V$ एक स्मूथ मैनिफोल्ड पर $X$ , प्रवाह को प्रायः इस तरह से निरूपित किया जाता है कि इसके जनरेटर को स्पष्ट किया जाता है। उदाहरण के लिए,

Φ_{V} : X \times R \to X; (x, t) \mapsto Φ_{}

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 & \varphi(\varphi(x,t),s) = \varphi(x,s+t).
 \end{align}</math>
-यह प्रथागत {{math|''φ<sup>t</sup>''(''x'')}} के बदले में {{math|''φ''(''x'', ''t'')}}, ताकि उपरोक्त समीकरणों को व्यक्त किया जा सके <math>\varphi^0 = \text{Id}</math> ([[पहचान समारोह|तत्समक फलन]]) और <math>\varphi^s \circ \varphi^t = \varphi^{s+t}</math> (समूह नियम) है। फिर, सभी के लिए {{tmath|t \isin \R,}} मानचित्रण {{tmath|\varphi^t: X \to X}} व्युत्क्रम के साथ आक्षेप है {{tmath|\varphi^{-t}: X \to X.}} यह उपरोक्त परिभाषा और वास्तविक पैरामीटर से अनुसरण करता है {{mvar|t}} कार्य पुनरावृत्ति के रूप में सामान्यीकृत [[कार्यात्मक शक्ति]] के रूप में लिया जा सकता है।
+यह प्रथागत {{math|''φ<sup>t</sup>''(''x'')}} के बदले में {{math|''φ''(''x'', ''t'')}}, ताकि उपरोक्त समीकरणों को व्यक्त किया जा सके <math>\varphi^0 = \text{Id}</math> ([[पहचान समारोह|तत्समक फलन]]) और <math>\varphi^s \circ \varphi^t = \varphi^{s+t}</math> (समूह नियम) है। फिर, सभी के लिए {{tmath|t \isin \R,}} मानचित्रण {{tmath|\varphi^t: X \to X}} व्युत्क्रम के साथ आक्षेप है {{tmath|\varphi^{-t}: X \to X.}} यह उपरोक्त परिभाषा और वास्तविक प्राचल से अनुसरण करता है {{mvar|t}} कार्य पुनरावृत्ति के रूप में सामान्यीकृत [[कार्यात्मक शक्ति]] के रूप में लिया जा सकता है।
-.....
+प्रवाह को साधारणतया समुच्चय पर प्रस्तुत [[गणितीय संरचना]]ओं के साथ संगत होने की आवश्यकता होती है {{mvar|X}}. विशेष रूप से, अगर {{mvar|X}} तब एक [[टोपोलॉजिकल स्पेस]] से समविभव है {{mvar|φ}} साधारणतया [[निरंतर कार्य]] करने की आवश्यकता होती है। अगर {{mvar|X}} एक अलग करने योग्य कई गुना से समविभव है, फिर {{mvar|φ}} साधारणतया अलग-अलग फलन की आवश्यकता होती है। इन मामलों में प्रवाह क्रमशः होमोमोर्फिज्म और डिफियोमोर्फिज्म का [[एक-पैरामीटर समूह|एक-प्राचल समूह]] बनाता है।
-कुछ स्थितियों में कोई भी विचार कर सकता है{{visible anchor|local flow}}एस, जो केवल कुछ सबसमुच्चय में परिभाषित हैं
+कुछ स्थितियों में स्थानीय प्रवाहों पर भी विचार किया जा सकता है, जो केवल कुछ उपसमुच्चय में परिभाषित हैं
 :<math>\mathrm{dom}(\varphi) = \{ (x,t) \ | \ t\in[a_x,b_x], \ a_x<0<b_x, \ x\in X \} \subset X\times\mathbb R </math>
-इसको कॉल किया गया{{visible anchor|flow domain}}का {{mvar|φ}}. यह अक्सर वेक्टर फ़ील्ड # फ्लो कर्व्स के मामले में होता है।
+φ का प्रवाह प्रभावक्षेत्र कहा जाता है। सदिश क्षेत्रों के प्रवाह के मामले में प्रायः ऐसा होता है।
 === वैकल्पिक अंकन ===
 अभियांत्रिकी, भौतिकी और [[अंतर समीकरण]]ों के अध्ययन सहित कई क्षेत्रों में यह बहुत आम है, एक संकेतन का उपयोग करने के लिए जो प्रवाह को अंतर्निहित बनाता है। इस प्रकार, {{math|''x''(''t'')}} के लिए लिखा गया है {{tmath|\varphi^t(x_0),}} और कोई कह सकता है कि चर {{mvar|x}} समय पर निर्भर करता है {{mvar|t}} और प्रारंभिक स्थिति {{math|1= ''x'' = ''x''<sub>0</sub>}}. उदाहरण नीचे दिए गए हैं।
-वेक्टर फील्ड # फ्लो कर्व्स के मामले में {{mvar|V}} एक चिकने मैनिफोल्ड पर {{mvar|X}}, प्रवाह को अक्सर इस तरह से निरूपित किया जाता है कि इसके जनरेटर को स्पष्ट किया जाता है। उदाहरण के लिए,
+सदिश क्षेत्र फ्लो कर्व्स के मामले में {{mvar|V}} एक स्मूथ मैनिफोल्ड पर {{mvar|X}}, प्रवाह को प्रायः इस तरह से निरूपित किया जाता है कि इसके जनरेटर को स्पष्ट किया जाता है। उदाहरण के लिए,
 :<math>\Phi_V\colon X\times\R\to X; \qquad (x,t)\mapsto\Phi_V^t(x).</math>
 == परिक्रमा ==
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 === कई गुना === पर वेक्टर फ़ील्ड का प्रवाह
-टाइम-इंडिपेंडेंट और टाइम-डिपेंडेंट वेक्टर फील्ड्स के प्रवाह को स्मूथ मैनिफोल्ड्स पर परिभाषित किया गया है, ठीक उसी तरह जैसे वे यूक्लिडियन स्पेस पर परिभाषित हैं। {{tmath|\R^n}} और उनका स्थानीय व्यवहार समान है। हालांकि, एक चिकनी मैनिफोल्ड की वैश्विक टोपोलॉजिकल संरचना दृढ़ता से प्रकट होती है कि यह किस प्रकार के वैश्विक वेक्टर क्षेत्रों का समर्थन कर सकता है, और चिकनी मैनिफोल्ड पर वेक्टर क्षेत्रों का प्रवाह वास्तव में अंतर टोपोलॉजी में एक महत्वपूर्ण उपकरण है। डायनेमिक सिस्टम में अधिकांश अध्ययन स्मूथ मैनिफोल्ड्स पर किए जाते हैं, जिन्हें अनुप्रयोगों में पैरामीटर स्पेस के रूप में माना जाता है।
+टाइम-इंडिपेंडेंट और टाइम-डिपेंडेंट सदिश क्षेत्र्स के प्रवाह को स्मूथ मैनिफोल्ड्स पर परिभाषित किया गया है, ठीक उसी तरह जैसे वे यूक्लिडियन स्पेस पर परिभाषित हैं। {{tmath|\R^n}} और उनका स्थानीय व्यवहार समान है। हालांकि, एक स्मूथ मैनिफोल्ड की वैश्विक टोपोलॉजिकल संरचना दृढ़ता से प्रकट होती है कि यह किस प्रकार के वैश्विक वेक्टर क्षेत्रों का समर्थन कर सकता है, और स्मूथ मैनिफोल्ड पर वेक्टर क्षेत्रों का प्रवाह वास्तव में अंतर टोपोलॉजी में एक महत्वपूर्ण उपकरण है। डायनेमिक सिस्टम में अधिकांश अध्ययन स्मूथ मैनिफोल्ड्स पर किए जाते हैं, जिन्हें अनुप्रयोगों में प्राचल स्पेस के रूप में माना जाता है।
 औपचारिक रूप से: चलो <math>\mathcal{M}</math> एक अलग करने योग्य कई गुना हो। होने देना <math>\mathrm{T}_p \mathcal{M}</math> एक बिंदु के [[स्पर्शरेखा स्थान]] को निरूपित करें <math>p \in \mathcal{M}.</math> होने देना <math>\mathrm{T}\mathcal{M}</math> पूर्ण स्पर्शरेखा कई गुना हो; वह है, <math>\mathrm{T}\mathcal{M} = \cup_{p\in\mathcal{M}}\mathrm{T}_p\mathcal{M}.</math> होने देना
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 === उष्मा समीकरण के हल ===
-होने देना {{math|Ω}} का एक उपडोमेन (बाध्य या नहीं) हो {{tmath|\R^n}} (साथ {{mvar|n}} पूर्णांक)। द्वारा निरूपित करें {{math|Γ}} इसकी सीमा (चिकनी मान ली गई)।
+होने देना {{math|Ω}} का एक उपप्रभावक्षेत्र (बाध्य या नहीं) हो {{tmath|\R^n}} (साथ {{mvar|n}} पूर्णांक)। द्वारा निरूपित करें {{math|Γ}} इसकी सीमा (स्मूथ मान ली गई)।
 निम्नलिखित [[ताप समीकरण]] पर विचार करें  {{math|Ω × (0, ''T'')}}, के लिए {{math|''T'' > 0}},
 :<math>
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 निम्नलिखित प्रारंभिक सीमा स्थिति के साथ {{math| ''u''(0) {{=}} ''u''<sup>0</sup>}} में {{math|Ω}} .
-समीकरण  {{math|1=''u'' = 0}} पर {{math|Γ × (0, ''T'')}} सजातीय डिरिचलेट सीमा स्थिति से मेल खाती है। इस समस्या के लिए गणितीय समुच्चयिंग सेमीग्रुप दृष्टिकोण हो सकती है। इस टूल का उपयोग करने के लिए, हम अनबाउंड ऑपरेटर का परिचय देते हैं  {{math|Δ<sub>''D''</sub>}} पर परिभाषित <math>L^2(\Omega)</math> इसके डोमेन द्वारा
+समीकरण  {{math|1=''u'' = 0}} पर {{math|Γ × (0, ''T'')}} सजातीय डिरिचलेट सीमा स्थिति से मेल खाती है। इस समस्या के लिए गणितीय समुच्चयिंग सेमीग्रुप दृष्टिकोण हो सकती है। इस टूल का उपयोग करने के लिए, हम अनबाउंड ऑपरेटर का परिचय देते हैं  {{math|Δ<sub>''D''</sub>}} पर परिभाषित <math>L^2(\Omega)</math> इसके प्रभावक्षेत्र द्वारा
 :<math> D(\Delta_D) = H^2(\Omega) \cap H_0^1(\Omega) </math> (क्लासिकल सोबोलेव स्पेस # सोबोलेव स्पेस पूर्णांक के साथ देखें <math> H^k(\Omega) = W^{k,2}(\Omega)</math> और
 :<math>H_0^1(\Omega) = {\overline{C_0^\infty (\Omega)} } ^{H^1(\Omega)}</math> में कॉम्पैक्ट सपोर्ट के साथ असीम रूप से अलग-अलग कार्यों का बंद होना है {{mvar|Ω}} के लिए <math> H^1(\Omega)-</math>मानदंड)।
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 === तरंग समीकरण के समाधान ===
-दोबारा, चलो {{mvar|Ω}} का एक उपडोमेन (बाध्य या नहीं) हो {{tmath|\R^n}} (साथ {{mvar|n}} पूर्णांक)। हम द्वारा निरूपित करते हैं {{mvar|Γ}} इसकी सीमा (चिकनी मान ली गई)।
+दोबारा, चलो {{mvar|Ω}} का एक उपप्रभावक्षेत्र (बाध्य या नहीं) हो {{tmath|\R^n}} (साथ {{mvar|n}} पूर्णांक)। हम द्वारा निरूपित करते हैं {{mvar|Γ}} इसकी सीमा (स्मूथ मान ली गई)।
 निम्नलिखित [[तरंग समीकरण]] पर विचार करें <math> \Omega \times (0,T) </math> (के लिए {{math|''T'' > 0}}),
 :<math>
@@ Line 121: / Line 121: @@
 \mathcal{A} = \left(\begin{array}{cc} 0 & Id \\ \Delta_D & 0 \end{array}\right)
 </math>
-डोमेन के साथ <math> D(\mathcal{A}) = H^2(\Omega) \cap H_0^1(\Omega) \times H_0^1(\Omega) </math> पर <math> H = H^1_0(\Omega) \times L^2(\Omega)</math> (परिचालक {{math|Δ<sub>''D''</sub>}} पिछले उदाहरण में परिभाषित किया गया है)।
+प्रभावक्षेत्र के साथ <math> D(\mathcal{A}) = H^2(\Omega) \cap H_0^1(\Omega) \times H_0^1(\Omega) </math> पर <math> H = H^1_0(\Omega) \times L^2(\Omega)</math> (परिचालक {{math|Δ<sub>''D''</sub>}} पिछले उदाहरण में परिभाषित किया गया है)।
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