सप्तभुज: Difference between revisions

Regular heptagon
Regular heptagon
	File:Regular polygon 7 annotated.svg A regular heptagon
प्रकार	Regular polygon
किनारेs और कोने	7
स्लीपी सिंबल	{7}
कॉक्सेटर-डाइनकिन आरेख एस	File:CDel node 1.pngFile:CDel 7.pngFile:CDel node.png
समरूपता समूह	Dihedral (D7), order 2×7
आंतरिक कोण (डिग्री)	≈128.571°
गुण	Convex, cyclic, equilateral, isogonal, isotoxal

Revision as of 21:48, 28 December 2022

ज्यामिति में, एक सप्तभुज या सप्तभुज एक सात भुजाओं वाला बहुभुज या 7-गॉन होता है।

हेप्टागन को कभी-कभी ग्रीक प्रत्यय "-एगॉन" अर्थ कोण के साथ "सेप्ट-" (सेप्टुआ का एक अंश-, लैटिन-व्युत्पन्न संख्यात्मक उपसर्ग, हेप्टा- के बदले, ग्रीक-व्युत्पन्न संख्यात्मक उपसर्ग; दोनों सजातीय हैं) का प्रयोग करके सेप्टागन के रूप में संदर्भित किया जाता है।

नियमित सप्तभुज

सम-सप्तभुज, जिसकी सभी भुजाएँ और सभी कोण बराबर हैं, का आंतरिक कोण 5π/7 रेडियन (1284⁄7 डिग्री (कोण) हैं। इसका स्याफ्ली प्रतीक (Schläfli symbol) {7} है।

क्षेत्र

भुजा (साइड) लंबाई a के एक नियमित सप्तभुज का क्षेत्रफल (A) द्वारा दिया गया है:

A={\frac {7}{4}}a^{2}\cot {\frac {\pi }{7}}\simeq 3.634a^{2}.

इसे केंद्र में और हेप्टागन के शीर्ष पर इकाई-पक्षीय हेप्टागन को सात त्रिकोणीय "पाई स्लाइस" में उप-विभाजित करके देखा जा सकता है और फिर प्रत्येक त्रिकोण को अंतःत्रिज्या को सामान्य पक्ष के रूप में उपयोग करके देखा जा सकता है। अंतःत्रिज्या का आधा कोटिस्पर्श है $\pi /7,$ और 14 छोटे त्रिभुजों में से प्रत्येक का क्षेत्रफल अंतःत्रिज्या का एक-चौथाई है।

त्रिज्या R के एक वृत्त में खुदे हुए एक सम-सप्तभुज का क्षेत्रफल है ${\tfrac {7R^{2}}{2}}\sin {\tfrac {2\pi }{7}},$ जबकि वृत्त का क्षेत्रफल ऐसा है $\pi R^{2};$ कि सम-सप्तभुज इसके परिधि वाले वृत्त का लगभग 0.8710 भाग भर जाता है।

निर्माण

जैसा कि 7 एक पियरपोंट प्राइम है, लेकिन फर्मेट प्राइम नहीं है, नियमित हेप्टागन कम्पास और स्ट्रेटेज के साथ निर्माण योग्य बहुभुज नहीं है, लेकिन चिह्नित मापक और कम्पास निर्माण योग्य है। इस गुण के साथ सबसे छोटा सम-बहुभुज है। इस प्रकार के निर्माण को न्यूसिस निर्माण कहा जाता है। यह कम्पास, स्ट्रेटेज और एंगल ट्राइसेक्टर के साथ भी रचनात्मक है। स्ट्रेटेज और कम्पास निर्माण की असंभवता इस अवलोकन से होती है कि $\scriptstyle {2\cos {\tfrac {2\pi }{7}}\approx 1.247}$ अखंडनीय बहुपद घनीय फलन का शून्य है x³ + x² − 2x − 1. नतीजतन, यह बहुपद का न्यूनतम बहुपद (क्षेत्र सिद्धांत) है 2cos(2π⁄7), जबकि स्वीकार्य संख्या के लिए न्यूनतम बहुपद की डिग्री 2 की पावर होनी चाहिए।

File:Neusis-heptagon.png नियमित सप्तभुज में आंतरिक कोण का एक नया निर्माण है।	File:01-Siebeneck-Tomahawk-Animation.gif एंड्रयू एम. ग्लीसन^[1] के अनुसार, टॉमहॉक के माध्यम से कोण ट्राइसेक्शन के आधार पर परिवृत्त ${\overline {OA}}=6$ की त्रिज्या के साथ एक नेउसिस निर्माण से एक एनीमेशन है। यह निर्माण इस तथ्य पर निर्भर करता है कि $6\cos \left({\frac {2\pi }{7}}\right)=2{\sqrt {7}}\cos \left({\frac {1}{3}}\arctan \left(3{\sqrt {3}}\right)\right)-1.$

File:01-Siebeneck-nach Johnson.gif

दी गई पार्श्व लंबाई के साथ हेप्टागन:
डेविड जॉनसन लीस्क (क्रॉकेट जॉनसन) के अनुसार चिह्नित रूलर के साथ एक नेउसिस निर्माण से एक एनीमेशन।

सन्निकटन

ड्राइंग में लगभग 0.2% की त्रुटि के साथ व्यावहारिक उपयोग के लिए एक अनुमान दिखाया गया है। इसका श्रेय अल्ब्रेक्ट ड्यूरर को दिया जाता है।^[2] माना A परिवृत्त की परिधि पर स्थित है। चाप BOC खींचिए। फिर $\scriptstyle {BD={1 \over 2}BC}$ हेप्टागन के किनारे के लिए एक सन्निकटन देता है।

यह सन्निकटन उपयोग करता है $\scriptstyle {{\sqrt {3}} \over 2}\approx 0.86603$ यूनिट सर्कल में खुदा हुआ हेप्टागन के पक्ष के लिए, जबकि सटीक मान है $\scriptstyle 2\sin {\pi \over 7}\approx 0.86777$ .

गड़बड़ी को समझाने के लिए उदाहरण:
किसी परिबद्ध वृत्त की त्रिज्या r = 1 मी पर, पहली भुजा की पूर्ण त्रुटि लगभग -1.7 मिमी होगी

File:7-gone approx.png

समरूपता

File:Symmetries of heptagon.png

एक नियमित सप्तभुज की समरूपता। शिखरों को उनकी सममिति स्थितियों के अनुसार रंगा जाता है। नीली दर्पण रेखाएँ शीर्षों और किनारों के माध्यम से खींची जाती हैं। केंद्र में जाइरेशन ऑर्डर दिए जाते हैं।^[3]

नियमित हेप्टागन डायहेड्रल समरूपता से संबंधित है। डी_7hबिंदु समूह (शॉनफ्लाइज़ संकेतन), क्रम 28. समरूपता तत्व हैं: एक 7-गुना उचित घूर्णन अक्ष C₇, एक 7-गुना अनुचित घूर्णन अक्ष, S₇, 7 ऊर्ध्वाधर दर्पण तल, σ_v, 7 2-गुना घूर्णन कुल्हाड़ियों, सी₂, सप्तभुज के तल में और एक क्षैतिज दर्पण तल में, σ_h, सप्तभुज के तल में भी।^[4]

विकर्ण और षट्कोणीय त्रिभुज

File:Heptagrams.svg

ए = लाल, बी = नीला, सी = हरी रेखाएं

सम सप्तभुज की भुजा a, छोटा विकर्ण#Polygons b, और लंबा विकर्ण c, a<b<c के साथ, संतुष्ट करता है^[5]^{: Lemma 1}

a^{2}=c(c-b),

b^{2}=a(c+a),

c^{2}=b(a+b),

{\frac {1}{a}}={\frac {1}{b}}+{\frac {1}{c}}

(ऑप्टिक समीकरण)

और इसलिए

ab+ac=bc,

तथा^[5]^{: Coro. 2}

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

@@ Line 14: / Line 14: @@
 :<math>A = \frac{7}{4}a^2 \cot \frac{\pi}{7} \simeq 3.634 a^2.</math>
 :
 इसे केंद्र में और हेप्टागन के शीर्ष पर इकाई-पक्षीय हेप्टागन को सात त्रिकोणीय "पाई स्लाइस" में उप-विभाजित करके देखा जा सकता है और फिर प्रत्येक त्रिकोण को अंतःत्रिज्या को सामान्य पक्ष के रूप में उपयोग करके देखा जा सकता है। अंतःत्रिज्या का आधा कोटिस्पर्श है <math>\pi/7, </math> और 14 छोटे त्रिभुजों में से प्रत्येक का क्षेत्रफल अंतःत्रिज्या का एक-चौथाई है।
@@ Line 21: / Line 20: @@
 === निर्माण ===
-जैसा कि 7 एक [[पियरपोंट प्राइम]] है, लेकिन [[फर्मेट प्राइम]] नहीं है, नियमित हेप्टागन कम्पास और स्ट्रेटेज के साथ निर्माण योग्य बहुभुज नहीं है, लेकिन एक चिह्नित [[शासक]] और [[कम्पास और सीधा]] निर्माण योग्य है। यह इस गुण के साथ सबसे छोटा नियमित बहुभुज है। इस प्रकार के निर्माण को न्यूसिस निर्माण कहा जाता है। यह कम्पास, स्ट्रेटेज और एंगल ट्राइसेक्टर के साथ भी रचनात्मक है। स्ट्रेटेज और कम्पास निर्माण की असंभवता इस अवलोकन से होती है कि <math>\scriptstyle {2\cos{\tfrac{2\pi}{7}} \approx 1.247}</math> [[अलघुकरणीय बहुपद]] घनीय फलन का शून्य है {{nowrap|''x''<sup>3</sup> + ''x''<sup>2</sup> − 2''x'' − 1}}. नतीजतन, यह बहुपद का [[न्यूनतम बहुपद (क्षेत्र सिद्धांत)]] है {{nobreak|2cos({{frac|2π|7}}),}} जबकि एक रचनात्मक संख्या के लिए न्यूनतम बहुपद की डिग्री 2 की शक्ति होनी चाहिए।
+जैसा कि 7 एक [[पियरपोंट प्राइम]] है, लेकिन [[फर्मेट प्राइम]] नहीं है, नियमित हेप्टागन कम्पास और स्ट्रेटेज के साथ निर्माण योग्य बहुभुज नहीं है, लेकिन चिह्नित [[शासक|मापक]] और [[कम्पास और सीधा|कम्पास]] निर्माण योग्य है। इस गुण के साथ सबसे छोटा सम-बहुभुज है। इस प्रकार के निर्माण को न्यूसिस निर्माण कहा जाता है। यह कम्पास, स्ट्रेटेज और एंगल ट्राइसेक्टर के साथ भी रचनात्मक है। स्ट्रेटेज और कम्पास निर्माण की असंभवता इस अवलोकन से होती है कि <math>\scriptstyle {2\cos{\tfrac{2\pi}{7}} \approx 1.247}</math> [[अलघुकरणीय बहुपद|अखंडनीय बहुपद]] घनीय फलन का शून्य है {{nowrap|''x''<sup>3</sup> + ''x''<sup>2</sup> − 2''x'' − 1}}. नतीजतन, यह बहुपद का [[न्यूनतम बहुपद (क्षेत्र सिद्धांत)]] है {{nobreak|2cos({{frac|2π|7}}),}} जबकि स्वीकार्य संख्या के लिए न्यूनतम बहुपद की डिग्री 2 की पावर होनी चाहिए।
 {| class=wikitable width=640
-|[[File:Neusis-heptagon.png|330px]]<br>A ''neusis construction'' of the interior angle in a regular heptagon.
+|[[File:Neusis-heptagon.png|330px]]<br>नियमित सप्तभुज में आंतरिक कोण का एक नया निर्माण है।
-|[[File:01-Siebeneck-Tomahawk-Animation.gif|380px]]<br>An animation from a neusis construction with radius of circumcircle <math>\overline{OA} = 6</math>, according to [[Andrew M. Gleason]]<ref name="Gleason">{{cite journal|last=Gleason|first=Andrew Mattei|title=Angle trisection, the heptagon, and the triskaidecagon p. 186 (Fig.1) –187 |journal=The American Mathematical Monthly|date=March 1988|volume=95|issue=3 |pages=185–194|url=http://apollonius.math.nthu.edu.tw/d1/ne01/jyt/linkjstor/regular/1.pdf#3 |archiveurl=https://web.archive.org/web/20151219180208/http://apollonius.math.nthu.edu.tw/d1/ne01/jyt/linkjstor/regular/7.pdf#3 |doi= 10.2307/2323624|archivedate=2015-12-19 |url-status=dead}}</ref> based on the [[angle trisection]] by means of the [[Tomahawk_(geometry)|Tomahawk]]. This construction relies on the fact that
+|[[File:01-Siebeneck-Tomahawk-Animation.gif|380px]]<br>एंड्रयू एम. ग्लीसन<ref name="Gleason">{{cite journal|last=Gleason|first=Andrew Mattei|title=Angle trisection, the heptagon, and the triskaidecagon p. 186 (Fig.1) –187 |journal=The American Mathematical Monthly|date=March 1988|volume=95|issue=3 |pages=185–194|url=http://apollonius.math.nthu.edu.tw/d1/ne01/jyt/linkjstor/regular/1.pdf#3 |archiveurl=https://web.archive.org/web/20151219180208/http://apollonius.math.nthu.edu.tw/d1/ne01/jyt/linkjstor/regular/7.pdf#3 |doi= 10.2307/2323624|archivedate=2015-12-19 |url-status=dead}}</ref> के अनुसार, टॉमहॉक के माध्यम से कोण ट्राइसेक्शन के आधार पर परिवृत्त <math>\overline{OA} = 6</math> की [[त्रिज्या]] के साथ एक नेउसिस निर्माण से एक एनीमेशन है। यह निर्माण इस तथ्य पर निर्भर करता है कि
 <math>6\cos\left(\frac{2\pi}{7}\right)=2\sqrt{7}\cos\left(\frac{1}{3}\arctan\left(3\sqrt{3}\right)\right)-1.</math>

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