रिक्त गुणनफल: Difference between revisions

Revision as of 15:28, 18 December 2022

गणित में, एक रिक्त गुणनफल, या शून्य गुणनफल या रिक्त गुणनफल,बिना किसी गुणनखण्ड के गुणा करने का परिणाम होता है। यह गुणनात्मक पहचान के बराबर सम्मेलन द्वारा है (यह मानते हुए कि प्रश्न में गुणन संक्रिया के लिए एक पहचान है), ठीक वैसे ही जैसे [[खाली योग]] - बिना किसी संख्या को जोड़ने का परिणाम - सम्मेलन शून्य, या योज्य पहचान द्वारा होता है।^[1]^[2]^[3]^[4] जब संख्याएँ निहित होती हैं, तो खाली गुणनफल एक हो जाता है।

अंकगणितीय परिचालनों पर चर्चा करते समय खाली उत्पाद शब्द का प्रयोग प्रायः उपरोक्त अर्थ में किया जाता है। चूंकि, कंप्यूटर प्रोग्रामिंग में समुच्चय सिद्धान्त चौराहों श्रेणीबद्ध उत्पादों और उत्पादों पर चर्चा करते समय कभी-कभी इस शब्द का प्रयोग किया जाता है; इन पर नीचे चर्चा की गई है।

शून्य अंकगणितीय उत्पाद

परिभाषा

मान लीजिए a1, a2, a3, ... संख्याओं का एक क्रम है, और मान लीजिए

P_{m}=\prod _{i=1}^{m}a_{i}=a_{1}\cdots a_{m}

अनुक्रम के प्रथम m तत्वों का गुणनफल हो। फिर

P_{m}=P_{m-1}a_{m}

सभी के लिए m = 1, 2, ... कि हम परिपाटी का उपयोग करें $P_{0}=1$ . दूसरे शब्दों में, बिना किसी कारक वाला उत्पाद 1 का मूल्यांकन करता है। शून्य कारकों के साथ "उत्पाद" की अनुमति देने से कई गणितीय सूत्रों में विचार किए जाने वाले स्थिति की संख्या कम हो जाती है। ऐसा "उत्पाद" प्रेरण प्रमाणों के साथ-साथ कलन विधि में एक प्राकृतिक प्रारंभिक बिंदु है।इन कारणों से, "खाली उत्पाद एक है" परिपाटी गणित और कंप्यूटर प्रोग्रामिंग में साधारण बात है।

खाली उत्पादों को परिभाषित करने की प्रासंगिकता

खाली गुणनफल की धारणा इसी कारण से उपयोगी है कि संख्या शून्य और रिक्त समुच्चय उपयोगी हैं: जबकि वे अधिक निर्बाध धारणाओं का प्रतिनिधित्व करते प्रतीत होते हैं, उनका अस्तित्व कई विषयों की बहुत छोटी गणितीय प्रस्तुति की अनुमति देता है।

उदाहरण के लिए, खाली उत्पाद 0! = 1 (शून्य का भाज्य) और x⁰ = 1 टेलर श्रृंखला संकेतन को छोटा करता है| (जब x = 0 की चर्चा के लिए शून्य की घात शून्य देखें)। इसी प्रकार, यदि M एक n × n मैट्रिक्स है, तो M⁰ n × n पहचान मैट्रिक्स है, जो इस तथ्य को दर्शाता है कि रैखिक मानचित्र को शून्य बार लागू करने का वही प्रभाव होता है जो पहचान मानचित्र को लागू करने का होता है।

एक अन्य उदाहरण के रूप में, अंकगणित का मौलिक प्रमेय कहता है कि 1 से अधिक प्रत्येक धनात्मक पूर्णांक को अभाज्य संख्याओं के गुणनफल के रूप में विशिष्ट रूप से लिखा जा सकता है। चूंकि, यदि यदि हम केवल 0 या 1 कारकों वाले उत्पादों की अनुमति नहीं देते हैं, तो प्रमेय (और इसका प्रमाण) लंबा हो जाता है।^[5]^[6] गणित में खाली उत्पाद के उपयोग के अधिक उदाहरण द्विपद प्रमेय में पाए जा सकते हैं (जो मानता है और इसका अर्थ है कि x⁰ = 1 सभी x के लिए), स्टर्लिंग संख्या, कोनिग प्रमेय (समुच्चय सिद्धांत) , द्विपद प्रकार, द्विपद श्रृंखला, अंतर संकारक और पोचममेर प्रतीक।

लघुगणक और घातांक

चूंकि लघुगणक उत्पादों को राशियों में मानचित्र करते हैं:

\ln \prod _{i}x_{i}=\sum _{i}\ln x_{i}

वे एक खाली उत्पाद को एक खाली योग में मानचित्र करते हैं।

इसके विपरीत, घातीय फलन मानचित्र उत्पादों में योग करता है:

e^{\sum _{i}x_{i}}=\prod _{i}e^{x_{i}}

और एक खाली योग को एक खाली उत्पाद से मानचित्र करता है।

न्यूलरी कार्टेशियन उत्पाद

कार्टेशियन उत्पाद की सामान्य परिभाषा पर विचार करें:

\prod _{i\in I}X_{i}=\left\{g:I\to \bigcup _{i\in I}X_{i}\mid \forall i\ g(i)\in X_{i}\right\}.

यदि खाली है, तो एकमात्र ऐसा g खाली कार्य है $f_{\varnothing }$ , जो कि अद्वितीय उपसमुच्चय है $\varnothing \times \varnothing$ वह एक कार्य है $\varnothing \to \varnothing$ , अर्थात् खाली उपसमुच्चय $\varnothing$ (एकमात्र उपसमुच्चय जो $\varnothing \times \varnothing =\varnothing$ है):

\prod _{\varnothing }{}=\left\{f_{\varnothing }:\varnothing \to \varnothing \right\}=\{\varnothing \}.

इस प्रकार, बिना समुच्चय के कार्टेशियन उत्पाद की प्रमुखता 1 है।

शायद अधिक परिचित n-टपल व्याख्या के अंतर्गत,

\prod _{\varnothing }{}=\{()\},

वह है, सिंगलटन समुच्चय जिसमें खाली टपल होता है। ध्यान दें कि दोनों अभ्यावेदन में खाली उत्पाद की प्रमुखता 1 है - 0 इनपुट से 0 आउटपुट उत्पन्न करने के सभी तिथि की संख्या 1 है।

अशक्त श्रेणीबद्ध उत्पाद

किसी भी श्रेणी (श्रेणी सिद्धांत) में, एक खाली परिवार का उत्पाद (श्रेणी सिद्धांत) उस श्रेणी का एक अंतिम वस्तु है। यह उत्पाद की सीमा (श्रेणी सिद्धांत) परिभाषा का उपयोग करके प्रदर्शित किया जा सकता है। एन-गुना श्रेणीबद्ध उत्पाद को एन ऑब्जेक्ट्स के साथ अलग श्रेणी द्वारा दिए गए आरेख (श्रेणी सिद्धांत) के संबंध में सीमा के रूप में परिभाषित किया जा सकता है। एक खाली उत्पाद तब खाली श्रेणी के संबंध में सीमा द्वारा दिया जाता है, जो मौजूद होने पर श्रेणी का टर्मिनल वस्तु होता है। यह परिभाषा ऊपर के रूप में परिणाम देने में माहिर है। उदाहरण के लिए, सेट की श्रेणी में श्रेणीबद्ध उत्पाद सामान्य कार्टेशियन उत्पाद है, और टर्मिनल ऑब्जेक्ट एक सिंगलटन सेट है।

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 === खाली उत्पादों को परिभाषित करने की प्रासंगिकता ===
-खाली गुणनफल की धारणा इसी कारण से उपयोगी है कि संख्या 0 और रिक्त समुच्चय उपयोगी हैं: जबकि वे काफी निर्बाध धारणाओं का प्रतिनिधित्व करते प्रतीत होते हैं, उनका अस्तित्व कई विषयों की बहुत छोटी गणितीय प्रस्तुति की अनुमति देता है।
+खाली गुणनफल की धारणा इसी कारण से उपयोगी है कि संख्या शून्य और रिक्त समुच्चय उपयोगी हैं: जबकि वे अधिक निर्बाध धारणाओं का प्रतिनिधित्व करते प्रतीत होते हैं, उनका अस्तित्व कई विषयों की बहुत छोटी गणितीय प्रस्तुति की अनुमति देता है।
-उदाहरण के लिए, खाली उत्पाद 0! = 1 (शून्य का भाज्य) और x<sup>0</sup> = 1 टेलर श्रृंखला को छोटा करें # परिभाषा (जब x = 0 की चर्चा के लिए [[शून्य की घात शून्य]] देखें)। इसी तरह, यदि M एक n × n मैट्रिक्स है, तो M<sup>0</sup> n × n [[पहचान मैट्रिक्स]] है, जो इस तथ्य को दर्शाता है कि एक रेखीय मानचित्र को शून्य बार लागू करने का वही प्रभाव होता है जो पहचान फ़ंक्शन को लागू करने का होता है।
+उदाहरण के लिए, खाली उत्पाद 0! = 1 (शून्य का भाज्य) और x<sup>0</sup> = 1 टेलर श्रृंखला संकेतन को छोटा करता है| (जब x = 0 की चर्चा के लिए [[शून्य की घात शून्य]] देखें)। इसी प्रकार, यदि M एक n × n मैट्रिक्स है, तो M<sup>0</sup> n × n [[पहचान मैट्रिक्स]] है, जो इस तथ्य को दर्शाता है कि रैखिक मानचित्र को शून्य बार लागू करने का वही प्रभाव होता है जो पहचान मानचित्र को लागू करने का होता है।
-एक अन्य उदाहरण के रूप में, [[अंकगणित का मौलिक प्रमेय]] कहता है कि 1 से अधिक प्रत्येक धनात्मक पूर्णांक को अभाज्य संख्याओं के गुणनफल के रूप में विशिष्ट रूप से लिखा जा सकता है। हालांकि, अगर हम केवल 0 या 1 कारकों के साथ उत्पादों की अनुमति नहीं देते हैं, तो प्रमेय (और इसका सबूत) लंबा हो जाता है।<ref>{{cite web |url=http://www.cs.utexas.edu/users/EWD/transcriptions/EWD10xx/EWD1073.html |title=कैसे कम्प्यूटिंग साइंस ने एक नई गणितीय शैली बनाई|author=[[Edsger Wybe Dijkstra]] |date=1990-03-04 |work=EWD |access-date=2010-01-20 | quote=हार्डी एंड राइट: 'प्रत्येक सकारात्मक पूर्णांक, 1 को छोड़कर, अभाज्य संख्याओं का गुणनफल है', हेरोल्ड एम. स्टार्क: 'यदि ''n'' 1 से अधिक पूर्णांक है, तो या तो ''n'' अभाज्य है या '' n'' अभाज्य संख्याओं का परिमित गुणनफल है। ये उदाहरण - जो मुझे ए. जे. एम. वैन गैस्टरन के लिए देय हैं - दोनों खाली उत्पाद को अस्वीकार करते हैं, अंतिम वाला भी एक कारक के साथ उत्पाद को अस्वीकार करता है।}}</ref><ref>{{cite web |url=http://userweb.cs.utexas.edu/users/EWD/transcriptions/EWD09xx/EWD993.html |archive-url=https://archive.today/20120715202539/http://userweb.cs.utexas.edu/users/EWD/transcriptions/EWD09xx/EWD993.html |url-status=dead |archive-date=2012-07-15 |title=मेरे शोध की प्रकृति और मैं इसे क्यों करता हूं|author=[[Edsger Wybe Dijkstra]] |date=1986-11-14 |work=EWD |access-date=2010-07-03 |quote=लेकिन 0 निश्चित रूप से परिमित है और 0 कारकों के उत्पाद को परिभाषित करके - और कैसे? - 1 के बराबर होने के लिए हम इस अपवाद को दूर कर सकते हैं: 'यदि ''n'' एक धनात्मक पूर्णांक है, तो ''n'' अभाज्य संख्याओं का परिमित गुणनफल है।' }}</ref>
+एक अन्य उदाहरण के रूप में, [[अंकगणित का मौलिक प्रमेय]] कहता है कि 1 से अधिक प्रत्येक धनात्मक पूर्णांक को अभाज्य संख्याओं के गुणनफल के रूप में विशिष्ट रूप से लिखा जा सकता है। चूंकि, यदि यदि हम केवल 0 या 1 कारकों वाले उत्पादों की अनुमति नहीं देते हैं, तो प्रमेय (और इसका प्रमाण) लंबा हो जाता है।<ref>{{cite web |url=http://www.cs.utexas.edu/users/EWD/transcriptions/EWD10xx/EWD1073.html |title=कैसे कम्प्यूटिंग साइंस ने एक नई गणितीय शैली बनाई|author=[[Edsger Wybe Dijkstra]] |date=1990-03-04 |work=EWD |access-date=2010-01-20 | quote=हार्डी एंड राइट: 'प्रत्येक सकारात्मक पूर्णांक, 1 को छोड़कर, अभाज्य संख्याओं का गुणनफल है', हेरोल्ड एम. स्टार्क: 'यदि ''n'' 1 से अधिक पूर्णांक है, तो या तो ''n'' अभाज्य है या '' n'' अभाज्य संख्याओं का परिमित गुणनफल है। ये उदाहरण - जो मुझे ए. जे. एम. वैन गैस्टरन के लिए देय हैं - दोनों खाली उत्पाद को अस्वीकार करते हैं, अंतिम वाला भी एक कारक के साथ उत्पाद को अस्वीकार करता है।}}</ref><ref>{{cite web |url=http://userweb.cs.utexas.edu/users/EWD/transcriptions/EWD09xx/EWD993.html |archive-url=https://archive.today/20120715202539/http://userweb.cs.utexas.edu/users/EWD/transcriptions/EWD09xx/EWD993.html |url-status=dead |archive-date=2012-07-15 |title=मेरे शोध की प्रकृति और मैं इसे क्यों करता हूं|author=[[Edsger Wybe Dijkstra]] |date=1986-11-14 |work=EWD |access-date=2010-07-03 |quote=लेकिन 0 निश्चित रूप से परिमित है और 0 कारकों के उत्पाद को परिभाषित करके - और कैसे? - 1 के बराबर होने के लिए हम इस अपवाद को दूर कर सकते हैं: 'यदि ''n'' एक धनात्मक पूर्णांक है, तो ''n'' अभाज्य संख्याओं का परिमित गुणनफल है।' }}</ref>
-गणित में रिक्त गुणनफल के उपयोग के अधिक उदाहरण [[द्विपद प्रमेय]] में पाए जा सकते हैं (जो मानता है और इसका अर्थ है कि x<sup>0</sup> = 1 for all x), [[स्टर्लिंग संख्या]], कोनिग प्रमेय (सेट सिद्धांत) | कोनिग प्रमेय, [[द्विपद प्रकार]], [[द्विपद श्रृंखला]], अंतर संकारक और पोचममेर प्रतीक।
+गणित में खाली उत्पाद के उपयोग के अधिक उदाहरण [[द्विपद प्रमेय]] में पाए जा सकते हैं (जो मानता है और इसका अर्थ है कि x<sup>0</sup> = 1 सभी x के लिए), [[स्टर्लिंग संख्या]], कोनिग प्रमेय (समुच्चय सिद्धांत) , [[द्विपद प्रकार]], [[द्विपद श्रृंखला]], अंतर संकारक और पोचममेर प्रतीक।
 === लघुगणक और घातांक ===
-चूंकि लघुगणक उत्पादों को राशियों में मैप करते हैं:
+चूंकि लघुगणक उत्पादों को राशियों में मानचित्र करते हैं:
 : <math>\ln \prod_i x_i = \sum_i \ln x_i</math>
-वे एक खाली उत्पाद को एक खाली योग में मैप करते हैं।
+वे एक खाली उत्पाद को एक खाली योग में मानचित्र करते हैं।
-इसके विपरीत, घातीय फ़ंक्शन मानचित्र उत्पादों में योग करता है:
+इसके विपरीत, घातीय फलन मानचित्र उत्पादों में योग करता है:
 : <math>e^{\sum_i x_i} = \prod_i e^{x_i}</math>
-और एक खाली योग को एक खाली उत्पाद से मैप करता है।
+और एक खाली योग को एक खाली उत्पाद से मानचित्र करता है।
 == न्यूलरी कार्टेशियन उत्पाद ==
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 :<math>\prod_{i \in I} X_i = \left\{ g : I \to \bigcup_{i \in I} X_i \mid \forall i\ g(i) \in X_i \right\}.</math>
-यदि I खाली है, तो केवल ऐसा g खाली कार्य है <math>f_\varnothing</math>, जो कि अद्वितीय उपसमुच्चय है <math>\varnothing\times\varnothing</math> वह एक कार्य है <math>\varnothing \to \varnothing</math>, अर्थात् खाली उपसमुच्चय <math>\varnothing</math> (एकमात्र उपसमुच्चय जो <math>\varnothing\times\varnothing = \varnothing</math> है):
+यदि खाली है, तो एकमात्र ऐसा g खाली कार्य है <math>f_\varnothing</math>, जो कि अद्वितीय उपसमुच्चय है <math>\varnothing\times\varnothing</math> वह एक कार्य है <math>\varnothing \to \varnothing</math>, अर्थात् खाली उपसमुच्चय <math>\varnothing</math> (एकमात्र उपसमुच्चय जो <math>\varnothing\times\varnothing = \varnothing</math> है):
 :<math>\prod_\varnothing{} = \left\{ f_\varnothing: \varnothing \to \varnothing \right\} = \{\varnothing\}.</math>
-इस प्रकार, बिना सेट के कार्टेशियन उत्पाद की प्रमुखता 1 है।
+इस प्रकार, बिना समुच्चय के कार्टेशियन उत्पाद की प्रमुखता 1 है।
-शायद अधिक परिचित n-[[tuple]] व्याख्या के तहत,
+शायद अधिक परिचित n-[[tuple|टपल]] व्याख्या के अंतर्गत,
 :<math>\prod_\varnothing{} = \{ ( ) \},</math>
-वह है, [[सिंगलटन सेट]] जिसमें [[खाली टपल]] होता है। ध्यान दें कि दोनों अभ्यावेदन में खाली उत्पाद की [[प्रमुखता]] 1 है - 0 इनपुट से 0 आउटपुट उत्पन्न करने के सभी तरीकों की संख्या 1 है।
+वह है, [[सिंगलटन सेट|सिंगलटन समुच्चय]] जिसमें [[खाली टपल]] होता है। ध्यान दें कि दोनों अभ्यावेदन में खाली उत्पाद की [[प्रमुखता]] 1 है - 0 इनपुट से 0 आउटपुट उत्पन्न करने के सभी तिथि की संख्या 1 है।
 == अशक्त श्रेणीबद्ध उत्पाद ==

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