अवकलज: Difference between revisions
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*: <math> \frac{d}{dx}x^a = ax^{a-1}.</math> | *: <math> \frac{d}{dx}x^a = ax^{a-1}.</math> | ||
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* | * [[घातांकीकार्य और लघुगणक कार्य:]] | ||
*: <math> \frac{d}{dx}e^x = e^x.</math> | *: <math> \frac{d}{dx}e^x = e^x.</math> | ||
*: <math> \frac{d}{dx}a^x = a^x\ln(a),\qquad a > 0</math> | *: <math> \frac{d}{dx}a^x = a^x\ln(a),\qquad a > 0</math> | ||
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*: <math> \frac{d}{dx}\tan(x) = \sec^2(x) = \frac{1}{\cos^2(x)} = 1 + \tan^2(x).</math> | *: <math> \frac{d}{dx}\tan(x) = \sec^2(x) = \frac{1}{\cos^2(x)} = 1 + \tan^2(x).</math> | ||
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* व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय कार्य: | * [[व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय कार्य:]] | ||
*: <math> \frac{d}{dx}\arcsin(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}},\qquad -1<x<1.</math> | *: <math> \frac{d}{dx}\arcsin(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}},\qquad -1<x<1.</math> | ||
*: <math> \frac{d}{dx}\arccos(x)= -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}},\qquad -1<x<1.</math> | *: <math> \frac{d}{dx}\arccos(x)= -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}},\qquad -1<x<1.</math> | ||
*: <math> \frac{d}{dx}\arctan(x)= \frac{1}{{1+x^2}}</math> | *: <math> \frac{d}{dx}\arctan(x)= \frac{1}{{1+x^2}}</math> | ||
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==={{anchor|Rules}}संयुक्त कार्यों के लिए नियम === | ==={{anchor|Rules}}संयुक्त कार्यों के लिए नियम === | ||
मूलतत्त्व कार्यों के व्युत्पन्न से कार्य संरचना के व्युत्पन्न को निकालने के लिए यहां कुछ सबसे मूलतत्त्व नियम दिए गए हैं। | मूलतत्त्व कार्यों के व्युत्पन्न से कार्य संरचना के व्युत्पन्न को निकालने के लिए यहां कुछ सबसे मूलतत्त्व नियम दिए गए हैं। | ||
* | * [[स्थिर नियम:]] यदि f(x) स्थिर है, तो | ||
*: <math>f'(x) = 0. </math> | *: <math>f'(x) = 0. </math> | ||
* | * [[विभेदन की रैखिकता:]] | ||
*: <math>(\alpha f + \beta g)' = \alpha f' + \beta g' </math> सभी कार्यों f और g और सभी वास्तविक संख्याओं के लिए<math>\alpha</math>तथा<math>\beta</math>. | *: <math>(\alpha f + \beta g)' = \alpha f' + \beta g' </math> सभी कार्यों f और g और सभी वास्तविक संख्याओं के लिए<math>\alpha</math>तथा<math>\beta</math>. | ||
* [[प्रॉडक्ट नियम|उत्पादन नियम]]: | * [[प्रॉडक्ट नियम|उत्पादन नियम]]: | ||
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* [[भागफल नियम]]: | * [[भागफल नियम]]: | ||
*: <math>\left(\frac{f}{g} \right)' = \frac{f'g - fg'}{g^2}</math> सभी कार्यों के लिए ''f'' और ''g'' सभी निवेश पर जहां {{nowrap|''g'' ≠ 0}}. | *: <math>\left(\frac{f}{g} \right)' = \frac{f'g - fg'}{g^2}</math> सभी कार्यों के लिए ''f'' और ''g'' सभी निवेश पर जहां {{nowrap|''g'' ≠ 0}}. | ||
* समग्र कार्यों के लिए चेन नियम: यदि <math>f(x) = h(g(x))</math>, फिर | * [[समग्र कार्यों]] के लिए चेन नियम: यदि <math>f(x) = h(g(x))</math>, फिर | ||
*: <math>f'(x) = h'(g(x)) \cdot g'(x). </math> | *: <math>f'(x) = h'(g(x)) \cdot g'(x). </math> | ||
=== संगणना उदाहरण === | === संगणना उदाहरण === | ||
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{{Main| संपूर्ण अवकलज}} | {{Main| संपूर्ण अवकलज}} | ||
जब f ' | जब f ''''R'''<sup>''n''</sup>' के खुले उपसमुच्चय एक फलन से ''''R'''<sup>''m''</sup>', तो किसी चुनी हुई दिशा में f का दिशात्मक व्युत्पन्न उस बिंदु पर और उस दिशा में f का सर्वोत्तम रैखिक सन्निकटन है। लेकिन जब {{nowrap|''n'' > 1}}, कोई भी एकल दिशात्मक व्युत्पन्न f के व्यवहार का पूरा चित्र नहीं दे सकता है। पूर्ण व्युत्पन्न एक बार में सभी दिशाओं पर विचार करके पूरा चित्र देता है। अर्थात, 'a' से शुरू होने वाले किसी भी सदिश 'v' के लिए, रैखिक सन्निकटन सूत्र धारण करता है: | ||
:<math>f(\mathbf{a} + \mathbf{v}) \approx f(\mathbf{a}) + f'(\mathbf{a})\mathbf{v}.</math> | :<math>f(\mathbf{a} + \mathbf{v}) \approx f(\mathbf{a}) + f'(\mathbf{a})\mathbf{v}.</math> | ||
एकल-चर व्युत्पन्न की तरह, {{nowrap|''f'' ′('''a''')}} चुना जाता है ताकि इस सन्निकटन में त्रुटि यथासंभव कम हो। | एकल-चर व्युत्पन्न की तरह, {{nowrap|''f'' ′('''a''')}} चुना जाता है ताकि इस सन्निकटन में त्रुटि यथासंभव कम हो। | ||
यदि n और m दोनों एक हैं, तो अवकलज {{nowrap|''f'' ′(''a'')}} एक संख्या और अभिव्यक्ति है {{nowrap|''f'' ′(''a'')''v''}} दो संख्याओं का गुणनफल है। लेकिन उच्च आयामों में, यह असंभव है {{nowrap|''f'' ′('''a''')}} एक संख्या होना। यदि यह एक संख्या थी, तो {{nowrap|''f'' ′('''a''')'''v'''}} '''R'''<sup>''n''</sup> में एक संवाहक होगा जबकि अन्य पद ' | यदि n और m दोनों एक हैं, तो अवकलज {{nowrap|''f'' ′(''a'')}} एक संख्या और अभिव्यक्ति है {{nowrap|''f'' ′(''a'')''v''}} दो संख्याओं का गुणनफल है। लेकिन उच्च आयामों में, यह असंभव है {{nowrap|''f'' ′('''a''')}} एक संख्या होना। यदि यह एक संख्या थी, तो {{nowrap|''f'' ′('''a''')'''v'''}} '''R'''<sup>''n''</sup> में एक संवाहक होगा जबकि अन्य पद ''''R'''<sup>''m''</sup>' में सदिश होंगे, और इसलिए सूत्र का कोई अर्थ नहीं होगा। रैखिक सन्निकटन सूत्र को समझने के लिए, {{nowrap|''f'' ′('''a''')}} एक ऐसा कार्य होना चाहिए जो '''R'''<sup>''n''</sup> में संवाहकभेजता है ''''R'''<sup>''m''</sup>' में सदिशों के लिए, और {{nowrap|''f'' ′('''a''')'''v'''}} v पर मूल्यांकन किए गए इस कार्य को निरूपित करना चाहिए। | ||
यह निर्धारित करने के लिए कि यह किस प्रकार का कार्य है, ध्यान दें कि रैखिक सन्निकटन सूत्र को फिर से लिखा जा सकता है | यह निर्धारित करने के लिए कि यह किस प्रकार का कार्य है, ध्यान दें कि रैखिक सन्निकटन सूत्र को फिर से लिखा जा सकता है | ||
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इसलिए, "f" के पूर्ण व्युत्पन्न की परिभाषा यह है कि यह अद्वितीय रैखिक परिवर्तन है {{nowrap|''f'' ′('''a''') : '''R'''<sup>''n''</sup> → '''R'''<sup>''m''</sup>}} ऐसा है कि | इसलिए, "f" के पूर्ण व्युत्पन्न की परिभाषा यह है कि यह अद्वितीय रैखिक परिवर्तन है {{nowrap|''f'' ′('''a''') : '''R'''<sup>''n''</sup> → '''R'''<sup>''m''</sup>}} ऐसा है कि | ||
:<math>\lim_{\mathbf{h}\to 0} \frac{\lVert f(\mathbf{a} + \mathbf{h}) - (f(\mathbf{a}) + f'(\mathbf{a})\mathbf{h})\rVert}{\lVert\mathbf{h}\rVert} = 0.</math> | :<math>\lim_{\mathbf{h}\to 0} \frac{\lVert f(\mathbf{a} + \mathbf{h}) - (f(\mathbf{a}) + f'(\mathbf{a})\mathbf{h})\rVert}{\lVert\mathbf{h}\rVert} = 0.</math> | ||
यहाँ h, '''R'''<sup>''n''</sup> में एक सदिश राशि है, इसलिए हर में मूल्यक '<nowiki/>'''R'''<sup>''n''</sup>' पर मूल्यक लंबाई है. यद्यपि, f′('a')'h' ' | यहाँ h, '''R'''<sup>''n''</sup> में एक सदिश राशि है, इसलिए हर में मूल्यक '<nowiki/>'''R'''<sup>''n''</sup>' पर मूल्यक लंबाई है. यद्यपि, f′('a')'h' ''''R'''<sup>''m''</sup>' में एक संवाहक है, और अंश में मूल्यदंड ''''R'''<sup>''m''</sup>' पर मूल्यक लंबाई है, यदि v एक संवाहक है जो a से शुरू होता है, तो {{nowrap|''f'' ′('''a''')'''v'''}} 'f' द्वारा v का बाध्य अग्रसर ''f'' (अंतर) कहा जाता है और कभी-कभी लिखा जाता है {{nowrap|''f''<sub>∗</sub>'''v'''}}. | ||
यदि पूर्ण व्युत्पन्न a पर उपस्थित है, तो ''f'' के सभी आंशिक व्युत्पन्न और दिशात्मक व्युत्पन्न a पर उपस्थित हैं, और सभी v के लिए, {{nowrap|''f'' ′('''a''')'''v'''}} दिशा 'v' में f का दिशात्मक व्युत्पन्न है। यदि हम समन्वय फलन का उपयोग करके f लिखते हैं, ताकि {{nowrap|1=''f'' = (''f''<sub>1</sub>, ''f''<sub>2</sub>, ..., ''f''<sub>''m''</sub>)}}, तो पूर्ण व्युत्पन्न को आव्यूह (गणित) के रूप में आंशिक व्युत्पन्न का उपयोग करके व्यक्त किया जा सकता है। इस आव्यूह को a पर ''f'' का जैकबियन आव्यूह कहा जाता है: | यदि पूर्ण व्युत्पन्न a पर उपस्थित है, तो ''f'' के सभी आंशिक व्युत्पन्न और दिशात्मक व्युत्पन्न a पर उपस्थित हैं, और सभी v के लिए, {{nowrap|''f'' ′('''a''')'''v'''}} दिशा 'v' में f का दिशात्मक व्युत्पन्न है। यदि हम समन्वय फलन का उपयोग करके f लिखते हैं, ताकि {{nowrap|1=''f'' = (''f''<sub>1</sub>, ''f''<sub>2</sub>, ..., ''f''<sub>''m''</sub>)}}, तो पूर्ण व्युत्पन्न को आव्यूह (गणित) के रूप में आंशिक व्युत्पन्न का उपयोग करके व्यक्त किया जा सकता है। इस आव्यूह को a पर ''f'' का जैकबियन आव्यूह कहा जाता है: | ||
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किसी कार्य का पूर्ण व्युत्पन्न उसी तरह एक और कार्य नहीं देता है जैसे एक-चर विभक्ति। ऐसा इसलिए है क्योंकि एक बहु-परिवर्तनीय कार्य के पूर्ण व्युत्पन्न को एकल-चर कार्य के व्युत्पन्न की तुलना में अधिक जानकारी दर्ज करनी होती है। इसके बजाय, पूर्ण व्युत्पन्न स्रोत के [[स्पर्शरेखा बंडल|स्पर्शरेखा समूह]] से लक्ष्य के स्पर्शरेखा समूह तक एक कार्य देता है। | किसी कार्य का पूर्ण व्युत्पन्न उसी तरह एक और कार्य नहीं देता है जैसे एक-चर विभक्ति। ऐसा इसलिए है क्योंकि एक बहु-परिवर्तनीय कार्य के पूर्ण व्युत्पन्न को एकल-चर कार्य के व्युत्पन्न की तुलना में अधिक जानकारी दर्ज करनी होती है। इसके बजाय, पूर्ण व्युत्पन्न स्रोत के [[स्पर्शरेखा बंडल|स्पर्शरेखा समूह]] से लक्ष्य के स्पर्शरेखा समूह तक एक कार्य देता है। | ||
दूसरे, तीसरे, और उच्च-क्रम के | दूसरे, तीसरे, और उच्च-क्रम के पूर्ण व्युत्पन्न का प्राकृतिक समधर्मी एक रैखिक परिवर्तन नहीं है, स्पर्शरेखा समूह पर कोई कार्य नहीं है, और पूर्ण व्युत्पन्न को बार-बार लेकर नहीं बनाया गया है। एक उच्च-क्रम व्युत्पन्न का समधर्मी , जिसे [[जेट (गणित)|धारा (गणित)]] कहा जाता है, एक रैखिक परिवर्तन नहीं हो सकता है क्योंकि उच्च-क्रम के व्युत्पन्न सूक्ष्म ज्यामितीय जानकारी को दर्शाते हैं, जैसे अवतलता, जिसे रैखिक आँकड़े जैसे संवाहक के रूप में वर्णित नहीं किया जा सकता है। यह स्पर्शरेखा समूह पर एक कार्य नहीं हो सकता क्योंकि स्पर्शरेखा समूह में केवल आधार स्थान और दिशात्मक व्युत्पन्न के लिए जगह होती है। क्योंकि धारा उच्च-क्रम की जानकारी प्राप्त करते हैं, वे तर्क के रूप में दिशा में उच्च-क्रम परिवर्तन का प्रतिनिधित्व करने वाले अतिरिक्त निर्देशांक लेते हैं। इन अतिरिक्त निर्देशांकों द्वारा निर्धारित स्थान को [[जेट बंडल|धारा समूह]] कहा जाता है। किसी कार्य के पूर्ण व्युत्पन्न और आंशिक व्युत्पन्न के बीच का संबंध किसी कार्य के k वें अनुक्रम धारा और k से कम या उसके एकरूप अनुक्रम ''k'' आंशिक व्युत्पन्न के बीच के संबंध में समूल्यांतर है। | ||
पूर्ण व्युत्पन्न को बार-बार लेने से, ' | पूर्ण व्युत्पन्न को बार-बार लेने से, '<nowiki/>'''R'''<sup>''n''</sup>' के लिए विशिष्ट फ्रेचेट व्युत्पन्न के उच्च संस्करण प्राप्त होते हैं। <small>'''R'''''p''. ''k''th क्रम के पूर्ण अवकलज की व्याख्या मूल्यचित्र के रूप में की जा सकती है</small> | ||
:<math>D^k f: \mathbb{R}^n \to L^k(\mathbb{R}^n \times \cdots \times \mathbb{R}^n, \mathbb{R}^m)</math> | :<math>D^k f: \mathbb{R}^n \to L^k(\mathbb{R}^n \times \cdots \times \mathbb{R}^n, \mathbb{R}^m)</math> | ||
जो R में एक बिंदु x लेता है<sup>n</sup> | जो '''R'''<sup>''n''</sup> में एक बिंदु x लेता है और इसे '<nowiki/>'''R'''<sup>''n''</sup> ' से k-रेखीय मूल्यचित्रों के स्थान का एक तत्व प्रदान करता है से ''''R'''<sup>''m''</sup> '– उस बिंदु पर f के लिए सबसे अच्छा (एक निश्चित अर्थ में) k-रैखिक सन्निकटन है। इसे [[विकर्ण फ़ैक्टर|विकर्ण मानचित्र]] Δ के साथ पूर्वसंरचना करके, {{nowrap|'''x''' → ('''x''', '''x''')}}, एक सामूल्य्यीकृत टेलर श्रृंखला के रूप में शुरू किया जा सकता है | ||
:<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
f(\mathbf{x}) & \approx f(\mathbf{a}) + (D f)(\mathbf{x-a}) + \left(D^2 f\right)(\Delta(\mathbf{x-a})) + \cdots\\ | f(\mathbf{x}) & \approx f(\mathbf{a}) + (D f)(\mathbf{x-a}) + \left(D^2 f\right)(\Delta(\mathbf{x-a})) + \cdots\\ | ||
| Line 298: | Line 296: | ||
& = f(\mathbf{a}) + \sum_i (D f)_i (x_i-a_i) + \sum_{j, k} \left(D^2 f\right)_{j k} (x_j-a_j) (x_k-a_k) + \cdots | & = f(\mathbf{a}) + \sum_i (D f)_i (x_i-a_i) + \sum_{j, k} \left(D^2 f\right)_{j k} (x_j-a_j) (x_k-a_k) + \cdots | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
जहाँ f(a) की | जहाँ f(a) की निर्धारित एक स्थिर फलन से की जाती है, {{nowrap|''x''<sub>''i''</sub> − ''a''<sub>''i''</sub>}} संवाहक के घटक हैं {{nowrap|'''x''' − '''a'''}}, तथा {{nowrap|(''Df'')<sub>''i''</sub>}} तथा {{nowrap|(''D''<sup>2</sup>''f'')<sub>''jk''</sub>}} के घटक हैं {{nowrap|''Df''}} तथा {{nowrap|''D''<sup>2</sup>''f''}} रैखिक परिवर्तन के रूप में। | ||
== सामूल्य्यीकरण == | == सामूल्य्यीकरण == | ||
{{Main| | {{Main| सामान्यीकरण का व्युत्पन्न}} | ||
व्युत्पन्न की अवधारणा को कई अन्य | |||
* व्युत्पन्न का एक महत्वपूर्ण सामूल्य्यीकरण [[जटिल संख्या]] | व्युत्पन्न की अवधारणा को कई अन्य निर्धारितिंग्स तक बढ़ाया जा सकता है। सामूल्य्य सूत्र यह है कि किसी बिंदु पर किसी कार्य का व्युत्पन्न उस बिंदु पर कार्य के रैखिक सन्निकटन के रूप में कार्य करता है। | ||
* एक अन्य सामूल्य्यीकरण सुचारू | * व्युत्पन्न का एक महत्वपूर्ण सामूल्य्यीकरण [[जटिल संख्या|जटिल संख्याओं]] के जटिल कार्यों से संबंधित है, जैसे कि (एक अधि क्षेत्र में) जटिल संख्या C से C तक के कार्य। इस तरह के एक समारोह के व्युत्पन्न की धारणा वास्तविक चर को जटिल चर के साथ बदलकर प्राप्त की जाती है। परिभाषा यदि C की निर्धारित '''R'''<sup>2</sup> से की जाती है तो एक सम्मिश्र संख्या z के रूप में लिखकर {{nowrap|''x'' + ''iy''}}, तो C से C तक एक अवकलनीय फलन निश्चित रूप से '''R'''<sup>2</sup> से एक फलन के रूप में अवकलनीय है से '''R'''<sup>2</sup> (इस अर्थ में कि इसके आंशिक व्युत्पन्न सभी उपस्थित हैं), लेकिन इसका विलोम सामूल्य्य रूप से सत्य नहीं है: जटिल व्युत्पन्न केवल तभी उपस्थित होता है जब वास्तविक व्युत्पन्न जटिल रैखिक होता है और यह आंशिक व्युत्पन्न के बीच संबंधों को लागू करता है जिसे कॉची- कहा जाता है। रीमैन समीकरण - [[होलोमॉर्फिक फ़ंक्शन|पूर्णसममितिक कार्य]] देखें। | ||
* | * एक अन्य सामूल्य्यीकरण सुचारू कई गुना के बीच कार्य करता है। सहज रूप से इस तरह के कई गुना M बोलना एक ऐसा स्थान है जिसे प्रत्येक बिंदु x के पास एक सदिश स्थान द्वारा अनुमूल्यित किया जा सकता है जिसे इसकी [[स्पर्शरेखा स्थान]] कहा जाता है: प्रोटोटाइपिकल उदाहरण ''''R'''<sup>3</sup>' में एक सुचारू सतह है। <sup><big>एक (विभेदक) मूल्यचित्र का व्युत्पन्न (या अंतर)। {{nowrap|''f'': ''M'' → ''N''}} मैनिफोल्ड्स के बीच, ''M'' में एक बिंदु ''x'' पर, फिर ''x'' पर ''M'' के स्पर्शरेखा स्थान से ''f''(''x'')) पर ''N'' के स्पर्शरेखा स्थान पर एक रैखिक नक्शा है। व्युत्पन्न कार्य ''M'' और ''N'' के स्पर्शरेखा समूहों के बीच एक नक्शा बन जाता है। यह परिभाषा अंतर ज्यामिति में मौलिक है और इसके कई उपयोग हैं - प्रेरित अग्रसर (अंतर) और [[पुलबैक (अंतर ज्यामिति)|ऐंठनापार्श्व (अंतर ज्यामिति)]] देखें।</big> | ||
* शास्त्रीय व्युत्पन्न की एक कमी यह है कि बहुत से कार्य भिन्न नहीं होते हैं। फिर भी, व्युत्पन्न की धारणा को विस्तारित करने का एक तरीका है ताकि [[कमजोर व्युत्पन्न]] के रूप में जाने वाली अवधारणा का उपयोग करके सभी निरंतर कार्य कार्यों और कई अन्य कार्यों को अलग किया जा सके। विचार निरंतर कार्यों को एक बड़े स्थान में | * आयाम (संवाहक स्थल) संवाहक स्थल जैसे [[बनच स्थान]] और फ्रेचेट स्थल के बीच के मानचित्र के लिए भी विवेक को परिभाषित किया जा सकता है। दोनों दिशात्मक व्युत्पत्ति का एक सामूल्य्यीकरण है, जिसे गेटॉक्स व्युत्पन्न कहा जाता है, और अंतर का, जिसे फ्रेचेट व्युत्पन्न कहा जाता है। | ||
* व्युत्पन्न के गुणों ने बीजगणित और | * शास्त्रीय व्युत्पन्न की एक कमी यह है कि बहुत से कार्य भिन्न नहीं होते हैं। फिर भी, व्युत्पन्न की धारणा को विस्तारित करने का एक तरीका है ताकि [[कमजोर व्युत्पन्न]] के रूप में जाने वाली अवधारणा का उपयोग करके सभी निरंतर कार्य कार्यों और कई अन्य कार्यों को अलग किया जा सके। विचार निरंतर कार्यों को एक बड़े स्थान में स्थापित करना है जिसे वितरण का स्थान (गणित) कहा जाता है और केवल यह आवश्यक है कि एक कार्य सामान्य पर अलग-अलग हो। | ||
* विभेदन का असतत समतुल्य [[परिमित अंतर]] है। | * व्युत्पन्न के गुणों ने बीजगणित और सांस्थिति में कई समूल्य वस्तुओं के परिचय और अध्ययन को प्रेरित किया है - उदाहरण के लिए, [[अंतर बीजगणित]] देखें। | ||
* विभेदन का असतत समतुल्य [[परिमित अंतर]] है। अंतरीय गणना का अध्ययन [[समय पैमाने की गणना|समय पैमूल्ये की गणना]] में परिमित अंतर के गणना के साथ एकीकृत है। | |||
* अंकगणित व्युत्पन्न भी देखें। | * अंकगणित व्युत्पन्न भी देखें। | ||
== इतिहास == | == इतिहास == | ||
{{main| | {{main| इतिहास की गणना}} | ||
गणना, अपने प्रारंभिक इतिहास में | |||
गणना, अपने प्रारंभिक इतिहास में अत्यंत सूक्ष्म गणना के रूप में जाना जाता है, एक गणित अनुशासन है जो सीमा (गणित), कार्य (गणित), व्युत्पन्न, संपूर्ण और [[अनंत श्रृंखला]] पर केंद्रित है। 17वीं शताब्दी के मध्य में [[आइजैक न्यूटन]] और [[गॉटफ्रीड लीबनिज]] ने स्वतंत्र रूप से गणना की खोज की। यद्यपि, प्रत्येक आविष्कार ने दावा किया कि दूसरे ने लीबनिज-न्यूटन कैलकुस विवाद में अपना काम चुरा लिया जो उनके जीवन के अंत तक जारी रहा। | |||
== यह भी देखें == | == यह भी देखें == | ||
Revision as of 17:22, 3 December 2022
File:Tangent to a curve.svg
एक कार्य का लेखाचित्र, काले रंग में खींचा गया है, और उस लेखाचित्र की स्पर्श रेखा, लाल रंग में खींची गई है। स्पर्शरेखा रेखा का ढलान चिह्नित बिंदु पर कार्य के व्युत्पन्न के एकरूप है।
| के बारे में लेखों की एक श्रृंखला का हिस्सा |
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